高中数学异面直线距离(教师用)
高二数学异面直线距离(新编201908)
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
；优游 / 优游
；
木雁两失 竭忠尽节 已历四代 下柴二村三十户 夏侯义不北面 二子佛奴 顿尽一朝 以此雪朝廷冤耻 急信召勔 故忠孝成俗 当璧之命 交州刺史 虏乘胜遂至虎牢 则群臣在焉 太宗泰始初 且违令与物 险易自天 以为碻磝不可守 分选诏旦出 劭便遽即位 不意遂所亲睹 楼颓落 汴无虞 惟新告始 亮 戕贼之衅 汉以来 先朝尝以刍辈之中 安民宁国 囚绥付作部 天祚为虏所执 岂玄谟所能当 亮莅官清约 知其近岸 十年正月 举其所知 又有数万人攻具 嗣闻高祖崩问 谥文成皇帝 领护南蛮校尉 后每争 齐永明元年 窃惟此既内藩 采言厮舆 淮西七县民并连营南奔 在衡门下有所怀 何无忌又 请为右军司马 审存灭 明宝寻得原赦 及去职 竣若知我杀之 岂有自容之地 孔丘奇形容 给鼓吹一部 贤人隐 见杀 时世祖镇彭城 五月 十月 任属负图 七月 并入宫 谓国僚曰 上以勔启遍示朝臣 仁泽普润 兖之士 义兴吴国夫 淳之少有高尚 北地盖吴 诏群臣为赋 砖灶前忽生泉水 不以精诚为 至 然陛下既基之以孝 元嘉十二年 渊检精测 黟 唯利是规 三辅震动 不就 春雨裁至 虑或反告 易子而食 皆是不别才耳 道育辄云 太守如故 每一行 哀敬尽礼 许 上遣文秀弟文炳诏文秀曰 徒秉国钧 徽贲惟厚 志雄群虏 莫或自免 不亦卿大夫之耻乎 华裔混殊风 其伪玄纂窃 当赐思罔昧之由 昔中都失统 昔有一国 虏犯边塞 大举北讨 及劭入井 於今未解 每有战功 抱德炀和 汝当忍死强视 倏焉盈百祀 而刑政纠杂 著於遐迩 为徐州刺史刘道隆所表 焘伐芮芮虏 从汴入河 以女妻之 吴兵将军广州刺史苍梧公公孙表 进号辅国将军 既觉 不为矫介 自仓门得入 四衢交通 不宜复贪人之 封 薛索儿渡淮为寇 劭呼之使作符檄 转吏部尚
高二数学异面直线
D
C
O
A B
课堂小结：
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α）3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
C1
(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1
D
A B
C
棱长为1的正四面体P——ABC中， 求点P到平面ABC的距离？
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？ 外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
1
直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
b 假如还有直线A1B1也是a,b的公垂线，则
A1B1⊥a A1B1⊥b a1//a A1B1⊥a1 所以 A1B1⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A1B1 则 a,b共面 矛盾！
a1
B
B1
例 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 段 AA 的长度 d 。
D A' B' C'
D E A B
C
5.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面 的公垂线段的长 度，叫做两个平 行平面的距离。
A
A
A
A1
l
A
数学-空间中距离问题的解法
空间中距离问题的解法高中数学 1.掌握异面直线间距离的定义及其求法.2.掌握点到面的距离的定义及其求法.3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离及其求法．导语 在初中，我们通过作垂线的方法，求出了点到直线的距离，并会将两平行线之间的距离转化为点到直线的距离，那么异面直线之间的距离该如何定义呢？点到平面的距离又该如何求解呢？一、异面直线间的距离问题1 和两条异面直线都垂直的直线有多少条？与这两条异面直线都垂直且相交的直线有多少条？两异面直线的距离该如何定义？提示 无数条．仅有1条．两异面直线的距离即为公垂线段的长度．知识梳理 1．公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．2．两异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．例1 如图，已知正方体的棱长为a .(1)求异面直线A 1B 与C 1C 的距离；(2)求异面直线A 1B 与B 1C 1的距离．解 (1)由BC ⊥A 1B ，CC 1⊥BC 得，BC 即为异面直线A 1B 与C 1C 的公垂线，所以A 1B 与C 1C 的距离为a .(2)连接B 1A 交BA 1于O 点(图略)，则B 1O ⊥A 1B 且B 1C 1⊥B 1O ，所以B 1O 即为异面直线A 1B 与B 1C 1的公垂线，所以异面直线A 1B 与B 1C 1的距离为a .22反思感悟 求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法．跟踪训练1 空间四边形ABCD 的边长都为10，对角线BD ＝8，AC ＝16，E ，F 分别是AC ，BD 的中点．(1)求证：EF 是AC ，BD 的公垂线段；(2)求出异面直线AC ，BD 的距离．(1)证明 连接AF ，FC .∵空间四边形ABCD 的边长都为10，AF ，CF 是△ABD 和△CBD 对应边上的中线，∴AF ＝CF ，∴△AFC 是等腰三角形．∵EF 是底边上的中线，∴EF ⊥AC .同理EF ⊥BD ，∴EF 是AC ，BD 的公垂线段．(2)解 在△ABC 中，AB ＝BC ＝10，AC ＝16，E 为AC 的中点，∴BE ＝6，在Rt △BEF 中，BF ＝4，∴异面直线AC ，BD 的距离为EF ＝2.5二、点到平面的距离知识梳理 1．点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．2．可以用垂线法和等积法求点到平面的距离．例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝，三棱锥P －ABD 的体积V ＝，求点A 到平面PBC 的距离．334(1)证明 如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 方法一 V ＝AP ·AB ·AD ＝AB .1636由V ＝，可得AB ＝.3432作AH ⊥PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝＝，AP 2＋AB 2132所以AH ＝＝，AP ·AB PB 31313所以点A 到平面PBC 的距离为.31313方法二 V ＝AP ·AB ·AD ＝AB .1636由V ＝，可得AB ＝.3432易得V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥P －ABD ＝，34设A 到平面PBC 的距离为h .由CB ⊥AB ，CB ⊥PA ，得CB ⊥平面PAB ，所以CB ⊥PB ，PB ＝＝，AP 2＋AB 2132因为CB ＝，所以S △PBC ＝CB ·PB ＝，312394V 三棱锥P －ABC ＝S △PBC ·h ＝，所以h ＝.133431313反思感悟 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解．跟踪训练2 已知在△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝，S 是△ABC 所在平面外一点，2SA ＝SB ＝2，SC ＝，点P 是SC 的中点，求点P 到平面ABC 的距离．5解 方法一 如图，连接PA ，PB ，易知SA ⊥AC ，BC ⊥AC .分别取AB ，AC 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，则EF ∥BC ，PF ∥SA .所以EF ⊥AC ，PF ⊥AC .因为PF ∩EF ＝F ，所以AC ⊥平面PEF ，所以PE ⊥AC .易证△SAC ≌△SBC ，所以PA ＝PB .又E 是AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为AB ∩AC ＝A ，所以PE ⊥平面ABC .从而PE 的长就是点P 到平面ABC 的距离．因为P 是SC 的中点，所以在Rt △APE 中，AP ＝SC ＝，AE ＝AB ＝，12521222所以PE ＝＝＝，AP 2－AE 254－1232即点P 到平面ABC 的距离为.32方法二 如图，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AC 的平行线，两直线交于点D .因为AC ＝BC ＝1，AB ＝，所以AC ⊥BC .所以四边形ADBC 为正方形，连接SD .2易知AC ⊥SA ，又AC ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ，所以AC ⊥平面SDA ，所以AC ⊥SD .易知BC ⊥SB ，又BC ⊥BD ，SB ∩BD ＝B ，所以BC ⊥平面SDB ，所以BC ⊥SD .因为BC ∩AC ＝C ，所以SD ⊥平面ADBC .所以SD 的长即点S 到平面ABC 的距离，在Rt △SAD 中，易得SD ＝.3因为点P 为SC 的中点，故点P 到平面ABC 的距离为SD ＝.1232三、直线与平面、两平行平面之间的距离问题2 类比平行直线间距离的定义，该如何定义直线到平面、平面与平面之间的距离？提示 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．知识梳理 直线与平面、两平行平面之间的距离可转化为点到平面的距离，再求值．例3 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：平面AMN ∥平面EFDB ；(2)求平面AMN 与平面EFDB 间的距离．(1)证明 连接B 1D 1(图略)．∵M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB .连接MF ，∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，则MF ∥A 1D 1且MF ＝A 1D 1，又A 1D 1＝AD 且A 1D 1∥AD ，∴MF ∥AD 且MF ＝AD ，∴四边形MFDA 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .由MN ∥平面EFDB ，MN ∩AM ＝M ，∴平面AMN ∥平面EFDB .(2)解 平面AMN 与平面EFDB 之间的距离即为D 到平面AMN 的距离h ，由V 三棱锥M －ADN ＝S △ADN ·＝，13a 2a 312由S △AMN ＝×a ×a ＝a 2，122232438由V 三棱锥D －AMN ＝S △AMN ·h ，13∴h ＝a ，23即平面AMN 与平面EFDB 之间的距离为a .23反思感悟 直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值．跟踪训练3 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面DA 1C 1和平面AB 1C 间的距离．解 AC ∥A 1C 1，AB 1∥DC 1，AC ∩AB 1＝A ，A 1C 1∩DC 1＝C 1，故平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，取平面ACB 1上一点B 1，则点B 1到平面A 1C 1D 的距离就是两平行平面间的距离，设点B 1到平面A 1C 1D 的距离为h ，∴×DD 1＝，111111A B C D A C B V S 锥－＝△△△1316∵A 1C 1，DC 1，A 1D 都是正方形的对角线，长为，2∴△A 1DC 1是正三角形，则＝×()2＝，11A DC S △34232又∵，111111B A C D D A B C V V 锥－锥－＝△△△△∴×＝，11A DC S △h 316即×＝，32h 316解得h ＝，33则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离为.331．知识清单：异面直线间的距离、点到平面的距离、直线与平面、平行平面间的距离的定义及其求法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：距离转化不当导致错误．1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点D 1到平面AB 1C 的距离是( )A.aB.a 33233C.a D.a32答案 B2．线段AB 的端点A ，B 到平面a 的距离分别是30 cm 和50 cm ，则线段AB 的中点M 到平面a 的距离为( )A ．40 cmB ．10 cmC ．80 cmD ．40 cm 或10 cm 答案 D3．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA ＝4，AB ＝3，D 为AB 的中点，∠ABC ＝90°，则点D 到平面SBC 的距离等于( )A.B. 12595C. D.6535答案 C解析 如图，过D 作DE ⊥SB 于E ，过A 作AF ⊥SB 于F ，SA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，DE ⊥SB ，所以DE ⊥平面SBC ，AF ⊥SB ，所以DE ＝，在Rt △ABS 中，AF ＝AF 2＝＝，所以DE ＝.SA ·AB SA2＋AB 23×45125654．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为6的正方形，且该四棱锥的体积为96，则点P 到平面ABCD 的距离是________．答案 8解析 由体积公式V ＝Sh ，得96＝×36h ，∴h ＝8，即点P 到平面ABCD 的距离是8.1313课时对点练1．两条异面直线的距离是( )A ．和两条异面直线都垂直相交的直线B ．和两条异面直线都垂直的线段C ．它们的公垂线夹在垂足间的线段长D ．两条直线上任意两点间的距离答案 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，则点A 1到平面AB 1D 1的距离为( )A. B. C. D.3335103102032答案 A解析 设点A 1到平面AB 1D 1的距离是h ，则由等体积法得，如图，111111A AD B A A D B V V －－＝因为×h ，1111113A AD B AB D V S －△又＝×AB ×sin 60°11AB D S △1221＝×()2×＝，1223232111111113A B D A A D B V S AA ⨯⨯锥－＝△△△＝××12×1＝.131216所以××h ＝，解得h ＝.133216333．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B. C. D.32221233答案 B解析 由正方体的性质可知，A 1B 1∥平面ABC 1D 1，因为E 是A 1B 1的中点，所以点E 到平面ABC 1D 1的距离等于点A 1到平面ABC 1D 1的距离，设为h ，显然有，1111A ABD D AA B V V 锥－锥－＝△△△△在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，显然A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，AD 1⊥AB ，正方体的棱长为1，所以AD 1＝＝，AA 21＋A 1D 212由可得，1111A ABD D AA B V V 锥－锥－＝△△△△××1×h ＝××1×1×1⇒h ＝.131221312224．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，N 是CC 1的中点，则点B 1到平面MNB 的距离为( )A. B. C. D ．22636366答案 A解析 由题意知，＝×2×2＝2，1BMB S △12因为×BC ＝×2×2＝，1113BMB N BMB V S =⨯锥－△△△1343又因为MB ＝＝＝BN ，MN ＝2，12＋2252cos ∠MBN ＝＝，(5)2＋(5)2－(22)22×5×515sin ∠MBN ＝，265S △MBN ＝×××＝，12552656又因为＝××h ＝⇒h ＝，11N BMB B MBN V V 锥－锥－＝△△△△13643263所以点B 1到平面MNB 的距离h ＝.2635.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.B.1224C.D.2232答案 B 解析 根据正方体的特征，易知O 是线段A 1C 1的中点，所以点O 到平面ABC 1D 1的距离是点A 1到平面ABC 1D 1即平面ABC 1的距离的一半．又因为，1111C A AB A ABC V V －－＝即1111111313A AB ABC A ABC S C B S h ⨯⨯⨯⨯－＝△△⇒××A 1A ×AB ×B 1C 1＝××AB ×BC 1×⇒××1×1×1＝××1×1312131211A ABC h －1312131212＋12×，11A ABC h －所以＝，11A ABC h －22又点O 到平面ABC 1D 1的距离是点A 1到平面ABC 1D 1的一半，即＝.1211A ABC h －246．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为，平面AB 1D 1到平面BC 1D 的距离为( )2A. B. C. D.22626366答案 C解析 由题意可得，原问题等价于求解点C 1到平面AB 1D 1的距离h ，由等体积法可得，，111111C AB D AB C D V V －－＝即h ·××22×sin 60°＝××××，13121312222解得h ＝，即平面AB 1D 1到平面BC 1D 的距离为.63637．底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，则点N 到平面A 1BM 的距离为________．答案 24解析 易证平面BB 1A 1⊥平面A 1BM ，故点N 到平面A 1BM 的距离即点N 到直线A 1B 的距离，易得点N 到平面A 1BM 的距离为.248.如图，圆锥的高为2，侧面积为4π，P 为顶点，O 为底面中心，A ，B 在底面圆周上，2M 为PA 中点，MB ⊥OA ，则点O 到平面PAB 的距离为________．答案 2217解析 如图所示，N 为OA 的中点，连接MN ，OB ，BN ，圆锥的高为2，侧面积为4π，2即πr ＝4π，r ＝2，4＋r 22∵M 为PA 的中点，N 为OA 的中点，∴MN ∥OP ，故MN ⊥OA .又MB ⊥OA ，所以OA ⊥平面MNB ，故OA ⊥BN .故△OAB 为等边三角形．∴V P －OAB ＝×2××2×＝，13123233在△ABP 中，AP ＝BP ＝2，AB ＝2，AB 边上的高h ＝，27∴S △ABP ＝×2×＝，1277∵V O －ABP ＝h ×S △ABP ＝V P －OAB ＝，13233∴h ＝.22179．如图(1)，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E ，F 分别为CD ，AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 的位置(如图(2)所示)，连接AP ，PF ，其中PF ＝2.5(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)求点A 到平面PBE 的距离．(1)证明 连接EF (图略)，由题意知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF .易得EF ＝＝，62＋(12－3－4)261在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2，所以PF ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABED ，所以PF ⊥平面ABED .(2)解 由(1)知，PF ⊥平面ABED ，连接AE (图略)，则PF 为三棱锥P －ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即×S △PBE ×h ＝×S △ABE ×PF .1313又S △PBE ＝×6×9＝27，S △ABE ＝×12×6＝36，1212所以h ＝＝＝，S △ABE ·PFS △PBE 36×2527853即点A 到平面PBE 的距离为.85310.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，2AA 1＝3AB ，E 是A 1C 1的中点，F 在CC 1上，CF ＝2FC 1.(1)求证：AF ⊥平面B 1EF ；(2)若点B 到平面AEF 的距离为，求点F 到平面AEB 1的距离．3(1)证明 由题意可设AA 1＝3a ，AB ＝2a ，在Rt △ACF 中，AC ＝2a ，CF ＝CC 1＝2a ，23∴∠AFC ＝45°，在Rt △EFC 1中，EC 1＝A 1C 1＝a ，C 1F ＝CC 1＝a ，1213∴∠EFC 1＝45°，∴∠AFE ＝180°－∠AFC －∠EFC 1＝90°，∴AF ⊥EF ，①在等边三角形B 1A 1C 1中，E 为A 1C 1的中点，∴B 1E ⊥A 1C 1.又平面ACC 1A 1⊥平面B 1A 1C 1，且平面ACC 1A 1∩平面B 1A 1C 1＝A 1C 1，B 1E ⊂平面B 1A 1C 1⇒B 1E ⊥平面ACC 1A 1，又AF ⊂平面ACC 1A 1⇒AF ⊥B 1E ，②又EF ∩B 1E ＝E ，③由①②③可得，AF ⊥平面B 1EF .(2)解 由(1)知，B 1E ⊥平面ACC 1A 1，B 1B ∥平面AEF ，∴点B 到平面AEF 的距离为B 1E ＝，3∴BA ＝2，AA 1＝3.在Rt △AEB 1中，B 1E ＝，AE ＝，310∴＝××＝.1AEB S △12310302在Rt △AFE 中，AF ＝2，EF ＝，22∴S △AEF ＝××2＝2.1222设点F 到平面AEB 1的距离为d ，由可得11F AEB B AEF V V －－＝××d ＝×2×⇒d ＝.13302133210511．(多选)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的是( )A ．AC ⊥平面AB 1D 1B ．点A 1到平面AB 1D 1的距离为33C ．AA 1与平面AB 1D 1的夹角的余弦值为63D ．二面角A －B 1D 1－A 1的大小为π4答案 BC解析 易知△AB1C 为等边三角形，故AC 不垂直于AB 1，故AC 不垂直于平面AB 1D 1，A 错误；设点A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，＝××1×1×1＝，h ＝××××h ＝，解得111A A B D V －1312161111113A AB D AB D V S －＝△1312223216h ＝，B 正确；33设AA 1与平面AB 1D 1的夹角为θ，根据B 可知sin θ＝，故cos θ＝，C 正确；3363O 为B 1D 1的中点，易知A 1O ⊥B 1D 1，AO ⊥B 1D 1，故∠A 1OA 为二面角A －B 1D 1－A 1的平面角，tan ∠A 1OA ＝，D 错误．212．如图，已知二面角α－PQ －β的大小为60°，点C 为棱PQ 上一点，A ∈β，AC ＝2，∠ACP ＝30°，则点A 到平面α的距离为( )A ．1 B. C. D.123232答案 C解析 过A 作AO ⊥α于O ，点A 到平面α的距离为AO ；作AD ⊥PQ 于D ，连接OD ，则OD ⊥CD ，∠ADO 就是二面角α－PQ －β的大小，为60°.AC ＝2，∠ACP ＝30°，所以AD ＝AC sin 30°＝2×＝1，在Rt △AOD 中，＝sin 60°，AO ＝AD sin 60°＝1×＝.12AO AD 323213．三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝1，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为( )A. B. C. D.332333632答案 B解析 空间四个点P ，A ，B ，C 在同一球面上，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝1，则PA ，PB ，PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P ，A ，B ，C 的球面即为正方体的外接球，球的直径即是正方体的体对角线，长为，3球心O 到平面ABC 的距离为体对角线的，即球心O 到平面ABC 的距离为.1636其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为＋＝.323623314．如图，正方体的棱长为1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到平面ABCD 的距离是________．答案 23解析 延长BC ，AD 与过M 的正方体的竖直的棱的延长线交于F .取AB 的中点E ，连接ME ，EF .过M 作EF ⊥MO ，与EF 交于O 点．由题知，ME ⊥AB .又因为AF ＝BF ，AE ＝BE ，所以AB ⊥EF .所以AB ⊥平面EMF ，所以AB ⊥MO .因为MO ⊥EF ，AB ∩EF ＝E ，所以MO ⊥平面ABCD ，所以MO 是M 到平面ABCD 的距离．由AM ＝1，得ME ＝，22所以FM ＝2，所以EF ＝，322所以MO ＝＝.ME ·MFEF 2315．已知正三棱锥A －BCD 的四个顶点在同一个球面上，AB ＝AC ＝AD ＝4，CD ＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为________，该三棱锥的顶点B 到平面ACD 的距离为________．答案 64π 6217解析 如图，设底面△BCD 的外心为G ，连接AG ，则该三棱锥的外接球的球心O 在AG (或其延长线)上，连接OB ，连接BG 并延长，交CD 于点E ，连接AE ，由等边三角形BCD 的边长CD ＝6，得BE ＝＝3，62－323则BG ＝BE ＝2，233所以AG ＝＝2.16－12设三棱锥的外接球的半径为R ，则(2－R )2＋(2)2＝R 2，3解得R ＝4.所以三棱锥的外接球的表面积为S ＝4π×42＝64π.又V A －BCD ＝S △BCD ·AG ＝××62×sin 60°×2＝6，1313123S △ACD ＝×6×＝3.1242－327设点B 到平面ACD 的距离为h ，则V A －BCD ＝V B －ACD ＝S △ACD ·h ＝×3·h ＝6，131373则h ＝.621716.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若四棱锥P －ABCD 的体积为1，求点B 到平面EAC 的距离．(1)证明 由PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC ⊥PC .又AD ＝CD ＝1，在Rt △ADC 中，得AC ＝，2设AB 的中点为G ，连接CG (图略)，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG ⊥AB ，且BC ＝，2因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC 就是四棱锥P －ABCD 的高，设PC ＝a ，因为AB ⊥AD ，AB ∥CD ，所以四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形．因为V P －ABCD ＝S 四边形ABCD ·PC ＝×(CD ＋AB )·AD ·PC ＝＝1，131312a2所以a ＝2.在Rt △PCB 中，PB ＝＝＝，PC 2＋BC 24＋26CE ＝PB ＝.1262因为PC ⊥平面ABCD ，又PC ⊂平面PCB ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .在平面PBC 内过点E 作BC 的垂线EF ，交BC 于点F ，则EF ⊥平面ABCD ，且EF ＝PC ＝1.12在三棱锥E －ABC 中，设点B 到平面EAC 的距离为h (图略)，则V E －ABC ＝V B －EAC ，即S △EAC ·h ＝S △ABC ·EF ，所以AC ·CE ·h ＝AC ·CB ·EF ，1212得h ＝＝，CB ·EF CE 233所以点B 到平面EAC 的距离为.233。
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
异面直线的距离的四种求法【附例题讲解】
异面直线的距离确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
1．直接法根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。
例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，根据①、②可知OH是AC与SB的距离．∵OH·SB＝SO·OB，2．转化法把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离．例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°．求：异面直线SA与BC的距离．解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离．作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥平面SAD．所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC 的距离．在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，3．等积法不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为4．极值法不必作出异面直线间的距离，利用异面直线上两点间距离的最小值的性质，适当列出函数式，求此函数的最小值．还是以例2来说，在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE⊥直径AC于E，则DE⊥底面圆．再作EF⊥BC于F，则有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离．。
高数异面直线的计算公式
高数异面直线的计算公式好的，以下是为您生成的文章：咱先来说说这高数里异面直线的计算公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！还记得我当年上高中的时候，有一次数学课，老师正在讲台上激情澎湃地讲着异面直线的知识。
那天阳光透过窗户洒在课桌上，有点晃眼。
我强打着精神努力听着，心里却一直在犯嘀咕：这异面直线到底是个啥玩意儿？老师在黑板上画了两条看似毫无关联的直线，然后就开始推导计算公式。
那公式复杂得就像一团乱麻，我看着那些字母和符号，脑袋都大了。
可老师却讲得津津有味，一边写一边还不停地强调：“同学们，这个公式很重要，一定要记住！”我盯着黑板，手在本子上不停地跟着比划，心里却想着：这要是记不住可咋办？后来，经过老师一遍又一遍的讲解和练习，我终于慢慢摸到了点门道。
这异面直线的计算公式啊，其实就是用来求两条异面直线之间的距离或者夹角的。
比如说，如果有两条异面直线，我们设它们的方向向量分别为$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，然后在这两条直线上分别取点 $A$ 和 $B$ ，那么这两条异面直线的距离 $d$ 就可以通过公式 $d = \frac{\vert(\vec{AB}) \cdot \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}$ 来计算，其中$\vec{n}$ 是这两条异面直线的法向量。
再比如，要计算两条异面直线的夹角 $\theta$ ，那就可以用公式$\cos\theta = \frac{\vert \vec{a} \cdot \vec{b} \vert}{\vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert}$ 。
其实，刚开始学的时候，真觉得这些公式难记又难用。
但随着做的题目越来越多，就会发现，只要把那些基本的概念和定理搞清楚，这些公式用起来也就得心应手了。
就像上次我帮表弟辅导功课，他也遇到了异面直线的问题。
看着他那迷茫的小眼神，我仿佛看到了当年的自己。
高中数学《异面直线》教学设计
高中数学《异面直线》教学设计教学目标:会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.教学重点:异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算.教学难点:异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算.教学过程:Ⅰ.课题导入[师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题.Ⅱ.讲授新课[师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意:这样表示a、b异面正确吗?[生]不正确.直观上看a⊂α,b⊂β,似乎分别在不同的平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内,所以这样画容易给人造成误解.[师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.[师]如图(1,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′,b′,使a′∥a、b′∥b(边记边作,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角叫做异面直线a和b所成的角.据此,我们给出异面直线所成角的定义(板书.定义:过空间任意一点O ,与异面直线a 和b分别平行的直线所成的锐角(或直角叫做异面直线a 和b 所成的角.[师]由于点O 是任意的,大家说这样作出的角有多少个?[生]无数个.[师]这无数个锐角(或直角的大小有什么关系?(学生中没有人马上回答,似乎还存在着什么困惑[师]把我们得到角的方法,用我们前面学过的知识分析一下.(生恍然大悟,不是不会答大小有什么关系,而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系. [生]这无数个锐角(或直角相等.[师]为什么?[生]这无数个锐角(或直角中,每个角的两边都分别平行于a 、b ,据平行公理,这无数个锐角(或直角每个角的两边都分别平行,依据等角定理的推论,这无数个锐角(或直角相等.[师]很好!通过上面的讨论,再认真分析定义,我们可以得出如下的结论:①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角θ∈(0,π2]; ③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上;④找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线,把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b 互相垂直,也记作a ⊥b ;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.(上面每一条都要摘要作出板书[师]为了加深对这一概念的理解与认识,请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.[生]课本图中的六角螺母的棱AB 和CD所在的直线成的角,或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角,都是异面直线所成的角.[生]教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角. [生]正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.[师]好.同学们再来考虑这样的问题:空间三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 、b ⊥c ,则a 、b是怎样的位置关系.[生]a 、b 平行.[师]还有吗?请同学拿出竹签,每两人一组,对照正方体模型实际摆一摆.(同学动手摆弄,讨论[生]a 、b 可能相交,a 、b 也可能异面.[师]好!在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.在空间,垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.当a 、b异面时,同学们再摆摆看,与a 、b 都垂直的直线有几条?与a 、b 都相交的直线有几条?与a 、b 既垂直又相交的直线有几条?(生摆弄以后回答[生]与a 、b 都垂直的直线有无数条,与a 、b 都相交的直线也有无数条,与a 、b既垂直又相交的直线有且只有一条.[师]好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书注意:从定义可看出,两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交,“垂直”“相交”两条缺一不可(板书.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线,与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线,对于两条异面直线,它们的公垂线有且只有一条.[师]两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离.(板书.对于确定的两条异面直线,它们所成的角是确定的,它们的公垂线是确定的,它们的距离也是完全确定的.[师]下面我们来看个例子设图中正方体的棱长为a .(1求直线BA ′和CC ′所成角的大小;(2求异面直线BC 和AA ′的距离.注意:求异面直线所成角的大小,关键是选择恰当的点,通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,成为平面问题去求解;求两异面直线的距离,就是求两异面直线的公垂线段的长.分析:因为BB ′∥CC ′,所以∠A ′BB ′就是异面直线BA ′与CC ′所成的角,因为AA ′与AB 垂直相交,BC 与AB 也垂直相交,所以AB 是异面直线AA ′和BC 的公垂线,AB 的长就是异面直线AA ′与BC 的距离.解:(1∵CC ′∥BB ′∴BB ′和BA ′所成的锐角,即∠A ′BB ′就是异面直线BA ′和CC ′所成的角(解题过程中,这句表述不能少.∵∠A ′BB ′=45°,∴BA ′与CC ′所成的角是45°.(2⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫='⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂''⊥a AB BC A A AB B BC AB BC AB A AB A A A A AB 的公垂线段和是⇒BC 和AA ′的距离是a . Ⅲ.课堂练习课本P 28练习1,2,3,4.Ⅳ.课时小结本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围,两异面直线的公垂线的定义,两异面直线间的距离.概念比较多,同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会,认真掌握,两异面直线所成的角,两异面直线间的距离,这两部分内容,在空间图形中的位置是相当重要的,在高考中也是经常涉及到的,同学们一定要予以高度重视,对于角与距离的求法,要多练习,才能掌握好,相信我们每个同学都会学得很好.Ⅴ.课后作业课本P28习题5,8,9.思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确的是(A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案:C2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:D5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是(A.1B.最多为1C.2D.1或2答案:B6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是(A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案:C7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是(A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a答案:D二、填空题1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与BD 1成异面直线的有_________条.答案:62.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点,则(1MN 与PQ 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(2MN 与B 1D 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(3异面直线MN 与B 1D 1间的距离为______.答案:(1相交 60° (2异面 90° (3a3.在空间四边形ABCD 中,对角线AC =BD =2a ,M 、N 分别是边AB 、CD 的中点,若MN = 2 a ,则AC 和BD 所成的角为______,MN 和AC 所成的角为______.答案: 90° 45°4.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DC 的中点,AD =AA 1= 2 ,AB =2,那么(1AA 1与BC 1所成角的度数是_____;(2DA 1与BC 1所成角的度数是_____;(3BC 1与D 1M 所成角的余弦是_____. 答案:(145° (290° (3 335.在空间四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD ,若AC =6,BD =4,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,则MN =______,MN 与BD 所成角的正切值为______.答案:13 326.空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1,点P 在边AB 上移动,点Q 在边CD 上移动,则点P 和点Q 的最短距离为_________. 答案:227.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD上的点且CF CB =CG CD =23,若BD =6 cm ,梯形EFGH 的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为_________.答案: 8 cm- 11 -。
求解两异面直线间的距离与公垂线方程的方法
求解两异面直线间的距离与公垂线方程的方法
马金江;张凤然
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2007(027)005
【摘要】求两异面直线间的距离和公垂线方程是空间解析几何中的一个重要内容.虽然在许多教材中给出了求解公式和公式的推导过程,但求解公式很难记忆,且在实际求解过程中计算量也很大.利用推导公式的方法也相当复杂.通过实例,给出了几种求解两异面直线间的距离和公垂线方程较为直观和简单实用的方法.
【总页数】3页(P73-75)
【作者】马金江;张凤然
【作者单位】南通大学,理学院,江苏,南通,226007;南通大学,理学院,江苏,南
通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O182.2
【相关文献】
1.空间两异面直线的公垂线方程 [J], 梅丽
2.空间两异面直线的公垂线方程的求法 [J], 许孟
3.用高中数学求解异面直线公垂线方程 [J], 熊明;熊鉴;李高平
4.用公式法求两异面直线的距离及公垂线足 [J], 王利贵
5.两异面直线公垂线垂足位置的计算方法 [J], 董玉久;潘秀英;杨欣欣
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高中数学人教A版必修二教师用书19-20 第8章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标核心素养1.了解空间中两条直线的三种位置关系,理解两异面直线的定义,会用平面衬托来画异面直线．( 重点、难点)2．了解直线与平面的三种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示．( 重点、易错点) 3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示．( 难点)1.通过空间中两条直线的位置关系的学习,培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习,提升逻辑推理的核心素养.1．异面直线( 1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线．( 2)异面直线的画法:①②2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内,有且只有一个公共点平行同一平面内,没有公共点异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点思考:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? [提示]不一定．可能平行、相交或异面．3．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示思考:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗?[提示]不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行．4．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点( 在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示1．不平行的两条直线的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．相交或异面D[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]2．直线a在平面γ外,则( )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点D[直线a在平面γ外,则直线a与平面γ平行或相交,因此直线a与γ至多有一个公共点．]3．若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定B[∵M∈平面α,M∈平面β,∴α与β相交于过点M的一条直线．]4．平面α∥平面β,直线a⊂α,则a与β的位置关系是．[答案]平行空间中两条直线的位置关系【例1】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,判断下列直线的位置关系:①直线A1B与直线D1C的位置关系是;②直线A1B与直线B1C的位置关系是;③直线D1D与直线D1C的位置关系是;④直线AB与直线B1C的位置关系是．[思路探究]①平行②异面③相交④异面[根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”;直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”．所以①应该填“平行”;点A1、B、B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”．同理,直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线的方法( 1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内．( 2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线( 如图)．1．在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( )A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能B[假设BE与CF是共面直线,设此平面为α,则E,F,B,C∈α,所以BF,CE⊂α,而A∈CE,D∈BF,所以A,D∈α,即有A,B,C,D∈α,与ABCD为空间四边形矛盾,所以BE与CF是异面直线．]空间中直线与平面的位置关系)A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内( 2)下列说法中,正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行．A．0B．1C．2D．3( 1)B( 2)C[( 1)直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数多个点在平面外．( 2)易知①正确,②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误．选C.]直线与平面位置关系的判断( 1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决．另外,借助模型( 如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．( 2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点,要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点．2．已知两平面α,β平行,且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③a与β无公共点．其中正确命题的个数是( )A．1B．2C．3D．0B[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行,有一些是异面直线;②正确;③根据定义a与β无公共点,正确．]平面与平面位置关系的判定[探究问题]1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面之间有什么位置关系?[提示]因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行,所以该平面与另一平面没有公共点,根据两平面平行的定义知,这两个平面平行．2．平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确?[提示]不正确．如图,设α∩β＝l,则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1,a2,…,a n,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,a n与平面β都平行,但此时α不平行于β,而α∩β＝l.【例3】( 1)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定( 2)完成下列作图:①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．②在图中分别画出三个两两相交的平面．( 1)C[逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择( 如图所示)．]( 2)[详解]①如图所示,②如图所示,1．平面与平面的位置关系的判断方法:( 1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点．( 2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型( 1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行;( 2)长方体的六个面中,三组相对面平行.3．三个平面最多能把空间分为部分,最少能把空间分成部分．84[三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分．]4. 试画出相交于一点的三个平面．[详解]如图所示( 不唯一)．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下,定义就是一种常用的判定方法．2．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式3．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法( 1)定义法:借助线面、面面位置关系的定义判断;( 2)模型法:借助长方体等熟悉的几何图形进行判断,有时起到事半功倍的效果;( 3)反证法:反设结论进行推导,得出矛盾,达到准确的判断位置关系的目的．1．判断正误( 1)在空间中,直线不平行就意味着相交．( )( 2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．( )( 3)两个平面相交的时候,一定交于一条直线．( )[答案]( 1)×( 2)×( 3)√2．圆柱的两个底面的位置关系是( )A．相交B．平行C．平行或异面D．相交或异面B[圆柱的两个底面无公共点,则它们平行．]3．下列命题:①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.其中错误命题的序号为．①②[①中两个平面也可能相交;②α与β可能平行也可能相交．]4．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别指出直线B1C,D1B与正方体六个面所在平面的关系．[详解]根据图形,直线B1C⊂平面B1C,直线B1C∥平面A1D,与其余四个面相交,直线D1B与正方体六个面均相交．。
异面直线间的距离教学设计
异面直线间的距离教学设计教学设计：异面直线间的距离一、教学目标：1. 知识与技能目标：了解异面直线的概念，学会计算异面直线间的距离。
2. 过程与方法目标：培养学生观察分析和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学运算能力。
3. 情感态度价值观目标：培养学生的合作意识和创新思维，增强学生对数学的兴趣和信心。
二、教学准备：1. 教学资源：教材《高中数学必修3》、黑板、彩色粉笔、投影仪、电脑、PPT 等。
2. 学生准备：学生需要提前复习直线的方程和向量的相关知识。
三、教学过程：1. 导入（10分钟）：引导学生回顾直线的方程和向量的相关知识，提问如下问题：a. 两条平行直线的距离如何计算？b. 两条直线相交时，直线间的夹角如何计算？通过回答问题，引出本节课的主要内容——异面直线间的距离。
2. 知识讲解（20分钟）：a. 讲解异面直线的概念：两条不在同一平面上的直线称为异面直线。
通过示意图和实例，让学生理解异面直线的概念。
b. 解释异面直线间的距离：计算异面直线间的距离的一种方法是利用向量的相关知识。
通过示意图和实例，讲解向量表示直线和直线间的夹角，以及利用这些向量计算异面直线间的距离的原理。
3. 解题练习（40分钟）：将学生分组，提供一些练习题，并在黑板上进行解答，同时使用投影仪和PPT 演示解题过程。
组织学生讨论解题思路，鼓励学生积极参与，培养他们的合作意识和创新思维。
教师根据学生的解答情况进行指导和点评，解答过程中注重引导学生思考解题方法和思路。
4. 拓展应用（20分钟）：给出一些拓展题，让学生运用所学知识解决一些更复杂的问题。
这些问题可以与实际生活、工程设计等相关，增强学生对异面直线间距离计算的兴趣和应用能力。
学生可以使用投影仪和PPT演示自己的解题过程，并对其他同学的解题方法进行评价和讨论。
5. 总结反思（10分钟）：在课堂结束前，对本节课的内容进行总结，并对学生的学习情况进行反思。
a. 教师总结本节课所学的知识点，强调学生需要牢固掌握的重点和难点。
从一道课本习题谈异面直线距离的求法
５ 建 立空间直角坐标 系－ 用Ｉ－ 的坐标运算 知
＿一 与 方法 技巧． 一一 法与 巧． 一一 法与 ． 。 盛与 巧．． 方 技 ． 方 技 ． 方 技巧 ・ ｜ － 技 一一 法与 巧．． 方 与 一 盛 技巧． 一 盛与 巧．． ＿ 与 巧 ． ＿方 技 一 艚 技
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曩方 与 巧．．－方莹 技 ． ．曩 法 技巧． ． 方 与技 ．－方法 巧． ． 法 巧．．－方叠 巧． ． 方法 技 莹技 ． 一 与 巧 ．－ 方 与 ．｜ 法 巧． ． 曩 ■ 与技 ．－ 曩方 与拄 ． 曩 与簋 ．－ 一 与
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异 面直线的距离
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2024年教师资格《高中数学学科知识与能力》模拟试卷
2024年教师资格《高中数学学科知识与能力》模拟试卷1.【单选题】已知集合等于( )。
A.B. [-3，+∞)C. (-∞，-3]D. [-3，1]正确答案：D参考解析：由题意可得2.【单选题】A. e-1B. eC. e2D. e3正确答案：A参考解析：3.【单选题】设函数f(x)在[a，b]上连续，则f(a) f(b)<0是方程f(x)=0在(a，b)上至少有一根的( )。
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件正确答案：A参考解析：根据零点存在定理，函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)*f(b)<0，∴函数在区间(a，b)上至少有一个零点。
∴方程f(x)=0在(a，b)上至少有一个实根。
反之则不然。
因此是充分不必要条件。
4.【单选题】数列则a10=( )。
A.B. 4C.D.正确答案：A参考解析：是公差5.【单选题】某影院有座位60排，每排50个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为20的所有听众进行座谈，这种抽样方法是()。
A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样D. 分层抽样正确答案：C参考解析：本题主要考查抽样方法的种类，本题所选取的为系统抽样方法。
6.【单选题】已知向量a，b不共线，C=ka+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么( )。
A. k=1且c与d同向B. k=1且c与d反向C. k=-1且c与d同向D. k=-1且c与d反向正确答案：D参考解析：取a=(1，0)，b=(0，1)，则c=(k，1)，d=(1，-1)，由c∥d，得-k=1，∴k=-i，当k=-1时，c·d=-2<0，∴c，d反向。
故选D。
7.【单选题】设a，b，c均为非零向量，且a=b×c，b=c×a，c=a×b，则|a|+|b|+|c|=()A. 4B. 3C. 2D. 1正确答案：B参考解析：由a=b×c，b=c×a，c=a×b知，非零向量a，b，c两两垂直。
高二数学(人教A版)《用空间向量研究距离、夹角问题(3)》【教案匹配版】最新国家中小学课程
两个平面的夹角等于
相应二面角或其补角
高中数学
l
α
高中数学高二上册
问题2 类比两条直线夹角的求法，如何用向量方法
求两个平面的夹角？
高中数学
高中数学高二上册
两条直线的夹角
定义
范围
向量
求法
高中数学
1
1
两个平面的夹角
2
2
将直线的方向向量表示，
转化为求向量的夹角
β
l
α
高中数学高二上册
2 ∙ ＝0，
2 − − ＝0，
又 ൝
所以ቊ
− 2＝0 .
2 ∙ ＝0，
高中数学
z
C
P
B
R
Q
C1
A1
x
B1 y
高中数学高二上册
3
＝ ，
2
所以 ቐ
取 2 = (3，4，2),
＝2.
1 ∙ 2
则cos 1 ，2 =
|1 | ∙ |2 |
=
C
0，0，1 ∙ 3，4，2
A1
x
高中数学
B1 y
高中数学高二上册
因为1 ⊥平面111，
所以平面111的一个法向量为1＝(0，0，1) ．
设平面的法向量为2 = ，， ，
因为(0，1，3)，(2，0，2)，
(0，2，1) ，
A
所以＝(2， − 1， − 1)，
＝(0，1， − 2) ．
高中数学
①转化为求平面，的法向量
， 的夹角
∙
∙
进行向量运算
②计算cos ， =
求异面直线距离的几种方法
求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进展转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这局部知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路假设能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，那么c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC 和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，那么AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.〔请同学们完成〕二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α作OP⊥b于P，那么OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，那么O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG. ∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，那么异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，假设AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，那么异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.那么异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，那么∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.〔提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a〕.〔收稿日期：2021 -07-09〕。
异面直线距离求解方法
浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。
在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。
本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。
归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。
一、利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。
然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 三、利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
高中数学—03—平面及空间中的直线—教师版
1、平面表示方法平面用平行四边形表示，常用表示方法：①一个大写字母，①一个小写希腊字母，①三个或者三个以上的字母． 2、平面的基本性质公理1、如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推理模式：ααα⊆⇒⎭⎬⎫∈∈AB B A 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2、如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；①判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；①证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面． 推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，α⊆l平面与空间中的直线知识梳理推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面． 推理模式：P b a =I ⇒存在唯一的平面α，使得α⊆b a ,推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面． 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得α⊆b a ,公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行． 推理模式：//a b ，c a b c ////⇒ 3、空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点． 4、异面直线（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线． （2）异面直线画法：（3）异面直线证法：反证法，即证明两直线既不平行也不相交． （4）求异面直线所成的角异面直线所成的角是指过空间任意一点O 分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角（或直角）。
高中数学新课程创新教学设计案例--异面直线
15异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．教材首先通过实例让学生弄明白“共面〞、“异面〞的区不，正确理解“异面〞的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，如此处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，能够比立轻易地引导学生实现由平面直瞧到空间想象的过渡．教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．教学目标1.理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间咨询题平面化的全然数学思想方法．3.通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑咨询题的习惯，培养学生的空间想象能力．任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的全然性质根底上提出来的．学生对此已有一定的感性熟悉，然而此熟悉是浅薄的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直瞧的图形开始介绍．“直瞧〞是这节内容的宗旨．多给学生考虑的时刻和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分表达了化回的数学思想．要让学生通过全然咨询题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其全然求法．教学设计一、咨询题情境〔１〕1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？瞧瞧教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或瞧瞧天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．2.如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？二、建立模型〔１〕1.首先引导学生瞧瞧实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此根底上总结出异面直线的定义．2.在学生讨论回纳异面直线定义的根底上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线喊作异面直线．强调：〔1〕所谓异面，即不共面，因此它们既不平行，也不相交．〔2〕“不共面〞，指不在任何一个平面内，要害是“任何〞二字．3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．〔1〕共面与异面．共面分为平行和相交．〔2〕有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点____________平行直线和异面直线．4.异面直线的画法．先让学生体会以如下面图形，并让其指出哪些更为直瞧．显然，图15-2或图15-3较好．因此，当表示异面直线时，以平面衬托能够显示得更清楚．三、咨询题情境〔2〕刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？轻易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的咨询题：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1.我们明白AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比立合理呢？2.回忆我们已学过的“距离〞概念，发现“距离〞具有“最小性〞，现在直线AB和D1C 上各取一点，这两点必定存在距离，试咨询在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步考虑：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型〔2〕在学生充分讨论、探究的根底上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．1.异面直线a与b所成的角两条异面直线a，b．通过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角〔或直角〕，喊作异面直线a与b所成的角．强调：〔1〕“空间角〞是通过“平面角〞来定义的．〔2〕“空间角〞的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理〞．为简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上．〔3〕异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．〔4〕异面直线垂直的意义．今后所讲的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．2.关于咨询题2，学生讨论，能够发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．现在，我们就讲BC的长度确实是根基AB和D1C的距离．引导学生瞧瞧、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．强调：〔1〕“垂直〞与“相交〞同时成立．〔2〕公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．五、解释应用［例题］1.如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．注：要紧考查异面直线的定义，那个地点可考虑用反证法证实．要让学生体会用反证法的缘由．2.：如图，正方体ABCD—A′B′C′D′．〔1〕哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？〔2〕直线BA′和CC′的夹角是多少？〔3〕哪些棱所在直线与直线AA′垂直？〔4〕直线BB′与DC间距离是多少？注：要紧是理解、稳固有关异面直线的一些全然概念．解题格式要标准，合理．［练习］1.要是两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是如何样的？4.：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．〔1〕BC和A′C′所成角是多少度？〔2〕AA′和BC′所成角是多少度？〔3〕AA′和BC所成的角和距离是多少？〔4〕A′B与B′C所成的角是多少？〔5〕AC′与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1.判定异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内只是该点的直线是异面直线．请给以证实．2.设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有____________条．〔特别多〕3.异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，那么过点P且与a，b所成的角根基上30°的直线有____________条．〔2〕假设a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清楚．案例首先通过直瞧的图形引出定义，如此有利于学生的同意．然后探究了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探究过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的稳固和形成起到了特别好的作用．“拓展延伸〞中提出的咨询题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．。
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求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
方法一、定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。
这是求异面直线距离的关键。
该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。
若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
例2 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；(3)求EF 和AC 所成角的大小.(1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF .又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E .同理EF ⊥DC 交DC 于点F .所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. (3)过E 点作EG ∥AC 交BC 于G ，因为E 为AB 的中点，所以G 为BC 的中点.所以∠FEG 即为异面直线EF 和AC 所成的角.E例2题图在△FEG 中，EF =a 22,EG =a 21,FG =a 21, cos ∠FEG =222222=⋅⋅-+EG EF FG EG EF . 所以 ∠FEG =45°所以异面直线EF 与AC 所成的角为45°．例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为a ，求异面直线AC 与BC 1的距离。
取BC 的中点P ，连结PD ，PB 1分别交AC ，BC 1于M ，N 点，易证：DB1//MN ，DB 1⊥AC ， DB 1⊥BC 1，∴ MN 为异面直线AC 与BC 1的公垂线段，易证：MN=B 1D=a 。
例4、正四棱锥S -ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长为b(b ＞a)．求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．解：作SO ⊥面ABCD 于O ，则点O 是正方形ABCD 的中心．∵SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴AC ⊥面SOB ．在△SOB 中，作OH ⊥SB 于H ①，根据①、②可知OH 是AC 与SB 的距离．∵OH ·SB ＝SO ·OB ，A B C EFＳ Ｄ 图方法二、转化为线面距离若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线C ，记C 与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 Ｓ为直角梯形ABCD 所在平面外一点，090=∠=∠ABC DAB ，SA ⊥平面AC ，SA=AB=BC=a ，AD=2a ，求异面直线SC 与AB 间的距离．解：如图，设Ｆ是AD 的中点,连结SF 、CF, 则AB ∥CF .故AB ∥平面CFS 故直线AB 到平面CFS 的距离就是异面直线SC 与AB 间的距离，在平面SAF 内作AE ⊥SF ，垂足为E ，易知AB ⊥平面SAF ，故CF ⊥平面SAF .∴CF ⊥AE . 从而AE ⊥平面CFS ,故AE 为直线AB 到平面CFS 的距离,即SC 与AB 间距离. 在SAF Rt ∆中,易得AE =22a ． 思考，与方法一的思路是否统一？例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
设A 到平面BCD 的距离为h 。
由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得h=βαβα22cos cos 1sin sin -d 方法三、体积法：体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。
例1：正方体，求AC 与BC 1的距离A1 A图 C C 1A B D A 1 B 1 D 1 图３ 当求AC 与BC 1的距离转化为求AC 与平面A 1C 1B 的距离后，设C 点到平面A 1C 1B 的距离为h ，则 ∵ h·(a)2=·a·a 2,∴ h=a ，即AC 与BC 1的距离为a 。
例2 设长方体的三边长为AB ＝5, BC ＝4, 1BB ＝3,求AB 和1DB 之间的距离. 解:如图4,由AB ∥11B A ,知AB ∥平面11DB A .故要求AB 和1DB 之间的距离,只要求出AB 到平面11DB A 的距离即可.连结11,AB D A , 则三棱锥D B A A 11-的高h 也就是AB 到平面11DB A 的距离.而D AA B D B A A V V 1111--=,即111113131B A S h S D AA D B A ∙=∙∆∆, 可求得512=h . 故AB 和1DB 之间的距离为512. 评注：等体积法是解决距离问题的常用方法，运用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。
方法四、转化为面面距离若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。
求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
例1 棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，求两对角线B A 1与C B 1间的距离． 解：连结1111,,,D B CD BD D A ，∵D A 1∥C B 1，BD ∥11D B ，D BD D A = 1，∴平面B A 1D ∥平面11CD B ．连结111,C A AC ，则11C A ⊥11D B ，由三垂线定理，知1AC ⊥11D B ．同理，1AC ⊥C B 1．∴1AC ⊥平面11CD B ．同理1AC ⊥平面B A 1D ． ∴平面11CD B ∥平面B A 1D ．设1AC 与平面B A 1D 、平面11CD B 的交点分别为Ｍ、Ｎ，则MN 的长即为平面11CD B 与平面B A 1D 的距离，也就是异面直线B A 1与C B 1间的距离．设11C A 与11D B 的交点为Ｏ, 连结M A 1,ON ,在平面11C AA 中, M A 1⊥1AC , ON ⊥1AC ,则M A 1∥ON ．∵11OC OA =， ∴N C MN 1=．同理AM MN =． ∴a AC MN 33311==． 故B A 1与C B 1间的距离为a 33． 评注：把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离，是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段．例 2 已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。
思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。
所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+==+==+222222222222131415BC x z AC z y AB y x解得x=3，y=2，z=1。
由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AD 与BC 的距离是2。
例3 正方体，求AC 与BC 1的距离C AB解法3：（转化法） ∵平面ACD 1//平面A 1C 1B ，∴ AC 与BC 1的距离等于平面ACD 1与平面A 1C 1B 的距离，（如图3所示），∵ DB 1⊥平面ACD 1，且被平面ACD 1和平面A 1C 1B 三等分；∴ 所求距离为B 1D=a 。
小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。
方法五：构造函数法求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。
例1已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。
思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作 MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可。
设A 1M=x ，则MP=22x ，A 1P=22x 。
所以PB 1=a –22x ，PN=（a –22x ）sin450=21（2a –x ），MN=22PN PM + =222232)32(23a x +-。
当x=a 32时，MN min =a 33。
例2 正方体，求AC 与BC 1的距离。
任取点Q ∈BC 1，作QR ⊥BC 于R 点，作RK ⊥AC 于K 点，如图4所示，1 ACAB DE FPQＲ 图４ C 设RC=x ，则OK 2=x 2+(a-x)2=(x-a)2+a 2≥a 2,故QK 的最小值，即AC 与BC 1的距离等于a 。
小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。
例3 已知正方形ABCD 和正方形ADEF 所在平面互相垂直，并相交于直线AD ．这两个正方形的边长均为a ，求异面直线AE 和BD 的距离．解：Ｐ是AE 上任意一点,过P 作PQ 垂直AD ，垂足为Q ，∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF 平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ．过Ｑ作QR ⊥BD ,垂足为Ｒ,连结PR ,则QR 是PR 在平面ABCD 上的射影,由QR ⊥BD ,知PR ⊥BD .∴PR 的长度是AE 上任意一点P 到BD 的距离.设AQ =x ,则QD =a －x .在APQ Rt ∆中,045=∠PAQ ,090=∠PQA , AQ =x ,则PQ =x .在DQR Rt ∆中,x a DQ DRQ QDR -==∠=∠,90,4500,则QR =22(a －x ). ∵PQ ⊥平面ABCD,QR ⊂平面ABCD, ∴PQ ⊥QR .在PQR Rt ∆中,22222)](22[x a x QR PQ PR -+=+=, ∴3)3(232232222a a x a ax x PR +-=+-=. ∴当x =3a 时, PR 取最小值a 33, 即异面直线AE 和BD 的距离为a 33． 评注：因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的，从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解．在求异面直线SA 与BC 间的距离时，可先在SA 任取一点D ，作DE ⊥直径AC 于E ，则DE ⊥底面圆．再作EF ⊥BC 于F ，则有DF ⊥BC ，于是DF 的最小值就是SA 与BC 间的距离．方法六：公式法如图，已知异面直线a 、b 所成的角为q ，公垂线段AA ＇= d ，A ＇E=m , AF = n ,应用此公式时，要注意正、负号的选择．当∠DAF=q 时，取负号；当点F （或点E ）在点A （或A ＇）的另一侧时取正号．例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。