第三章——流体流动特性
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3.2 流体流动的速度场
【例3-2】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求 流线方程。 【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
dx dy uv
将两个分速度代入流线微分方程
dx dy ky kx
积分上式得到 x2 y2 C
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆
3.1 流场及其描述方法
流场——流体质点在流动中所占据的空间
1. 拉格朗日法
拉格朗日法又称随体法：着眼于流体质点，通过跟踪每 一个流体质点的运动过程，研究流体质点物理量随时间变化 规律，进而确定整个流场内流体质点的运动参数。
B=B (a，b，c，t)
式中a、b、c，t称为拉格朗日变量，是初始时刻对质点的标识
（2）由流线微分方程式，
dx dy t 1 1
积分可得 x y c
(b)
t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为
x=y
(c)
这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。
18
3.2 流体流动的速度场
(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的 流线方程。由迹线方程可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2，y =1位置， 代入流线方程
M0 平移速度
M 相对M0的速度
3/2 1C 11
可得C = －1/4
t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为
x = 2 y－1/2
(d)
上式是一条与流体质点 A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向
为沿该直线朝 x, y值增大方向。
讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定
点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不
对于具体的流体质点来说x，y，z有双重意义：一方面它代表 流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。 也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也 是时间t的函数
x= x (t) y= y (t) z= z (t)
——流体质点的运动轨迹方程
5
3.2 流体流动的速度场
上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
dx dy dz u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)
13
3.2 流体流动的速度场
14
3.2 流体流动的速度场
流线的基本特性 (1) 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线 和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间 变化，故流线和迹线不相重合。 (2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况 流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外） (3) 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4) 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的 地方，表示该处的流速较小。
随a、b、c的变化，得到不同流体质点参数B的变化 a、b、c=const时， 表示某个确定的流体质点的运动规律。
1
3.1 流场及其描述方法
在t时刻，某质点a,b,c 的位置可表示为：
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
该流体质点的速度场为： u x u(a, b, c, t) t v y v(a, b, c, t) t w z w(a, b, c, t) t
t
位移时，物理量对时间的变化率
r (V
g)
迁移导数或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量
对时间的变化率。
注：1. 迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对 坐标的导数，变量仍然是t, 通过中间变量x,y,z 对时间求导。
2. 与拉格朗日坐标系下质点导数的比较
9
3.2 流体流动的速度场
【例】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 u x t, v y t
【例】已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上速度分布
呈抛物线分布
u
um
1
r R
2
其中um截面速度分布的最大速度。
求：（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V
【解】流量计算时dA = 2πrdr，抛物线分布的流量为
Q1
V ndA
同（见c和d式）。
19
3.2 流体流动的速度场
3. 流管、流束和总流
流管：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各
点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。
流管表面上流体的速度与流管表面平行，即流管表面法向
单位向量n 与该点的速度V相垂直。流管方程为：
nr
r V
0
流体质点不能穿过流管流入或流出。
11
3.2 流体流动的速度场
2.迹线和流线 迹线——某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成 的空间曲线，或流体质点的运动轨迹。与拉格朗日法相对应
其数学表达式为：
dx u, dy v, dz w
dt
dt
dt
12
3.2 流体流动的速度场
流线——某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点 速度方向相同的曲线。 其数学表达式为：
t
et
d
t
et
c2
(t
1)et
c2et
t
1
由t = 0时刻 x a, y b 可得 c1 a 1, c2 b 1
代回积分式，可得流体质点轨迹方程为
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
10
3.2 流体流动的速度场
求：在t = 0时刻位于点（a, b）的流体质点的运动轨迹。
【解】由流体质点的运动轨迹方程得
u dx x t dt
v dy y t dt
积分得：
x et c1
t
et
d
t
et
c1
(t
1)e t
c1et
t
1
y et c2
类似的方法可得到该流体质点的加速度场
2
3.1 流场及其描述方法
2. 欧拉法
又称局部法，是以流体质点流过空间某个点上时的运动特性， 来研究整个流体的运动的。所以流体质点的流动是空间点坐标
（x，y，z）和时间t的函数，任一参量B可以表示为
B=B (x，y，z，t)
式中，x,y,z,t 称为欧拉变量。是与流体质点无关的空间坐标值。
Rh =A0/χ=0.038(m) Dh=4Rh=0.153(m)
圆形截面湿周最小，过流截面积最大，最省料
25
3.3 流体微团运动分析
1. 亥姆霍兹速度分解定理
在 xy 平面流场中，M0 点的速度为在x方 向上的速度为u0，则利用流体参数的连 续性用泰勒展开可以得到邻近 的M 点的 速度在 x 方向的分量u可表示为
x
1 2
t2
t
c1,
y t c2
t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。质点A的迹线方程为
x 1 t2 t, y t
(a)
2
消去参数 t 可得 x 1 y 2 y 1 ( y 1)2 1
2
2
2
17
3.2 流体流动的速度场
上式表明质点A的迹线是一条以（－1/2，－1）为顶点，且通过原点的 抛物线（见图）。
u dx v dy
dt
dt
w dz dt
流体质点在x 方向上的加速度分量为：
所以
ax
Du Dt
u t
u x
dx dt
u y
dy dt
u z
dz dt
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
同理
ay
v t
u
v x
v
v y
w v z
A
R 0
um
1
r2 R2
2
rdr
2
um
R 0
r
r3 R2
dr
2 um
r2 2
r4 4R2
R 0
0.5um R2
其平均速度为：
V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q
R2
0.5um
24
3.2 流体流动的速度场
【例3-3】直径为d的圆形管道，边长为a的正方形管道和高为h, 宽为3h 的矩 形管道，具有相同的有效截面积A0=0.0314m2，分别求出这三种充满流体的 管道的湿周χ 、水力半径Rh 和当量直径Dh，并说明那种管道最省材料
动变形特性
变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析 方法
分别描述有限质点的轨 同时描述所有质点的瞬
迹
时参数
4
3.2 流体流动的速度场
速度场——任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场， 又称速度分布。
1. 流体质点运动的速度和加速度
在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为
r
r
r
r
V u(x, y, z,t)i v(x, y, z,t) j w(x, y, z,t)k
的速度变化率，反映了流场的非均匀性
7
3.2 流体流动的速度场
当地加速度
迁移加速度
8
3.2 流体流动的速度场
D 称为随体导数（质点导数）——表示跟随流体质点的导数
Dt
用欧拉法求流体质点任意物理量的时间变化率：
DB
B
r (V
)B
3-8
Dt t
当地导数，局部导数或时变导数，表示流体质点没有空间
对于在流管有效截面上流速不等的流动，其体积流量为
r
QV
VdA
A
当流速与截面A不垂直时，体积流量变为
QV
r V
nr
A
dA
V cosdA
A
式中n 是截面的外法线单位矢量
22
3.2 流体流动的速度场
平均流速：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上
各点都以相同的流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量
【解】
（1）直径为d 的圆管 （2）边长为a 正方形 （3）高为h的长方形
d=0.20(m）
d=0.177(m）
h=0.102(m）
χ=πd=0.628(m)
χ=4a=0.708(m)
χ=0.816(m)
Rh =A0/χ=0.05(m) Dh=4Rh=0.2(m) =d
Rh =A0/χ=0.044(m) Dh=4Rh=0.177(m)
【例3-1】 已知用速度场u=2x，v=2y, w=0。求质点的加速度及流场中（1，
1）点的加速度。
【解】
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
4x
ay
v t
u
v x
v
v y
w v z
4y
az 0 rr
a 4xi 4 yj
rr 在（1，1）点上， a 4i 4 j
az
w t
u
w x
v
w y
w
w z
6
3.2 流体流动的速度场
表示成矢量形式，即
a DV V V V
3-7
Dt t
欧拉方法中，流体质点的加速度由两项构成
(a)当地加速度 V : 固定点上流体质点的速度随时间的变 t 化率，反映了流场的非定常性引起
(b) 迁移加速度V V : 流体质点运动改变了空间位置而引起
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
r
V QV
VdA
A
AA
对于非圆截面管道引入湿周 、水力半径和当量直径概念
湿周χ ：在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度
水力半径Rh ：总流的有效截面面积与湿周之比
A
Rh 当量直径Dh ：4倍的水力半径
23
3.2 流体流动的速度场
流束：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束 流线簇，称为流束。
有效截面：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。
也称为过流 断面。
20
3.2 流体流动的速度场
21
3.2 流体流动的速度场
4. 流量和平均流速 流量：单位时间内通过有效截面的流体的量
体积流量 ：以Qv表示。单位为m3/s 质量流量 ：以Qm表示。单位为kg/s
x，y，z值不变， 改变t，表示空间某固定点的速度随时间的变
化规律。
t不变 ，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。
3
3.1 流场及其描述方法
3. 两种方法的比较
拉格朗日法
欧拉法
表达式复杂
表达式简单
不能直接反映参数的空 直接反映参数的空间分
间分布
布
不适合描述流体元的运 适合描述流体元的运动
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3.2 流体流动的速度场
【例】已知不定常流常速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。
求： （1）质点A的迹线方程；
（2）t = 0时刻过原点的流线方程；
（3）t = 1时刻质点A的运动方向
【解】(1)由迹线方程式，
dx t 1, dy 1
dt
dt
积分可得
3.2 流体流动的速度场
【例3-2】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求 流线方程。 【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
dx dy uv
将两个分速度代入流线微分方程
dx dy ky kx
积分上式得到 x2 y2 C
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆
3.1 流场及其描述方法
流场——流体质点在流动中所占据的空间
1. 拉格朗日法
拉格朗日法又称随体法：着眼于流体质点，通过跟踪每 一个流体质点的运动过程，研究流体质点物理量随时间变化 规律，进而确定整个流场内流体质点的运动参数。
B=B (a，b，c，t)
式中a、b、c，t称为拉格朗日变量，是初始时刻对质点的标识
（2）由流线微分方程式，
dx dy t 1 1
积分可得 x y c
(b)
t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为
x=y
(c)
这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。
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3.2 流体流动的速度场
(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的 流线方程。由迹线方程可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2，y =1位置， 代入流线方程
M0 平移速度
M 相对M0的速度
3/2 1C 11
可得C = －1/4
t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为
x = 2 y－1/2
(d)
上式是一条与流体质点 A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向
为沿该直线朝 x, y值增大方向。
讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定
点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不
对于具体的流体质点来说x，y，z有双重意义：一方面它代表 流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。 也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也 是时间t的函数
x= x (t) y= y (t) z= z (t)
——流体质点的运动轨迹方程
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3.2 流体流动的速度场
上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
dx dy dz u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)
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3.2 流体流动的速度场
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3.2 流体流动的速度场
流线的基本特性 (1) 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线 和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间 变化，故流线和迹线不相重合。 (2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况 流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外） (3) 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4) 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的 地方，表示该处的流速较小。
随a、b、c的变化，得到不同流体质点参数B的变化 a、b、c=const时， 表示某个确定的流体质点的运动规律。
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3.1 流场及其描述方法
在t时刻，某质点a,b,c 的位置可表示为：
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
该流体质点的速度场为： u x u(a, b, c, t) t v y v(a, b, c, t) t w z w(a, b, c, t) t
t
位移时，物理量对时间的变化率
r (V
g)
迁移导数或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量
对时间的变化率。
注：1. 迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对 坐标的导数，变量仍然是t, 通过中间变量x,y,z 对时间求导。
2. 与拉格朗日坐标系下质点导数的比较
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3.2 流体流动的速度场
【例】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 u x t, v y t
【例】已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上速度分布
呈抛物线分布
u
um
1
r R
2
其中um截面速度分布的最大速度。
求：（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V
【解】流量计算时dA = 2πrdr，抛物线分布的流量为
Q1
V ndA
同（见c和d式）。
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3.2 流体流动的速度场
3. 流管、流束和总流
流管：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各
点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。
流管表面上流体的速度与流管表面平行，即流管表面法向
单位向量n 与该点的速度V相垂直。流管方程为：
nr
r V
0
流体质点不能穿过流管流入或流出。
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3.2 流体流动的速度场
2.迹线和流线 迹线——某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成 的空间曲线，或流体质点的运动轨迹。与拉格朗日法相对应
其数学表达式为：
dx u, dy v, dz w
dt
dt
dt
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3.2 流体流动的速度场
流线——某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点 速度方向相同的曲线。 其数学表达式为：
t
et
d
t
et
c2
(t
1)et
c2et
t
1
由t = 0时刻 x a, y b 可得 c1 a 1, c2 b 1
代回积分式，可得流体质点轨迹方程为
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
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3.2 流体流动的速度场
求：在t = 0时刻位于点（a, b）的流体质点的运动轨迹。
【解】由流体质点的运动轨迹方程得
u dx x t dt
v dy y t dt
积分得：
x et c1
t
et
d
t
et
c1
(t
1)e t
c1et
t
1
y et c2
类似的方法可得到该流体质点的加速度场
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3.1 流场及其描述方法
2. 欧拉法
又称局部法，是以流体质点流过空间某个点上时的运动特性， 来研究整个流体的运动的。所以流体质点的流动是空间点坐标
（x，y，z）和时间t的函数，任一参量B可以表示为
B=B (x，y，z，t)
式中，x,y,z,t 称为欧拉变量。是与流体质点无关的空间坐标值。
Rh =A0/χ=0.038(m) Dh=4Rh=0.153(m)
圆形截面湿周最小，过流截面积最大，最省料
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3.3 流体微团运动分析
1. 亥姆霍兹速度分解定理
在 xy 平面流场中，M0 点的速度为在x方 向上的速度为u0，则利用流体参数的连 续性用泰勒展开可以得到邻近 的M 点的 速度在 x 方向的分量u可表示为
x
1 2
t2
t
c1,
y t c2
t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。质点A的迹线方程为
x 1 t2 t, y t
(a)
2
消去参数 t 可得 x 1 y 2 y 1 ( y 1)2 1
2
2
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3.2 流体流动的速度场
上式表明质点A的迹线是一条以（－1/2，－1）为顶点，且通过原点的 抛物线（见图）。
u dx v dy
dt
dt
w dz dt
流体质点在x 方向上的加速度分量为：
所以
ax
Du Dt
u t
u x
dx dt
u y
dy dt
u z
dz dt
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
同理
ay
v t
u
v x
v
v y
w v z
A
R 0
um
1
r2 R2
2
rdr
2
um
R 0
r
r3 R2
dr
2 um
r2 2
r4 4R2
R 0
0.5um R2
其平均速度为：
V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q
R2
0.5um
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3.2 流体流动的速度场
【例3-3】直径为d的圆形管道，边长为a的正方形管道和高为h, 宽为3h 的矩 形管道，具有相同的有效截面积A0=0.0314m2，分别求出这三种充满流体的 管道的湿周χ 、水力半径Rh 和当量直径Dh，并说明那种管道最省材料
动变形特性
变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析 方法
分别描述有限质点的轨 同时描述所有质点的瞬
迹
时参数
4
3.2 流体流动的速度场
速度场——任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场， 又称速度分布。
1. 流体质点运动的速度和加速度
在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为
r
r
r
r
V u(x, y, z,t)i v(x, y, z,t) j w(x, y, z,t)k
的速度变化率，反映了流场的非均匀性
7
3.2 流体流动的速度场
当地加速度
迁移加速度
8
3.2 流体流动的速度场
D 称为随体导数（质点导数）——表示跟随流体质点的导数
Dt
用欧拉法求流体质点任意物理量的时间变化率：
DB
B
r (V
)B
3-8
Dt t
当地导数，局部导数或时变导数，表示流体质点没有空间
对于在流管有效截面上流速不等的流动，其体积流量为
r
QV
VdA
A
当流速与截面A不垂直时，体积流量变为
QV
r V
nr
A
dA
V cosdA
A
式中n 是截面的外法线单位矢量
22
3.2 流体流动的速度场
平均流速：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上
各点都以相同的流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量
【解】
（1）直径为d 的圆管 （2）边长为a 正方形 （3）高为h的长方形
d=0.20(m）
d=0.177(m）
h=0.102(m）
χ=πd=0.628(m)
χ=4a=0.708(m)
χ=0.816(m)
Rh =A0/χ=0.05(m) Dh=4Rh=0.2(m) =d
Rh =A0/χ=0.044(m) Dh=4Rh=0.177(m)
【例3-1】 已知用速度场u=2x，v=2y, w=0。求质点的加速度及流场中（1，
1）点的加速度。
【解】
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
4x
ay
v t
u
v x
v
v y
w v z
4y
az 0 rr
a 4xi 4 yj
rr 在（1，1）点上， a 4i 4 j
az
w t
u
w x
v
w y
w
w z
6
3.2 流体流动的速度场
表示成矢量形式，即
a DV V V V
3-7
Dt t
欧拉方法中，流体质点的加速度由两项构成
(a)当地加速度 V : 固定点上流体质点的速度随时间的变 t 化率，反映了流场的非定常性引起
(b) 迁移加速度V V : 流体质点运动改变了空间位置而引起
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
r
V QV
VdA
A
AA
对于非圆截面管道引入湿周 、水力半径和当量直径概念
湿周χ ：在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度
水力半径Rh ：总流的有效截面面积与湿周之比
A
Rh 当量直径Dh ：4倍的水力半径
23
3.2 流体流动的速度场
流束：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束 流线簇，称为流束。
有效截面：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。
也称为过流 断面。
20
3.2 流体流动的速度场
21
3.2 流体流动的速度场
4. 流量和平均流速 流量：单位时间内通过有效截面的流体的量
体积流量 ：以Qv表示。单位为m3/s 质量流量 ：以Qm表示。单位为kg/s
x，y，z值不变， 改变t，表示空间某固定点的速度随时间的变
化规律。
t不变 ，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。
3
3.1 流场及其描述方法
3. 两种方法的比较
拉格朗日法
欧拉法
表达式复杂
表达式简单
不能直接反映参数的空 直接反映参数的空间分
间分布
布
不适合描述流体元的运 适合描述流体元的运动
16
3.2 流体流动的速度场
【例】已知不定常流常速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。
求： （1）质点A的迹线方程；
（2）t = 0时刻过原点的流线方程；
（3）t = 1时刻质点A的运动方向
【解】(1)由迹线方程式，
dx t 1, dy 1
dt
dt
积分可得