河南省2013数学模拟试题

河南省2013数学模拟试题
注意事项：
1、本试题分第Ⅰ卷和第二卷两部分。

第一卷为选择题，24分;第Ⅱ卷为非选择题，96分；满分120分，考试时间120分钟。

2、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目写在答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回。

3、第Ⅰ卷每题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑。

如需改动，先用橡皮擦干净，再涂改其他答案。

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来。

每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。

1.下列说法正确的是 （ ） A ．一个游戏的中奖概率是
10
1
则做10次这样的游戏一定会中奖 B ．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C ．一组数据 8 , 8 , 7 , 10 , 6 , 8 , 9 的众数和中位数都是 8
D ．若甲组数据的方差 S 2
= 0.01 ，乙组数据的方差 s 2
＝ 0 .1 ，则乙组数据比甲组数据稳定 2.如图2，直线y =x +2与双曲线y =
x
m 3
-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为 （ ）
3.小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图3）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是 （ ）
4.下列图形4中，∠1一定大于∠2的是 ( )
5.小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是 ( )
6.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a
y x
=
与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是 ( )
7.如图7，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t ，正方形与三角形重合部分的面积为S （空白部分），那么S 关于t 的函数大致图象应为 ( )
(D)(C)(B)(A)-2-1432-2-14
32-2-1432-2-14
320110101
02题图
D
C B A
122
1
214题图
6题图 5题图
8.如图8，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE. 下列结论中：
① CE=BD； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
第Ⅱ卷
8题图
二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把最后答案直接填写在答题线相应位置．．．．．．．
上） 9.若x y 、为实数，且10x +，则2012
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛y x 的值是________________.
10.对于非零的两个实数a 、b ，规定11
a b b a
⊗=
-.若1
(1)1x ⊗+=，则x 的值为 _______. 11.等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为 __________________.
12． 化简：22222
369x y x y y
x y x xy y x y
--÷-
++++=_________. 13．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图13所示，45AOC OC ∠==°
，则点B
的坐标为_____________.
14.如图14，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周长为 __ ． 15.如图15，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，2），直线AC 的解析式为1
12
y x =
-，则tanA 的值是 . 16.如图16，从内到外，边长依次为2,4,6,8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x 轴平行，它们的顶点依次用A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8、A 9、A 10、A 11、A 12……表示，那么顶点A 62的坐标是 ．
三、解答题时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分6分）
为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如右的调查问卷（单选）．在随机调查了奉市全部5 000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= ；
（2）该市支持选项B 的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B 的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？
18. （本题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为()()()A 12B 34C 29.---，，，，， （
1）画出△ABC，并求出AC 所在直线的解析式。

13题图
14题图
17题图
（2）画出△ABC绕点A顺时针旋转90 后得到的△A1B1C1，并求出△ABC在上述旋转过程中扫过的面积。

19.（本题满分8分）
如图19，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB 的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．
20.（本题满分10分）
如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
19题图
18题图
(1)求点B的坐标；
(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
21.（本题满分10分）
（1）背景：在图1中，已知线段AB，CD。

其中点分别是E，F。

①若A（-1,0），B（3,0），则E点的坐标为________;②若C（-2,2），D（-2,-1），则F点的坐标为_________;
(2)探究：在图2中，已知线段AB的端点坐标A（a,b）,B(c,d),求出图中AB中点D的坐标（用含a,b,c,d的代数式表示），并给出求解过程；
归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a,b）,B(c,d),AB中点为D（x,y）时，x=______,y=_________(不必证明)。

运用：在图3中，一次函数y=x-2与反比例函数
x
y
3
=的图像交点为A，B。

①求出交点A,B的坐标；
②若以A
22.（本题满分10分）
如图22，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是
20题图
边AB 上的—个动点(不与点A 、N 重合)，过点E 的反比例函数(0)k
y x x
=>的图象与边BC 交于点F 。

（1）若△OAE 、△OCF 的而积分别为S 1、S 2．且S 1＋S 2=2，求k 的值：
（2）若OA=2．0C=4．问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少?
23. （本题满分12分）
如图23，已知抛物线24
9
y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，其对称轴为直线2x =，且与x
轴交于点D ，AO=1．
(1) 填空：b =_______。

c =_______，点B 的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交x 轴于点F ．求FC 的长；
(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使⊙P 与x 轴、直线BC 都相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题（每题3分。

共计24分。

）
22题图
23题图
9. 1 10. 2
1
- 11. 15 12. 1 13.
(
)1,12+ 14. 33+ 15. 3
1
- 16. ()
311,11--
三、解答题时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分6分） 解：（1）C 选项的频数为69÷23%﹣60﹣69﹣36﹣45=90（人），据此补全条形统计图：
m%=60÷（69÷23%）=20%．所以m=20。

……………………2分 （2）支持选项B 的人数大约为：5000×23%=1150。

………4分 （3）小李被选中的概率是：P=
1002
115023
=。

………………6分 18. （本题满分8分） 解：（
1）如图所示，△ABC 即为所求。

设AC 所在直线的解析式为()0y kx b k =+≠ ∵()()A 12C 29--，，，， ∴229k b k b
-+=⎧⎨
-+=⎩ 解得 7
5k b =-⎧⎨=-⎩
，
∴75y x =--。

………………………………………………4分 （2）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求 。

由图根据勾股定理可知，AC =。

由图知ABC 111
S 722271516222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△(12
ACC 9025S 3602
ππ⋅⋅=
=扇形 ∴△ABC 在上述旋转过程中扫过的面积为1ABC ACC 25S S S 62
π
=+=+△扇形 。

……8分 19. （本题满分8分）
解：(1)连接OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。

∴∠OCA＝∠DAC。

∵OC＝OA ，∴∠OCA＝∠OAC。

∴∠OAC＝∠DAC。

∴AC 平分∠DAB。

………………………3分 （2）过点O 作线段AC 的垂线OE ，如图所示：…………4分
（3）在Rt△ACD 中，CD ＝4，
AC ＝45，∴AD＝AC 2
－CD 2
＝(45)2
－42
＝8 。

∵OE⊥AC，∴AE＝1
2AC ＝2 5 。

∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。

∴OE CD ＝AE AD 。

∴OE＝AE AD ×CD＝258×4＝5。

即垂线段OE 的长为 5 。

…………8分
20. （本题满分10分）
解：(1)∵在△OAB 中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB ＝8，
∴OA＝AB ＝4。

∴点B 的坐标为（
4）。

………2分
（2）∵∠OAB＝90º，∴AB⊥x 轴，∴AB∥EC。

又∵△OBC 是等边三角形，∴OC
＝OB ＝8。

又∵D 是OB 的中点，即AD 是Rt△OAB 斜边上的中线，
∴AD＝OD ，∴∠OAD＝∠AOD＝30º，∴OE ＝4。

∴EC＝OC －OE ＝4。

∴AB ＝EC 。

∴四边形ABCE 是平行四边形。

……………………………………………………6分
（3）设OG ＝x ，则由折叠对称的性质，得GA ＝GC ＝8－x 。

在Rt△OAG 中，由勾股定理，得2
2
2
GA OA OG =+
，即
(
)(2
2
28x x -=+，
解得，1x =。

∴O G 的
长
为
1。

………………………………………………………………10分 21. （本题满分10分）
(1)背景：①(1,0)，②⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21,2……………………………………………………………………2分 （2）探究：过A ，B 两点分别作x 轴、y 轴的垂线，利用梯形中位线定理易得AB 中点D 的坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
d b c a
归纳：
2
,2d
b c a ++………………………………………………………………………….6分 运用：①由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=x y x y 3
2
解得：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=13,312211y x y x 。

由题意得A （-1，-3），B （3,1）。

② AB 为对角线时P(2，-2); AO 为对角线时P(-4，-4); BO 为对角线时P(4，
-4);………………………………….10分 22. （本题满分10分） 解：（1）∵点E 、F 在函数(0)k
y x x
=>的图象上， ∴设E （1x ，
1
k x ），F （2x ，2k x ），1x ＞0，2x ＞0，
∴S 1=11122k k x x ⋅⋅=，S 2=22122k k x x ⋅⋅=。

∵S 1＋S 2=2，∴ 222
k k
+=。

∴2k =。

(4)
分
（2）∵四边形OABC 为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(2k ，2)， F(4，4k )。

∴BE=4－2
k
，BF=2
－4
k 。

∴S △BEF =
21142422416k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，S △OCF = 14242
k k
⋅⋅=，S 矩形OABC =2×4=8， ∴S 四边形OAEF =S 矩形OABC －S △BEF －S △OCF = 8－(21416k k -+)－214162
k k -++=()2
14516k --+。

∴当k =4时，S 四边形OAEF =5。

∴AE=2。

∴当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5。

…………………10分 23. （本题满分12分）
解：（1）169，20
9
，5，0。

………………………………………………………………………2分
（2）由（1）得抛物线的解析式为24
1620999y x x =-+
+
，化为顶点式为()2
4249
y x =--+。

∴C（2，4）。

∵E 为BC 的中点，由中点坐标公式求得E 的坐标为（3.5，2），……………………………..3分
设直线BC 的表达式为y kx b =+，则5024k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得43
20
3k b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴直线BC 的表达式为42033
y x =-+。

……………………………………………………………5分
设直线EF 的表达式为y mx n =+，
∵EF 为BC 的中垂线，∴EF⊥BC。

∴由相似可得34m =
，即直线EF 的表达式为3
4
y x n =+。

把E （3.5，2）代入得 3
2 3.54n =⨯+，解得58
n =-。

∴直线EF 的表达式为35
48
y x =
- 。

……………………………………7分
在 3548y x =
-中，令y =0，
得35048x -=，解得5
6
x =。

∴F （56 ，0）。

∴FC=FB=5－52566=。

答：FC 的长是25
6。

(8)
分
（3）存在。

作∠OBC 的平分线交DC 于点P ，则P 满足条件。

设P （2，p ），则P 到x 轴的距离等于P 到直线BC 的距离，都是|p |。

∵点C 的坐标是（2，4），点B 的坐标是（5，0）， ∴CD=4，DB=5－2=3
5。

∴sin∠BCD=
PE BD 3
CP CB 5
==。

……………………………………………………………………10分 当点P 在x 轴上方时，得
345p p =-，解得32p =。

点P 的坐标是（2，3
2
）。

当点P在x轴下方时，得
3
45
p
p
-
=
-
，解得6
p=-。

点P的坐标是（2，－6）。

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，
点P的坐标是（2，3
2
），（2，－6 ）。

(12)
分。