1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(11)复数(Word版,含答案)

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

复数部分

2019A 11、称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有

2211420n n n n z z z z ++++=，求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整

数m ，均有12m z z z C +++≥。

★解析：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知0n z ≠ ．由条件得

2

114210n n n n z z z z ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（n N *∈），解得1134n n z i z +-±=（n N *∈），因此112n n z z +=，

故111

11

22

n n n z z --=⋅

=（n N *∈）① 进而有1111333

124n n n n n n z i z z z z ++-±+=⋅+

==② 记12m m T z z z =++

+（m N *∈）则

当m 为偶数时，记2m s =，由②得

122122122

223333

s

m k k

k k k k k T z z z z z z ∞∞--===≥+-+>+=-=

∑∑ 当m 为奇数时

，

记

21m s =+，由①

②得

21

2122212111

1332322s k k s s k k s k s z z z ∞∞

+---=+=+=<==+⋅∑∑， 故1221221

2122233s

m k k s k k

k k T z z z z z z z ∞-+-==⎛⎫

≥+-+->-+= ⎪⎝⎭

∑∑ 当1m =时，1131T z ==>

，综上知3

C =满足要求。 另一方面，当11z =，22132k k i z -=，2121

132

k k i

z ++-+=（k N *∈），时，易验证得{}n z 为“有趣的”数列，

此时()21122121

1

333343

lim lim lim 1123s

s

s k k k s s s k k i i T z z z +++→∞

→∞

→∞

==---+=++=+=+=∑， 这表明3C ≤

3

C =

2019B 11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均

有22

11420n n n n z z z z ++++=，证明：对任意正整数m

，均有123

m z z z ++

+<

。 ★证明：归纳地可知0n z ≠ ．由条件得2

114210n n n n z z z z ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

（n N *

∈），解得

1n n z z +=

n N *∈），因此112n n z z +=，故11111

22n n n z z --=⋅=（n N *∈）①

进而有111112n n n n n n z z z z z ++-+=⋅+

==② 记12m m T z z z =++

+（m N *∈）则

当m 为偶数时，记2m

s =，由②得

212212211

1

1

23s m k k k k k k k k T z z z z ∞∞

---===≤+<+==

∑∑∑

。 当m 为奇数时，

记

21

m s =+

，

由

①

②

得

21

212211

12s k k s k s k s z z z ∞∞

+-=+=+=<==+∑∑，

故21221212113s

m k k

s k k

k k T z z z z z ∞

-+-==⎛⎫

≤++<+= ⎪⎝⎭

∑∑ 综上知结论获证。

2018A 6、设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222

=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为

◆答案：2

3

-

★解析：设bi a z +=（R b a ∈,，且12

2=+b a ）

则原方程变为()()02222

2

=-+++i bx bx ax ax ，所以⎩⎨⎧=-=++0

202222bx bx ax ax ***

，

①若0=b ，则12

=a ，解得1±=a ，检验得，1=a ，31±-=x ，即1-=z ；

②若0=b ，则由**知0=x 或2，检验得：2=x ，代入* 得4

1

-=a ，415±=b ，

所以i z 4

15

41±

-=；

综上满足条件的所有复数之和为2

341541415411-=--++-+

-i i

2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则

1

3

3221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 2

3

2-r

★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，3

31

z z =，因此

133221z z z z z z w ++=。

于是()()

w w w z z z z z z z z z r Re 2322

3222

1

3213212

+=++++=++++=

解得2

3

Re 2-=r w 。

2017A 11、（本题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且

2)Re()Re(2221==z z ，（其中)Re(z 表示复数z 的实部） ⑴求)Re(21z z 的最小值；

⑵求212122z z z z --+++的最小值。

★解析：⑴对2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），由条件知，

()0Re >=k k z x ，()2Re 2

==-k

k k z y x 因此：

()()()()()

2

222Re Re 2121212

22

12121221121≥-+≥-++=

-=++=y y y y y y y y

y y x x i y x i y x z z 又当221=

=z z 时，()2Re 21=z z ，这表明)Re(21z z 的最小值为2。

⑵对于2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），将k z 对应到平面直角坐标系xOy 中的点

()k k k y x P ,，记/2P 是2P 关于x 轴的对称点，则1P ，/2P 均位于双曲线222=-y x 的右支上。

设21,F F 分别是双曲线的左右焦点，易知()()0,2,0,221F F -。根据双曲线的定义，有

2221+=PF PF ,222/21/2+=F P F P ，进而得到: =--+++212122z z z z

/211/211212122P P F P F P z z z z -+=--+++2424/212/221≥-++=P P F P F P ,等

号成立当且仅当2F 位于线段/21P P 上（例如，当i z z 2221+

==时，2F 恰是/

21P P 的中点）

。 综上可知，212122z z z z --+++的最小值为24。

2017B 2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为

★解析：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚

部可得9101022

a a

b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =