数值分析(浙江大学)全套课件
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➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
1 10 1 10
10n1 10n1
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析 能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
εr*
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 (其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
数字，精确到x 。
10mn
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
举例
2。怎么求解下列积分？
(3) || A B || || A|| || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB || || A || ·|| B ||
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A
1 1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε,* 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
( relative error )
lim ||
k
xk
x*
||
0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A, B ,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1) || A|| 0; || A|| 0 A 0
(2) || A|| | ||| A|| 对任意 C
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.对2 任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
(2) || x || | ||| x || 对任意 C
(3) || x y || || x || || y ||
常用向量范数：
|| x ||
n
|x
|
1
i
i1
|| x ||
2
n
| x |2
i1
i
||
x
||
max
1 i n
|
x i
|
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
§1.4 向量和矩阵范数
➢ 向量范数 ( vector norms )
定义1：Rn空间的向量范数
||
·||
,对任 意x,
y
满R足n 下列条件
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
1 10 1 10
10n1 10n1
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析 能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
εr*
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 (其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
数字，精确到x 。
10mn
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
举例
2。怎么求解下列积分？
(3) || A B || || A|| || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB || || A || ·|| B ||
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A
1 1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε,* 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
( relative error )
lim ||
k
xk
x*
||
0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A, B ,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1) || A|| 0; || A|| 0 A 0
(2) || A|| | ||| A|| 对任意 C
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.对2 任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
(2) || x || | ||| x || 对任意 C
(3) || x y || || x || || y ||
常用向量范数：
|| x ||
n
|x
|
1
i
i1
|| x ||
2
n
| x |2
i1
i
||
x
||
max
1 i n
|
x i
|
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
§1.4 向量和矩阵范数
➢ 向量范数 ( vector norms )
定义1：Rn空间的向量范数
||
·||
,对任 意x,
y
满R足n 下列条件
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0