高考数学专题九 “20题、21题”

高考数学专题九 “20题、21题”

(时间：30分钟 分值：24分)

解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过椭圆的一个焦点作垂直于x

轴的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝1.P (－b,0)，A 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2上不同于P 的任意一点，过点P 作与P A 垂直的直线交圆x 2＋y 2＝a 2于B ，C 两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)试问|BC |2＋|CA |2＋|AB |2是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．

[解] (1)假设直线l 过椭圆的右焦点(c,0)，把x ＝c 代入椭圆方程，得c 2a 2＋y 2

b 2＝

1，即y 2＝b 2⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，所以|MN |＝2b 2

a ＝1. 又

b a ＝1－e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫322

＝12，所以a ＝2b ，结合2b 2a ＝1，可得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.

(2)设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知x 20＋y 20＝1，x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝

4，P (－1,0)，

所以|BC |2＋|CA |2＋|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 0)2＋(y 2－y 0)2＋(x 1－x 0)2

＋(y 1－y 0)2＝2(x 21＋y 21)＋2(x 22＋y 22)＋2(x 20＋y 20)－2(x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0

＋y 2y 0)＝18－2(x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0)．

因为P A ⊥PB ，所以P A →·PB →＝0，又P A →＝(x 0＋1，y 0)，PB →＝(x 1＋1，y 1)，所以(x 0

＋1)·(x 1＋1)＋y 0y 1＝0，即x 0x 1＋y 0y 1＝－1－(x 0＋x 1)，所以x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0＝x 2(x 0＋x 1)＋y 2(y 0＋y 1)－1－(x 0＋x 1)＝(x 0＋x 1)(x 2－1)＋y 2(y 0＋y 1)－1.

①当BC ⊥x 轴时，直线BC 与圆O 仅有一个交点P ，此时A (1,0)，|BP |＝|CP |＝3，|AB |＝|CA |＝22＋(3)2＝7，所以|BC |2＋|CA |2＋|AB |2＝(23)2＋(7)2＋(7)2＝26.

②当BC 与x 轴不垂直时，直线BC 与圆O 有2个交点，设直线BC 交圆O 于另一点A ′，由A ′P ⊥AP ，知A ′A 为圆O 的直径，所以A ′(－x 0，－y 0)． 由线段A ′P 的中点与BC 的中点重合，可知x 1＋x 2＝－x 0－1，y 1＋y 2＝－y 0，即x 1＋x 0＝－1－x 2，y 1＋y 0＝－y 2，

所以x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0＝(－1－x 2)(x 2－1)＋y 2(－y 2)－1＝1－

(x 22＋y 22)－1＝－4，所以|BC |2＋|CA |2＋|AB |2＝18－2×(－4)＝26.

综上，|BC |2＋|CA |2＋|AB |2是定值，且为26.

21．已知函数f (x )＝x 2ln x ＋1－x .

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)当x ≥1时，f (x )≥a (x －1)2恒成立，求实数a 的取值范围．

[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x －1.

当x ＞1时，2x ln x ＞0，x －1＞0，所以f ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，2x ln x ＜0，x －1＜0，所以f ′(x )＜0，

所以函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．

(2)设g (x )＝f (x )－a (x －1)2＝x 2ln x ＋1－x －a (x －1)2(x ≥1)，

g ′(x )＝2x ln x ＋x －1－2a (x －1)，g ″(x )＝2ln x ＋3－2a .

若3－2a ≥0，即a ≤32，对一切x ≥1时，g ″(x )≥0，

所以g ′(x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(1)＝0，

所以g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，符合条件；

若3－2a ＜0，即a ＞32，存在x 0∈(1，＋∞)使得g ″(x )＝0，

当x ∈(1，x 0)时，g ″(x )＜0，所以函数g ′(x )在区间(1，x 0)上单调递减， 所以当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )＜g ′(1)＝0，所以函数g (x )在区间(1，x 0)上单调递减，

故当x ∈(1，x 0)时，g (x )＜g (1)＝0，这与题意矛盾．

综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦

⎥⎤－∞，32.