命题逻辑真值形式

第一章命题逻辑

一、真值形式

1．命题及其真值、原子命题和复合命题

前题及其真值

我们已经知道，作为逻辑研究主要对象的推理，是一个命题序列，是从某个或某些命题得到某个命题的思维过程。

那么，什么是命题呢？

命题是表达判断的语句。所谓判断，就是人对思维对象有所断定。

一切能被人思考的客体都构成思维对象，简称对象。对象可以是有形的，也可以是无形的；可以是物质的，也可以是精神的；可以是存在的，也可以是不存在的。总之，包罗万象。对象要能被思考，必须具有一定的性质，处于——定的关系之中。对象的性质和对象之间的关系．统称对象的属性。没有属性的对象，是不存在的。

判断对对象有所断定，就是断定对象具有或不具有某种属性。

判断用语句的形式表达出来，就是命题。

例如：

(1)所有不受外力作用的物体都作匀速直线运动。

(2)上帝是万能的追物主。

(3)如果上帝是万能的造物主，那么他既能又不能造出一块他自己都无法举起的石头。

这些都是命题。

命题都有真假。没有真假的语切不表达确定的判断．因而不是命题。

命题的真或假，称为命题的真值。也就是说，命题的真值包括两个值，一个值是“真”，另一个值是“假”。真命题的真值是“真”，假命题的真值是“假”。

原子命题和复合命题

原子命题是不包含和自身不同的命题的命题。

例如：

(1)癌症是遗传的。

(2)癌症不是遗传的。

(3)并非癌症是遗传的。

(4)如果癌症是遗传的，那么老李患癌症是不可避免的。

(5)老李知道癌症是遗传的。

其中，句(1)和句(2)是原子命题，因为其中不包合和自身不同的命题，而句(3)、句(4)和句(5)不是原子命题，因为这些命题中都包含了和自身不同的命题(划横线的部分)，这样的命题称为支命题。

像句(3)、句(4)和句(5)这样的命题，虽然都是包含支命题的非原子命题．但它们之间存在重要的区别。句(3)和句(4)的真值是由其支命题的真值惟一地确定的，而句(5)则不是。

如果“癌症是遗传的”是真的，则句(3)是假的；如果“癌症是遗传的”是假的，则句(3)是真的。

如果“癌症是遗传的”是真的，并且“老李患癌症是不可避免的”是假的，则句(4)是假的；在支命题的其他真假情况下，句(4) 都是真的。

句（5）的真值却不是由其支题的真值性—地确定的：如果“癌症是遗传的”是真的，则句(5)可以是真的，也可以是假的。

像句(2)和句(4)这样的命题，称为复合命题。

在命题逻联中，复合命题指这样的命题：第—。它包含和自身不同的命题作为支命题；第二，它的真值由其支命题的真值惟一地确定。

复合命题的支命题可以是原子命题，也可以是复合命题。复合命题最终是出原子命题依据一定的逻辑关系构成，依据这种逻辑关系，原子命题的真值，惟一地确定由其构成的复合命题的真值。表达这种逻辑关系的语词，称为联结词。因此，复合命题的终极构成成分只有两个，一个是原子命题，另一个是联结词。例如，上例句(3)中的联结向是“并非”；句(4)中的联结词是“如果……，那么……”。

2．真值联结词·真值形式·常用真值联结词

真值联结词和真值形式

日常语言所表达的联结问，除了表达原子命题和复合真假关系之外，在特定的语境下，还会表达其他某些意思。例如：

(1)小张和小李结了婚，并见有了孩子。

如果交换句(1)中两个支命题的位置，得到：

(2)小张和小李有了孩子，并且结了婚。

句(2)的含义显然较之句(1)有了变化。这说明，这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外，还表达了其他什么意思。

如果只保留联结词中对于真假关系的断定，我们就从联结词得到了真值联结词。因此，真值联结词是对联结词的一种抽象，它刻画并且只刻画原子命题和由其构成的复合命题之间的真假关系。在命题逻辑中，真值联结词用专门的符号表示。由真值联结词构成的复合命题

p∧，其中，“∧”是真值联结词，的形式结构，就是真值形式。例如，句(1)的真值形式是q

读作“合取”，表示“并且”；p和q称作命题变项，表示原子命题。因此，真值形式也就是命题变项和真值联结词的合式构成。单个命题变项也是真值形式，真值联结词在其中零次出现。特殊地，如果命题变项和真值联结词都零次出现，这样的真值形式称为空式。空式也是真值形式。在某些场合，空式的概念不可缺少。另外，真值形式必须是有限构成的，即是有限长的符号串。，

在以后的讨论中，p，q，r…表示命题变项，A，B，C…表示任意的真值形式。

常用真值联结词

这里定义五个常用真值联结词，即“∧”、“∨”、“→”、“↔”和“⌝”及相关的五个基本真值形式。

合取

p∧”，读作“p合取q”，断定：p和q都是真的。也就是说p和q中，真值形式“q

p∧就是假的。

只要有—个是假的，q

p∧”可如下定义：

“q

上面这样的表格，称为真值表。其中，“1”表示真，“o”表示假。真值表列出了在原子命题的每一组真值组合下复合命题的真值。因此，正如下面将要说明的，一个完整的真值表，就定义了—个真值函数。不同的真值表，定义不同的真值函数。

以上的真值表说明，关于∧的真值运算，下面的等式成立：

1∧1＝1；1∧0＝0∧1＝0∧0＝0。 在日常语言中，“p ∧ q ”表述为“P 并且q ”，“不但P ，而且q ”等等。合取式相当于传统逻辑中的联言命题。

析取

真值形式“q p ∨”，读作“p 析取q ”，断定：P 和q 中至少有一个是真的。也就是说，只有当p 和q 都是假的，q p ∨才是假的。

“q p ∨”可如下定义：

以上的真值表说明，关于∨的真值运算，以下的等式成立： 1∨1＝1∨0＝0∨1＝1；0∨0＝0。 在日常语言中，“q p ∨”表述为“p 或者q ”。析取式相当于传统逻辑中的相容选言命题。

蕴涵

真值形式“q p →”，读作“P 蕴涵q ”，断定：只有当p 真和q 假时，q p →才是假的；在其余情况下，q p →都是真的。

“q p →”可如下定义：

如上定义的蕴涵．称为“实质蕴涵”。

以上的真值表说明，关于→的真值运算，以下的等式成立： 1→0＝0；1→ l=1→0=0→0=l 。 在日常语言中，“q p →”表述为“如果P ，那么q ”，“只要P ，就q ”，等等。蕴涵式相当于传统逻辑中的充分条件假言命题。

“q p →”和“如果P ，那么q ”的含义是有区别的。“如果P ，那么q ”除了表示“不会P 真而q 假”这种p 和q 之间的真假关系以外，根据具体的语境，还可能表示P 和q 之间的其他联系；而“q p →”除了表示“不会P 真而q 假”以外，不表示P 和q 之