加乘原理

（2） 5 × 9=45 （种）
答：
例 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。
⑴从中任取一本，共有多少种不同的取法？
⑵从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？
解: ⑵从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两 个步骤完成：
第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语 文书，有5种方法。根据乘法原理，得到不同的取法的种 数是： N= m1× m2 = 6×5 = 30
加法原理和乘法原理
㈣ 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
加法原理和乘法原理
㈣ 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域 依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂 色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
N = m1+ m2 = 6+5=11 答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法。
1：一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里 装有9个小球，所有这些小球颜色不相同。
（1）从两个盒子里任取一个小球，有多少 种不同的取法？ （2）从两个盒子里各取一个球，有多少种 不同的取法？
（1） 5+9=14（种）
加法原理和乘法原理
㈣ 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
问: 若用2色、3色、4色、5色等, 结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180种等。
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 方法。
2
3
A. 12
B.64
C.81
D.7
4 火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有
（ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
加法原理和乘法原理
1. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多 少？首位数字是0的密码数又是多少？ 分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位 , 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位 数的密码。 答:首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 9×102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码 数之和等于密码总数。
106, …… 种。
练习
• 1.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数 60 （各位上的数字不允许重复）？ • 2.由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三 位数（各位上的数字允许重复）？ 180 • 3.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十 15 位数字大于个位数字的两位数？ • 4. 一个三位密码锁,各位上数字由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9十个数字组成,可以设置多少种三位数 的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不 为0的密码数是多少种？首位数字是0的密码数 900 100 又是多少种？ 1000
乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间 是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某 件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才 算完成。 在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄 清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步” 的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才 能保证不重复、不遗漏。
含 1 本数学书和 1 本物理书的共有 7 × 5 = 35 种取法；
由加法原理得 63 + 35 + 45 = 143
含 1 本语文书和 1 本物理书的共有 9 × 5 = 45 种取法。
答：共有 143 种取法。
1、小军、小兰、小红三个小朋友排成一 排照相，有多少种不同的排法？ 3 ×2×1=6(种） 答：
2.如图,该电路,从 A到B共有多少条 不同的线路可通 电？
A
B
9.1 加法原理和乘法原理
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
两个原理的 共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点： 前者分类，后者分步；
如果分事件相互独立,分类完备,就用加法原理； 如果分事件相互关联,缺一不可,就用乘法原理。
加法原理和乘法原理
㈢ 例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈 会,有多少种不同的选法？
加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中
有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，… …， 在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1
种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有mn 种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不 同的方法。
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中 满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据加法原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)
9.1 加法原理和乘法原理
点评: 加法原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能 重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也 就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某 一种方法。
2、书架上各有5种不同的科技书，6 本不同的故事书、8本不同的英语书、 如果从中各取1本科技书、1本故事书和 1本英语书，那么共有多少种取法？
5×6×8=240(种）答：
例4：四个数字3、5、6、8可以组成 多少个没有重复数字的四位数？ 4 ×3 ×2 ×1=24（个） 答：
例：南京与上海的动车特快车， 中途只停靠常州、无锡、苏州三个 火车站，共准备多少种不同的车票？
例1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书。
⑴从中任取一本，共有多少种不同的取法？
⑵从中任取数学书与语文书各一本，共有多少种不同的取法？
解：⑴从书架上任取一本书，有两类办法：
第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取 一本，有 6 种取法；
第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取 一本，有5 种取法。 根据加法原理，得到不同的取法的种数是：
答: 从书架上取数学书与语文书各一本，共有30 种不同 的取法。
加法原理和乘法原理
㈢ 例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈 会,有多少种不同的选法？
分析: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加 座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步, 选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种。
B村
南
C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
乘法原理： 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方 法，… …，做第n步有mn种不同的方法。那么完 成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的 方法。
种
加法原理：
做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办 法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不 同的方法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方 法。那么完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种 不同的方法。
加法原理和乘法原理
2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路 有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法? 北 A村 中 南 北
加法原理和乘法原理
2. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字 组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复) ？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又 是多少？ 问: 若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分 别有多少种？
答:它们的密码种数依次是 104 , 105,
加法原理和乘法原理
3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个？
分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一 类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类 办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种 不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 m2 = 4 种 不同的方法; 所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。
4+3+2+1=10（种） 10 × 2=20（种） 答：
练习
1
书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书， 下层放有4本不同的英语书，从中任取1 本书的不同取法的种数 是（ ） A A. 5 + 6＋4 = 15 B. 1 C. 6×5×4 = 120 D. 3 在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的 种数是 ( C ) A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15 C. 5×6×4 = 120 C ) D. 1 把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 (
点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完 成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理 ”;“分步完成”用“乘法原理”。
例2 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的物理 书5本，从中任取两种不同类的书，共有多少种不同的取 法？
解：每次取出的两本书中：
含 1 本语文书和 1 本数学书的共有 9 × 7 = 63 种取 法；
m1
A
m2
……
B
点评: 我们可以把加wenku.baidu.com 原理看成“并联电路 ”;乘法原理看成“串 联电路”。如图:
mn
A
m1
m2
…...
mn
B
加法原理和乘法原理
4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可 通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通 。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。