全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答同名

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题

一、填空题

1、

若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．

2、函数2281448y x x x x =----的最大值是 ．

3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线

段长为2，则直线l 的方程为 ．

4、

013

sin10-= ． 5、满足21x x -≥的实数x 的取值范围是 ．

6、若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值

范围是 [

]．

7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,

,10000中，被3除余2，并且被5除余3，

被7除余4的元素个数是 ．

8、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，111,,A B C 分别是棱,,DA DB DC 的中点， 以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧1111,A B B C ，并将两弧各分成五等分， 分点顺次为112341,,,,,A P P P P B 以及112341,,,,,B Q Q Q Q C ， 一只甲虫欲从点1P 出发，沿四面体表面爬行至点4Q ，则其 爬行的最短距离为 ．

二、解答题

9、正整数数列{}n a 满足：2

112,1n n

n a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质．

10、

（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，使HF CE =，作FD BC ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF 的中点，

12,O O 分别为,ABG BCH ∆∆的外接圆圆心，12,

O O 的另一交点为N ；

证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；

()2、12,,,O O M N 四点共圆；

11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()22

2x a y b r -+-=上

至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．

12、从集合{}1,2,,36M =中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不

是2015的因数，求n 的最小值．

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

一、填空题

1、

若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ． 答案：13个．

解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．

2

、函数y =的最大值是 ．

答案：

解：y =

=

=

其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，

其值为

3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线

，则直线l 的方程为 ．

答案：715x y +=或者75x y -=．

解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与4310x y ++=及4360x y ++=联

立，解得交点坐标3758,3434k k A k k --+⎛⎫

⎪++⎝⎭与312108,3434k k B k k --+⎛⎫

⎪++⎝⎭

，据AB =

=()

22

25(1)234k k +=+，所以17k =，217k =-，分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=．

4

、

01sin10-= ．

答案：4．

解：00

0000000001cos101sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10

-=⋅=

sin 2044sin 20=⋅=．

5x ≥的实数x 的取值范围是 ．

答案：1,2⎡-⎢⎣⎦

．

解：用图像法：令y =此为单位圆的上半圆，它与直线y x =交点

，半圆位于交点左侧的图像皆在直线y x =上方；或者三角函数代换法：

因11x -≤≤，令cos ,0x θθπ=≤≤，则sin y θ=x ≥，平方得

221x ≤，则

x ≤

，又有cos 1x θ=≥-，因此1,x ⎡∈-⎢⎣

⎦．

6、若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值

范围是 [

]．

答案：[]120,130．

解：()()()542433043T x y z x y z x y z x y z =++=+++++=+++ 因()()42380x y x y z x y z +=++++-=，所以110()T y z =++，

20(3)()2()x y z x y z x z =+--++=-，则10x z -=，因,x z 非负，于是10x ≥，

从而由30x y z ++=知，20y z +≤，得到110()130T y z =++≤， （当0,10,20z x y ===时取得等号）

再由4280x y +=，0y ≥，则20x ≤，所以3010y z x +=-≥，于是

110()120T y z =++≥，

（当20,0,10x y z ===时取得等号），所以120130T ≤≤． 7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,

,10000中，被3除余2，并且被5除余3，

被7除余4的元素个数是 ．

答案：95个．

解：对于每个满足条件的数n ，数2n 应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，21n -应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即21n -是105的奇倍数，而当{}1,2,

,10000n ∈时，