41整数的一些整除性质
41整数的一些整除性质
第4章 多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设,a b 是两个整数。
如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被a 整除，记作|ab ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。
如果对任意整数q ，都有b aq ≠,则称a 不整除，记作|ab 。
注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。
例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
二．整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若|,|,a b b c ,则|a c 。
2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。
3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。
4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有1122|()n n a b c b c b c +++ 。
* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。
6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。
6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。
将b ac =代入a bd =，有()()a bd ac d a cd ===。
若0a =，则0b ac a ===；若0a ≠，则由消去律得1ad =，因此1c d ==±，于是|b a ±。
例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。
整除的性质
数的整除判定性质表数的整除性质1.如果数a能被b整除，数b能被c整除，则a能被c整除。
（72能被9整除，9能被3整除，则72能被3整除。
）2.如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。
（56能被8整除，16能被8整除，则56+16=72能被8整除。
）3.如果数a能被c整除，m为任意整数，则a*m能被c整除。
（39能被13整除，所以39*15能被13整除。
）4.如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和c互质，则数a能被b*c整除。
（162能被2整除，也能被9整除（1+6+2=9），且2和9互为质数，所以162能被2*9=18整除。
）最大公约数与最小公倍数最大公约数：如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a、b的公约数。
一般来说，公约数不止一个，我们把其中最大的一个称作最大公约数。
互质：如果两个数的最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c为a和b的公倍数。
两个数的公倍数有很多，我们把最小的那个称为这两个数的最小公倍数。
练习题1. 判断123456789这九位数能否被11整除？判断13574是否是11的倍数？判断1059282是否是7的倍数？判断3546725能否被13整除？2.已知451993x y 。
求所有满足条件的六位数1993x y 。
3.李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。
已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？4.已知整数12345a a a a a 能被11整除。
求所有满足这个条件的整数。
5.把三位数3ab 接连重复地写下去，共写1993个3ab ，所得的数19933333abab abab 个恰是91的倍数。
试求ab =？6.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
7.求能被26整除的六位数1991x y 。
x y，求满足条件的五位数。
高等代学1.4整数的一些整除性质PPT1
定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数 与b的乘积， 的乘积， 那么它至少整除a 中的一个. 那么它至少整除 与b中的一个 中的一个 是一个素数， 不整除a 证 设p是一个素数， 如果 | ab，但p 不整除 ， 是一个素数 如果p ， 由素数的性质2， 必有(p, 由素数的性质 ， 必有 a)=1. 于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 于是由定理 ， 两边同乘以b 两边同乘以 ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除； 又因为p 左边的第一项自然能被 整除；又因为 | ab， 整除 ， 所以左边第二项也能被p整除 所以左边第二项也能被 整除. 整除 整除左边两项的和，从而p 于是p整除左边两项的和，从而 | b.
① ②
d | ai , i = 1,2,⋯, n
如果c ∈Z且c | ai , i =1,2,⋯, n, 那么c | d.
定理1.4.2 任意 n(n ≥ 2)个整数 a1, a2 ,⋯, an 都有最 定理 大公因数. 如果d是 大公因数 如果 是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因 也是一个最大公因数； 数，那么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,⋯, an的 两个最大公因数至多只相差一个符号. 两个最大公因数至多只相差一个符号 由最大公因数的定义和整除的基本性质， 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，显然最 后一个论断是成立的. 后一个论断是成立的 如果 a1 = a2 = ⋯= an = 0 . 显然0就是 的最大公因数. 显然 就是 a1, a2 ,⋯, an 的最大公因数 不全为零. 设 a1, a2 ,⋯, an 不全为零 考虑Z 的子集
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。
例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。
我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。
由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。
例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。
共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
常见整数的整除规律
常见整数的整除规律（1）被“1”整除：任何数都能被1整除。
（2）被“2”整除：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
即偶数（3）被“3”整除：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）被“4”整除：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
（5）被“5”整除：个位上是0或5的数都能被5整除。
（6）被“6”整除：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
（7）被“7”整除：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
（8）被“8”整除：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
（9）被“9”整除：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
（10）被“10”整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除（11）被“11”整除：a.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
b.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）被“12”整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
组合判。
（13）被“13”整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）被“17”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
b.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（15)被“19”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
整数的整除特征
整数的整除特征1. 尾系的整除特征12、5：末一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0和5的数能被5整除;24、25：末两位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、能被25整除;38、125：末三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、能被125整除;推而广之,末n位能被2n、5n整除;2. 和系的整除特征：从末位右→首位左13、9：一位一截,各位的数字和能被3或9整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27,能被3或9整除；还可以采用更方便的弃39法,如1,3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7都是3的倍数可以弃去,和是0,所以1可以被3整除;采用弃9法,弃去1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9,和是0,所以1可以被9整除;211、33、99：两位一截,数段和能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66,66÷11＝6,66÷33＝2,66÷99＝0 ┅ 99,所以260535能被11和33整除,但不能被99整除；3. 差系的整除特征：从末位右→首位左111：奇偶位差法：一位一截,奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除;如110220→奇数段0＋2＋1＝3,偶数段2＋0＋1＝3,3－3＝0,0能被11整除,所以110220能被11整除;27、11、13：三位一截,这个的位上的与位上的数字之和的差能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876,奇数段的和是876＋1＝877,偶数段是121,它们的差是877－121＝756,用这个差除以7、11、13：756÷7=108,756÷11=68....8,756÷13=58...2,所以1121876能被7整除,1121876除以11余8,1121876除以13余2;是11的;注意：如果出现不够减的情况,则奇数位加上7、11、13或它们的倍数后再减;如654333→654┆333,差654－333＝321不够减,333可以加上11的30倍再减,333＋330－654＝9,即余数是9;如果用奇偶位差法,奇数位的和是3＋3＋5＝11,偶数位的和是6＋4＋3＝13,11减13不够减,这时奇数位的和加上11再减偶数位的和：11＋11－13＝9,即余数是9;。
数的整除性与最大公约数知识点总结
数的整除性与最大公约数知识点总结在数学中，数的整除性与最大公约数是一个重要的概念。
了解和掌握这些知识点对于学习和解决数学问题至关重要。
本文将对数的整除性和最大公约数进行总结和讲解。
一、数的整除性数的整除性是指一个数能够被另一个数整除。
在数学中，我们常用符号“|”来表示整除。
例如，如果一个整数 a 能够被一个整数 b 整除，我们可以写作 a | b。
下面是数的整除性的一些基本性质：1. 如果 a | b 且 b | c，则 a | c。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差、积和商。
2. 如果 a | b 且 a | c，则 a | (xb + yc)。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的任意整数线性组合。
3. 如果 a | b，则 -a | b。
这意味着如果一个数能整除另一个数，那么它的负数也能整除同样的数。
4. 0 | a，其中 a 是任意整数。
这意味着 0 能整除任意整数。
但要注意，0 不能被任何数整除，因为除以 0 是没有意义的。
二、最大公约数最大公约数，简称为最大公因数，是指两个或者多个数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
最大公约数有多种求解方法，下面简单介绍两种常用的方法：1. 穷举法：列举出两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数中的最大值。
这种方法适用于较小的数。
例如，求解 24 和 36 的最大公约数，列举它们的因数如下：24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
我们发现它们的公共因数有 1、2、3、4、6 和 12，其中最大的是12，因此最大公约数是 12。
2. 辗转相除法：辗转相除法是一种快速求解最大公约数的方法。
它的基本思想是利用两个数的除法运算，将较大数除以较小数，然后再将余数除以除数，一直重复这个过程，直到余数为 0。
最后一个非零余数即为最大公约数。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中的一个重要概念，它描述了一个数能否被另一个数整除。
在这篇文章中，我们将讨论整数除法的基本原理，并探讨一些与整除性质相关的重要概念和性质。
1. 整数除法的基本原理整数除法是指将一个整数（被除数）除以另一个整数（除数），得到的商也是整数的运算过程。
在整数除法中，如果被除数能够被除数整除，那么我们说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例如，当10除以2时，10能够被2整除，所以2是10的因数，10是2的倍数。
2. 整除与余数在整数除法中，有两个重要的概念，即整除和余数。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们称它们之间存在整除关系。
例如，12能够被3整除，所以3整除12。
而当一个整数不能被另一个整数整除时，我们说它们之间不存在整除关系。
例如，13不能被5整除，所以5不能整除13。
除了整除关系，整数除法还有一个关联的概念，即余数。
余数是指在整数除法中，被除数除以除数后所得到的剩余数。
例如，当17除以5时，17除以5的商是3余2，即17 = 3 * 5 + 2。
3. 整除性质与判定在实际问题中，我们常常需要判定一个数是否能被另一个数整除。
为了方便判定，我们可以利用一些整除性质。
以下是几个常见的整除性质：3.1. 偶数的整除性：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定能被2整除。
3.2. 5的整除性：如果一个整数的个位数字是0或者5，那么它一定能被5整除。
3.3. 10的整除性：如果一个整数以0结尾，那么它一定能被10整除。
3.4. 除法性质：如果一个整数能被另一个整数整除，那么它也能被这个整数的约数整除。
例如，如果一个整数能被6整除，那么它一定也能被2和3整除。
4. 应用举例下面是一些应用整除性质的例子：4.1. 判断一个数能否被2整除：只需要判断该数的个位数字是否是0、2、4、6、8中的一个。
4.2. 判断一个数能否被3整除：只需要将该数的所有位上的数字相加，然后判断和是否能被3整除。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.末尾数字的整除性质：当一个数能被2整除时，它的末尾数字必定是0、2、4、6、8中的一位。
当一个数能被5整除时，它的末尾数字必须是0或5当一个数能被10整除时，它的末尾数字必须是0。
2.数字的整除性质：一个数能被3整除的条件是，该数的各个位上的数字之和能被3整除。
一个数能被9整除的条件是，该数的各个位上的数字之和能被9整除。
3.数的因数乘积性质：如果一个数能分解成两个整数的乘积，那么这两个整数一定是这个数的因数，并且这个数能同时被这两个因数整除。
例如，120可以分解成2和60的乘积，所以2和60是120的因数，并且120能同时被2和60整除。
4.数的因数关系性质：如果一个数能被另一个数整除，并且这两个数都是另一个数的因数，那么这两个数的倍数也是该数的因数。
例如，12能被3整除，而3是12的因数，那么6、9、15等都是12的因数。
5.因数的奇偶性质：如果一个数能整除另一个数，那么这个数的因数中也有整除关系。
例如，6能被2整除，2是6的因数，而2能被1整除，所以1也是6的因数，即6能整除16.数的整除性质的逆运算：如果一个数能被另一个数整除，那么这个被除数乘上一个整数得到的结果也能被另一个数整除。
例如，如果12能被3整除，那么12×2=24也能被3整除。
7.两个数的公因数性质：如果两个数有公因数，并且其中一个数能整除另一个数，那么这个因数也就同时是这两个数的公因数。
例如，6和9有公因数3，并且9能整除6，所以3是6和9的公因数。
8.最大公因数和最小公倍数的性质：两个数的最大公因数和最小公倍数可以通过两个数的乘积除以最大公因数来计算。
例如，72和90的最大公因数是18，最小公倍数是360，因为72×90/18=360。
通过掌握数的整除性质技巧，可以在解题过程中更加快速和准确地计算数的整除关系，从而提高解题效率。
同时，数的整除性质技巧也有助于理解数的因数与倍数之间的关系，进一步深化对数学概念的理解和运用。
整数的性质(全)
整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1.整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数（因子），称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：（1）若且，则（传递性质）；（2）若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质, 易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；（3）若，则或者，或者，因此若且，贝Q；（4）互质，若，则；（5）是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；（6）（带余除法）设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定; 整数被称为被除得的（不完全）商，数称为被除得的余数。
注意：共有种可能的取值：0,1,……，。
若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。
证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则宀h = a 一刃〔於"+产*...+%严+严）；若是正奇数，则；（在上式中用代）（7）如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数;（8）/7个连续整数中，有且只有一个是77的倍数；（9）任何个连续的整数之积一定是加的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6 整除；2.奇数、偶数有如下性质：（1）奇数奇数二偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
数论中的整除性质与除法算法
数论中的整除性质与除法算法数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和它们之间的关系。
在数论中，整除性质是一个非常重要的概念，它与除法算法密切相关。
本文将介绍数论中的整除性质和除法算法，并探讨它们在数学和实际应用中的意义。
一、整除性质在数论中，我们使用符号“|”表示整除关系。
如果一个整数a除以另一个整数b，得到的商为整数且余数为0，我们就说a可以被b整除，记作b|a。
例如，4|12表示4可以被12整除。
整除性质有以下几个重要性质：1. 传递性：如果a|b且b|c，那么a|c。
这表示如果一个整数可以整除另外两个整数，则它也可以整除它们的乘积。
2. 反对称性：如果a|b且b|a，那么a=b或a=-b。
这表示如果两个整数互相整除，则它们必须相等或相反。
3. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的线性组合。
4. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(b±c)，其中±表示加法或减法。
这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的和或差。
二、除法算法除法算法是从给定的被除数和除数中计算商和余数的方法。
在数论中，我们常用的算法有两种：带余除法和终止除法。
1. 带余除法带余除法是最基本的除法算法，它描述了如何计算商和余数。
给定两个整数a和b（b≠0），我们要找到整数q和r，使得a=bq+r，其中0≤r<|b|。
带余除法的步骤如下：步骤1：令r=a。
步骤2：找到一个整数q，满足0≤r<|b|。
步骤3：计算商q和余数r。
例如，我们要计算15÷4的商和余数：步骤1：令r=15。
步骤2：找到一个整数q，使得0≤r<4。
我们找到的q=3。
步骤3：根据商q和余数r，计算15÷4的商为3，余数为3。
2. 终止除法终止除法是一种更高效的除法算法，它使用整除性质来求解商和余数。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。
例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。
我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。
由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。
例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。
共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。
整除的性质和特征
整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。
理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。
一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。
三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。
(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。
①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。
任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。
又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
数的整除与倍数知识点总结
数的整除与倍数知识点总结整数运算是我们数学学习的基础，其中数的整除与倍数是重要的概念。
理解和掌握数的整除与倍数的概念和运算规律，对于解决数学问题和提高计算能力具有重要意义。
本文将重点总结数的整除和倍数的相关知识点，帮助读者加深对这一概念的理解。
一、数的整除1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得a = b × q，则称a能整除b，记作a|b。
其中，a称为除数，b称为被除数，q称为商。
2. 零的情况：任何非零整数a都能整除零，即a|0。
3. 一的情况：任何整数a都能整除1，即a|1。
4. 整除的性质：a) 如果a|b且b|c，则a|c（传递性）。
b) a|b且a|c，则a|(b ± c)。
c) a|b且a|c，则a|(mb ± nc)，其中m、n为任意整数。
5. 整除的判定定理：a) 末位数字法：一个整数能被2整除，当且仅当它的个位数是0、2、4、6、8。
b) 各位数字之和法：一个整数能被3整除，当且仅当它的各位数字之和能被3整除。
c) 末位为0或5法：一个整数能被5整除，当且仅当它的个位数是0或5。
d) 末位为0且前两位数能被4整除法：一个整数能被4整除，当且仅当它的末位和十位组成的两位数能被4整除。
e) 末位为0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除：一个整数能被11整除，当且仅当它的个位数是0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除。
二、数的倍数1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得b = a × q，则称b 是a的倍数，a称为因数。
2. 特殊倍数：a) 正整数a的倍数都是正整数。
b) 零是任何整数的倍数。
c) 一个整数是自身的倍数。
3. 最小公倍数：最小公倍数是指某两个数同时是另一个数的倍数的最小值。
4. 求最小公倍数的方法：a) 分解质因数法：将两个数分解质因数，取每个因数的最高次幂相乘即为最小公倍数。
b) 列表法：列出两个数的倍数，找出它们的公共倍数中最小的一个即为最小公倍数。
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
41整数的一些整除性质概要PPT课件
定理 4.1.1 (带余除法) 设 a,b Z, a 0，则存在q,r Z ， 使得
b aq r, 0 r | a | 成立，而且q,r 是唯一的。
2020年9月28日
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分析 1、考察整数的递增序列：
,n | a |, ,2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |, ,n | a |,
注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论 带来方便，这是研究方法上的一个进步。
例1 3 | 6 , 3 | 6, 5 | 1 1 , 0 | 0 , 0| b(b0),a| 0.
2、整除与除法的区别 除法中不能用0作除数； 由于整除是0年9月28日
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第4章 多项式
4.1整数的一些整除性质
授课题目：4.1整数的一些整除性质
教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握 最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性 质
授课时数：2学时
教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因 数存在定理
2020年9月28日
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教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定 理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）
2020年9月28日
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四．最大公因数
1、公因数与最大公因数
定义 2 设a,b Z ，满足下列条件的整数d 叫做a 和b的一个最大公因数：
1）d | a, d | b； 2）若c Z 且c | a,c | b，则c | d
2020年9月28日
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注 ：1 中小 学中 的定义 是：两 整数的 公因 数中的最大者称为最大公因数，与现在定义有 所不同。中小学中两个整数的最大公因数是唯 一的，而按现在的定义，d 是最大公因数，则d 也是。 0 和 0 在小学中没有最大公因数。而按现 在定义，它们有最大公因数0。所以这里的定义 蕴含了小学及中学的定义；
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4.1整数的一些整除性质
授课题目：4.1整数的一些整除性质
教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握 最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性 质 授课时数：2学时
教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因 数存在定理
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教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定 理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）
2、对分大于零和小于零两种情形讨论；
3、唯一性证明，注意 r r1 | a |。
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证 先证存在性，并考察整数的递增序列：
,n | a |, ,2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |, ,n | a |, 则 b 一定位于序列某相邻两项之间，
即存在q Z ，使q | a | b (q 1) | a |。
所以 b q | a | r, 0 r | a |，
取
q, a 0, q q, a 0,
则b q | a | r, 0 r | a |
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再证唯一性 若b aq r aq1 r1,0 r, r1 | a |， 则 (q q1 )a r1 r. 若(q q1 ) 0，则| r1 r || q q1 || a || a |， 而| r1 r | max(r, r1 ) | a |，矛盾， 所以q1 q，故r1 r 。 （证毕）
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例 2 若3 | n，且7 | n，则21 | n。 证 由3 | n，知n 3m, m Z, 所以7 | 3m. 由此及7 | 7m得，7 | (7m 2 3m)，即7 | m， 从而，m 7q, q Z ，于是，n 21q，故21 | n。
例．设a,b,c,d Z ,已知(a c) | (ad bc), 求证(a c) | (ab cd ) 分析 因为(ab cd ) (ad bc) (a c)(b d )， 且已知(a c) | (ad bc)，即可证得结论。
例1 3 | 6, 3 | 6, 5 | 11, 0 | 0, 0 | b (b 0), a | 0.
2、整除与除法的区别 除法中不能用0作除数； 由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
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二．整除的基本性质 根据定义，容易推出整除的基本性质： 1）若a | b,b | c,, 则a | c。 2）若a | b,a | c, 则a | (b c)。 3）若a | b,c Z , 则a | bc。 4)若a | bi , i 1, 2, , n,
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四．最大公因数
1、公因数与最大公因数
定义 2 设a,b Z ，满足下列条件的整数d 叫做a 和b的一个最大公因数：
1）d | a, d | b； 2）若c Z 且c | a,c | b，则c | d
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注 ：1 中小 学中 的定义 是：两 整数的 公因 数中的最大者称为最大公因数，与现在定义有 所不同。中小学中两个整数的最大公因数是唯 一的，而按现在的定义，d 是最大公因数，则d 也是。 0 和 0 在小学中没有最大公因数。而按现 在定义，它们有最大公因数0。所以这里的定义 蕴含了小学及中学的定义；
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2、余数与商
定理 4.1.1 中，q称为b被a 除所得的商，r 称为b被a 除所得的余数。
注：余数r 是满足等式b aq r且| r |为最 小的整数，余数是非负的整数。
推论 1 1）若a 0，则a 只能整除0；
2）若a 0，则a | b的充分必要条件是a 除b所得 的余数r 0。
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课堂练习 设a被7除余3，a被5除余4，求a 被 35除的余数。
（利用带余除法得等式⑵.⑶，变形出现系数35， 再变形证之） 例 3 a 3,b 28，
则28 (3)(9) 1, q 9, r 1；
a 3,b 28
则28 (3) 10 2, q 10, r 2。
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三．带余除法
1、带余除法定理
定理 4.1.1 (带余除法) 设 a,b Z, a 0，则存在q,r Z ， 使得
b aq r, 0 r | a | 成立，而且q,r 是唯一的。
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分析 1、考察整数的递增序列：
,n | a |, ,2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |, ,n | a |, 利用数轴直观理解b必落在某个长度为| a |的小 区间中，存在q使得b q | a | r, 0 r | a |；
2 “最大性”由定义 2 中的条件 2）体现出 来。
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由于两个整数的最大公因数不一定唯一。 所以我们约定，用(a , b)表示a, b的那个非负的最 大公因数。
2、最大公因数的存在性
引理 1 设a,b为任意两个不全为零的整数,且 a bq r,则a 与b和b 与r 有相同的公因数，因 而有相同的最大公因数，且(a,b) (b,r)。
则对任意c1,c2 , ,cn Z ,有 a | (b1c1 b2c2 bncn )。
* 4）是2、3）的推广
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5）对于任意整数a ，有a | 0,1 | a,a | a。
6）若a | b且b | a，则b | a 。 6）的证明： 按定义，存在整数c,d ，使得b ac,且a bd 。 将b ac代入a bd ，有a bd (ac)d a(cd )。 若a 0， 则b ac 0 a ； 若a 0，则由消去律得ad 1， 因此c d 1，于是b | a 。
教学过程： 一、整数的整除
1、整除的定义
定义 1 设a,b是两个整数。如果存在一个整数q使 得b aq，则称a 整除b，或称b被a 整除，记作a | b， 也说a 是 b 的因数，b是a 的倍数。如果对任意整 数q，都有b aq,则称 a 不整除，记作a |整除，给后面的讨论 带来方便，这是研究方法上的一个进步。