高中数学选修2-1课时作业12：1.2.1 充分条件与必要条件
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1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
一、基础达标
1.a <0，b <0的一个必要条件为( )
A.a ＋b <0
B.a －b >0
C.a b
>1 D.a b
<－1 [答案] A
[解析] a <0，b <0⇒a ＋b <0.
2.“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
[答案] C
[解析] ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.
3.一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a <0
B.a >0
C.a <－1
D.a <1
[答案] C
[解析] ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根. ∴⎩⎨⎧ Δ>0，x 1x 2<0.即⎩⎪⎨⎪⎧
4－4a >0，1a <0⇔a <0，本题要求的是充分不必要条件. 由于{a |a <－1}⊆{a |a <0}，故[答案]应为C.
4.已知p ：α≠β，q ：cos α≠cos β，则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] q ⇒p 成立，但p ⇏q ，∴p 是q 的必要不充分条件.
5.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] x 2＋y 2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，可知点(0,2)在此区域内，此时x ＝0<2.即x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，x 2＋y 2≥4不一定推出x ≥2且y ≥2.故A 正确.
6.设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A.x ＋y ＝2
B.x ＋y >2
C.x 2＋y 2>2
D.xy >1 [答案] B
[解析] 对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C 、D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意.
7.下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由.
(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；
(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；
(3)p ：△ABC 中，∠A ≠30°，q ：sin A ≠12
. 解 (1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2