排队论问题讲解

= 对任何n都是常数的平均到达率.
= 对任何n都是常数的平均服务率.
1/ =
期望到达间隔时间
1/ =
期望服务时间
=
服务强度， 或称使用因子，/
统计平稳条件下的系统运行指标
L 平均系统队长
L 平均等待队长 q
W 平均排队等待时间 q
W 平均系统逗留时间
L, W, Lq, Wq的关系
Little’s formulae
L W
Lq Wq
1
W Wq
L Lq
♂
M / M / C 模型
• 此模型与M/M/1模型不同之处在于有C个服 务台，各服务台的工作相互独立，服务率 相等，如果顾客到达时，C个服务台都忙着， 则排成一队等待，先到先服务的单队模型。
在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。这两种 分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论中，指数分布是很重要的。它可以描述某 一任务（或顾客）的服务持续时间。
k阶爱尔朗分布
概率密度: f (x)= (λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0，λ>0.
0 x<0 数字特征： E[X]=1/λ; Var[X]=1/（kλ2 ）
达，所以在时间Wq内有λWq个顾客到达， Lq表示排队等待服务的平均顾
客数量，所以有： Lq =λ Wq
• （2） L=λW
•
系统中的平均顾客数（包括等待的和正在被服务的顾客）等于顾客的平
均到达速率乘以一个顾客在系统中花费的平均时间。
• （3） W= Wq + 1/
• 一个顾客在系统中花费的时间，就是它等待服务的时间加上被服务的时间。
来表示。
• (2)服务规律
服务规律通常是就服务时间的分布而言的。服务时间分布典 型地有指数分布、爱尔朗分布、一般分布等。 结论：顾客到达规律和服务规律都是通过概率来描述的，所以概 率论是排队论的基础。
基本排队关系
• 在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队 系统，若满足以下三个条件：
• 通用的little公式：
•
Lq=λWq L=λW W=Wq+ 1/
M/M/c模型
• M/M/c队列模型如下：
•
该队列系统的顾客到达为泊松流，到达速率为 λ，有并列的c个服务台，每
个服务台的服务速率为μ ，服务规则为FCFS。所有的服务台共享一个公用
的队列。该队列是一个生灭过程模型，其生灭速率为：
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务 （或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内有k 个顾客到达的概率为：
p=（λT）k e-λT/ k! ， 在时间T内顾客到达的平均顾客数= λT，
平均到达速度（顾客数/秒）= λ 服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，因为当顾客 根据泊松过程到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与 其它顾客的到达无关。
M/M/1///FCFS M/M/1 /
M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k阶Erlang 分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
基本排队模型－记号
系统状态 : L=排队系统顾客的数量,队长。
N(t) =在时刻 t 排队系统中顾客的数量。 Lq =等待服务的顾客的数量,队列长度。
P{Ta<t}= 1-e-λt , E[Ta]=1/ λ 因此，平均到达的时间间隔是到达速率的倒数。
服务规律的描述
• (1)主要描述参量
（a）平均服务时间 设服务时间的分布函数为F（t），则服务时间的平均表示
为: 1/μ=∫t dF(t) 其中μ称为平均服务速率，平均一个顾客的服务时间。
（b）服务速率 一般指平均服务速率，单位时间内被服务完的顾客数，用μ
队列分析的任务和假设条件
队列分析的基本任务是：
给出如下输入信息（概率分布）：
•
到达速率（ λ ）
•
服务时间（ 1/ )
求出如下输出信息（均值、标准差）：
•
等待顾客的数量（ Lq, σLq ）
•
等待时间（ Wq ，σwq）
•
系统中顾客的数量（L， σL）
•
逗留时间（ W，σw ）
• 排队论中的假设：
Pn(t) =在时刻t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
基本排队模型－
统计平稳条件下的记号
P P lim t
t n
n
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间内平均到 达的顾客人数即是平均到达率）
n = 系统有n个顾客时的平均服务率（单位时间内被服务 完的顾客数即是平均服务率）
• （2）到达规律
•
顾客的到达规律可以用概率来描述，两个顾客到达的时间间隔是独立的
随机变量，服从同一概率分布时。常用的分布规律有：
• （a）一般到达
• （b）泊松到达
• （c）爱尔朗到达
• （d）等间隔到达
泊松分布和指数分布在排队论中的应用
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
• 在排队分析中，最重要的一个假设是到达速率服从泊松分布， 等效的说法是到达间隔时间服从指数分布，这又等价于说到达 是随机的并彼此独立。我们几乎一直要作这一假定。没有它， 大部分的排队分析是不可能的。在这个假定的条件下，我们会 发现仅仅知道到达速率和服务时间的均值和标准差就可以得到 许多有用的结果。
• 1 到达规律的描述
• （1）主要描述参数
• （a）到达时点
• 时将刻某tk一到时达刻的设顾客为为t0，Nk顾，客则依到次达到时达点的可时用{刻tk用、N…k≤）t-表1≤t示0≤。t1≤t2≤…表示，如果在 • （b）平均到达间隔
• 一个顾客到达时刻之间的时宽为到达间隔。
• （c）到达速率
• 单位时间到达顾客的平均数叫到达速率，也称到达密度或输入速率。
•
λk= λ， k=0,1,2, …
•
μk= cμ k ≧ c
• 根据的生灭过程特点，可以得到下面在M/M/c队列中的常用公式。
C个服务台
基本排队模型－记号方案
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Arrival
Queue
Server
顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目 /排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排 队规则 (Kendall 记号)
M/M/1 系统运行指标
• 系统中平均顾客数：
•
L=ρ/(1- ρ),
• 顾客在系统中平均等待时间：
•
W=1/[μ( 1-ρ)]
• 顾客在队列中平均等待时间：
•
Wq= ρ /[μ( 1-ρ) ]
• 队列中平均顾客数：
•
Lq= ρ2 /( 1-ρ)
• 在单服务台系统中的little公式：
•
ρ = λ 1/, L=Lq+ ρ
模型之： M/M/*排队模型
• 1.M/M/1模型
顾客按照速率为λ的泊松过程到达，顾客的服务时间 是独立同分布的随机变量，通常分布设为均值为1／μ 的指数分布。假设顾客按照到达的顺序接受服务，即 FCFS服务。例如，如果“顾客”表示到达计算机系统 的作业任务，那么“服务台” 代表计算机系统。 • 另外一种M/M/1 队列的解释为：顾客代表消息，而 服务台代表通信信道。
几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次试验未出现成 功的条件下，再经过m次试验（即在n+m次试验中）首次出现成功 的概率，等于恰好需要进行m次试验出现首次成功的无条件概率。 用式子表达：
P{X=n+m | X>n}=P{X=m} (请同学们试证明之） 这种与过去历史(试验次数n)无关的性质称为马尔可夫性。
• 5 （负）指数分布
它是一种连续型的概率分布，它的概率密度为
f（x）= λe-λx x≥0
0
x<0
分布函数：
F（x）=1-e-λx x≥0
指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差：
μx = σx = 1/λ 在连续型随机变量中，只有指数分布具有无后效性。
即： 若随机变量ζ服从指数分布， 对任意的 s>0 ,t>0 ，有 P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t}
• （1）排队系统能够进入统计平衡状态；
• （2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
• （3）系统中任一顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达。
• 则下列 Little 公式成立（排队论中的通用公式）：
• （1） Lq =λ Wq
•
我们知道一个顾客的平均排队等待时间是Wq，且顾客是以平均速率λ到
令ρ λ ,只有当 λ 1时才不会排成无限的队列.称它为
cμ
cμ
这 个 系 统 的 服 务 强 度, 或 服 务 机 构 的 平 均 利 用率.
μP1 λP0
(n 1) μPn1 λPn1 (λ n μ)Pn ,
c μPn1 λPn1 (λ c μ)Pn
（负）指数分布： 它是一种连续型的概率分布，它的概率密度： f（x）=λe-λx x≥0 它的分布函数：F（x）=1-e-λx x≥0 指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差： μx = σx = 1/λ
泊松分布和指数分布的关系： 如果顾客以泊松到达,则顾客到达的时间间隔Ta服从指数分布， 即：
随爱如机尔果变朗k量分个X布随=的X机1随变+X机量2+变Xi…，量+i可=X1以k，服看2从，作k…具阶,有k爱,分同尔别一朗服指分从数布指分。数布即分的：布独具，立有那的k么阶k 个随机变量之和。
k阶爱尔朗分布在排队模型中，得到广泛应用。如：假定顾 客在到达窗口排队必须通过一个关口，这个关口由k层构成， 通过每层的时间服从参数为λ的指数分布，这样顾客通过整个 关口到达窗口排队时，就实现了爱尔朗分布。
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统 的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策 模型，改进系统的功能。

这里 Pi 1，且ρ 1。 i0
1 n c (n c)
用递推法解上述差分方程，可求得状态概率。
解得：P0

c-1
[
k0
1 (λ k! μ
)k

1 c!

1
1
ρ
( λ μ
)
c]-1
Pn


1 n!
(
λ μ
)n
P0

1
( λ )n
c!cn-c μ
P0
(n c) (n c)
• 整个系统的平均服务率为cμ，ρ*＝λ/cμ， （ρ*<1）为该系统的服务强度。
多服务台指数分布排队系统的分析（了解过程，理解结论）
一、M/M/c
规定各服务台工作相互独立且平均分配服务率相同
μ1 μ2 μc μ.
整个服务机构的平均服务率为cμ(当n c)；为nμ(当n c)。
4 泊松分布（Poisson）
P{X = k} = λk e -λ/ k! k=0,1,2,… 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象 的一种形式，在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是服从 泊松分布的。实践也证明：这种假设是有效的。
根据上式我们可以推导出系统的各项指标：

因为 （n c）Pn
nc1

nPnc
n1

n1
n c！c
n（ cρ）n
c
P0

右边
建立排队模型步骤
1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间 的相互关系。
2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假 设检验有关分布。
几种重要的概率分布
1 贝努里分布
它的概率分布为：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p 它也称两点分布或（0-1）分布。它描述一次贝努里试验中，
成功或失败的概率。
2 二项分布
P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n 它描述n次贝努里试验中事件A出现k次概率。
3 几何分布
P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, … 它描述在k次贝努里试验中首次出现成功的概率。
如下图：
k…2 1
00…00 窗口
基本组成
输入 来源
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分.
•输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的 ♂ 方式,服务时间分布等)
排队系统的到达和服务