第10讲 一次函数及其应用(3～19分)

教材链接 1．(人教八下 P93 例 4)已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，求这个一次函 数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)． ∵y＝kx＋b 的图象过点(3，5)与(－4，－9)， ∴3－k＋4kb＋＝b5＝，－9，解得kb＝ ＝2－，1. ∴这个一次函数的解析式为 y＝2x－1.
命题点
序号 中考年份 一次函数与方程 一次函数解析式的确定 一次函数的实际应用
(组)、不等式的关系
1 2019 年
方案设计型(20) 函 数图象的平移(21)
2 2018 年
方案设计型(21)
3 2017 年
求解析式(20)
方案选取型(21)
4 2016 年
方案设计型(20)
命题点
序号 中考年份 一次函数与方程 一次函数解析式的确定 一次函数的实际应用
满分技巧 根据两函数图象确定不等式解集的方法
1．先确定关键点的坐标．如图，点 A 即为关键点． 2．在关键点左右两侧观察图象的位置．如图，在点 A 左侧，直线 l1 在直线 l2 下侧， 则 y1＜y2，故 x＜xA 即为不等式 k1x＜k2x＋b 的解集；在点 A 右侧，直线 l1 在直线 l2 上 侧，则 y1＞y2，故 x＞xA 即为不等式 k1x＞k2x＋b 的解集．
2．不含一次函数图象的实际问题 (1)一般步骤 ①设出问题中的变量； ②建立一次函数的解析式； ③确定自变量的取值范围； ④利用函数的性质解决问题； ⑤作答．
(2)实际问题中的最大值、最小值 在实际问题中，一般自变量的取值范围受到限制，一次函数的图象就由直线变成线 段或射线，根据函数图象的性质，函数就存在最大值或最小值.
一次函数与方程(组)、不等式的关系(10 年 1 考)
例 1 (2012·河南 7 题)如图，函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图象相交于点 A(m，3)，则
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不等式 2x<ax＋4 的解集为( A )
A．x＜32
B．x＜3
C．x＞32
D．x＞3
【解析】 由于函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图象相交于点 A(m，3)，∴把(m，3)代入 y＝2x，得 3＝2m.∴m＝32.∴A 点坐标为32，3.由图象知，在交点 A32，3的左侧，函数 y＝2x 的图象在函数 y＝ax＋4 图象的下方，∴当 x<32时，2x< ax＋4.∴不等式 2x< ax＋4 的解集为 x<32，故选 A．
y＝6105x0x2－30≤60x0≤4≤ 10x.＜230，
(4)请直接写出当 x＝ 2或6 小时时，两车相距 300 千米．
考法二 方案选取型问题 例 4 (2013·河南 21 题)某文具商店销售功能相同的 A，B 两种品牌的计算器，购买 2 个 A 品牌和 3 个 B 品牌的计算器共需 156 元；购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算 器共需 122 元． (1)求这两种品牌计算器的单价．
3．求交点坐标 (1)求与 x 轴的交点坐标⇔令 y＝0，求出对应的 x 值即可； (2)求与 y 轴的交点坐标⇔令 x＝0，求出对应的 y 值即可； (3)求两个一次函数的交点坐标⇔联立两个函数关系式解方程即可．
一次函数解析式的确定(10 年 6 考) 1. 常用方法：待定系数法． 2．一般步骤 (1)设：设出一次函数解析式⑧ yy＝＝kkxx＋＋bb((kk≠≠00) ) ； (2)列：找出函数图象上的两个点，代入 y＝kx＋b 中，得到二元一次方程组； (3)解：解这个二元一次方程组，得到 k，b 的值； (4)还原：将所求的 k，b 的值代入所设的函数解析式中即可．
(组)、不等式的关系
5 2015 年
求 k 值(11)
一次函数图象型(21)
6 2014 年
方案设计型(21)
7 2013 年
求解析式(20)
方案选取型(21)
与不等式的关系求 8 2012 年
解集(7)
一次函数图象型(19) 方案设计型(21)
9 2011 年
求 k 值(20)
10 2010 年
写解析式(9)，求 k 值(21)
解：当 x＝2 时，y＝－60×2＋180＝60. ∴乙骑摩托车的速度为 60÷2＝30(千米/时)， ∴乙从 A 地到 B 地用时为 90÷30＝3(小时)．
满分技巧 当试题涉及一次函数的图象时，解决此类问题的关键是：①读懂横、纵坐标代表的 量；②拐点既是前一段函数变化的终点，又是后一段函数的起点，反映函数在这一时刻 开始发生变化；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变；④交点：表示两个函数 的自变量与函数值分别对应相等，交点是函数值大小变化的临界点．
(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌 计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器 5 个以上超出部分按原价的七折销售．设购买 x 个 A 品牌的计算器需要 y1 元，购买 x 个 B 品牌的计算器需要 y2 元，分别求出 y1，y2 关于 x 的函数关系式．
【解析】根据“A 品牌计算器按原价的八折销售”“B 品牌计算器 5 个以上超出部分按 原价的七折销售”，列出相应的关系式即可．
解：A 品牌：y1＝30x×0.8＝24x. B 品牌：①当 0≤x≤5 时，y2＝32x； ②当 x＞5 时，y2＝5×32＋32×(x－5)×0.7＝22.4x＋48. 则 y2＝3222x.（4x0＋≤4x8≤ （5x） ＞， 5）.
【解析】 设 A，B 两种品牌的计算器的单价分别为 a 元，b 元．根据题意，列二 元一次方程组，求解即可．
解：设 A，B 两种品牌的计算器的单价分别为 a 元、b 元． 根据题意，得23aa＋ ＋3bb＝＝112526，，解得ab＝ ＝3302， . 答：A 种品牌的计算器的单价为 30 元，B 种品牌的计算器的单价为 32 元．
设两车相遇后，快车到达甲地前的函数关系式为 y＝k1x＋b1. 将(4，0)，230，400代入 y＝k1x＋b1 中，得到一次函数的关系式为 y＝150x－6004≤x＜230. 设两车相遇后，快车到达甲地后的函数关系式为 y＝k2x＋b2， 将230，400，(10，600)代入 y＝k2x＋b2 中，得到一次函数的关系式为 y＝60x(230≤x≤10)． ∴两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式为
【变式训练】 1．如图，已知直线 y1＝x＋a 与 y2＝kx＋b 相交于点 P(－1，2)，则关于 x 的不等式 x＋a＞kx＋b 的解集是( B )
A．x＞1 C．x＜1
B．x＞－1 D．x＜－1
一次函数解析式的确定(10 年 6 考) 例 2 (2010·河南 9 题)写出一个 y 随 x 的增大而增大的一次函数的解析式： yy＝＝xx((答答案案不不唯唯一一)) ．
(1)求甲从 B 地返回 A 地的过程中，y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取 值范围．
【解析】 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，根据图象可得直线经过(1.5， 90)，(3，0)两点，利用待定系数法即可求出一次函数关系式．
解：设甲从 B 地返回 A 地的过程中，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋B．
根据题意，得31k.＋5kb＋＝b0＝，90， 解得kb＝ ＝－1806.0， ∴y＝－60x＋180(1.5≤x≤3)．
(2)若乙出发后 2 小时和甲相遇，求乙从 A 地到 B 地用了多长时间？
【解析】 结合(1)中所求的函数关系式，可得出 2 小时时骑摩托车所行驶的路程， 即可算出摩托车的速度，再用总路程除以摩托车的速度便可得出乙从 A 地到 B 地用了多 长时间．
【变式训练】 3．一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地， 两车之间的距离 y(千米)与行驶时间 x(小时)的对应关系如图所示． (1)甲乙两地的距离是 600 千米．
(2)求快车和慢车的速度分别是多少？ 解：根据题意，结合图象可知慢车总用时 10 小时， ∴慢车的速度为61000＝60(千米/时)． 设快车的速度为 x 千米/时． 由图象，得 60×4＋4x＝600，解得 x＝90. ∴快车速度为 90 千米/时，慢车速度为 60 千米/时．
一次函数的图象与性质 1．图象与性质
正比例函数 y ＝kx (k≠0)
k＞0
图象
k＜0
一次函数 y＝ kx＋b (k≠0)
性质
b＞0
k＞0
图象 b＜0
k＜0 b＞0
b＜0
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而③ 减减小小
2.一次函数图象的平移(口诀：左加右减，上加下减) (1)直线 y＝kx＋b 向左平移 m(m＞0)个单位长度得到直线④ yy＝＝kk((xx＋＋mm))＋＋bb ； (2)直线 y＝kx＋b 向右平移 m(m＞0)个单位长度得到直线⑤ y＝y＝k(kx(－x－mm)＋)＋bb ； (3)直线 y＝kx＋b 向上平移 m(m＞0)个单位长度得到直线⑥ y＝y＝kxk＋x＋b＋b＋mm ； (4)直线 y＝kx＋b 向下平移 m(m＞0)个单位长度得到直线⑦ yy＝＝kkxx＋＋bb－－mm ．
(3)求出两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式． 解：∵69000＝230(小时)，60×230＝400(千米)， ∴当时间为230小时时，快车已到达甲地，此时慢车走了 400 千米． 根据题意，结合图象可知，当 x＝4 时，两车相遇；相遇之后的图象的转折点表示 快车到达甲地后，慢车继续向乙地行驶．
【变式训练】
2．当－2≤x≤2 时，函数 y＝kx－k＋1(k 为常数且 k＜0)有最大值 3，则 k 的值为
-
2 －3 .
一次函数的实际应用(10 年 9 考) 考法一 一次函数图象型问题 例 3 (2012·河南 19 题)甲、乙两人同时从相距 90 千米的 A 地前往 B 地，甲乘汽车， 乙骑摩托车，甲到达 B 地停留半小时后返回 A 地，如图是他们离 A 地的距离 y(千米)与 时间 x(时)之间的函数关系式．
【解析】 根据一次函数的性质只要使一次项系数大于 0 即可， 故 y＝x(答案不唯一)．
满分技巧 利用待定系数法求一次函数解析式的方法
1．求正比例函数的解析式时，只要代入图象上一个点的坐标即可，因为正比例函 数只有一个待定系数．
2．求一次函数(非正比例函数)的解析式时，需要代入图象上两个点的坐标． 3．若已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与 y 轴的交点坐标，则 b 值已知，故代入图象 上一个点(与 y 轴的交点除外)的坐标即可求解．
一次函数的应用(10 年 9 考) 1．含有一次函数图象的实际问题 (1)函数图象变化的意义：图象上升，说明函数值随着自变量的增大而增大；图象平 行于 x 轴，说明此段图象上，函数值随着自变量的增大而没有发生变化；图象下降，说 明函数值随着自变量的增大而减小． (2)图象上拐点的意义：图象上的拐点既是前一段函数变化的终点，又是后一段函数 变化的起点，它反映函数图象在这一时刻开始发生变化． (3)函数图象的交点：交点说明在此刻几段函数的值相同，在实际问题中，常转化为 结果相等，尤其是在比较两段函数值大小的情况下，交点的作用尤为突出．
第三章 函数
第10讲 一次函数及其应用(3～19分)
【版本导航】人教：八下第十九章 P86—P109； 北师：八上第四章 P78—P101； 华师：八下第十七章 P43—P53，P59—P63.
一次函数、正比例函数的概念 1．一次函数：一般地，形如 y＝kx＋b(k，b 为常数，① k≠k≠00 )的函数，叫做一次 函数． 2．正比例函数：特别地，当 b＝② 0 时，y＝kx(k 为常数， k≠0 )叫做正比例函 数．
一次函数与方程(组)、一元一次不等式的关系(10 年 1 考) 1．一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交点的横坐标⇔方程 kx＋b＝0 的解． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一次函数 y＝kx＋b 与 y＝k1x＋b1 的图象的交点横、纵坐标值⇔方程组yy＝ ＝kkx1x＋＋bb，1 的解． 3. 一次函数与一元一次不等式的关系 (1) 一次函数 y＝kx＋b 的函数值 y＞0 时，自变量 x 的取值范围⇔kx＋b＞0 的解集； (2) 一次函数 y＝kx＋b 的函数值 y＜0 时，自变量 x 的取值范围⇔kx＋b＜0 的解集．