正余弦定理高考专题

三角函数、解三角形
【解】 法一：在△ABC 中，利用余弦定理得到 a2＝b2＋c2－ 2bccos A，则 c2－2 3c－6＝0， 则 c＝ 3± 3.因为 c>0，所以 c＝ 3＋3. 法二：在△ABC 中，由正弦定理得到 2 6× 2 1 bsin A sin B＝ ＝ ＝ . a 2 2 3 由于 b<a，则 B<A，所以 B＝30° ，C＝180° －A－B＝105° ， 所以 sin C＝sin 105° ＝sin (45° ＋60° ) 6＋ 2 ＝sin 45° cos 60° ＋cos 45° sin 60° ＝ . 4 asin C 则 c＝ ＝ 3＋3. sin A
第四章
三角函数、解三角形
对于已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法如下：先利用 余弦定理求出第三边，再利用余弦定理的推论或者正弦定理求 出第二个角，最后利用三角形内角和定理求出第三角．在本题 中由正弦定理求得 sin A 值后， 应该注意根据已知条件中边的关 系，对角 A 的值作出判断，从而避免产生增根．
第四章
三角函数、解三角形
解三角形时，如果已知三角形的两角和任意一边，由三角形内 角和定理，可以计算出三角形的第三个角，然后再由正弦定理 计算出三角形的两边．
第四章
三角函数、解三角形
判断三角形的形状 在△ABC 中，已知 A，B，C 所对边的边长为 a，b，c， 且 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC 的形状．
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 2 2 2 b2＋c2－b2 － c 2ab 2ac
[点拨] 根据条件可先利用余弦定理求出边 c，再利用正弦定理
求出角 A，最后利用三角形内角和定理求出角 B．
第四章
三角函数、解三角形
6＋ 2 【解】 因为 cos C＝cos 15° ＝cos (45° －30° )＝ ， 4 6－ 2 sin C＝sin 15° ＝ ， 4 又由余弦定理得到 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3， 所以 c＝ 8－4 3＝ ( 6－ 2)2＝ 6－ 2. a c asin C asin 15° 1 由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ c ＝ c ＝ . sin A sin C 2 因为 b>a，则 A＝30° ，所以 B＝180° －A－C＝135° .
[点拨]
判断三角形的形状时一般有两种思路， 一是考虑三角形
的三边关系，二是考虑三角形的内角关系，有时也可以将边和 角巧妙结合，同时考虑求解．
第四章
三角函数、解三角形
【解】 法一：由角的关系转化为边的关系 由于 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C， 则 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C， 根据余弦定理的推论，则可以得到
第四章
三角函数、解三角形
本题是已知三边求三个角，基本的思路是先利用余弦定理的推 论求一个角的余弦，判定此角的取值，求得第一个角；再用正 弦定理(或余弦定理的推论)求出第二个角； 最后用三角形内角和 定理求出第三个角(可先求出最小角，再求出最大角)．
第四章
三角函数、解三角形
Baidu Nhomakorabea
已知两边及其夹角解三角形 在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对边的边长分别为 a， b，c，若 a＝2，b＝2 2，C＝15° ，求角 A，B 和边 c 的值．
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三角函数、解三角形
全国名校高考数学优质学案汇编（附详解）
正弦、余弦定理高考命题趋向
第四章
三角函数、解三角形
三角函数、解三角形 在高考中正弦定理、余弦定理既可以单独考查(在小题中出 现)，也可以综合考查(在小题中出现)，还可以和向量、三角函 数、三角形等综合命题(一般放在解答题的第一题)，难度中等， 很少有难题． 与三角形综合时常用边化角和角化边两种方法． 在 解决此类问题时，首先应该抓住问题关键，寻求最佳方法，并 能触类旁通、学以致用．
第四章
三角函数、解三角形
已知两边及一边的对角解三角形 在△ABC 中，已知 A，B，C 所对边的边长为 a，b，c， 若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ，求边 c 的长．
[点拨] 可以利用余弦定理求边长 c， 也可先由正弦定理求出 B，
进而求出 C，同时利用正弦定理或余弦定理求出边长 c.
第四章
第四章
三角函数、解三角形
已知两角与任意一边，理清思路 在△ABC 中，若 A＝75° ，B＝45° ，c＝3 2，求 a，b.
[点拨] b. 已知角 A，B， 则可求出角 C， 再根据正弦定理求出 a，
【解】 由 A＝75° ，B＝45° ，则 C＝60° ， csin B 则由正弦定理得 b＝ ＝2 3； sin C csin A 由正弦定理得 a＝ ＝3＋ 3. sin C
第四章
三角函数、解三角形
对于已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法如下： 可先根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)， 然后利用正弦定理求其他的两角；也可以先利用正弦定理求出 第二个角(注意角的取舍)， 再利用三角形内角和定理求出第三角， 最后应用正弦定理求出第三边．上述的两种方法中，都要注意 边的取舍或者角的取舍，避免产生增根．
【解】 因为 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 则设 a＝2k， b＝ 6k， c＝( 3＋1)k(k>0)，由余弦定理得到 b2＋c2－a2 6＋( 3＋1)2－4 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2× 6×( 3＋1) 2 所以 A＝45° ； a2＋c2－b2 4＋( 3＋1)2－6 1 cos B＝ ＝ ＝ ，所以 B＝60° ； 2ac 2 2×2×( 3＋1) 所以 C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
第四章
三角函数、解三角形
已知三角形三边解三角形 在△ABC 中， 角 A， B， C 所对边的边长分别为 a， b， c， 若 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各角．
[点拨] 可以利用比例关系设字母 k，将 a、b、c 用 k 来表示，
为了使用余弦定理求角创造充分条件．
第四章
三角函数、解三角形