考研数学线代知识框架
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
考研数学之线代知识框架
考研数学之线代知识框架[摘要]不仅专业课需要知识框架，数学也是如此。
一个优秀而全面的知识框架有助于厘清整体的解题思路。
下面分享的是凯程考研老师精心整理的线代知识点框架。
在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中，涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。
数域上的n元有序数组称为n维向量。
设向量a=(a1,a2,...,an)，称ai是a的第i个分量。
n元有序数组写成一行，称为行向量，同时它也可以写为一列，称为列向量。
要注意的是，行向量和列向量没有本质区别，只是元素的写法不同。
矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。
对给定的向量组，可以定义它的一个线性组合。
线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。
利用矩阵的列向量组，我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。
同时要注意这个结论的双向作用。
从简单例子(如几何空间中的三个向量)可以看到，如果一个向量a1能由另外两个向量a2、a3线性表出，则这三个向量共面，反之则不共面。
为了研究向量个数更多时的类似情况，我们把上述两种对向量组的描述进行推广，便可得到线性相关和线性无关的定义。
通过一些简单例子体会线性相关和线性无关(零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等)。
从多个角度(线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度)体会线性相关和线性无关的本质。
部分组线性相关，整个向量组线性相关。
向量组线性无关，延伸组线性无关。
回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,...,an 线性表出?如果这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立即得到答案：b,a1,a2,...,an线性相关。
考研数学线代主要考点及要求
考研数学线性代数主要考点及要求前言线性代数是数学中的重要分支学科，几乎存在于所有数学应用领域。
在考研中，线性代数占有相当的比重，因此无论是对于数学专业考生还是非数学专业考生，都需要充分了解这一学科的主要考点与要求。
本文将详细介绍考研数学线性代数的主要考点以及历年考研数学中线性代数的考察情况，旨在为考生提供参考。
主要考点考研数学线性代数的主要考点如下：1.向量空间2.矩阵论3.行列式理论4.线性方程组5.特征值与特征向量6.内积空间下面将分别进行介绍。
向量空间向量空间是线性代数的核心概念，它是定义了向量加法和数乘运算的集合。
在考研中，需要掌握向量空间的基本定义及其相关概念，例如：•向量空间的基本性质•子空间的定义及判定•线性无关、极大线性无关子集、基的定义及其定理•维数的概念及相应的判别定理矩阵论矩阵论是线性代数中的一个重要组成部分，它主要涉及矩阵的定义、运算规则与性质，以及相关的定理。
在考研中，需要掌握以下几个方面的知识：•矩阵的基本概念与运算规则•行、列、秩、行列式的概念与计算方法•矩阵的逆、转置与伴随矩阵的定义及其计算方法•利用矩阵的运算规则与性质简化计算行列式理论行列式是矩阵论中的一个重要概念，它具有很多重要的性质与应用，例如：•行列式的定义与计算方法•行列式的性质，如交换性、性质、加减性等•Cramer法则及其应用线性方程组线性方程组是线性代数中的重要内容，它应用广泛，是解决实际问题中常用的一种数学方法。
在考研中，需要掌握以下几个方面的知识：•线性方程组的一般形式与矩阵形式•线性方程组的基本概念，如解的存在唯一性等•系数矩阵、增广矩阵与阶梯形矩阵间的关系及计算方法•利用初等变换化简线性方程组特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的核心概念，它们在科学工程、金融数学、信息学等领域中有广泛的应用。
在考研中，需要掌握以下几个方面的知识：•特征值与特征向量的概念及其性质•特征值与特征向量的计算方法•矩阵的相似与对角化•求解线性微分方程组内积空间内积空间是线性代数中的一个重要概念，它是定义了两个向量之间的乘积。
考研线代知识点总结
考研线代知识点总结摘要：一、考研线性代数知识点概述二、矩阵与线性方程组三、向量空间与线性变换四、特征值与特征向量五、二次型与矩阵的对称性六、复习与拓展建议正文：一、考研线性代数知识点概述考研线性代数作为数学一门重要学科，主要包括矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型与矩阵的对称性等内容。
这些知识点在考研数学中占有很大比重，因此，对于线性代数的掌握程度直接影响到考研成绩。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助考生更好地复习和掌握线性代数。
二、矩阵与线性方程组1.矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。
2.线性方程组的解法：高斯消元法、克莱姆法则、齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。
3.矩阵的秩、行阶梯形式、简化阶梯形式等。
三、向量空间与线性变换1.向量空间的概念、基、维数、向量模等。
2.线性变换的概念、性质、矩阵表示、不变量等。
四、特征值与特征向量1.特征值、特征向量的概念及求解方法。
2.矩阵的对角化、相似矩阵等。
五、二次型与矩阵的对称性1.二次型的概念、标准型、正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型等。
2.矩阵的对称性：对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、对称分量等。
六、复习与拓展建议1.熟练掌握考研线性代数大纲要求的知识点，做到深入理解、熟练应用。
2.针对自己的薄弱环节进行有针对性的练习，提高解题能力。
3.学习线性代数相关的拓展知识，如奇异值分解、广义逆矩阵、线性空间论等。
4.注重理论联系实际，熟练运用线性代数知识解决实际问题。
总之，考研线性代数知识点繁多，要想在考试中取得好成绩，就需要扎实掌握这些知识点，并不断提高自己的解题能力。
考研数学二线代的考试范围
考研数学二线代的考试范围摘要：一、考研数学二线性代数考试范围概述二、线性代数主要考试内容1.行列式2.矩阵3.矩阵的运算4.矩阵的性质5.矩阵的初等变换6.矩阵的秩7.矩阵的等价分块矩阵及其运算三、考试要求与备考建议正文：一、考研数学二线性代数考试范围概述考研数学二主要考察高等数学和线性代数两部分内容。
其中，线性代数部分占据了约22% 的考试比重。
线性代数作为数学的基础学科，其考试范围主要包括行列式、矩阵、矩阵的运算、矩阵的性质、矩阵的初等变换、矩阵的秩以及矩阵的等价分块矩阵及其运算等内容。
二、线性代数主要考试内容1.行列式行列式是线性代数中的基本概念，主要考察内容包括行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理等。
在备考过程中，需要掌握行列式的性质，并能应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
2.矩阵矩阵是线性代数中的核心概念，考试内容主要包括矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质等。
在备考过程中，需要理解矩阵的概念，并能熟练运用矩阵的性质和运算规则。
3.矩阵的运算矩阵的运算主要包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
在备考过程中，需要掌握矩阵的运算规则，并能熟练进行矩阵运算。
4.矩阵的性质矩阵的性质主要包括矩阵的可逆性、矩阵的秩、矩阵的行列式等。
在备考过程中，需要理解矩阵的性质，并能应用矩阵的性质解决实际问题。
5.矩阵的初等变换矩阵的初等变换主要包括矩阵的交换、矩阵的旋转、矩阵的缩放等。
在备考过程中，需要掌握矩阵的初等变换方法，并能运用矩阵的初等变换将矩阵化为简化形式。
6.矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，主要考察内容包括矩阵的秩的计算方法、矩阵的等价分块矩阵及其运算等。
在备考过程中，需要掌握矩阵的秩的计算方法，并能运用矩阵的等价分块矩阵及其运算解决实际问题。
7.矩阵的等价分块矩阵及其运算矩阵的等价分块矩阵及其运算是矩阵理论中的重要内容，主要考察内容包括矩阵的等价分块矩阵、矩阵的简化阶梯形式等。
精编考研线性代数知识框架图资料
考研线性代数知识框架图()000,nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩0有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量152p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ij nn i j n n n nx x x xx x x x x x x ≥≥≥---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m nA ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= 注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1②1()()AE E A -−−−−→初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m nA A A+= ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i iA c β= ，(,,)i s =1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O CB B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得√ 0Ax =与0Bx =同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组0Ax =与0Bx =同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔PQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材.⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()r A A O =⇔=0.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A ； 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑬ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.√ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70⑤ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭⑥()r AB ≤{}min (),()r A r B⑦ ,,()()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=⇒+若且0≤n ⑧()()A r AB r B ⇒=若可逆()()B r AB r A ⇒=若可逆⑨若0()()()m n Ax r A n r AB r B ⨯⇔=⎧=⇒⎨=⎩ 只有零解且A 在矩阵乘法中有左消去律0AB B AB AC B C =O ⇒=⎧⎨=⇒=⎩；若()()()n s r B n r AB r B ⨯=⇒= 且B 在矩阵乘法中有右消去律.√ 初等矩阵的性质：1212,,,0,,,()()A n n Ax n Ax A Ax r A r A Ax n βαααβαααβββ⇔=<⇔⇒⇔=−−−−−→=⇔=⇔=⇔==当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一线性相关有非零解0 可由线性表示有解有唯一组解 1212,,,0()(),,,()(A n n Ax A r A r A Ax r A r αααββαααβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⇔⎪⇒⇔=−−−−−→≠⇒⎪⎩⇔≠⇔=⇔<当为方阵时表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解)()1()A r A r A ββ⎧⎪⎨⎪⇔+=⎩注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解 √ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限.n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+(,)(,)(,)c c c αβαβαβ==E A λ-.()E A f λλ-=.√ ()f λ是矩阵A 的特征多项式⇒()f A O =E A λ-=0. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.√ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr ,23n λλλ====0 p 指南358.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=② 若A 满足()0f A =,则A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0.√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++为A 的一个多项式.√ 1231122,T A mm k kAa b aA bE A A AA A Aλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩ √ 1231122,A mm k kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2,mA A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1B P AP -= （P 为可逆矩阵） 记为：A B1B P AP -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：AΛ （称Λ是A√ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n PPA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 注：当i λ=0为A 的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-= 0Ax =基础解系的个数. √ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 可相似对角化.√ 若A Λ⇒k A =1k P P -Λ=，1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭√ 相似矩阵的性质：① A B =tr tr② A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ③ ()()r A r B = ④TT AB ；11A B -- （若,A B 均可逆）；**A B⑤kk AB （k 为整数）；()()f A f B ，()()f A f B =⑥,A B A B CD C D ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑦E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑤ 一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--）.TAA E =√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1TA A -=；② TTAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.1211(,,,)n nTn ij i j i j f x x x x Ax a x x ====∑∑ ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =T B C AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵）二次型的规范形中正项项数pr p -；2p r -. (r 为二次型的秩)√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：AB√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x x Ax =经过正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =化为21ni i f d y =∑√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 惯性定理：任一实对称矩阵A 与唯一对角阵1111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量正交化、单位化；③ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T Tn n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关,112122111313233121122()()()()()()T TT T T Tβααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩正交化 单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
2022考研线性代数强化讲义(知识体系+重点题型解析)
第一章行列式一、知识体系 1122,,A i j i j A i j i j =a A a A a A ≠ i j i j 1122 +++= 0,= a A a A a A i j i j +++= ≠ 0, in jnn ! 项不同行不同列元素乘积的代数 定 ni nj 义和 性质 上()或下三角、主对角行列式 副对角行列式ab 型行列式 拉普拉斯展开式 范德蒙行列式行列式12,,,,12,,,T n kA k A A A D n D D x x x −D D D1−1n −1i =1 行列式的概念重要行列式展开定理=nAB A B ==A A= 行列式的公式 * =A A=12=== = ∏ n i 设 n A A 的特征值为λλλλ则 若A B A B 与相似,则Cramer 法则二、重点题型重点题型一数字行列式的计算【方法】【例1.1】设212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x −−−−−−−− f x ()=−−−−x x x x −−− 则方程f x ()0 =根的个数为【】（B ）2（C ）3（A ）1【详解（D ）4】【例1.2】利用范德蒙行列式计算222a a bcb bac cc ab=.【详解】【例1.3】设x x x x 1234≠0，则11121314212223243132333441424344x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a a a +a a a a a a x a 2+2=+2+2.【详解】【例1.4】计算三对角线行列式000000000000αβαβαβαβαββαβ+++D n =++αβα【详解】重点题型二代数余子式求和【方法】【例1.5】已知1234522211312451112243150A=27，则A A A 414243=++=，A A 4445+=.【详解】010000200001n 000【例1.6】设A =n −，则A 的所有代数余子式的和为.【详解】重点题型三抽象行列式的计算【方法】【例1.7】（2005，数一、二）设α1,α2,α3均为3维列向量，A =(α1,α2,α3)，(,24,39)B ααααααααα=++++++123123123.若A =1，则=B .【详解】【例1.8】设A 为n 阶矩阵，αβ,为n 维列向量.若A a =，TAαb=0，β则TA β【详解】(2)(2)A A O −O A 1*−【例1.9】设A 为2阶矩阵，B =2 .若A =−1，则=B .【详解】【例1.10】设n 阶矩阵A 满足A A 2=，A E ≠，证明A =0.【详解】第二章矩阵一、知识体系 ()AB A A Ax +A B kAAT⇔≠||0 ⇔=r A n ⇔ ⇔=⇔=定 义 性质 定义法 初等变换 求法伴 随矩法阵法 分块矩阵法的列（或行）向量组线性无关 充要条件齐次线性方0 程组只有零解 非齐次线性方程组Ax b 有唯一解 ⇔A 的特征值均不为零 定义矩性质阵求法基本运算逆 秩定 义 伴随矩阵性质 定义 性质 求矩阵的逆初等变换与初等矩阵 求矩阵的秩线性 应用求表极大示线性无关组 解线性方程组 求二次型的标准形分块矩阵二、重点题型重点题型一求高次幂【方法】2131【例2.1】设46A a b c − =，B 为3阶矩阵，满足BA O=，且r B ()1>，则A n =.【详解】200412 【例2.2】设A =−320，则A n=.【详解】−−121 【例2.3】设A =−− −−363 121，P 为3阶可逆矩阵，B P AP =−12022B E ，则()+=.【详解】重点题型二逆的判定与计算【方法】 【例2.4】设n 阶矩阵A 满足A 2=2A ，则下列结论不正确的是【】 （B ）A E （C ）−可逆A E（D ）+可逆A E −3可逆 （A ）A 可逆【详解】,为n 阶矩阵，【例2.5】设A B a b ,为非零常数.证明： I ）若（AB aA bB ，则=+AB BA =2+=，则（II ）若A aAB E AB BA ；=.【详解】11a 0110a 【例2.6】（2015，数二、三）设A a =−，满足A O 3=. （I ）求a 的值；（II ）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ，求X −−+=.【详解】重点题型三秩的计算与证明 【方法】秩的性质（1）设A 为m ×n 阶矩阵，则()min ,r A m n {}≤； 2）（()()()r A B r A r B +≤+； （{3）()min (),()r AB r A r B }≤；（{4）max (),()()()()r A r B r A B r A r B }≤≤+；5）r A r kA k （()()(0)=≠；（6）设A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；7）设A 为m ×n 阶矩阵，若（r A n ()=，则()()r AB r B ；若=r A m ()=，则()()r CA r C =；===TTT8）（()()()()r A r A r AA r AA ；（9）设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，AB O =，则r A r B n ()()+≤.,为n 阶矩阵，【例2.7】（2018，数一、二、三）设A B () X Y 表示分块矩阵，则【】 （A ）( )()r A AB r A （B ）=( )()r A BA r A ={ }（C ）( )max (),()r A B r A r B =T T（D ）r A B r A B ( )( )=【详解】 【例2.8】设A 为n 阶矩阵.证明：I ）若A 2=A ，则（r A r A E n ()()+−=；2=，则（II ）若A E r A E r A E n ()()++−=.【详解】重点题型四关于伴随矩阵【伴随矩阵的性质】||01**11（1）,AA A AA E A A A A AA A≠**−−== →==； （*1*=n 2）()kA k A −； 3）()AB B A （***=（4；）*A A n −1=；（** A A 5）()()T T=；（ 6）()()A 1**1A A A−−==；（ n −7）()A A A 2**=； ,()8）r A r A n （()1,()1=n r A n *==−r A n <−0,()1.【例2.9】设n 阶矩阵A 的各列元素之和均为2，且A =6，则A ∗的各列元素之和均为【】（B ）31（C ）3 （A ）2【详解（D ）6】ij 为n n 【例2.10】设A a =()(3)阶非零矩阵，A ij 为a ij 的代数余子式，≥证明：（*(,1,2,,)TTI ）a A i j n A A AA E ij ij ==⇔=⇔= 且A =1；*(,1,2,,)TT（II ）a A i j n A A AA E ij ij =−=⇔=−⇔= 且A =−1.【详解】重点题型五初等变换与初等矩阵【初等变换与初等矩阵的性质】（1）E i j (,)1=−，(())E i k k =，E ij k (())1=； T2）（(,)(,)E i j E i j =T，E ij k E ji k T ，E i k E i k (())(())=(())(())=；−13）（(,)(,)E i j E i j =1，E i k E i k(())−1=−1，(())(())E ij k E ij k =−；（4）初等行（或列）变换相当于左（或右）乘相应的初等矩阵；（5）可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.【例2.11】（2005，数一、二）设A 为n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得到矩阵B ，则【】（A ）交换A *的第1列与第2列，得B *（B ）交换A *的第1行与第2行，得B *（C ）交换A *的第1列与第2列，得−B *（D ）交换A *的第1行与第2行，得−B *【详解】123012001 【例2.12】设A = 001010100，P =110010001 ，Q = ，则()()T −P A Q 120212022=__________.【详解】第三章向量一、知识体系212(,,,)(,,,) (,,,)s k k k x 1x x r r βαααααααααβ αααβαβ+ k α [αβ,] =+++ ⇔= ⇔= →1122 s s 12 s 12 s s 12 s 定初等行变换义非齐次线性方程组(,,,)αααβ有解 充要条件 充分条件 求法行最简形矩阵向线性相关量 1 22 (,,,)0(,,,)x x x s r s x 1x x s ααα 定ααα义 ⇔=⇔< ⇔= 12s 12 s 12s ⇔至少有一个向量可由其余向量线性表 示齐次线性方程组充要条件ααα有非零解 充分条件齐次线性方程组充要条件(,,,)0只有零解 (,,,)ααα基本运算线性表示定义⇔任意向量均不能由其余向量线性表示线性无 关αs =s ⇔r (,,αα12,)12 s → 充分条初等行变换件定义极大线性无关组与向量组的秩求法行阶梯形矩阵二、重点题型重点题型一线性表示的判定与计算 【方法】,,与数【例3.1】设向量组αβγk l m ,,满足k l m km αβγ++=≠0(0)，则【】,与（A ）αβαγ ,等价 ,与（B ）αββγ,等价（D ）α与γ,,与（C ）αγβγ等价等价【详解】【例3.2】（123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)T T T2004，数三）设αααa ab a b ==+−=−−−+，β=−(1,3,3)T .当a ,b 为何值时， ,,线性表示I ）β不能由ααα（123；,,唯一地线性表示，并求出表示式（II ）β可由ααα123；,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（III ）β可由ααα123. 【详解】【例3.3】（2019，数二、三）设向量组（123(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)T TT a 2I ）ααα===+；向量组2a a a 123(1,1,3),(0,2,1),(1,3,3)T T T （II ）βββ=+=−=+I ）与（II ）等价，求a 的.若向量组（值，,,线性表示并将β3由ααα123.【详解】重点题型二线性相关与线性无关的判定【方法】【例3.4】（2014，数一、二、三）设ααα123,,均为3维列向量，则对任意常数k l,，1323,αααα ++k l ,,线性无关的【线性无关是ααα123】（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（A ）必要非充分条件【详解（D ）既非充分又非必要条件】【例3.5】设A 为n 阶矩阵，ααα123,,均为n 维列向量，满足A A 2αα11=≠0，212A A2ααα=+， 2323A A ααα=+ ,,线性无关，证明ααα123.【详解】,,线性无关，与4维列向量β1,β2两两正交，证明β1,β2线性相关【例3.6】设4维列向量ααα123.【详解】重点题型三极大线性无关组的计算与证明【方法】 1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)TTTT【例3.7】设ααααa a ==−−=−+=−−.（I ）当a 为何值时，该向量组线性相关，并求其一个极大线性无关组；（II ）当a 为何值时，该向量组线性无关，并将α=(4,1,6,10)T 由其线性表示.【详解】,为I ）设A B m n ×矩阵，则()()()r A B r A r B +≤+；×矩阵，B 为n s {×矩阵，则()min (),()r AB r A r B 【例3.8】证明：（（II ）设A 为m n 【详解}≤.】重点题型四向量空间（数一专题）【方法】过渡矩阵12,,,n 到基β1,β2, ,βn 的过渡矩阵为由基ααα(,,,)(,,,)=βββααα12C 12 n n ，−12αααβββ1C =(,,,)(,,,) 12 n n .12坐标变换公式,,, n 下的坐标为设向量γ在基αααx x x x12 n T，在基β1,β2, ,βn 下=(,,,)的坐标为y y y y 12 n T，则坐标变换公式为x =Cy =(,,,).2015，数一）设向量组ααα【例3.9】（123,,为R 3的一个基，113βαα=+22k ，βα22=2，313k=++βαα(1).,,为R 3的一个基I ）证明向量组βββ（123；（II ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基ααα123,,下的坐标相同，并求所有的ξ,,与基βββ123.I 【详解】（）3123201(,,)(22,2,(1))(,,)020201k k βββαααααααα1231321=+++= k k +201020201令C =k k +，则,,为R 3的一个基,,线性无关，故βββ=≠40，从而βββC 123123.（II ）设ξ在基ααα123,,下的坐标为x ,,与基βββ123，则 123123123Cx x=ξαααβββααα(,,)(,,)(,,)=x =C E x −=得()0.对C E −作初等行变换，1011010100102000k k kC E −=→当k =0时，方程组()00−C E x −=有非零解，所有非零解为1x c 1=，在两个基下坐标相同的所有非零向量为1231231xc −ξαααααααα1=(,,)(,,)0()==−c 31，其中c 为非零常数第四章线性方程组一、知识体系11220 () 0() ()()()()1 ()()()()r A n Ax r A n r A r A n r A r A n k k k ξξξ−− =⇔= Ax =0Ax =⇔<Ax b r A r A r A r A =⇔<⇔=− Ax b Ax b ==⇔== Ax b =⇔=< +++ 性 n r n r 质只有零解有非零解无解 判定有唯一解有无穷多解的通解线性方程组 1122()()()()()()()AX BAX B r A r A B n r A r A B n ξξξη−− Ax =0 ++++ Ax b k k k = =⇔< AX B r A r A B =⇔== AX B =⇔=< A B → n r n r =的通初等行变换解 定义无解矩阵方程判定有唯一解有无穷多解 求法行最简形矩阵 定义 求法,的行向量组等价()()A ⇔r A r r B B 解的性质与判定解的结构公共解定义公共解与同解 ⇔ A B 同解充要条 件==二、重点题型重点题型一解的判定【方法】【例4.1】（0TA2001，数三）设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，且r r A α α=()，则线性方程组（A ）Ax =α有无穷多解（B ）Ax =α有唯一解A x α （C ）αT0y =0只 有零解Ax α（D ） αT 0y =0有 非零解 【详解】 ×阶矩阵，且【例4.2】设A 为m n r A m n ()=<，则下列结论不正确的是【】T =0（A ）线性方程组A x 只有零解 T （B ）线性方程组A Ax =0有非零解 （C ）∀b ，线性方程组A x b（D ）∀b ，线性方程组T =有唯一解Ax b =有无穷多解【详解】重点题型二求齐次线性方程组的基础解系与通解【方法】1234为4阶矩阵，(1,0,1,0)T为线性方程组Ax =0【例4.3】（2011，数一、二）设A =αααα(,,,)的 *=0的基础解系可为【基础解系，则A x 】 , （A ）αα12,（B ）αα13,,（C ）ααα123,,（D ）ααα234【详解】a b c ，【例4.4】（2005，数一、二）设3阶矩阵A 的第1行为(,,)a b c 12324636k ,,不全为零，B =，满足AB O=，求线性方程组Ax =0的通解.【详解】【例4.5】（2002，数三）设线性方程组n 0n 0n 0 123n 0++++=ax bx bx bx bx ax bx bx 123++++=123++++=bx bx ax bx123++++=bx bx bx ax其中a ≠0，b ≠0，n ≥2. 当a b 求其通解,为何值时，方程组只有零解、有非零解，当方程组有非零解时，.【详解】重点题型三求非齐次线性方程组的通解【方法】,,为非齐次线性方程组【例4.6】设A 为4阶矩阵，k 为任意常数，ηηη123Ax b =的三个解，满足124ηη12+=23245 3，ηη23+==，则.若r A ()3Ax b =的通解为【】11203142− （A ） +k （B ）21324051 +k （C ）01102132− +k （D ）11121011 +k【详解】2017，数一、二、三）设3阶矩阵A =【例4.7】（(,,)=+2ααα123有三个不同的特征值，其中312ααα. I ）证明r A （()2=；（II ）若βααα=++123，求线性方程组Ax =β的通解.【详解】1101011λλλ 【例4.8】（2010，数一、二、三）设A =−11a ，b =，线性方程组 Ax b=有两个不同的解.（I ）求λ,a 的值；（II ）求方程组Ax b =的通解.【详解】【例4.9】设A 为m n ×阶矩阵，且r A r 12,,,()=.若ξξξ−为齐次线性方程组Ax =0的 n r 基础解系，η为非齐次线性方程组Ax =b 的特解，证明：（,,,,I ）ηξξξ12 n r −线性无关；,,,,（II ）ηηξηξηξ+++12 n r −线性无关；,,,,（III ）ηηξηξηξ+++n r −为Ax =b 所有解的极大线性无关组12 .【详解】重点题型四解矩阵方程【方法】矩阵方程解的判定AX B=无解⇔<()()r A r A B AX B ()()r Ar A B n =有唯一解⇔==AX B ()()r Ar A B n =有无穷多解⇔=<矩阵方程的求法对()AB 作初等行变换，化为行最简形矩阵，得矩阵X .101−202101【例4.10】设A =−−，矩阵X 满足AX E A X 20222，求矩阵X +=+.【详解】【例4.11】（123401111203−−2014，数一、二、三）设A =− −.（I ）求线性方程组Ax =0的一个基础解系；（II ）求满足AB E =的所有矩阵B .【详解】重点题型五公共解的判定与计算【方法】【例4.12】（2007，数一、二、三）设线性方程组（+ +=++=001321x x I ）x x 1+4x 2+a 2x 3=0ax 2x 32x 与方程（II ）x 1+2x 2+x 3=a −1有公共解，求a 的值及所有公共解.【详解】【例4.13】设齐次线性方程组（123420x x x 123+−=230I ）x x x x ++−= 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为ααa a T T =−+=−+.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解.【详解】重点题型六同解的判定与计算【方法】【例4.14】（2005，数三）设线性方程组（ =+=++ I ）202132+321 x 35 x 1+x 2+ax 3=0x x x x 3x +=++0 12+321 2(1)x 3=0c x 0与（II ） x cx b x +bx 2同解，求a ,b ,c 的值.【详解】第五章特征值与特征向量一、知识体系 (0)0()0A E B P AP P AP A n A λλA αλαα−1=≠ −= A E x −= =−1=Λ ⇔ ⇔k k A n 定义性质 特征方程法 定义 性质特征值与特 定义征有个线性无关的特征向量 充要条件重特征值有个线性无关的向特征向量量有个不同的特征值 充分条件为实对称矩阵 T k k 特征值与特征向量相似矩阵相似对角化==Λ特征值均为实数不同特征值的特征向量正交实对称矩阵重特征值有个线性 无关的特征向量,使得− A 可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q Q AQ Q AQ 1二、重点题型重点题型一特征值与特征向量的计算【方法】特征值与特征向量的性质 （1）不同特征值的特征向量线性无关；（2）不同特征值的特征向量之和不是特征向量；（3）k 重特征值最多有k 个线性无关的特征向量；4）设A 的特征值为12（,,,λλλnn ，则i =1∑nA λi=tr A ()，λi i =1=∏；=，即A =αβT，其中5）若r A （()1αβ,为n 维非零列向量，则A 的特征值为TT tr A ()λαββαn1===0 ，λλ2===（6）设α为矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则【例5.1】设1111111111111111−−A = −− −−求A 的特征值与特征向量.【详解】322 223010001【例5.2】（2003，数一）设A = 232 ，P = 101 ，B =P −1A *P ，求B +2E 的特征值与特征向量.【详解】12214212a 【例5.3】设A = −−− 的特征方程有一个二重根，求A 的特征值与特征向量. 【详解】 2【例5.4】设3阶非零矩阵A 满足A O = ，则A 的线性无关的特征向量的个数是【】（B ）1（C ）2（A ）0【详解（D ）3】【例5.5】设A =+αββαTT，其中αβ 1,为3维单位列向量，且αβT 3=，证明：（I ）0为A 的特征值； ,（II ）αβαβ为A +−的特征向量；（III ）A 可相似对角化.【详解】重点题型二相似的判定与计算【相似的性质】（1）若A B ，则A B ,有相同的行列式、秩、特征方程、特征值、迹；2）若（A B ，则()()f A f B ，A B −− 11 ，(0)AB BA A ≠，A B T T ，A B ** ；3）若（A B ，B C，则A C .【例5.6】设1000030000110022 A =矩阵B 与A 相似，则r B E r B E ()(3)−+−=.【详解】【例5.7】设n 阶矩阵A 与B 相似，满足A E 2=2，则 AB A B E +−−=. 【详解】【例5.8】（22−−002221 2019，数一、二、三）设A x =−−21001000y与B =−相似.I ）求（x y ,的值；−（II ）求可逆矩阵P ，使得P AP B 1=.【详解】重点题型三相似对角化的判定与计算【方法】【例5.9】设3阶矩阵A 的特征值为1，3，−2，对应的特征向量分别为ααα123,,.若P =−ααα(,2,)−1*=【132，则P A P 】12 （A ）−1− 36 （B ）−2 −36 （C ） −2 13（D ） −2【详解】【例5.10】设n 阶方阵A 满足32A A E O ，证明A 可相似对角化2−+=.【详解】【例5.11】（2020，数一、二、三）设A 为2阶矩阵，P A =(,)αα，其中α为非零向量且不是A 的特征向量.（I ）证明P 为可逆矩阵； 2ααα+−=60，求II ）若（A A P AP−1，并判断A 是否相似于对角矩阵.【详解】重点题型四实对称矩阵的计算【方法】2+=，n 阶矩阵B 满足【例5.12】设n 阶实对称矩阵A 满足A A O B B E 2+=，且r AB ()2=，则A +【详解】01413【例5.13】（2010，数二、三）设40A a a −=−T，正交矩阵Q 使得Q AQ 为对角矩阵.若Q的第12,1)T ，求a Q ,.【详解】 2=，【例5.14】设3阶实对称矩阵A 满足A E A E+的各行元素之和均为零，且r A E ()2+=.（I ）求A 的特征值与特征向量；（II ）求矩阵A .【详解】第六章二次型一、知识体系0,0T T f x Ax B C AC x Ax x Bx =x x Ax T =T ⇔ ⇔ 定∀≠>义 拉格朗日配方法 合同变换 标准形的求法法正交变换法 定义与有相同的正、负惯性指数 充要条件A B ,有相同的正、负特征值的个数 充分条件A B 与相似必要条件二次A B 与等价型有T 0(1,,)0A E A A 二次型与标准形合同矩阵定义 性质 ⇔f n ⇔ 正定矩阵 ⇔ii >= a i n > 的正惯性指数为与合同充要条件的特征 值均大于零⇔A 的顺序主子式均大于零必要条件二、重点题型重点题型一求二次型的标准形【方法】222【例6.1】（2016，数二、三）设二次型123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x=+++++ 的正、负惯性指数分别为1，2，则【】（B ）a <−2 a （A ）a >1【详解（D ）a =1或−（C ）−<<212】 =−+++++222【例6.2】（2018，数一、二、三）设二次型1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax .I ）求f x x x （(,,)0 123=的解；（II ）求f x x x (,,)123的规范形.【详解】【例6.3】（2020，数一、三）设二次型121122(,)44f x x x x x x 1122x y =−+22经正交变换x y =Q化为二=++22，其中次型(,)4121122g y y ay y y by a b ≥.I ）求（a b ,的值；（II ）求正交矩阵Q .【详解】重点题型二合同的判定【方法】 12【例6.4】（2008，数二、三）设A =21，与A 合同的矩阵是【】−1221 （A ）− 21− （B ） −12 21 12（C ）12− （D ）−21 【详解】【例6.5】设A B ,为n 阶实对称可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得 ①PA B −；②=P ABP BA 1−；③=P AP B 122T =；④P A P B =. 成立的个数是【 】 （A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【详解】重点题型三二次型正定与正定矩阵的判定【方法】【例6.6】设A 为m n ×阶矩阵，且r A m ()=，则下列结论 ①AA T 与单位矩阵等价；③AA T 与单位矩阵合同；②AA T 与对角矩阵相似；④AA T 正定. 正确的个数是【 】（B ）2（C ）3 （A ）1【详解（D ）4】 I ）设A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则【例6.7】证明：（A B −2为正定矩阵；,为n 阶矩阵，且（II ）设A B r A B n TT()+=，则A A B B +为正定矩阵.【详解】。
线性代数各章知识点荟萃
线性代数各章知识点荟萃线性代数各章知识点荟萃线性代数之所以难复习，是因为线性代数这门学科不仅知识点多、概念多、定理多、符号多、运算规律多，而且各章节的内容也是相互纵横交错的，知识点之间的联系非常紧密。
因此，在复习线性代数的时候应该将重点放在对基本概念的理解上，做到掌握基本定理的条件、结论及其应用、各种运算规律及基本题型的计算方法等。
多注重知识点之间的衔接与转换，注重理解，多思考多总结，使知识成网状，努力提高自己综合分析问题的能力。
为了让大家在复习中能将线性代数提高到一个新的层次，在此分析一下历年考研重点及其复习思路，以使大家做到有的放矢决胜千里!考研线性代数总共涉及到六章的内容，接下来我们针对各章节进行考点的总结，并给出复习重难点。
第一章行列式本章的重点是行列式的计算，主要有两种类型的题目：数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式的计算不会以单独题目的形式考查，但是在解决线性方程组求解问题以及特征值与特征向量的问题时均涉及到数值型行列式的'计算；而抽象型行列式的计算问题会以填空题的形式展现，在历年考研真题中可以找到有关抽象型行列式的计算问题。
因此，在复习期间行列式这块要做到利用行列式的性质及展开定理熟练的、准确的计算出数值型行列式的值，不论是高阶的还是低阶的都要会计算。
另外还要会综合后面的知识会计算简单的抽象行列式的值。
第二章矩阵本章需要重点掌握的基本概念有可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵和初等矩阵，可逆阵与伴随矩阵的相关性质也很重要，也是需要掌握的。
除了这些就是矩阵的基本运算，可以将矩阵的运算分为两个层次：1、矩阵的符号运算2、具体矩阵的数值运算矩阵的符号运算就是利用相关矩阵的性质对给出的矩阵等式进行化简，而具体矩阵的数值运算主要指矩阵的乘法运算、求逆运算等。
第三章向量本章的重点有：1、向量组的线性相关性证明、线性表出等问题，解决此类问题的关键在于深刻理解向量组的线性相关性概念，掌握线性相关性的几个相关定理，另外还要注意推证过程中逻辑的正确性，还要善于使用反证法。
考研数学线性代数每年必考的知识点
考研数学线性代数每年必考的知识点考研数学线性代数每年必考的知识点线性代数是考研数学中比较重要的一部分内容，考生要认真复习，尤其注意对重点知识的理解和应用。
店铺为大家精心准备了考研数学线性代数每年必考的难点，欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数每年必考的重点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。
复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学拿高分的技巧1、认真思考数学问题的习惯思考对于数学的学习是最核心的，对做题更甚。
不坚持去思考，不仔细去联想，类比，总结只相当于背书，是学不到数学的本质的，想考高分是不可能的。
举一个例子：中值定理那块的证明题，一开始不会证，我就忍住不去看答案，自己去思考，有时候一晚上都在思考一个题。
这样思考，我会想到很多知识点并加以整合，会慢慢提炼出思路。
以后解这一类题就会顺畅很多。
考研的题肯定是自己没见过的，平常做题时不会就去看答案，考场上可没有现成的答案看啊。
线代知识点
( )
(
γ 0 ) ，它是 n × (n + c ) 矩阵，
B0 是 n 阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。
⎛ b11 ⎜ ⎜0 B0 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ * b22 0 0 0 * * Ο 0 0 * * * bn −1n −1 0 * ⎞ ⎟ * ⎟ * ⎟ ⎟ * ⎟ bn n ⎟ ⎠
反对称矩阵 A = − A 。
T
三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵
(c + d )A = cA + dA
初等变换分 ⎨
⎧初等行变换 ⎩初等列变换
三类初等行变换 ①交换两行的上下位置
A→B
②用非零常数 c 乘某一行。 ③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵
α 1 ,α 2 ,Λ ,α s ，
c1α 1 + c 2α 2 + Λ + c sα s 。
转置
A 的转置 AT （或 A′ ）
⎛4 1 ⎜ ⎜0 −1 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎝
0 2 0 0
2 5 2 0
0⎞ ⎟1 0 1⎟ 2 1 3⎟ ⎟4 3 0⎟ ⎠
(A )
T T
=A
①如果有零行，则都在下面。 ②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格 单调上升。 或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调 上升，直到全为 0 。 台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。 简单阶梯形矩阵： 3．台角位置的元素都为 1
定理：一个行列式的值 D 等于它的某一行（列） ，各元 素与各自代数余子式乘积之和。
D = a 21 A21 + a 22 A22 + Λ + a 2 n A2 n
四．行列式的其它性质 1．转置值不变 A
考研数学二线代的考试范围
考研数学二线代的考试范围数学二线代是考研数学二的一部分，主要涵盖线性代数的基本理论和方法。
考研数学二线代的考试范围包括以下内容：1.向量空间向量空间是线性代数的基础概念，考研数学二线代的考试范围包括向量空间的定义、性质和相关定理。
考生需要熟练掌握向量空间的基本运算规则、线性组合、线性相关性和线性无关性等内容。
2.矩阵与行列式矩阵是线性代数中非常重要的概念，考研数学二线代的考试范围包括矩阵的定义、性质、运算规则、特征值、特征向量、相似矩阵等内容，此外还会涉及到行列式的计算、性质和相关定理。
3.线性变换线性变换是线性代数的另一个核心概念，考研数学二线代的考试范围包括线性变换的定义、性质、矩阵表示和标准形式等内容。
考生需要理解线性变换的意义及其在几何变换、坐标变换和线性微分方程中的应用。
4.线性方程组线性方程组是线性代数中的重要应用问题，考研数学二线代的考试范围包括线性方程组的解的存在性和唯一性、齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系、解空间、列空间、零空间、秩和核等内容。
考生需要掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则和特征值法等。
5.线性空间的基线性空间的基是线性代数中的重要概念，考研数学二线代的考试范围包括线性空间的基的定义、性质、存在性和相关定理。
考生需要熟练掌握线性空间的基的概念及其在矩阵、行列式、线性方程组和线性变换中的应用。
6.线性空间的维数线性空间的维数是线性代数中的重要概念，考研数学二线代的考试范围包括线性空间的维数定义、性质、存在性和相关定理。
考生需要理解线性空间的维数及其在基、子空间、矩阵和变换中的应用。
以上是考研数学二线代的考试范围，考生需要对以上内容进行深入的理解和掌握，通过大量的练习来加深对数学二线代知识的理解和掌握，从而顺利通过考试。
希望考生能够充分利用时间，认真准备，取得满意的成绩。
考研数学一大纲线性代数部分详解
考研数学一大纲线性代数部分详解线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学一大纲中占据了相当大的比重。
本文将对考研数学一大纲中线性代数部分进行详细解析，包括矩阵和行列式、向量空间、线性变换和特征值等内容。
一、矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数的基础概念。
矩阵是数的矩形排列，行列式是一个用于求解特征值和特征向量的工具。
在准备考研数学一的过程中，我们要熟悉矩阵的基本概念和运算法则，如矩阵的转置、乘法和逆矩阵等。
同时，理解行列式的含义和性质也是必不可少的一步。
二、向量空间向量空间是指由一组向量所构成的集合。
在考研数学一大纲中，我们需要掌握向量空间的定义及其基本性质。
此外，线性相关性和线性无关性也是重要的概念，在向量空间的讨论中起到关键的作用。
了解向量空间的特性，能够帮助我们更好地理解线性代数的核心内容。
三、线性变换线性变换是指对向量空间中的每个向量进行某种特定操作的变换。
在考研数学一大纲中，我们需要了解线性变换的定义、性质及其在矩阵表示下的运算。
熟练掌握线性变换的理论和具体的计算方法，对于解题和理解线性代数的相关概念都有着重要的意义。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵和线性变换中的重要概念。
在考研数学一大纲中，我们需要了解特征值和特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
通过学习特征值和特征向量，我们可以更好地理解矩阵的本质和线性变换的特性，为解题提供有力的工具。
五、应用领域线性代数作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。
在现代科学和工程技术中，线性代数的应用非常广泛。
例如在计算机图像处理、信号处理、机器学习等领域中，线性代数都扮演着重要的角色。
因此，在备考考研数学一的过程中，我们应该注重将线性代数的理论知识与实际问题相结合，理解线性代数在各个领域中的具体应用。
总结：本文对考研数学一大纲中线性代数部分进行了详细解析，包括矩阵和行列式、向量空间、线性变换和特征值等内容。
通过深入理解这些概念和原理，我们可以在备考过程中更加系统和全面地掌握线性代数的知识，为解答和分析数学问题提供坚实的基础。
数学一线代知识点
考研数学一《线性代数》知识点总结第一部分行列式一、本部分内容重点1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2．会用行列式的性质和行列式按行（列）展开法则计算行列式。
二、考点分析1．行列式是基础，它与后续要学的内容——方阵构成的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都有重要应用。
所以必须要弄清楚行列式在处理有关问题中的功能与作用，熟练掌握行列式的性质和计算方法，为应用行列式处理有关问题打下良好的基础。
2．计算行列式的常用方法：1）用定义法计算行列式中含某一项的系数；2）应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）；3）将各行（列）加到某一行（列），提取公因式；4）按行（列）展开行列式——降阶法（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式法来计算行列式）。
5）逐行（列）相加减；6）拆项法——将一个行列式分成几个较简单的行列式进行计算；7）公式法——如对角行列式、范德蒙德行列式等；8）升阶法。
在实际计算过程中，常常将上述方法交替使用。
第二部分矩阵一、本部分内容重点1．理解矩阵的概念。
2．了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。
3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算律，了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式。
4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
6．了解分块矩阵及其运算。
二、考点分析1．矩阵的运算（含逆矩阵）是矩阵考试内容中的重点，其中，又以矩阵乘法和逆矩阵最为重要。
要掌握矩阵运算，除了要理解各种运算的定义外，还要熟练掌握各种运算的运算律和运算性质。
在作矩阵运算时，一般要先利用运算法则通过“字母”运算进行化简。
考研数学(一)线代重要知识点综述
考研数学(一)线代重要知识点综述一、行列式考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
二、矩阵考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
5.了解分块矩阵及其运算。
三、向量考试要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。
5.了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。
6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。
7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。
8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。
四、线性方程组考试要求l。
会用克拉默法则。
2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
五、矩阵的特征值和特征向量考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
考研数学线代知识点的复习指导
考研数学线代知识点的复习指导考研数学复习阶段的时候，我们需要掌握好线代知识点的复习要点。
小编为大家精心准备了考研数学线代知识点的复习攻略，欢迎大家前来阅读。
考研数学线代知识点的复习指南线性代数总共分为六章。
第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理其他问题需要计算行列式，题目难度不是很大。
主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。
而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进行变形、利用相似关系。
06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，。
今年数一、数二、数三这块都没有涉及。
第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。
本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。
其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的则是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题则用到了矩阵的秩的相关性质。
14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。
16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。
第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。
重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。
复习的时候要注意结构和从不同角度理解。
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考研数学线代知识框架考研数学线代知识框架[摘要]不仅专业课需要知识框架，数学也是如此。
一个优秀而全面的知识框架有助于厘清整体的解题思路。
下面分享的是凯程考研老师精心整理的线代知识点框架。
线性代数的学习切入点：线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结(有唯一解、无解、有无穷多解)，再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解;在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。
在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。
常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。
齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题(1)解的存在性问题和(2)如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。
对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。
行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。
通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。
用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。
总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。
[摘要]以下是凯程考研辅导名师特为大家整理总结的一些有趣的数学小题目，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！微积分如果用心去学你会发现很多乐趣，然后在解题的过程享受这些小小的成就感，何乐而不为呢。
快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。
▶被积函数是连续函数f(x)的积分上限函数F(x)可导，且导数就是f(x)。
逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。
把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件角度看，相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。
《广义函数》理论中，在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施这样的变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。
故称之为“磨光变换”。
当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。
在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。
正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。
这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。
自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。
新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。
这里有一个有趣的联想。
如果f(x)仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢?结论是，“相应的上限函数一定连续。
”(画外音：考研题中出现过一次。
)在《概率统计》中，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。
它一定连续。
由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。
要注意的是，设f(x)有跳跃间断点a，相应的上限函数在点a虽然连续，却一定不可导。
即改善是有一定限度的。
要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。
实际上，设点a左側，f(x)=初等函数φ(x)，右侧f(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳跃间断。
记f(x)相应的上限函数为F(x)，则F(x)在点a连续，但是左側求导F′(x)=φ(x)，右側求导F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)F(x)在点a不可导。
在点a的邻域内，F(x)不是f(x)的原函数。
相当一些“模拟卷”上有这样的题目。
可以算是“擦边球”。
▶《概率统计》不是第一层次基础课程。
学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。
比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习。
(潜台词：D(卡方(n))=2n)预备1——我们知道，exp(x2)是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。
正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为1。
在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。
计算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。
预备2——我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。
最早在(5)中有一条“x趋于+∞时，指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。
”或者说，“x趋于+∞时，函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。
”预备3——分部积分的要点是“变化”∫甲·乙dx=(甲的一个原函数)·(乙)-∫(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx设X服从标准正态分布，我们计算D(X2)，即证明D(卡方(1))=2鉴于输入问题，我写出步骤，大家在纸上划一下(1)用平方关系来算D(X2)，得先算均值E(X 四次方)设f(x)是N(0,1)的密度函数，求E(X四次方)，被积函数x四次方f(x)在全直线积分分x四次方f(x)=x3·xf(x)，注意xf(x)的原函数恰是-f(x)分部积分一次，求极限知第一部分答案为0，(运用预备2)第二部分是3x2f(x)在全直线积分再分x2f(x)=x·xf(x),又分部积分，同样求极限知第一部分答案为0，第二部分已是3倍密度函数f(x)在全直线积分，当然为3(2)用平方关系来算我常常开玩笑把平方关系E(X2)=μ2+σ2称为“概率勾股定理”。
D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2怎么样，有点意思吧。
▶如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。
如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。
一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有f(x)>x”，推出“f(f(x))>f(x)”，突然又假设“f(x)单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。
这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。
数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。
仿佛有世界末日来临的感觉。
以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼?”思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。
看一个线性代数问题。
(讲座(40))例15设n维行向量组a1，a2，---，ak线性无关，k向量组a1，a2，---，ak，β线性无关。
例15是原数学四的考题。
它可以深化为，*例“设向量组β1，β2，---，βr线性无关，向量组ξ1，ξ2，---，ξk线性无关。
若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。
则两向量组的合并组线性无关。
(暂时不写一个条件)证明设有一组数C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0用β1对等式两边作内积，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0用β2对等式两边作内积，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0…………用βr对等式两边作内积，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。
问题延伸1，若记A=(β1，β2，---，βr)，则系数矩阵恰为AˊA(潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”)问题延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)证明作齐次线性方程组AX=0和A′AX=0，AX=0的解显然都是A′AX=0的解。
如果列向量β是A′AX=0的解，则内积(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′A β)=0这说明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。
两方程组同解。
解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)前述关于C1，……，Cr的齐次方程组仅有零解。
带回假设式，由后一向量组的线性无关性知,其余系数也全为零。
故两向量组的合并组线性无关。
(画外音：这是一个可以记住的结论。
请体会证明的特色。
)好象什么问题都没有?!?!?!联想“n+1个n 维向量线性相关”,这里还有向量个数问题。
在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。
必须先说“k+r≤n”这个条件不影响证明。
凯程教育：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。
如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。
判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。
还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。
凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。