复数、推理与证明、空间向量(教案) 董鹏
全国高中数学教师优秀教案-《归纳推理》(北京程敏)
课题：归纳推理
北京师大二附中程敏
教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教B版）
第二章《推理与证明》第1节
教学目标：
1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一
些简单的推理.
2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.
3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的
钻研精神.
重点与难点：
本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.
教学方式：
本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式. 教学工具：
多媒体、圆纸片、硬币.
教学过程：。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 归纳推理 参考教案3
1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。
那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。
（学生观看flash动画）。
师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。
师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。
师：非常好！（引出推理的概念）。
师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。
那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。
（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。
大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。
师：对。
我们看来这些式子都是简单的加法运算。
但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。
大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。
师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。
师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。
师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。
师：这个结论我们在小学就知道了。
大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。
）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。
生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。
师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。
（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。
高二数学选修2-1_《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(陈菊仙)一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量b a p +=，b a q -=构成空间的另一基底的是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，b a p +=，b a q -=不共线，且在向量a ，b 决定的平面内，而c 不在该平面内，故p ，q ，c 构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则向量OA ，OB ，OC 共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且a AB =，b AD =，c AA =1，若c z b y a x AE ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵AE )(211BB BC AB BE AB ++=+=AB ++=a ++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量b a p +=，c b q +=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以p ，q ，r 为基底，=AB ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】c b a AB ++=)222(21c b a ++=)]()()[(21a c cb b a +++++==++． 【思路点拨】将基底a ，b ，c 转化为基底p ，q ，r 来表示．++ (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量a ，b ，c 是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+B ．2,,2b b a b a -+C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设a ，b 2，c b -共面，则有2b c xa y b -=+⋅， 解得()(12)c x a y b =-+-，与a ，b ，c 不共面矛盾， ∴a ，b 2，c b -不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，r }是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量m ，n 构成空间的另一基底的是（ ） A ．pB ．qC ．rD ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设r 与q p m 2+=，q p n +=2共面， 则有r n y m x +=)2()2(q p y q p x +++=，与r ，p ，q 不共面矛盾，∴r 与q p m 2+=，q p n +=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++)(21AA AD AB ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量AB ，AD ，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB AC ++=．同类训练 若向量21e e a +=，32e e b +=，31e e c +=，32132e e e d ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当c b a d γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e d γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将d 表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，k j b +=，c k i =+，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++． 【思路点拨】先将OA 用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{k j i 是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量b a +的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(k j i -+=)242(k j i ++-+k j i ++=6．【思路点拨】以},,{k j i 为基底来表示向量a ，b ，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{c b a 是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量d 在基底},,{c b a 下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量a ，b ，c 的系数组成的有序实数组就是向量d 的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{c b a 是空间的一个基底，若b a p +=，b a q -=，则（ ） A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设q y p x c +=，即c )()(b a y b a x -++=b y x a y x )()(-++=，与c 与a ，b 不共面矛盾．故c ，p ，q 不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，其中j i a 24+=，k j b 32+=，j k c -=3，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标是 ． 【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】c b a OA 32++=)24(2j i +=)32(k j ++)3(3j k -+k j i 1238++=，故点A 在基底},,{k j i 下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{c b a 下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{k j i 下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．OM ++=B ．MC MB MA +=C ．OC OB OA OM ++=D ．MC MB MA -=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量MA ，MB ，MC 共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，MA 在MB ，MC 确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则MN 的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AN PN AP +=AP +=)(21AC PA AP ++=)(21AD AB ++=，AM =MN AM AN -=+=，故MN 的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若a AB =，b AD =，c AA =1，则BM 可表示为（ ）A c ++B ．c +-C ．c +--D ．c ++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AB AA AD AB -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{x b a ，②},,{z y x ，③},,{z c b ，④},,{c b a y x ++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵b a x +=，∴x 在a ，b 确定的平面内，故},,{x b a 不能作为基底．而},,{z y x ，},,{z c b ，},,{c b a y x ++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21AP AD +-+=AD AB AP AD )](32)21=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将AN 和AM 表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{AD AC AB 为基底，则=GE ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43AB AD BE -==， 又)(31)(2132AC AB AC AB AG +=+⨯=，∴=GE AG AE -AG BE AB -+=)(31)(43AC AB AB AD AB +--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e OA -+=，32123e e e OB ++-=，321e e e OC -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e OD +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{OC OB OA 能作为空间的一个基底．设OC r OB q OA p OD ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴OC OB OA OD 30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，OC OB OA OD 30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(c b a -+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将p 表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 a AB =，b AC =，c AA =1，则=DE （用a ，b ，c 表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE E A DA 11+=)(21111C A B A ++=)(211AA AC AB -++=)(21c b a -++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{c b a ，c b a m 2+-=，c b y a x n ++=，若m 与n 共线， 则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵m 与n 共线，∴n m λ=，即c b y a x ++）c b a 2(+-=λc b a λλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，c AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{c b a 表示以下向量．（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD AC AM +=)2(211AA AD AB ++=b ++=；（3）)(2111AD AC AN +=)]()[(2111AA AD AA AD AB ++++=c b ++=；（4）CQ AC AQ +=)(541AC AA AC -+=+=)(51AD AB ++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，b ，c 表示出来．【答案】（1）)(21c b a ++；（2b ++（3c b ++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若01=+D A EF λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a DA =，b DC =，c DD =1，则)(1c a D A +-=，又])(21[)(21c b a c b DE DF EF ++-+=-=-=，∴EF =，故21-=λ． 【思路点拨】将EF 与D A 1用a ．b ，c 表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，k j i d 523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(k j i +-=λ)23(k j i -++μ)32(k j i -+-+νk j i )32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{k j i 是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{k j i 表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.3 复数的几何意义》54
（1）求它们的模；
（2）求它们的共轭复数及共轭复数的模。
（3）在复平面内，作出表示这些复数（以及它们的共轭复数）的点和向量（每个小正方形的边长为1）．
0
『小结』通过计算或观察图形，你能归纳出哪些一般性的结论？
四、合作探究
设 ，满足下列条件的点 的集合是什么图形？
（1）的实部等于2；
2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序。、更有效。
3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情。
教
学
过
程
教学进程
设计意图
一、定向导学
问题1：复数的一般式是什么？
生答：
问题2：能否用或 表示？
问题3：如果让这3个式子都表示同一个复数，你能得到什么样的结论？即
生答： 即实部与虚部分别相等。
问题4：表示一个确定的复数，实部与虚部的位置能否互换？
师总结：一个复数都被一对有序实数（a,b）所唯一确定。引出本节课题。
分小组回答问题，最后一组总结结论。
总结：复数的几何意义
复数abi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量 （复数的向量形式）以O为始点的向量。
三者的关系如下：
三、自主学习二
读书回答黑板问题：
复数的模（或绝对值）
复数=abia、b∈R对应的向量为,则的长度叫做复数Z的模,记作或
= =
共轭复数：
高中数学 3.1.4空间向量及其运算第4课时教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案
§空间向量的正交分解及坐标表示[学情分析]：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的X围已由平面扩大到空间学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。
[教学目标]：〔1〕知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面〔2〕过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理〔3〕情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解[教学重点]：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用[教学难点]：空间向量的分解[课前准备]：课件p ，存在一个唯一的有序实数组，使y a x p +=由此定理， 假设三向量那么空间的任一向量都可由p ，存在一个),,z y x ，使),z y是不共面的四点，OP xOA yOB zOC =++例1． 如图，空间四边形OABC 线,OB AC ，,M N 分别是对边中点，点G 在线段MN 上，且MG ,,OA OB OC 表示向量OG解：OG OM MG =+2312()231211[()]2322111()233111633OM MNOA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+=+-=++-=++-=++ ∴111633OG OA OB OC =++四．练习巩固1、如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM解：OC OB OA OD ++=/OC OB OA OM 313131++=课本P102 练习1、2、3五．拓展与提高1．设A 、B 、C 、D 是空间任意四个点，令u＝AD BC +，v ＝AB CD +，w ＝充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法初步、推理与证明 第一节 数系的扩充与复
典例2 (1)若复数z满足z+z·i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2016北京,9,5分)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于
实轴上,则a=
.
答案 (1)A (2)-1
解析
(1)z= 2 3i
1 i
(iv)除法: zz12 = ac
bi di
(a
= (c
bi)(c di)(c
di) di)
=
ac bd bc ad
c2 d 2 + c2 d 2 i (c+di≠0).
Hale Waihona Puke (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=
(1 i)(1
i) i)
=- 12 + 12 i,对应B 的点为 12
,
1 2
,在第二象限.故选B.
考点三 复数的代数运算
典例3 (1)i为虚数单位,复数 2i = ( )
1 i
A.1-i B.-1-i C.-1+i D.1+i
(2)若z=1+2i,则 4i = ( )
=i+1,故选D.
(2)∵z z =(1+2i)(1-2i)=5,∴ 4i = 4i =i,故选C.
zz 1 4
(3) 2 3i = (2 3i)(1 i) = 1 5i =- 1 + 5 i. 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
方法技巧 (1)复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分 子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. (2)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度.
北师大版高中数学选修2-1教案：2.3.2空间向量基本定理
北师大版高中数学选修2-1教案：2.3.2空间向量基本定理单元（章节）课题北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何本节课题§3.2空间向量基本定理课标要求了解空间向量的基本定理及其意义三维目标知识与技能：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
过程与方法：、培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
情感态度与价值观：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，引起学生极大的学习兴趣，加强数学与生活实践的联系。
学情分析对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展，推广到空间向量的基本定理。
教学重难点教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。
灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系C 1B 1A 1ABC OPD教师教与学生学设计意图新课学习问题探究一 空间向量的基底基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？ 问题探究二 用基底表示向量讲解教材35页例3[来源:1][来源:学_科_网]例2、在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。
我们研究一下怎么表OC1所在直线的位置关系。
解：由例1得：AQ=51(b+a)+54c，1OC=OC+1CC=21AC+1AA=21（b+a）+c则AQ和1OC与（b+a）和c共面，又AQ≠λ1OC，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。
追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？[来源:]示。
（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e、2e是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a都可以表示为a=λ11e+λ22e，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》3
用”这个问题的办法
问题二：复数分类
学生认真思考、 利用图形将复 交流，积极回答 数归类 问题，学生自己
经历讨论过程
增加学生学 习兴趣，增 加对复数概
念，复数分
思考 2：两个数的完全平方公式与三数和的平方公 式，在公式结构上有什么共性吗？
类的理解、 记忆和应
总结复数分类标 用。
各小组展示各组讨论结果，教师点拨指导。
课程教学设计
课题名称
复数的概念
授课年级
高二
授课时间
2021 年 6 月 14 日
授课人
宋爽
教材
人教 B 版 2021 课标版
教
复数的引入过程，复数概念的知识
学
内
容
学
在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各
种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成 情
发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另
分
一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思
析
维习惯。
教
掌握复数的概念和复数的代数表形式；
学
会进行复数的分类及判断复数相等；
目
培养学生的抽象概括能力和运算求解能力。
标
教学重点 引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件
教学难点
含虚数单位 i 的引进和复数的概念
反
思
何解决这些矛盾的呢？
充过程
知识入手，引
入课题
——添加新数，扩充数系，回 通过问题串的
（1）以前做过的题中为什么都会是“求方程的 答问题 实数解”？
（2）实数系还能扩充吗？
形式使学生经 历复数的概念 的产生过程
【精品学习】高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2_2
演绎推理一、教学目标 1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理； (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。
二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？ ②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则） 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入：（小前提）是二次函数函数12++=x x y（二）、新课探析 1.概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提） S —M （S 是M ） （小前提） S —P （S 是P ）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2.例题探析：21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。
全国通用近年高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数第1节合情推理与演绎推理学案理新人教B
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第1节合情推理与演绎推理最新考纲 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2。
了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3。
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1。
合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致）性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同）的性质的推理由特殊到特殊2。
演绎推理（1) 定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理。
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）“三段论"是演绎推理的一般模式,包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
诊断自测1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”)（1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ）(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.（)（3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )解析(1)类比推理的结论不一定正确。
高中数学第一章推理与证明章节复习教案北师大版选修2-2(2021学年)
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第一章推理与证明一、教学目标1、了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程与特点。
３、了解间接证明的一种基本方法—-反证法;了解反证法的思考过程与特点。
４、了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点:１、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点:数学归纳法三、教学方法：探析归纳,讲练结合四、教学过程（一)知识结构推理与证明A 本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程,它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程,要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。
(二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。
例2、分别用分析法和综合法证明:在△AＢC中,如果AB=ＡＣ，ＢE,CF分别是三角形的高线,BE 与CＦ相交于点M,那么，MB=MC。
2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第5节空间向量的运算及应用教师用书教案理新人教版
学习资料2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第5节空间向量的运算及应用教师用书教案理新人教版班级：科目：空间向量的运算及应用［考试要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2。
掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
3。
掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
4.理解直线的方向向量及平面的法向量。
5。
能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量（或平行向表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量量)共面向量平行于同一个平面的向量(1）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a＝λb.（2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y)，使p＝x a＋y b。
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面,那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c｝叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a｜｜b｜cos〈a，b〉．（2)空间向量数量积的运算律:①结合律：（λa)·b＝λ（a·b);②交换律:a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3）．向量表示坐标表示数量积a·b a1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb（b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2,a3＝λb3垂直a·b＝0（a≠0,b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模|a|错误!夹角〈a，b〉(a≠0,b≠0) cos<a,b〉＝错误!位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n,m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝01．对空间任一点O，若错误!＝x错误!＋y错误!(x＋y＝1),则P，A，B三点共线．2．对空间任一点O，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!（x＋y＋z＝1），则P，A,B，C四点共面．3．平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为错误!一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×"）（1）空间中任意两非零向量a，b共面．（)(2）若A，B，C，D是空间任意四点,则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0。
高中数学 二 推理与证明、复数学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案
二推理与证明、复数1.推理2.证明（1）直接证明综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止实质由因导果执果索因框图 表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件文字 语言 因为……所以…… 或由……得……要证……只需证……即证……（2）间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.3.复数（1）复数的概念形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部.若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数.（2）复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d （a ，b ，c ，d ∈R ）. （3）共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d ∈R ）. （4）复数的模向量OZ →的模r （r ≥0，r ∈R ）叫做复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.（5）复数运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），则①加法：z 1＋z 2＝（a ＋b i ）＋（c ＋d i ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； ②减法：z 1－z 2＝（a ＋b i ）－（c ＋d i ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ； ③乘法：z 1z 2＝（a ＋b i ）（c ＋d i ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i （c ＋d i ≠0）.1.演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.4.z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.主题1 合情推理的应用（1）观察下列结论：|x |＋|y |＝1的不同整数解（x ，y ）的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解（x ，y ）的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解（x ，y ）的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解（x ，y ）的个数为（ ）A.76B.80C.86D.92（2）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即V ＝kd 3（k >0）.与此类似，我们可以得到：①正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即V ＝ma 3（m >0）；②正方体的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即V ＝na 3（n >0）；③正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即V ＝ta 3（t >0）.那么m ∶n ∶t ＝（ ） A.1∶62∶4 B.2∶12∶16 C.212∶1∶ 2 D.2∶6∶4 2【解析】 （1）由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.（2）正四面体的体积V ＝13×34a 2×63a ＝212a 3，正方体的体积V ＝a 3，正八面体的体积V ＝2×13a 2×22a ＝23a 3，所以m ∶n ∶t ＝1∶62∶4.【答案】 （1）B （2）A（1）归纳推理的特点及一般步骤（2）类比推理的特点及一般步骤1.观察下列一组等式1＋2＋3＋…＋n ＝12n （n ＋1）1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＝13n （n ＋1）（n ＋2）1×2×3＋2×3×4＋…＋n （n ＋1）（n ＋2）＝14n （n ＋1）·（n ＋2）（n ＋3）.猜想：1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n （n ＋1）（n ＋2）·（n ＋3）＝ Ｗ.解析：归纳可得此式是15与n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）（n ＋4）的积.答案：15n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）（n ＋4）2.已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b （m ≠n ，m ，n ∈N *），则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知数列{b n }（b n >0，n ∈N *）为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b （m ≠n ，m ，n ∈N *），若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝ .解析：在等差数列{a n }中，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＋n ＝a m ＋nd ＝a ＋nd ，a m ＋n＝a n ＋md ＝b ＋md ，所以a m ＋n ＝bn －amn －m .在等比数列{b n }中，设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧b m ＋n ＝b m ·q n＝a ·q n，b m ＋n ＝b n ·q m ＝b ·q m， 所以b m ＋n ＝n －mb na m.答案：n －mb n a m主题2 直接证明与间接证明设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.试用综合法和分析法分别证明.【证明】 法一：（综合法） 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， 所以1＝a ＋b ≥2ab . 所以ab ≤12，ab ≤14，所以1ab≥4.又1a ＋1b＝（a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8（当且仅当a ＝b ＝12时等号成立）.法二：（分析法）因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2， 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立.（1）综合法和分析法的特点①综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式；②分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.（2）反证法的证明思路反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论依据是p 与綈p 真假性相反，通过证明綈p 为假命题说明p 为真命题，证明过程中必须出现矛盾，反证法反映了“正难则反”的证题思想.它与利用逆否命题的等价性证明原命题不同，利用逆否命题证明的理论依据是“p ⇒q ”与“綈q ⇒綈p ”是等价的，若证明“綈q ⇒綈p ”为真即可推得“p ⇒q ”为真证明过程不出现矛盾.用分析法证明2cos （α－β）－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α.证明：要证原等式成立，只需证：2cos （α－β）sin α－sin （2α－β）＝sin β.① 因为①式左边＝2cos （α－β）sin α－sin[（α－β）＋α]＝2cos （α－β）sin α－sin （α－β）cos α－cos （α－β）sin α ＝cos （α－β）sin α－sin （α－β）cos α ＝sin β＝右边， 所以①式成立， 即原等式成立. 主题3 数学归纳法设a >0，f （x ）＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f （a n ），n ∈N *. （1）写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.【解】 （1）因为a 1＝1，所以a 2＝f （a 1）＝f （1）＝a 1＋a ，a 3＝f （a 2）＝a2＋a ，a 4＝f （a 3）＝a3＋a.猜想a n ＝an －1＋a（n ∈N *）.（2）证明：①当n ＝1时，a 1＝a a＝1，猜想正确. ②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时猜想正确， 即a k ＝ak －1＋a，则a k ＋1＝f （a k ）＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a k －1＋a a ＋a k －1＋a＝a k －1＋a ＋1＝a（k ＋1）－1＋a，所以n ＝k ＋1时猜想正确.由①②，知对于任何n ∈N *，都有a n ＝an －1＋a.（1）用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少.（2）由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·（n －1）＋3·（n －2）＋…＋（n －2）·3＋（n －1）·2＋n ·1＝16n （n ＋1）（n ＋2）.证明：（1）当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立.（2）假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论成立，即1·k ＋2· （k －1）＋3·（k －2）＋…＋（k －2）·3＋（k －1）·2＋k ·1＝16k （k＋1）（k ＋2）.当n ＝k ＋1时，则1·（k ＋1）＋2·k ＋3·（k －1）＋…＋（k －1）·3＋k ·2＋（k ＋1）·1＝1·k ＋2·（k －1）＋…＋（k －1）·2＋k ·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋（k ＋1）] ＝16k （k ＋1）（k ＋2）＋12（k ＋1）（k ＋2） ＝16（k ＋1）（k ＋2）（k ＋3），即当n ＝k ＋1时结论也成立.综上所述，可知结论对一切n ∈N *都成立. 主题4 复数（1）已知（1－i ）2z＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z ＝（ ）A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i（2）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，（z －z －）i ＝2（i 为虚数单位），则z ＝（ ） A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i【解析】 （1）由（1－i ）2z＝1＋i ，得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1－i ，故选B.（2）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i.由z ＋z －＝2，可得a ＝1.由（z －z －）i ＝2，得b ＝－1，所以z ＝1－i.【答案】 （1）B （2）D利用复数的四则运算求复数的一般思路（1）复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算.（2）复数的除法运算：主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.1.已知i 是虚数单位，若（m ＋i ）2＝3－4i ，则实数m 的值为（ ）A.－2B.±2C.± 2D.2解析：选A.（m ＋i ）2＝（m 2－1）＋2m i ＝3－4i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝3，2m ＝－4，解得m ＝－2，故选A.2.“复数z ＝3－a ii在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.z ＝3－a i i ＝3i －a ＝－a －3i 在复平面内对应的点在第三象限，则a >0，可以判断“a >0”是“a ≥0”的充分不必要条件.3.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝ .解析：依题意，y ＝4i （x ＋i ）－2x i ＝4i 2＋2x i ＝－4＋（1－i ）2i 1＋i＝－4＋2＋2i1＋i ＝－4＋2＝－2.答案：－2[A 基础达标]1.若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.2B.－12C.15D.－25解析：选A.因为a ＋i 1－2i ＝（a ＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋（2a ＋1）i5是纯虚数，所以a ＝2.2.已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝z 1z 2在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 D.因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝12＋32i －12＋32i ＝1＋3i －1＋3i＝（1＋3i ）（－1－3i ）（－1＋3i ）（－1－3i ）＝12－32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，在第四象限.故选D.3.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，如此反复操作，则第2 018次操作后得到的数是（ ）A.25B.250C.55D.133解析：选C.由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，……，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数，即55，故选C.4.已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1（n ∈N *）及其证明：（1）当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立； （2）假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式也成立.由（1）（2），知对任意的正整数n 等式都成立. 则以下说法正确的是（ ） A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确解析：选B.命题正确，但证明n ＝k ＋1时没有用到假设的结论，故推理不正确. 5.对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3解析：选B.若（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确.a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.6.已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝ .解析：由m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i2，由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12.答案：127.在平面几何中：△ABC 中∠C 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中（如图），DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是 Ｗ.解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD8.观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2， S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，…可以推测，A －B ＝ .解析：由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又S k 的各项系数的和为1，所以A ＋12＋512＋B ＝1，所以B ＝－112.故A －B ＝16＋112＝14. 答案：149.已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |， 即证（x ＋y ）2≤（1＋xy ）2， 即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2， 即证（x 2－1）（1－y 2）≤0， 因为|x |≤1，|y |≤1， 所以x 2－1≤0，1－y 2≥0，所以（x 2－1）（1－y 2）≤0，不等式得证. 10.设f （x ）＝a x ＋a －x2，g （x ）＝a x －a －x2（其中a >0，且a ≠1）.（1）5＝2＋3，请你推测g （5）能否用f （2），f （3），g （2），g （3）来表示； （2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 解：（1）由f （3）g （2）＋g （3）f （2）＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g （5）＝a 5－a －52，因此g （5）＝f （3）g （2）＋g （3）f （2）. （2）由g （5）＝f （3）g （2）＋g （3）f （2）， 即g （2＋3）＝f （3）g （2）＋g （3）f （2）， 于是推测g （x ＋y ）＝f （x ）g （y ）＋g （x ）f （y ）. 证明：因为f （x ）＝a x ＋a －x2，g （x ）＝a x －a －x2（大前提）.所以g （x ＋y ）＝a x ＋y －a －（x ＋y ）2，g （y ）＝a y －a －y2，f （y ）＝a y ＋a －y2，（小前提及结论）所以f （x ）g （y ）＋g （x ）f （y ） ＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －（x ＋y ）2＝g （x ＋y ）.故推测正确.[B 能力提升]11.定义：如果函数y ＝f （x ）在定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0（a <x 0<b ），满足f （x 0）＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，例如y ＝x 2是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f （x ）＝x 3＋mx 是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 .解析：由f （x ）＝x 3＋mx 是[－1，1]上的平均值函数，知关于x 的方程x 3＋mx ＝f （1）－f （－1）1－（－1）在区间（－1，1）上有解，即方程x 3＋mx －m －1＝0在区间（－1，1）上有解，就是方程m ＝－x 2－x －1在区间（－1，1）上有解.因为当x ∈（－1，1）时，－x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－34，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－3，－34. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－3，－3412.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：（1）b 2 016是数列{a n }中的第 项； （2）b 2k －1＝ （用k 表示）. 解析：观察知这些三角形数满足a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，当n ＝5k －1或n ＝5k ，k ∈N*时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2 016是第1 008组的后面一项，即b 2 016是数列{a n }中的第5×1 008＝5 040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5k （5k －1）2.答案：（1）5 040 （2）5k （5k －1）213.设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. （1）证明：l 1与l 2相交；（2）证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上. 证明：（1）假设直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，由直线l 1与l 2的方程可知实数k 1，k 2分别为两直线的斜率，则有k 1＝k 2， 代入k 1k 2＋2＝0，消去k 1，得k 22＋2＝0，k 2无实数解，这与已知k 2为实数矛盾， 所以k 1≠k 2，即l 1与l 2相交.（2）法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1y ＝k 2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1，故l 1与l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1. 而2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即表明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上.法二：l 1与l 2的交点P 的坐标（x ，y ）满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0， 得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1， 所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上. 14.（选做题）观察下列各不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， 1＋122＋132＋142＋152<95， …（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n （n ≥2）有关的一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到的结论.解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n 有关的一般不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1n2<2n －1n（n ∈N *，且n ≥2）. （2）证明：①当n ＝2时，由题设可知，不等式显然成立. ②假设当n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，不等式成立，即 1＋122＋132＋142＋…＋1k 2<2k －1k ， 那么，当n ＝k ＋1时，有1＋122＋132＋142＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2k －1k ＋1（k ＋1）2<2k －1k ＋1k （k ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝2－1k ＋1＝2（k ＋1）－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何n ∈N *且n ≥2都成立.。
北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教(学)案
教案北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案云刚北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案宜君县高级中学 云刚第一课时 归纳推理教学目标：1、通过对已学知识的回忆，进一步体会合情推理这种根本的分析问题法，认识归纳推理的根本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进展简单的推理。
教学难点：用归纳进展推理，做出猜测。
教学过程：一、课堂引入：从一个或几个命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，答复几个推理各有什么特点？都是由“前提〞和“结论〞两局部组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、三角形的角和是180︒，凸四边形的角和是360︒，凸五边形的角和是540︒ 由此我们猜测：凸边形的角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜测：a a mb b m+<+〔,,a b m 均为正实数〕这种由某类事物的局部对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进展观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜测；三、例题讲解：例1数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。
数学：3.1《空间向量》教案(1)(沪教版高二下)
3.1空间向量上海市华东模范中学王相成一、教学内容分析向量是高中数学的基本内容.它是研究解析几何与立体几何重要工具，也是将来研究力学、电学等现代科学技术的有力工具.空间向量的引入，可以实现空间结构的代数化，对于处理立体几何问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量的运算，使得空间位置问题的解决变得可计算化，数形结合，有利于克服空间想象力的障碍，提高学生运用数学知识分析解决问题的能力.本节课是空间向量第一节课，知识技能上的重点是把平面向量的有关概念及运算推广到空间，并理解其意义，掌握空间向量的线性运算和数量积.例1是在正六面体中寻找与已知向量相等、平行的向量，巩固空间向量的概念；例2要求读者根据自己的理解，从平面向量的线性运算率类比得到空间向量的运算率，例3是对上述知识的巩固，引申出空间向量平行的判定法则；例4则是对空间向量的模、夹角、内积等概念、运算的综合考察，要求读者能够根据平面向量的概念自行类比寻找求解方法.本节课在能力上着重培养学生类比和推广的能力，领悟类比的数学思想方法.为后面学习打好基础.二、教学目标设计1、理解空间向量的概念;2、掌握空间向量的线性运算与内积运算.三、教学重点及难点重点：理解空间向量的概念. 难点：掌握空间向量的运算. 四、教学用具准备 三角尺五、教学流程设计六、教学过程设计 （一）问题引入 1、 复习：平面中向量是如何定义的？2、思考：能否把平面向量的概念拓展到空间？如果可以，概念是怎样的. （二）学习新课 1、空间向量的概念 表格形式呈现：例题讲解例1 在正六棱柱''''''F E D C B A ABCDEF -中，指出 （1）与→AB 相等的向量; （2）→'AA 的负向量; （3）与→BC 平行的向量.[说明] 小结空间向量基本概念，启发学生运用类比的思想思考空间向量的加减法运算法则. 2、空间向量的运算 例2（教材P39 例题2）[说明] 空间向量的加减法则与平面向量一致. 巩固练习： 教材P39 例题3将问题改为：（1）试用向量→→→,,,AA AD AB 表示向量→→NM N D ,'；（2）判断→→NM N D ,'位置关系.[说明]将原问题分步，使得每一位学生都能够从容解答，巩固新知. 并类比推导出空间向量平行判定法则. 3、空间向量的内积运算 例3（教材P40 例题4）[说明]教师不作任何引导，让学生通过平面的概念自行寻找方法求解. 4、课堂小结空间向量与平面向量概念一脉相承，运算法则相同，我们研究空间向量问题，完全可以借助平面向量中的解题方法来类比解决.5、课堂练习教材P41练习3.16、布置作业：见练习册七、教学设计说明1、通过平面向量概念类比引入空间向量，在复习旧知识的同时激发学生自主探索的兴趣和信心2、教师在课堂上主要以启发引导为主，鼓励学生通过类比的方法自主研究空间向量的运算法则.3、对学生练习中的遇到障碍，通过回忆在平面向量中的解法启发学生，旨在让学生能将平面向量与空间向量两部分概念有机的联系起来，通过对平面向量中双基知识的掌握类比到空间向量中去.。
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复数、推理与证明、空间向量一、复数1、（17年文、理科第2题）已知复数z 满足 ，其中i 是虚数单位，则为 答案：222、（16年文、理第3题）已知复数为纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值是 ． 答案：23、（15年理科第3题）已知、， (i 为虚数单位)，则的值为 ． 答案：44、（14年理、文科第2题）已知复数(43i)i z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ． 答案：55、（13年理科第3题）已知a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 答案：46、（13年文科第3题）设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ ． 答案：57、（17年文、理科15题） 已知复数，是虚数单位， （1）若是纯虚数，求的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面内上对于的点在第一象限，求的取值范围是Z 1+i ()=i Z a +2i1-ii a a b ÎR a +bi =1+2i ()1-i ()a +b Z =2+4mi1-ii m ÎR ()Z m Z Z Z +2Z m解（1）z ＝2＋4m i 1－i ＝(2＋4m i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－2m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 3分 因为z 是纯虚数，所以1－2m ＝0且2m ＋1≠0，解得m ＝12． …………………… 6分 （2）因为—z 是z 的共轭复数，所以—z ＝1－2m －(2m ＋1)i ． ……………………8分所以—z ＋2z ＝1－2m －(2m ＋1)i ＋2[1－2m ＋(2m ＋1)i]＝3－6m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 10分因为复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎨⎧3－6m ＞0，2m ＋1＞0，…………………… 12分 解得－12＜m ＜12，即实数m 的取值范围为(－12，12)． …………………… 14分 8、（17年文科16题）已知复数，复数，其中是虚数单位，、为实数（1）若，求的值； （2）若求、的值解：（1） 当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ，所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， ………………4分 所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝5． ………………6分 （2）若z 1＝(z 2)2，则m －2i ＝(1－n i)2，所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ， ……………10分所以⎩⎨⎧m ＝1－n 2，－2＝－2n ， ………………12分 解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1．………………14分 9、（15年理科15题）已知，设复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限:复数（1）当为真命题时，求的取值范围；Z 1=m -2i Z 2=1-ni i m n m =1,n =-1Z 1+Z 2Z 1=Z2()2m n m ÎR p :Z 1=m -1()+m +3()i i q :Z 2=1+m -2()i p m（2）若命题“且”为假命题，“或”为真命题，求m 的取值范围解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分 （2）由q 为真命题，即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10，所以12＋(m －2)2≤10，解得－1≤m ≤5． ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题得⎩⎨⎧p 为真命题，q 为假命题，或 ⎩⎨⎧p 为假命题，q 为真命题． 所以⎩⎨⎧－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或⎩⎨⎧m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5．所以m 的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]． ……………… 8分二、推理与证明1、（16年文、理9）观察下列等式： (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3； (sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4； (sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5； …… 依此规律，当n ∈N *时，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π 2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝ ▲ ．答案：4n (n ＋1)3 2、（16年理科16题）已知数列满足 （1）求（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明p q p q a n {}a 1=1,a n -3()a n +1-a n +4=0,n ÎN +()a 2,a 3,a 4a n {}解：（1）令n ＝1，－2a 2＋3＝0，a 2＝32， ………………1分令n ＝2，－32a 3－32＋4＝0，a 3＝53， ………………2分 令n ＝3，－43a 4－53＋4＝0，a 4＝74． ………………3分 （2）猜想a n ＝2n －1n (n ∈N *)． ………………5分 证明：当n ＝1时，a 1＝1＝2－11，所以a n ＝2n －1n 成立， ……………… 6分 假设当n ＝k 时，a n ＝2n －1n 成立，即a k ＝2k －1k ， ………………8分 则(a k －3)a k ＋1－a k ＋4＝0，即(2k －1k －3)a k ＋1－2k －1k ＋4＝0，所以k +1k a k ＋1＝2k +1k ，即a k ＋1＝2k +1k +1＝2(k +1)－1k +1，所以当n ＝k ＋1时，结论a n ＝2n －1n 成立. ………………12分 综上，对任意的n ∈N *，a n ＝2n －1n 成立. ………………14分三、空间向量1、（17年理科第9题）如图，在三棱锥中，是侧棱的中点，且，则的值为______．答案：02、（15年理科第8题）如图，已知四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点，则______．答案：14P -ABC M PC x +y +z =ABCD -A 1B 1C 1D 1ABCD AB =4AA 1=3E C 1D 1 C ABD A 1B 1C 1D 1E（第8题图）MCBPA3、（17年理科16题） 如图，在正方体中，点分别是棱的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2） 设二面角的大小为，求的值答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，进而通过计算即可得解；（2）计算得平面DBG 和平面ABD 的法向量n 1和n 2，通过计算cos ＜n 1，n 2＞即可得解. 试题解析： 如图，以{，，}为正交基底建立坐标系D —xyz ．设正方体的边长为2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)， B (2，2，0)，E (1，2，0)，F (2，1，2)，G (1，2，2)． （1）因为＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，＝ (1，2，2)， 所以·＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，ABCD -A 1B 1C 1D 1E ,F ,G BC ,A 1B 1,B 1C 1EF DG A -BD -G q cos q||＝＝，||＝3．从而cos＜，＞＝＝＝，即向量与的夹角的余弦为，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为．（2）＝(2，2，0)，＝(1，2，2)．设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．由题意，得取x＝2，可得y＝－2，z＝1．所以n1＝(2，－2，1)．又平面ABD的一个法向量n2＝＝(0，0，2)，所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．因此|cosθ|＝．点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；4、（15年理科17题）在长方体中，分别是的中点（1）若，求的值；（2）若，求二面角的余弦值解如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系．（1）由题意得A(2，0，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，F(0，1，0)．ABCD-A1B1C1D1AB=AD=2,AA1=a,E,FAD,CDAC1^D1F aa=2E-FD1-DA BCDC1B1A1D1E F（第17题图）CDC1BA1D1E Fzy故→AC 1＝(－2，2，a )，→D 1F ＝(0，1，－a )． …… 2分因为AC 1⊥D 1F ，所以→AC 1·→D 1F ＝0，即(－2，2，a )·(0，1，－a )＝0． 从而2－a 2＝0，又a ＞0，故a ＝2． ……………… 5分 （2）平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为E (1，0，0)，a ＝2，故→EF ＝(－1，1，0)，→D 1F ＝(0，1，－2)． 由n ⊥→EF ，n ⊥→D 1F ，得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0，解得x ＝y ＝2z ．故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2，2，1)． ……………… 8分因为cos<m ，n >＝m ·n |m |·|n |＝(1，0，0)·(2，2，1)1×3＝23，且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角，所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为23． ……………… 10分 5、（14年理科17题）(本小题满分10分)在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是11A B ，CD ，1B C 的中点．(1)求直线EG 与直线AF 所成角的余弦值； (2)求二面角1D AF D --的余弦值．。