第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
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用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 的恒定分量；
用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；
用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。
因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
３、平均功率
任意一端口的瞬时功率（吸收）为：
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2d t
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
iI0 Ikm coks1 (tk) k1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I T 10T[I0k 1Ik m cok s1t(k)2]dt
上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
-
0
π 2π
ω1t
解: 将给定的 us 分解为傅立叶级数,得
（２）、谐波分析法
a、傅里叶级数的分解 b、应用叠加定理分别计算各项 c、叠加得到响应
２、傅里叶级数
（１）、傅里叶级数的分解
f(t)A20 A1mcos1(t1)A2mco2s(1t21)
Akmcoks(1tk)
A0 2
Akmcoks(1tk)
k1
（２）、频谱：幅度频谱、相位频谱
（３）、函数的对称性
１、谐波分析法的计算步骤 ２、举例： 例１３－２
例１３－３
１、谐波分析法的计算步骤
(1) 分解为傅里叶级数，并确定有限项。 （2）分别求出激励的恒定分量及各次谐波分量单独作用时
的响应。
(3)应用叠加定理，把步骤（２）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
电流相量一般表达式为：
•
•
•
Im(k)
Us m (k)
Us m (k)
Zk 1 Rjk1Lj
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
1
k1C
Z k1 3 j 0 .4k 2 2 k 9 1 3 1 j 0 .1k 4 k 7 3
(k )
P P (1 ) P (3 ) P (5 ) P (9 ) 13 .6W 3 37
２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us 为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求
负载两端电压的各谐波分量。
L +
us Um
us
CR
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波 重点：
１、有效值、平均值和平均功率 ；
２、非正弦周期电流电路的计算 。
一、知识回顾
１、非正弦周期信号 ２、傅里叶级数
１、非正弦周期信号
（１）、非正弦周期信号
arc tan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(k
)
•
U
sm( k
)
(k )
P(k )
1 2
I2 m(k )
•R
1.5I
2 m(k
)
k 1
(1) 81.70o (容性 )
•
Im(1) 13.4781.70oA P(1) 272.33W
最后按时域形式迭加为：
i 1 .4 3 c7 o 1 t 8 s.7 ( 1 o ) 0 1 .4 4 c7 3 o 1 t s 6 .3 (2 o )0 1 .4 5 c1 5 o 1 t s 3 .4 (4 ) 1 ...
1 T
T
0
I02dt
I02
T 10 TIk 2m co 2(ks1tk)d tIk 2
1T
T02I0Ik
m coks1 t(k)d t0
T 10 T 2 I kI m qc mk o 1 t sk ) ( cq o1 t sq ( ) d 0 t， k q （ )
这样可求得 i 的有效值为：
p u [ U i0 U kc mk o 1 t su)( k [ ] I0 Ikc mk o 1 t si) k (]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
乘积的积分为零（即不产生平均
P
1 T
T
0
pdt
功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
２、举例：例１３－２
1 1图C示2电 1 路, 中1L,R=03.Ω4,29,输入电 : ua_源 S i 为 uRR
Leabharlann Baidu
_ b
us 28.10c1os1t()9.337 co3s1(t)5.602 co5s1(t)
uL _ c
Lu
C_
C
d
4.00c3o7s1(t)3.112 co9s1(t)V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。 解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
I I0 2I1 2I2 2I3 2 I0 2 Ik 2
k 1
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有
效值的平方之和的平方根。
此结论适用于所有的非正弦周期量。
２、平均值
以电流 i 为例，其定义由下式表示：
Iav
def
1 T
T
idt
0
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
按上式可求得正弦电流的平均值为：
IavT 10T Imco st()dt4TIm0T4co st()dt
4ITm[sint()]0T4 0.63I7m0.89I8
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 量时，会得到不同的结果。例如：
P U 0 I 0 U 1 I 1 c1 o U 2 I 2 c s2 o U k s I k ck o
式中： U k U k 2 m ， Ik Ik 2 m ， ku k i， kk 1 ， 2 ，
即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功
率的代数和。
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；
用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。
因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
３、平均功率
任意一端口的瞬时功率（吸收）为：
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2d t
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
iI0 Ikm coks1 (tk) k1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I T 10T[I0k 1Ik m cok s1t(k)2]dt
上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
-
0
π 2π
ω1t
解: 将给定的 us 分解为傅立叶级数,得
（２）、谐波分析法
a、傅里叶级数的分解 b、应用叠加定理分别计算各项 c、叠加得到响应
２、傅里叶级数
（１）、傅里叶级数的分解
f(t)A20 A1mcos1(t1)A2mco2s(1t21)
Akmcoks(1tk)
A0 2
Akmcoks(1tk)
k1
（２）、频谱：幅度频谱、相位频谱
（３）、函数的对称性
１、谐波分析法的计算步骤 ２、举例： 例１３－２
例１３－３
１、谐波分析法的计算步骤
(1) 分解为傅里叶级数，并确定有限项。 （2）分别求出激励的恒定分量及各次谐波分量单独作用时
的响应。
(3)应用叠加定理，把步骤（２）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
电流相量一般表达式为：
•
•
•
Im(k)
Us m (k)
Us m (k)
Zk 1 Rjk1Lj
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
1
k1C
Z k1 3 j 0 .4k 2 2 k 9 1 3 1 j 0 .1k 4 k 7 3
(k )
P P (1 ) P (3 ) P (5 ) P (9 ) 13 .6W 3 37
２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us 为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求
负载两端电压的各谐波分量。
L +
us Um
us
CR
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波 重点：
１、有效值、平均值和平均功率 ；
２、非正弦周期电流电路的计算 。
一、知识回顾
１、非正弦周期信号 ２、傅里叶级数
１、非正弦周期信号
（１）、非正弦周期信号
arc tan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(k
)
•
U
sm( k
)
(k )
P(k )
1 2
I2 m(k )
•R
1.5I
2 m(k
)
k 1
(1) 81.70o (容性 )
•
Im(1) 13.4781.70oA P(1) 272.33W
最后按时域形式迭加为：
i 1 .4 3 c7 o 1 t 8 s.7 ( 1 o ) 0 1 .4 4 c7 3 o 1 t s 6 .3 (2 o )0 1 .4 5 c1 5 o 1 t s 3 .4 (4 ) 1 ...
1 T
T
0
I02dt
I02
T 10 TIk 2m co 2(ks1tk)d tIk 2
1T
T02I0Ik
m coks1 t(k)d t0
T 10 T 2 I kI m qc mk o 1 t sk ) ( cq o1 t sq ( ) d 0 t， k q （ )
这样可求得 i 的有效值为：
p u [ U i0 U kc mk o 1 t su)( k [ ] I0 Ikc mk o 1 t si) k (]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
乘积的积分为零（即不产生平均
P
1 T
T
0
pdt
功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
２、举例：例１３－２
1 1图C示2电 1 路, 中1L,R=03.Ω4,29,输入电 : ua_源 S i 为 uRR
Leabharlann Baidu
_ b
us 28.10c1os1t()9.337 co3s1(t)5.602 co5s1(t)
uL _ c
Lu
C_
C
d
4.00c3o7s1(t)3.112 co9s1(t)V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。 解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
I I0 2I1 2I2 2I3 2 I0 2 Ik 2
k 1
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有
效值的平方之和的平方根。
此结论适用于所有的非正弦周期量。
２、平均值
以电流 i 为例，其定义由下式表示：
Iav
def
1 T
T
idt
0
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
按上式可求得正弦电流的平均值为：
IavT 10T Imco st()dt4TIm0T4co st()dt
4ITm[sint()]0T4 0.63I7m0.89I8
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 量时，会得到不同的结果。例如：
P U 0 I 0 U 1 I 1 c1 o U 2 I 2 c s2 o U k s I k ck o
式中： U k U k 2 m ， Ik Ik 2 m ， ku k i， kk 1 ， 2 ，
即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功
率的代数和。
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算