SXC141高考数学必修_数列新亮点新定义数列

数列新亮点：新定义数列

数列是中学数学的重要模块之一，除了传统的运算和论证之外，各地的高考或模拟试题中出现了许多新定义的数列，成为数列问题中一道亮丽的风景线.下面我们一起领略他们的风采.考虑到数列的通项公式在数列问题中处于核心地位，我们仅给出通项公式.

1、等和数列

定义：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做这个数列的公和.

例1 已知数列 {}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，求n a .

分析 由等和数列的定义知：,3,2,3,24321 ====a a a a 奇数项为2，

偶数项为3.即2(3n n a n ⎧=⎨⎩为奇数）（

为偶数）.

2、等积数列

定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积.

例2 已知数列{}n a 是等积数列,且12a =,公积为5,求n a . 分析 由等积数列的定义知：,2

5

,2,25,24321 ===

=a a a a 所以奇数项为2，偶数项为25，即2(52

n n a n ⎧⎪

=⎨⎪⎩为奇数）

（为偶数）.

记得在讲等差、等比数列时，就有同学提出过这样的问题：加减乘除是最基本的运算，既然有等差数列和等比数列，会不会有等和数列和等积数列呢？上面的分析解决了这个疑问.如果将四类基本运算和常见的等差、等比数列组合，数列家族中又产生了不少新“丁”，此类问题源于教材，而又高于教材，是培养学生探究能力的好材料，因而倍受青睐.

3、和等差数列

定义：数列{}n a 中，从第二项开始，每一项与前一项的和成等差数列，则称此数列为和等差数列.

例3 已知数列{}n a 中，

{}121,2,1++==n n a a a a 是以3为公差的等差数列，求n a .

分析 2,2,121≥==n a a 时，{}1++n n a a 是以首项为3，3为公差的等差数列n n a a n n 3)1(331=-+=++，令[]b n k a b kn a n n +++-=+++)1(1，由待定系数

法：33,24k b =-=，故⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

+-4323n a n 是以41为首项，公比1-=q 的等比数

列.1

)1(4

14323--=+-n n n a ，即436)1()1(41432311-+-=-+-=--n n a n n n .

4、差等差数列

定义：数列{}n a 中，从第二项开始，每一项与前一项之差为等差数列，则称此数列为差等差数列.

例4 已知数列{}n a 中，

{}n n a a a a -==+121,2,1是以3为公差的等差数列，求n a

分析：由已知,2,121==a a ，{}n n a a -+1是以首项为1，3为公差的等差数

列.23)1(311-=-+=-+n n a a n n ，则213,,2)1(3121-⋅=---=--a a n a a n n ，从而[]222

)

1(3)1(2)1(2131+--⋅

=---+++=-n n n n n a a n ， 2

6

732+-=∴n n a n

当公差为0时，也就是我们通常的等差数列. 5、积等差数列

定义：数列{}n a 中，从第二项开始，每一项与前一项乘积成等差数列，则称此数列为积等差数列.

例5 已知数列{}n a 中，{}n n a a a a ⋅==+121,2,1是以3为公差的等差数列，求n a

分析 由已知,2,121==a a ，{}n n a a ⋅+1是以首项为2，3为公差的等差数列

13)1(321-=-+=⋅+n n a a n n ，从而

7

34

32--=-n n a a n n . 当n 为偶数时

,73432--=-n n a a n n 24310313n n a n a n ---=-,58,24=a a ,(34)(310)

8

2(37)(313)

5

n n n a n n --=⨯--； 当n 为奇数时，

,73432--=-n n a a n n 24310

313

n n a n a n ---=-,315,

2a a =,(34)(310)5

1(37)(314)

2

n n n a n n --=⨯--. 当公差为0时，即为等积数列. 6、商等差数列

定义：数列{}n a 中，从第二项开始，每一项与前一项商成等差数列，则称此数列为商等差数列.

例6 已知数列{}n a 中，⎭⎬⎫

⎩⎨⎧==+n n a a a a 121,2,1是以3为公差的等差数列，

求n a .

分析 由已知,2,121==a a ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+n n a a 1是以首项为2，3为公差的等差数列

13)1(321-=-+=+n n a a n n ，从而431-=-n a a

n n ， 125)73)(43(11

2211⋅⋅--=⋅⋅⋅=

--- n n a a a

a a a a a n n n n n . 当公差为零时，{}n a 也就是我们通常意义下的等比数列.

以此类推，我们可以定义和、差、积、商等比数列，不再一一列出.新定义数列问题，处理方法和手段上源于教材中的基本数列，又有所变化，可以拓展同学的视野，加深对于数列概念的理解，也是培养学生迁移能力的良好素材，教学中应加以重视.