第四章 BCH码-1

m
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4.2 预备知识：有限域基础
用m次本原多项式构造扩域GF(2 )
构造扩域GF(2m)的步骤： ① 找一个GF(2)上的m次本原多项式p(x) ② 令α 为P(x)在GF(2m)上的根 m 0,α 1,α 2,„, 2 2 构成GF(2m)的 ③ 取α 的各次幂α 全部非零元素 ④ 加上零元素0即构成扩域GF(2m) 例如：用本原多项式 p(x)=x3+x+1 和 p(x)=x3+x2+1 分别构造扩域GF(23)
(Bose)和查德胡理(Chaudhuri)，各自独立地提出了二 元BCH码的构造方法。 1960年，彼得森(Peterson)从理论上提出了二元BCH 码的译码算法。 1966年，伯利坎普(Berlekamp)提出了BCH码的迭代译 码算法，使BCH码进入实用。 七十年代以后BCH码得到了极为广泛的应用，如磁记 录、CD/VCD/DVD、深空及卫星通信等。
则称F构成域。
如果F中元素个数有限，则称该域为有限域或伽罗华 (Galois)域，记为GF(q)。
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
例：集合{0,1}对模2加和模2乘构成二元 域，记为GF(2)； 例：如果q为素数，则集合{0,1,„,q-1} 对模q加和乘构成q元域GF(q)；
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,α =α +1
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4.2 预备知识：有限域基础
扩域GF(2 )的性质
定理4：如果GF(2m)中元素β是二元多项式f(x)在GF(2m) 上的根，则：β的2j（j=1,2,„）次幂也一定是f(x) 在GF(2m)上的根。 例如：GF(23)/p(x)=x3+x+1上： α是p(x)= x3+x+1的根，α2, α4, α8=α同样是p(x) 在GF(23)上的根。即：P(α)=P(α2)=P(α4)=0 费尔马定理：如果β是扩域GF(2m)上的非零元素，则 有： 2m
m
f
2l
f

2l

例如：GF(23)/p(x)=x3+x+1上： F(x)=x2+x 0,α 0=1,α 1=α ,α 2= α 2 ,α 3=α +1,α 4= (α2+α)2 = α α 2+α ,α 5=α 2+α +1 4+α2 = α2+α+α2 = α α 6 2
0 1 2
2m 2
)
例如：在扩域GF(23)上可以验证： x7-1=(x-1)(x-α)(x-α2)(x-α3)(x-α4)(xα5)(x-α6)
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4.2 预备知识：有限域基础
扩域GF(2 )的性质 定理3：如果f(x)是GF(2)上的多项式，β是扩 域GF(2m)中元素，则有：
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2 )
GF(2)={0, 1}称为GF(2m)的基域。 注意：GF(23)不能写成GF(8)，其含义不同。 GF(q)表示的是数域，而GF(qm)则是多项式域、GF(q) 的扩域。 不同的m次既约多项式的剩余类域是同构的
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
有限域的生成元：对于GF(q)，其中一定存在 非0元素g，其各次幂能生成域中的所有非0元 素，则g称为该域的生成元或本原元。
例如：GF(5)={0,1,2,3,4}中，
生成元
g g g g
= = = =
1 2 3 4
g0 g0 g0 g0
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用m次本原多项式构造扩域GF(2 )
扩域GF(2 )的表示方式
m m
m
扩域GF(2 )的性质
GF(2 )中元素的最小多项式
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
域的定义：对于非空元素集合F，若定义两种代数运 算”+”和“*”，且满足以下条件： 1)、F关于“+”运算构成交换群 2)、F中全体非0元素对“*”运算构成交换群 3)、两种运算满足分配律
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2 )
推论：扩域GF(2m)中至少存在一个本原元α (α 代表 一个次数小于m的多项式)，其各次幂α 0,α 1,α 2,„, 构成GF(2m)的全部非零元素。 定理2： GF(2)上的m次本原多项式p(x)在扩域GF(2m) 上一定有根，假设其根为α ，则α 一定是本原元。 根据以上定理，我们可以用GF(2)上的m次本原多项式 p(x)来构造扩域GF(2m) 。
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2 )
定理1：如果p(x)是GF(2)上的m次本原多项式，则扩域 GF(2m)的所有非零元素在模p(x)乘运算下构成循环群。
m
若一个群G的每个元都是G中的某个固定元α的次幂，则 称G为循环群，也称G是由α生成的群，记为G=(α)。
Biblioteka Baidu≡ ≡ ≡ ≡
1 1 1 1
g1 g1 g1 g1
≡ ≡ ≡ ≡
1 2 3 4
g2 g2 g2 g2
≡ ≡ ≡ ≡
1 4 4 1
g3 g3 g3 g3
≡ ≡ ≡ ≡
1 3 2 4
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
GF(q)中元素的阶：由GF(q)中元素的幂所能生 成域元素的个数称为该元素的阶。 例如：GF(5)中，2、3的阶为4；1的阶为1；4 的阶为2 定理：有限域GF(q)中，本原元的阶为q-1，其 余非零元素的阶均为q-1的因子。 说明：后面我们仅讨论二元域GF(2)及其扩域 GF(2q)，所有结论均可推广到q元域GF(q)。
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GF(23)/p(x)=x3+x2+1 0 0 000 α0 1 001 α1 α 010 α2 α2 100 α3 α2+1 101 α4 α2+α+1 111 α5 α+1 011 α6 α2+α 110
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4.2 预备知识：有限域基础
扩域GF(2 )的性质
定理1：扩域GF(2m)上非零元素αk的阶一定是 2m-1的因子，阶为：n=(2m-1)/(k,2m-1)。 其中：(k,2m-1)表示k和2m-1的最大公约数。 例如：GF(23)中，α0的阶为1，其余非零元素 的阶均为7。GF(24)中，„„ 定义：如果GF(2m)中元素αk的阶小于2m-1，则 称该元素为非本原元。
如果多项式f(x)是既约多项式，则其反多项式f*(x)一定是既约多项式； 如果多项式f(x)是本原多项式，则其反多项式f*(x)也一定是本原多项式。
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2 )
扩域GF(2m)：设p(x)为GF(2)上的m次既约多项式，模 p(x)的所有2m个余式在模p(x)加法和乘法下构成2m元域， 称为GF(2)的扩域(也称为模p(x)的剩余类域)，记为 GF(2m)。 例如： 设p(x)=x3+x+1，则： {0, 1, x, x2, x+1, x2+x, x2+x+1, x2+1}构成扩域 GF(23)。
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第四章 BCH码
4.1 BCH码概述
4.2 4.3 4.4 4.5 预备知识：有限域基础 BCH码的构造 BCH码的编码 BCH码的译码
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4.1 BCH码概述
BCH码的提出与发展
1959年，霍昆格姆(Hocquenghem)，1960年博斯
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通信工程系移动通信教研室
第四章 BCH码
4.1 BCH码概述
4.2 4.3 4.4 4.5 预备知识：有限域基础 BCH码的构造 BCH码的编码 BCH码的译码
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本章要求
了解BCH码的提出与发展 掌握：
扩域GF(2m)的概念、构造及域元素的运算 BCH码的基本概念与构造方法 BCH码的编码方法与迭代译码算法
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)上的多项式
GF(2)上的多项式：系数取自GF(2)的多项式 如：f(x)=x+1、f(x)=x3+x+1 等 定理：若f(x)是GF(2)上的m次多项式，则：
f ( x )
2l
f x

2l
既约多项式：如果GF(2)上的m次多项式f(x)除了1和它 本身之外不能被其它多项式整除，则称f(x)为GF(2)上 的既约多项式。
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第四章 BCH码
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 BCH码概述 预备知识：有限域基础 BCH码的构造 BCH码的编码 BCH码的译码
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
GF(2)上的多项式 GF(2)的扩域GF(2 )
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)上的多项式
多项式的周期：多项式f(x)的周期定义为f(x)能整除 xn-1的最小的n 本原多项式：如果GF(2)上的m次既约多项式 f(x)=xm+fm-1xm-1 +„+f1x+1的周期为n=2m-1，则称f(x) 为GF(2)上的m次本原多项式。 本原多项式一定是既约的，既约多项式未必是本原的。 反多项式：设f(x)是GF(2)上的m次多项式， 则f*(x)=xmf(x-1)称为f(x)的反多项式。
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4.1 BCH码概述
BCH码的提出与发展
对BCH码的后续研究主要集中在译码算
法的简化，如减少迭代次数、快速译码
算法、提高纠错能力、软判决译码等。
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4.1 BCH码概述
BCH码的特点
BCH码是线性分组码的重要子类，再具体讲，是 循环码子类。 BCH码具有构造方便、编码简单以及译码易于 BCH码是迄今为止研究 实现等优点，而且BCH码有完备的代数理论支 最为详尽、分析最为透彻、 持。 BCH码的生成多项式与最小距离d有密切关系， 取得成果最多、应用最为广泛的码类之一。 使设计者可以根据d的需要轻易构造出具有预定 纠错能力的编码方案。 纠错能力强，中短码长下的性能接近理论值。
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4.2 预备知识：有限域基础
扩域GF(2 )的性质
定理2：扩域GF(2m)上的所有非零元素都是GF(2) 2m 1 上多项式 x 1 在扩域GF(2m)上的根。即：
x
2m 1
m
1 ( x )( x )( x )......( x
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2 )
定理1：如果p(x)是GF(2)上的m次本原多项式，则扩域 GF(2m)的所有非零元素在模p(x)乘运算下构成循环群。 例如：设p(x)=x3+x+1，则：{0, 1, x, x2, x+1, x2+x, x2+x+1, x2+1}构成扩域GF(23)。 其中(x+1)的各次幂对p(x)取模，可以生成扩域集合中 的所有非0多项式，所以该扩域中所有非零元素在模 p(x)运算下构成循环群。 (x+1)0=1；(x+1)1=x+1；(x+1)2=x2+1；(x+1)3= x2 (x+1)4=x2+x+1；(x+1)5=x；(x+1)6=x2+x；
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4.2 预备知识：有限域基础
用m次本原多项式构造扩域GF(2 )
GF(23)/p(x)=x3+x+1 0,α 0=1,α 1=α ,α 2=α 2 ,α 3=α +1 α 4=α 2+α ,α 5=α 2+α +1,α 6=α 2+1 GF(23)/p(x)=x3+x2+1 0,α 0=1,α 1=α ,α 2=α 2 ,α 3=α 2+1, α 4=α 2+α +1,α 5=α +1,α 6=α 2+α
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4.2 预备知识：有限域基础
扩域GF(2 )的表示方式
GF(23)/p(x)=x3+x+1 0 0 000 α0 1 001 α1 α 010 α2 α2 100 α3 α+1 011 α4 α2+α 110 α5 α2+α+1 111 α6 α2+1 101
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