第八章 -结构力学

3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改 变，即AB两点的相对位移。
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB
m( A B )
P
A
m
这里Δ是与广义力相应的广义 位移。
表示AB两截面的相对转角。
• 上述方法也可称为“单位荷载法”
➢ d、通过上例可推出静定结构支座移
动时，位移计算的一般公式。
➢ 注：因为静定结构在支座移动作用下，不 产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚 体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。
3、支座移动时静定结构的位移计算（属 刚体体系的位移计算问题）
当支座有给定位移ck时（可能不止一个），
ds d ds
ds
d
源自文库
A
d
d
B
R
d
i
R
d
（1）三种应变： 弯曲应变 1
R
轴线曲率
R为杆件轴向变形 后的曲率半径
轴向伸长应变
平均剪切应变
d
ds
d
iA
d
ds
ds d
ds
d
B
R
d
R
i
d
M ,N ,Q
（2）微段两端相对位移：
1
d ds ds
R
d ds d ds
续基本思路：
（2）令机构发生一刚体体系的可能位移，沿X正 方向相应的位移为单位位移，即δx=1，这时，与荷 载P相应的位移为δp，得到一个虚位移状态。
（3）在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程
X·1+ΣP δp=0
（4）求出单位位移δx=1与δp之间的集合关系，代
入虚功方程，得到
X=-ΣP δp 这种求约束力和内力的方法，称单位位移法。见教 材P137例9.1
△B
FP=1
△B=FP·c1=b/a ·c1
注：
FR1= - b/a
a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若
设FP=1，称为虚单位荷载法。 b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
荷载，利用力系平衡求出与c1相应的R1,即利用平衡 方程求解几何问题。
3、根据公式 ( M N Q )ds Rkck可求出⊿。
注意正负号：
①求得⊿为正，表明位移⊿的实际方向与所设单位荷载方 向一致。
②位移计算公式中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积 为正，反之为负。
§9-4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的结构位移计算公式
根据公式
（9-6）
本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微
• 即：
We=0
（9-2）
• 理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒
等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。
• 刚体 ——具有理想约束的质点系。刚体内力 在刚体的可能位移上所作的功恒为零。
• 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理） 用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的 基础。
•
因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功
为了与实功相区别，虚功的虚是指力作功的位移 不是由该力本身引起的，则：
作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移 独立无关
二、刚体体系虚功原理的两种应用
• 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功 原理为：设体系上作用任意的平衡力系， 又设体系发生符合约束条件的无限小刚体 体系位移，则主动力在位移上所作的虚功 总和恒等于零。
c1 l/2 l/2 c2
⊿CV
FP=1
φC
l
虚拟状态
1/4
1/4
实际状态
c1
l/2 l/2 c2
1/2
1/2
⊿CV =-∑FRKcK= - [-1/2×c1 – 1/4×c2 ]= c1/2+ c2/4
(↓)
⊿CV
MP=1
φC
l
1 /l
1 /l
实际状态
c1
l/2 l/2 c2
φC=-∑FRK cK= - [-1/l×c2]= c2 /l (
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
•
根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应
用形式，解决两类不同的问题。
•
虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚
体体系，也适用于变形体体系。
1、求静定结构的未知约束力
应用虚功原理计算静定结构某一约束力X（包括 支座反力或任一截面的内力）步骤如下：
（1）撤除与X相应的约束，代以相应的约束力X， 使原来的静定结构变为具有一个自由度的机构，约 束力X变成主动力X，X与原来的力系维持平衡。
一般公式。
➢ 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移 公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公 式。
一、局部变形时的位移计算公式
基本思路：设静定结构中的某个微段ds出现局部变形，微段两
端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有
变形，仍然是刚体，分析局部变形所引起的位移。
d
i
ds
( M N Q )ds Rkck
单位荷载虚功 = 所求位移
其中包含： 弯曲变形对位移的影响 轴向变形对位移的影响 剪切变形对位移的影响 支座移动对位移的影响
Mds （9-7） F Nds （9-8）
FQ0ds （9-9）
F RKcK （9-10）
变形体虚功原理 各微段内力在应变上所作的内虚功总和 Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座 位移上所作的外虚功总和We 。即：
➢ ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上
的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯
We Wi （9-11）
1 Rkck M N Q ds （9-12）
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。【给出已
知变形（内部变形κ、ε、γ0 和支座位移ck），与拟求
位移⊿之间的关系。】 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。
虚功方程：
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 Q。
B
d
B
解：①、在B截面处加
i
机构如图（将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态）。
i
②、A点加单位荷载 FP=1，在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q（为保持平衡）
Q 1sin
非线性体系： （1） 物理非线性； （2）几何非线性（大变形）。
§9-2 虚功和虚功原理
一、虚功
一个不变的力所做的功是以该力的大小与其作用 点沿力方向相应位移的乘积来衡量。
W=PΔ
（9-1）
把此式的定义扩大：
W —功，单位是N·m P—力 Δ —与力相应的位移
实功是力在自身引起的位移 上所作的功。 虚功是力在虚位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正， 反向时，虚功为负。
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。
与力有关的因素，称为广义力S。
与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
即：W=PΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的 截面的转角β，即角位移。
第九章
虚功原理与结构位移计算
§9-1 结构位移计算概述
一、结构位移的概念
结构变形时，结构上某个点的移动或某个截 面产生的移动或转动，称为结构的位移。
结构的位移有两大类。一类是线位移，指结 构上某点沿直线方向移动的距离。另一类是角位 移，指结构上某截面转动的角度。
绝对位移：线位移和角位移——杆件结构中某一截面位 置或方向的改变。 相对位移：相对线位移和相对角位移——两个截面位移 的差值或和。 广义位移：绝对位移和相对位移的统称。
d
M
N
Q
外虚功： We 1 Rk ck
内虚功：Wi M N Q ds
三、结构位移计算的一般步骤
已知结构杆件各微段的应变κ、ε、γ0（根据 引起变形的原因而定），支座移动ck，求结构某点
沿某方向的位移⊿。
1、沿欲求⊿方向设FP=1。
2、根据平衡条件求出FP=1作用下的M、FN、FQ 、 FR。
（a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并
求出单位荷载作用下的支座反力FRK。
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功
方程： （9-3）
（c）由虚功方程，解出所求位移：
（9-4）
例1:
图示三铰刚架，支
座B下沉c1，向右移动 c2。求铰 C的竖向位
移⊿CV和铰左右截面
的相对角位移φC。
⊿CV
φC
l
FP
D ⊿DV C
φC
B
D’ ⊿CD
⊿CV
C’
⊿CH
A
φCD
二、产生位移的原因
（1）荷载
（2）温度变 （3）支座沉降、制造误差 化、材料胀缩
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
三、计算位移的目的
（1）刚度验算； （2）超静定结构分析的基础； （3）施工措施、建筑起拱、预应力等。
1
A
1 Q Q d 0
Q
Q Q d
例4、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向
位移d 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移N 。
i
B
A
d
N
由平衡条件：
N 1 cos
i
虚功方程：
B
A
N
1 N N d 0
1
N B N A
N N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，
即是三者的叠加，有：
设 ds 0,三种相对位移还存在，相当于整个
结构除B截面发生集中变形外，其他部分都是刚体未 变形，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求 局部变形位移。
（3）应用刚体虚功原理求出点A的位移d－即前例
的结论。
d M N Q Md Nd Qd
或 d ( M N Q )ds （9-5）
（2）产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
（3）结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。 （4）材料种类：弹性与非弹性，各种变形固体材料。
( M N Q )ds Rkck
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
K
t1 t2
c2
K
c1
ds
ds d ds
d
1
R1
ds
ds R2 ds
2、求静定结构的未知位移
例1：
c1
图示简支梁，支座A
向上移动一已知距离
c1 ,现在拟求B点的竖向
线位移ΔB。
解：已给位移状态;
虚设力状态，在拟求位移
ΔB方向上加一单位荷 载FP=1，形成平衡力系。
FR1= - b/a
△B
FP=1
虚功方程： △B ·1+c1·FR1 =0
c1
由平衡方程求出： FR1 = - b/a
)
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相
对转角d，试求A点在i－i方向的位移 m 。
B d
i
解：①在B处加铰（将实际位
A
m
移状态明确地表示为刚体体系的 位移状态）。
a
a
i
②A点 加 单 位 荷 载 FP=1，
B d
A 在铰B处虚设一对弯矩M（为 m 保持平衡）
a
a
M
1
A
B
a
a
M 1 sin a
二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理：
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点
的位移为： (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck （9-6）
段应变 κ、 ε 、 γ0 是由荷载引起的（实际位移状
态），由荷载—内力—应力—应变顺序求出。
• 由材料力学公式可知：
• 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切 应变可表示为：
弯曲应变： κ = MP /EI 轴向应变： ε = NP /EA 平均剪切应变： γ0= k QP /GA
(9-13)
➢ 式中：
M Q N Md Qd Nd
§9-3 结构位移计算的一般公式
——变形体的位移计算
➢ 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部 产生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体 系的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普 遍。
➢ 推导位移计算一般公式有几种途径：
➢ 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的
四、体系（结构）的物理特性
本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算的 理论基础是虚功原理，计算的方法是单位荷载法。 线性变形体系是指位移与荷载成线性关系的体系， 当荷载全部撤除后，位移将完全消失。
此体系的应用条件是： （1）应力、应变满足虎克定律； （2）变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用位 置不变，位移计算可用叠加原理； （3）体系几何不变，约束为理想约束。