数值分析(浙江大学)全套课件
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数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析-第一章ppt课件
数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
整理版课件
18
乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析课件
2
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
《数值分析》课件-PPT文档资料
模型误差
处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的 解 之间的误差叫模型误差。 例如
8 6 y 56 x s i n x , 0 x 1 0
是实际问题的解，而若数学模型的解是
6 y 5 x 6 , 0 x1 0,
思考 问：谁的近似程度要好一些？
定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error) e x x er . x x 由于精确值 x 未知, 实际上总把 xe 作为x*的 相对误差，并且仍记为er , 即
e r e . x
定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002) 1.000 004 0,
数 值 分 析
理 学 院
刘 秀 娟
第1章
绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
1 1 e1 dx 1 1 11 1 1 / e 1 0 3 2 ! 5 3 ! 7 4 ! 9
《数值分析》课件-第2章
（1）
则称ϕ (x)
为
f
(x)
在
Φ
中关于节点
{xi
}n i=0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
{xi
}n i=0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
2004-9-9
3
2 . 几何意义、内插法、外插法
M~
=
max{x
i
}n i =0
m~
=
min{x
i
}n i =0
2004-9-9
内插
x ∈[m~, M~ ]
外插 x ∈[a, b] but x ∉[m~, M~ ]
4
3. 多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值 问题
当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值
{ } 特别的取 Φ = Pn =∆ span 1, x, x2 ,L, xn , 即
g
(t )
在区间
[a,
b]
上的
n
+
2
个互异零点：
x
、
{xi
}n i=0
当 g(t) 充分光滑时， g (n+1) (t) 在开区间 (a, b) 内至少存在一个零点ξ
g g
(n (n
+1) +1)
(t) =
(ξ ) =
f( 0
n+1)
(t
)
−
(n
+
1)!k
(
x)
⇒
k
(
《数值分析》》课件
基于函数梯度的方法，通过迭代逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
《数值分析》课程PPT (2)
数值分析
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数 运算的八条公理：
1. x y y x
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数 运算的八条公理：
1. x y y x
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
第3页/共44页
应用问题举例
第4页/共44页
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
第27页/共44页
二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
第24页/共44页
我们仅仅是幸运吗?
数值分析课件第一章
x x*
1 10 m n 1. 2
（2.2）
21
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) ), (2.1)
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数. 1）若 x * 具有 n位有效数字， 则其相对误差限为 1 10( n 1) 2a1
1 6 5 I n1 , I 0 ln 0.1820 I n n 5 1 1 公式2 I n1 I n , I 8 0.019 In 5 n In I 公式1 I n
n
0.1820 0.0900 0.0500 0.0830 -0.165 1.0250 -4.958 24.933 -124.540
* * A* f ( x1 , xn ),
于是由泰勒展开， 函数值 A* 的误差 e( A*) 为
* * e( A*) A * A f ( x1 ,, xn ) f ( x1 ,, xn )
* * f ( x1 , , xn ) * ( xk xk ) xk k 1 n
x x* 1 10 m n 1. 2
（2.2）
19
例如 取3位
x π 3.14159265
x3 * 3.14,
1 π 3.14 =0.00159265 102 , 2
故x3 * 3.14有3为有效数字。
取5位
x5 * 3.1416 ,
1 104 . 2
16
把近似值的误差 e * 与准确值 x 的比值
e* x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 e r .
数值分析第一章PPT课件
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
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➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
1 10 1 10
10n1 10n1
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析 能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
εr*
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 (其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
数字，精确到x 。
10mn
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
举例
2。怎么求解下列积分？
(3) || A B || || A|| || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB || || A || ·|| B ||
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A
1 1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε,* 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
( relative error )
lim ||
k
xk
x*
||
0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A, B ,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1) || A|| 0; || A|| 0 A 0
(2) || A|| | ||| A|| 对任意 C
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.对2 任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
(2) || x || | ||| x || 对任意 C
(3) || x y || || x || || y ||
常用向量范数：
|| x ||
n
|x
|
1
i
i1
|| x ||
2
n
| x |2
i1
i
||
x
||
max
1 i n
|
x i
|
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
§1.4 向量和矩阵范数
➢ 向量范数 ( vector norms )
定义1：Rn空间的向量范数
||
·||
,对任 意x,
y
满R足n 下列条件
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
1 10 1 10
10n1 10n1
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
学习和了解科学计算的桥梁
Introduction
数值分析 能够做什么？
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
εr*
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 (其an中10m）若 a1 0
（即| x 的x*截|取0.按5四10舍m五n 入规则a n），则称 为有n 位有效
数字，精确到x 。
10mn
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
举例
2。怎么求解下列积分？
(3) || A B || || A|| || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB || || A || ·|| B ||
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A
1 1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε,* 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
( relative error )
lim ||
k
xk
x*
||
0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A, B ,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1) || A|| 0; || A|| 0 A 0
(2) || A|| | ||| A|| 对任意 C
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.对2 任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
(2) || x || | ||| x || 对任意 C
(3) || x y || || x || || y ||
常用向量范数：
|| x ||
n
|x
|
1
i
i1
|| x ||
2
n
| x |2
i1
i
||
x
||
max
1 i n
|
x i
|
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
§1.4 向量和矩阵范数
➢ 向量范数 ( vector norms )
定义1：Rn空间的向量范数
||
·||
,对任 意x,
y
满R足n 下列条件
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0