函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究
题1：
求证：拋物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k － 2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．
归纳：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积
的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；
第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：
（2001 年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）
A.（1，3）
B. （1，0）
C.（－1，3）
D. （－1，0）
巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）
2
①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0 时，函数在x＜1 时， y随x 的增大而减小；④当
a＜ 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2
3. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随
着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两
个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．
4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣ 3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函
数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个
定点的坐标：_________．
5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足b﹣ c=2，则这个函数的图象一定经过某一个
定点，这个定点是_________．
_________．
6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定
点
7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函
数解析式：_________．
y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标
8. 证明无论m为何值，函
数
9.（南京 2011 年 24 题 7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰
好在直线 y=x+ 1
（1﹣m）上（其中 m、n 为正数）．2
（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；
（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．
函数图像过定点的研究
题1：
求证拋物线 y＝(3 －k)x 2＋ (k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．
审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决
定的，例如，直线 y＝kx ＋b(k ≠0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ，b) ；物线线 y＝ax2＋bx＋ c(a ≠0) ，当 c 确定时，无论 a、b 取何值，它总过定点 (o ，c) ．本题
中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变
量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．
解：整理抛物线的解析式，得
y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1
＝3x2－2x－ 1－kx2＋ kx＋2k
＝3x2－2x－ 1－k(x2 －x－2)(k ≠3) ，
上式中令 x2－x－2＝0，得 x1＝－ 1， x2＝2.
将它们分别代入y＝3x2－2x－ 1－ k(x 2－x－2) ，
解得 y1＝4，y2＝7，
把点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 分别代入 y＝3x2－2x－1－k(x 2－x－2) ，
无论 k 取何值，等式总成立，
即点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 总在抛物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 上，
即拋物线 y＝(3 － k)x 2＋(k －2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点 ( －1，4) 、(2 ， 7) ．
归纳：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积
的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；
第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y
的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数
的图像总过的点是（）
A. （1，3）
B. （1，0）
C. （－ 1， 3）
D. （－ 1，0）
解法一、特殊值法
依据：二次函数的图像随着 m的取值不同，它的位置也随之变化，
可见这是一个抛物线群。

如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛
物线也必过这一定点。

解：任意给 m赋予两个特殊值，不妨设m=0和 m=2。

则函数解析式变为：。

联立方程组解得
把中，无论 m为何值，等式总成立。

所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。

故应选 A。

解法二、变换主元法
依据：一元一次方程的解有三种情形：
（ 1）当 a≠0 时，方程有惟一解：；
（2）当 a=b=0 时，方程的解为全体实数；
（3）当 a=0，b≠0 时，方程无解。

这里所求定点坐标与 m 的值无关，相当于关于 m的一元一次方程 am=b（ a、 b 为含 x、 y 的代数式）中， a=b=0 时的情形。

解：将其二次函数整理变形为：
①
令
所以，无论 m为何值时，（ 1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。

故应选 A。

巩固练习：
1．无论 m为何实数，二次函数
A．（1，3）B．y=x2﹣（ 2﹣m）x+m的图象总是过定点（）（1，0）C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）
2．对于关于 x 的二次函数 y=ax2﹣（ 2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）
①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；
③当 a＞ 0 时，函数在 x＜1 时， y 随 x 的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2
3. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随
着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两
个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．
4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣ 3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函
数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个
定点的坐标：_________．
5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足 b﹣ c=2，则这个函数的图象一定经过某一个
定点，这个定点是_________．
6．无论 m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点_________．
7．已知一个二次函数具有性质（ 1）图象不经过三、四象限；（ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数
解析式： _________ ．
8.证明无论 m为何值，函数 y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标
9.已知函数 y=mx2－ 6x＋1（ m 是常数）．
⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
解：⑴当 x=0 时，y1．
所以不论 m 为何值，函数 y mx2 6 x1的图象经过y轴上的一个定点（0， 1）．
⑵①当 m0 时，函数 y6x 1 的图象与x轴只有一个交点；
②当 m0 时，若函数y mx26x1的图象与 x 轴只有一个交点，则方程mx26x 1 0 有两个相等
的实数根，所以 (6)24m0 ，m9．
综上，若函数 y mx26x1的图象与x 轴只有一个交点，则 m 的值为0 或 9．11．已知二次函数的
10. 顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+ （ 1
﹣m）上（其中 m、n 为正数）．
（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；
（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？
若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．
分析：
（ 1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+（ 1﹣ m）得﹣+（1﹣m）=﹣，整理后利用因式分解
得到（m﹣ n）（m+1 ） =0，则m=n或 m= ﹣ 1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y 轴
的交点为（ 0， 0），由 m 为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向
上，由此得到此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点；
（ 2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x= ﹣，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（0， 0），利用对称性
得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1， 0）
（ 1）证明：把（﹣，﹣）代入y=x+（ 1﹣ m）得﹣+（1﹣m）=﹣，
2
整理得 m ﹣ mn+m ﹣ n=0，
∵（ m﹣ n）（ m+1） =0，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0， 0），
∵m 为正数，∴二次函数的顶
点在第四象限，
而抛物线过原点，
∴抛物线开口向上，
∴此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；
（ 2）解：存在．
∵抛物线的对称轴为直线 x= ﹣，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 0， 0），
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣1， 0），即不论 m、 n 如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣
．1， 0）和（ 0， 0）
反思：本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c （ a， b， c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点
2
，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数2
坐标，令 y=0，即 ax +bx+c=0y=ax +bx+c （ a，
b，c 是常数， a≠0）的交点与一元二次方程
22
决定抛物线与 x 轴的交ax +bx+c=0根之间的关系，△ =b ﹣4ac
点个数：△=b 2
﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b
2
﹣ 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b
2
﹣ 4ac＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．。