正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系
正多边形与圆的关系
03
内切圆半径与正多边形边数关系
正多边形的内切圆半径与其边数成反比,即边数越多,内切圆半径越小。
正多边形与圆的切线关系
正多边形外接于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上,且从圆心到正多边形的边的垂直距离相等。
外接圆半径与正多边形边长关系
外接圆的半径等于正多边形边长,即R=s。
外接圆半径与正多边形边数关系
建筑结构中的应用
建筑设计
正多边形在建筑设计中有广泛的应用,如正方形的窗户、正三角形的屋顶等。
结构稳定性
正多边形可以用于建筑结构的稳定性设计,如正三角形结构可以提供更好的稳 定性。
05
正多边形与圆的未来发展
数学理论的发展
深入研究正多边形与圆的几何性质
随着数学理论的不断深入,未来将有更多关于正多边形与圆几何性质的发现和证明,为 数学领域的发展做出贡献。
等腰直角三角形
03
有一个直角且两腰相等的三角形。与圆的内切关系
01
正多边形内切于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上,且从圆心到正多边形的边的距
离相等。
02
内切圆半径与正多边形边长关系
内切圆的半径等于正多边形边长的一半,即r=s/2,其中r为内切圆半径,
s为正多边形边长。
优化设计
正多边形与圆在建筑设计、机械设计等领域有着广泛的应用, 未来将有更多研究致力于优化设计,以提高产品的性能和美观
度。
计算机图形学应用
随着计算机技术的不断发展,正多边形与圆在计算机图形 学领域的应用将更加广泛,如游戏设计、虚拟现实等。
物理学中的模拟实验
正多边形与圆在物理学中有重要的应用,如粒子加速器、磁场 等,未来将有更多研究利用正多边形与圆进行模拟实验,以更
中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解(基础)【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念:(1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系:(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.(3)把圆分成n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.3、正多边形性质:(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.要点诠释:(1)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是360n;所以正n边形的中心角等于它的外角.(2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.考点二、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式:,周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1.图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形.(1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180°)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于.【思路点拨】(1)作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长 FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求;(2)由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD=3=135°得到的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.【答案与解析】(1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求,(2)∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AOD=3=135°,∵OA=5,∴的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,∴2πR=,∴R=,即这个圆锥底面圆的半径为.故答案为:.【总结升华】本题考查了尺规作图,圆内接八边形的性质,弧长的计算,圆的周长公式的应用,会求八边形的内角的度数是解题的关键.举一反三:【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是______米.【答案】31 .解析:如图,以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C=3,所以AB=AO1+O1C+BC=131312222++=+.【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】321::【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为2,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是()A.5:4 B.5:2 C.:2 D.:【答案】A.【解析】解:如图1,连接OD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=∠ABO=90°,AB=BC=CD=2,∵∠AOB=45°,∴OB=AB=2,由勾股定理得:OD==2,∴扇形的面积是=π;如图2,连接MB、MC,∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形,四边形ABCD是正方形,∴∠BMC=90°,MB=MC,∴∠MCB=∠MBC=45°,∵BC=2,∴MC=MB=,∴⊙M的面积是π×()2=2π,∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷(2π)=.故选:A.类型二、正多边形与圆有关面积的计算2.(1)如图(a),扇形OAB的圆心角为90°,分别以OA,OB为直径在扇形内作半圆,P和Q 分别表示阴影部分的面积,那么P和Q的大小关系是( ).A.P=Q B.P>Q C.P<Q D.无法确定(2)如图(b),△ABC为等腰直角三角形,AC=3,以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D,则图中阴影部分的面积是________.(3)如图(c),△AOB中,OA=3cm,OB=1cm,将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′,求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时,可采用和差法、转化法、方程法等,有时也需要运用变换的观点来解决问题.【答案与解析】解:(1)阴影部分的面积直接求出十分困难,可利用几个图形面积的和差进行计算:2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=; (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形,则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积,等于△ABC面积的一半,答案为94; (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置,则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=. 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法;(2)割补法;(3)旋转法;(4)拼凑法;(5)等积变形法;(6)构造方程法.举一反三:【变式】如图,在△ABC 中,AB =AC ,AB =8,BC =12,分别以AB 、AC 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( )A .64π127-B .16π32-C .16π247-D .16π127-【答案】解:如图,由AB ,AC 为直径可得AD ⊥BC ,则BD =DC =6.在Rt △ABD 中,228627AD =-=∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影. 答案选D. 3.如图所示,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,弦BC ∥OA ,连AC ,求阴影部分的面积.【思路点拨】图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,如果连接OB 、OC ,由BC ∥OA ,根据同底等高的三角形面积相等,于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解.【答案与解析】解:如图所示,连OB 、OC∵ BC ∥OA .∴ △OBC 和△ABC 同底等高,∴ S △ABC =S △OBC ,∵ AB 为⊙O 的切线,∴ OB ⊥AB .∵ OA =4,OB =2,∴ ∠AOB =60°.∵ BC ∥OA , ∴ ∠AOB =∠OBC =60°.∵ OB =OC ,∴ △OBC 为正三角形.∴ ∠COB =60°,∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形.【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换;②可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化.举一反三:【变式】如图所示,半圆的直径AB =10,P 为AB 上一点,点C ,D 为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于________.【答案】解:连接OC 、OD 、CD . ∵ C 、D 为半圆的三等分点,∴ ∠AOC =∠COD =∠DOB =180603=°°. 又∵ OC =OD ,∴ ∠OCD =∠ODC =60°,∴ DC ∥AB ,∴ PCD OCD S S =△△,∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD .4.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E .(1)求弧BE 所对的圆心角的度数.(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).【思路点拨】(1)连接OE,由条件可求得∠EAB=45°,利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°;(2)利用条件可求得扇形AOE的面积,进一步求得弓形的面积,利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积.【答案与解析】解:(1)连接OE,∵四边形ABCD为正方形,∴∠EAB=45°,∴∠EOB=2∠EAB=90°;(2)由(1)∠EOB=90°,且AB=4,则OA=2,∴S扇形AOE==π,S△AOE=OA2=2,∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2,又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8,∴S阴影=8﹣(π﹣2)=10﹣π.【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质,掌握扇形的面积公式是解题的关键,注意弓形面积的计算方法.5.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,重叠部分(阴影)的量角器圆弧(AB)对应的中心角(∠AOB)为120°,AO的长为4cm,求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形,经过怎样的拼凑、割补、叠合而成,这是解决这类题的关键.【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成,其中扇形AOB 的中心角是120°,AO 的长为4,Rt △BOC 中,OB =OA =4,∠BOC =60°,∴ 可求得BC 长和OC 长,从而可求得面积,阴影部分面积=扇形AOB 面积+△BOC 面积=21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题,解答时,常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三:【变式】如图,矩形ABCD 中,AB =1,2AD =.以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ,则图中阴影部分的面积为________.【答案】1224π--. 解析:连接AE ,易证AB =BE =1,∠BAE =45°,所以∠EAD =45°, 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形.6.如图,AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上一点,PC切⊙O于点C,连接AC,过点O作AC的垂线交AC于点D,交⊙O于点E.已知AB﹦8,∠P=30°.(1)求线段PC的长;(2)求阴影部分的面积.【思路点拨】(1)连接OC,由PC为圆O的切线,根据切线的性质得到OC与PC垂直,可得三角形OCP为直角三角形,同时由直径AB的长求出半径OC的长,根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值,根据∠P的度数,利用特殊角的三角函数值求出tanP的值,由tanP及OC的值,可得出PC 的长;(2)由直角三角形中∠P的度数,根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数,进而得出∠BOC的度数,由OD与BC垂直,且OC=OB,利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线,可求出∠COD度数为60°,再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由斜边OC的长求出OD的长,先由∠COD的度数及半径OC的长,利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积,再由OD与CD的长,利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积,用扇形COE的面积减去三角形COD的面积,即可求出阴影部分的面积.【答案与解析】解:(1)连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∵AB=8,∴OC=12AB=4,又在直角三角形OCP中,∠P=30°,∴tanP=tan30°=OCPC,即PC=433=43;(2)∵∠OCP=90°,∠P=30°,∴∠COP=60°,∴∠AOC=120°,又AC⊥OE,OA=OC,∴OD为∠AOC的平分线,∴∠COE=12∠AOC=60°,又半径OC=4,∴S扇形OCE=26048= 3603ππ⨯,在Rt△OCD中,∠COD=60°,∴∠OCD=30°,∴OD=12OC=2,根据勾股定理得:CD=22OC-OD=23,∴S△OCD=12DC•OD=12×23×2=23,则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=8-233π.【总结升华】此题考查了切线的性质,含30°角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义,以及扇形的面积公式,遇到已知切线的类型题时,常常连接圆心与切点,利用切线的性质得出垂直,利用直角三角形的性质来解决问题.。
专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。
先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。
三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心,叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角,叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算?(2)正n边形的边长a,半径R,边心距r之间有什么关系?(3)边长a,边心距r的正n边形的面积如何计算?特别重要:圆内接正多边形的辅助线(1)连半径,得中心角;(2)作边心距,构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图,⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是()A.144°B.130°C.129°D.108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E=∠D=108°,由切线的性质得:∠OAE=∠OCD=90°,最后利用五边形的内角和相减可得结论.正五边形的内角=(5﹣2)×180°÷5=108°,∴∠E=∠D=108°,∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点,∴∠OAE=∠OCD=90°,∴∠AOC=540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°=144°.FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线,则【例题2】(2021南京)如图,,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒.BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径,所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半.如图:过圆心连接五边形ABCDE的各顶点,∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒.180【例题3】如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若直线PA与⊙O相切于点A,则∠PAB=()A.30°B.35°C.45°D.60°【答案】A【解析】连接OB,AD,BD,由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数,再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数,利用弦切角定理∠PAB.连接OB,AD,BD,∵多边形ABCDEF是正多边形,∴AD为外接圆的直径,∠AOB==60°,∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°.∵直线PA与⊙O相切于点A,∴∠PAB=∠ADB=30°,故选A.23,点P为六边形内任一点.则点P到各边距离之和是【例题4】如图,正六边形ABCDEF的边长为多少?【答案】18【解析】过P作AB的垂线,分别交AB、DE于H、K,连接BD,作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE,AF∥CD,BC∥EF,∴P到AF与CD的距离之和,及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD,∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°,∴∠CBD=∠BDC=30°,BD∥HK,且BD=HK∵CG⊥BD,∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18.各种题型强化训练一、选择题1.(2021江苏连云港)如图,正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动,MN=1,则△AMN 周长的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由正方形的性质,知点C是点A关于BD的对称点,过点C作CA′∥BD,且使CA′=1,连接AA′交BD于点N,取NM=1,连接AM、CM,则点M、N为所求点,进而求解.解:⊙O的面积为2π,则圆的半径为=AC,由正方形的性质,知点C是点A关于BD的对称点,过点C作CA′∥BD,且使CA′=1,连接AA′交BD于点N,取NM=1、CM、N为所求点,理由:∵A′C∥MN,且A′C=MN,则A′N=CM=AM,故△AMN的周长=AM+AN+MN=AA′+6为最小,则A′A==2,则△AMN的周长的最小值为3+1=8.2.一元钱硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A.12mm B.12mm C.6mm D.6mm【答案】A【解析】理解清楚题意,此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长.已知圆内接半径r为12mm,则OB=12,∴BD=OB•sin30°=12×=6,则BC=2×6=12,可知边长为12mm,就是完全覆盖住的正六边形的边长最大.3.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和的长分别为()A.2, B.2,π C., D.2,【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等,构建直角三角形,利用直角三角形的边角关系即可求出OM,再利用弧长公式求解即可.连接OB,∵OB=4, ∴BM=2, ∴OM=2,==π,故选D .4.如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( )A .34πB .1234πC .2438πD .34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积,再减去中间大圆的面积即可得到结果. 正六边形的面积为:142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为:22312ππ⋅⨯=,中间大圆的面积为:2416ππ⋅=, 所以阴影部分的面积为:24312162434πππ+-=-. 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm ),直线l 是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm .【答案】50.【解析】根据已知条件得到CM=30,AN=40,根据勾股定理列方程得到OM=40,由勾股定理得到结论.如图,设圆心为O,连接AO,CO∵直线l是它的对称轴,∴CM=30,AN=40,∵CM2+OM2=AN2+ON2,∴302+OM2=402+(70﹣OM)2,解得:OM=40,∴OC==50,∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.2.(2020•徐州)如图,A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为.【答案】10.【解析】连接OA,OB,根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36°,于是得到结论.连接OA,OB,∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,∴点A、B、C、D在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上,∵∠ADB=18°,∴∠AOB=2∠ADB=36°,∴这个正多边形的边数103.(2020•南京)如图,在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为cm2.【答案】2.【解析】连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,证明S△PEF=S△BEF,求出△BEF的面积即可.连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形,∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,∴S△PEF=S△BEF,∵AT⊥BE,AB=AF,∴BT=FT,∠BAT=∠F AT=60°,∴BT=FT=AB•sin60°,∴BF=2BT=2,∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,∴∠BFE=90°,∴S△PEF=S△BEF•EF•BF224.(2020•成都)如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”,,,,,,,…的圆心依次按A,B,C,D,E,F循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时,曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是.【答案】7π.【解析】利用弧长公式计算即可解决问题.的长,的长,的长,的长,的长,的长,∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π,5.(2020•贵阳)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是度.【答案】120.【分析】连接OA,OB,根据已知条件得到∠AOB=120°,根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA=30°,根据全等三角形的性质得到∠DOA=∠BOE,于是得到结论.【解析】连接OA,OB,∵△ABC是⊙O的内接正三角形,∴∠AOB=120°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵∠CAB=60°,∴∠OAD=30°,∴∠OAD=∠OBE,∵AD=BE,∴△OAD≌△OBE(SAS),∴∠DOA=∠BOE,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOB=∠AOE+∠BOD=120°6.如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则正六边形的边长为_____.【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角,然后按扇形面积公式列方程求解计算即可.∵正六边形的内角是120度,阴影部分的面积为24π,设正六边形的边长为r,∴2120224360rππ⨯⨯=,2224,3rππ∴=236,r∴=解得r=6.(负根舍去)则正六边形的边长为6.故答案为:6.7.(2020•连云港)如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过B2、B3,则直线l与A1A2的夹角α=°.【答案】48.【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C,设l交A1A2于E、交A4A3于D,由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°,得出∠CA2A3=∠A2A3C=60°,则∠C=60°,由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°,由平行线的性质得出∠EDA4=∠B2B3B4=108°,则∠EDC=72°,再由三角形内角和定理即可得出答案.【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C,设l交A1A2于E、交A4A3于D,如图所示:∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形,六边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,∴∠A1A2A3=∠A2A3A4120°,∴∠CA2A3=∠A2A3C=180°﹣120°=60°,∴∠C=180°﹣60°﹣60°=60°,∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形,五边形的内角和=(5﹣2)×180°=540°,∴∠B2B3B4108°,∵A3A4∥B3B4,∴∠EDA4=∠B2B3B4=108°,∴∠EDC=180°﹣108°=72°,∴α=∠CED=180°﹣∠C﹣∠EDC=180°﹣60°﹣72°=48°。
人教版数学九年级上册24.3正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案
-突破方法:通过实际作图和数学推导,让学生直观感受到边长与半径的数学关系。
-正多边形面积的计算:掌握正多边形面积的计算方法,特别是通过半径计算面积的应用。
-突破方法:提供具体的计算步骤和例题,让学生通过反复练习掌握面积的计算方法。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否见过正多边形的形状?”(如地板砖、风筝等)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索正多边形的奥秘。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括:
1.培养学生的几何直观和空间想象能力,通过正多边形的性质和与圆的关系的学习,使学生能够直观想象出正多边形的形状特征,理解其内在规律。
2.提升学生的逻辑推理和数学论证能力,让学生在探究正多边形性质的过程中,学会运用逻辑推理和数学论证的方法,形成严密的思维习惯。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调正多边形的性质和与圆的关系这两个重点。对于难点部分,如内角与外角的关系、边长与半径的关系,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与正多边形相关的实际问题,如计算正多边形地板的面积。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如用绳子围成一个正多边形,观察边长与半径的关系。
3.增强学生的数学建模和问题解决能力,通过解决正多边形相关的实际问题,培养学生运用数学知识构建模型、解决问题的能力。
初中数学知识点:正多边形和圆知识点
初中数学知识点:正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了,本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点,希望可以帮助大家复习,预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(,结果精确到1mm)答案:300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解:作B′M′∥C′D′,C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中,AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是:2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是:300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2,求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm,求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ,求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m,求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm,求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等,求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2,求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an,⊙O半径为R,试用an,R表示此圆外切正n边形边长bn.。
正多边形的有关概念正多边形与圆的关系
D
rR
MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径,得中心角;
2.作边心距,构造直角三角形.
课前问题解决:
如图,工人师傅 要拧开一个边长 为a=6 mm的正 六边形螺帽,你 知道扳手张开的 开口b至少为多 少吗?
练习
1.下列说法正确的是( D ) A.各边都相等的多边形是正多边形 B.一个圆有且只有一个内接正多边形 C.圆内接正四边形的边长等于半径
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2)180 n
中心角
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的 外角=中心角
A
F
中心
中心角
B
O半径R
E
边心问距r题1
C
D
典例精析
例:有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求 地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
2. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长 边心距 周长
2 23
22 22
1 23
1
8
3
12
面积
33
4
63
课堂小结
正多边形
正多边形的定义与对称性
正多边形的有 关概念及性质
正多边形的 有关计算
①正多边形的内角
和=
(n 2)180
n 360
②中心角= n
观察与思考
1.它的上下底面是什么图形? 2.它的上下底面的边和角有什么特点? 2.你学过的图形中还有具有这样特点的图形吗?
正多边形的有关概念正多边形与圆的关系4
探究学习,拓展延伸
1、正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割 成全等直角三角形的个数是多少? 2、每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成?
强化练习,巩固新知
(1)正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形;
(2)正三角形的半径为 R,则边长为_____,边心 距为______,面积为________.若正三角形边长为 a, 则半径为______;
内容说明
• 正多边形是生活中常见的图形,因此正多边形的有关 计算在生活中经常用到.正多边形和圆关系密切,只 要把圆分成相等的一些弧,就可以得到这个圆的内接 正多边形.正多边形的中心、半径、中心角、边心距 等概念也与正多边形的外接圆关系密切,这些概念是 进行与正多边形有关计算的基础.
• 学习目标: 1.理解正多边形和圆的关系,知道把圆分成相等的 一些弧,就可以得到这个圆的内接正多边形; 2.理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等 概念,会计算正多边形的边长、半径、边心距、 中心角、周长和面积.
有一个亭子,它的地基是半径为 4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).
应用新知,解决问题
1、亭子的地基是什么图形?求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积? 2、正六边形的半径,分别将它分割成多少个什么样子的 三角形? 3、观察图形中所得的三角形具有什么关系?为什么? 4、将上图中的结论推而广之,你得出了什么结论?哪 位同学说说自己的想法?
归纳总结,给出概念
正多边形的边有什么性质、角有什么性质? 各边相等,各角相等. 什么叫正多边形的中心角? 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角.
归纳总结,给出概念
正 n 边形的中心角度数如何计算? 中心角的度数= 360 n
正多边形和圆
(1)正n边形每一个内角的度数是
;
(2)正n边形每个中心角的度数是
.
14.如图,AB,AC,BD 是⊙O 的切线,P,C,D 为切点,若 AB=5,AC=4,则 BD
的长为
.
15.如图,等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,且 AB
=AC=5,BC=6,则 DE 的长是
.
三.解答题
-5-
16.已知:如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为弦作⊙O,交 BC 的延长线于点 D,且 DC
() A.60°
B.65°
C.72°
D.75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3.如图,点 G,H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC,CD 上的点,且 BG=CH,AG 交 BH 于点 P.(1) 求证:△ABG≌△BCH; (2)求∠APH 的度数.
4. 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3,a4,a6,则 a3:a4:
C.3
D.4
10.如图,AB 为⊙O 的切线,切点为 A,OB 交⊙O 于点 C,点 D 在⊙O 上,且 OD∥
AC,若∠B=38°,则∠ODC 的度数为( )
A.46°
B.48°
C.52°
D.58°
二.填空题
11.如图,已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆,切点分别为 D、E、F,且∠C=90°,AB
《正多边形和圆》重点、难点
《正多边形和圆》重点、难点
1.正多边形的定义:各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。
2.正多边形与圆的关系
(1)把圆分成n (n ≥3)等份,有如下结论:
其一:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形,这圆是正n 边形的外接圆。
其二:经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形,这圆是正n 边形的内切圆。
(2)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。
3.有关的概念
(1)正多边形的中心
(2)正多边形的半径
(3)正多边形的边心距
(4)正多边形的中心角
4.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
这里我们设:正n 边形的中心角为α,半径为R ,边心距为r ,边长为a n ,周长为P n ,面积为S n ,则有
();();();();();();1360221803180414561212222α=︒=⋅︒=⋅︒=⋅=⋅=⋅⋅=⋅n
a R n r R n R r a P n a S n r a r P n n n n n n n sin cos
()正多边形的每一个内角,内角和721802180=-⋅︒=-⋅︒()().n n n
5.每一个正多边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它还是中心对称图形。
6.重点和难点:
(1)重点是正多边形的计算问题,计算通常是通过解直角三角形来解决的,所以在解这类题时,要尽量创造直角三角形,把所求的问题放到直角三角形中去,尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。
(2)难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、(2022•长春)跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图,它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成,它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27厘米,则这个正六边形的周长为厘米.【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可.【解答】解:由图象的对称性可得,AM=MN=BN=AB=9(厘米),∴正六边形的周长为9×6=54(厘米),故答案为:54.2、(2022•营口)如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,CF,则∠ACF=度.【分析】设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角为120°,在△ABC中,根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC=30°,从而∠CAF=∠BAF﹣∠BAC=120°﹣30°=90°,过点B作BM⊥AC于点M,根据含30°的直角三角形的性质求出BM,根据勾股定理求出AM,进而得到AC的长,根据tan∠ACF===即可得出∠ACF=30°.【解答】解:设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角=(6﹣2)×180°÷6=120°,∵AB=BC,∠B=120°,∴∠BAC=∠BCA=×(180°﹣120°)=30°,∵∠BAF=120°,∴∠CAF=∠BAF﹣∠BAC=120°﹣30°=90°,如图,过点B作BM⊥AC于点M,则AM=CM(等腰三角形三线合一),∵∠BMA=90°,∠BAM=30°,∴BM=AB=,∴AM===,∴AC=2AM=,∵tan∠ACF===,∴∠ACF=30°,故答案为:30.3、(2022•呼和浩特)如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为(用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为.【分析】先求出正五边形的内角的度数,根据扇形面积的计算方法进行计算即可;扇形的弧长等于圆锥的底面周长,可求出底面直径.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BCD==108°,∴S扇形==;又∵弧BD的长为=,即圆锥底面周长为,∴圆锥底面直径为,故答案为:;.4、(2022•绥化)如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为度.【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH,即可得出∠BOH的度数.【解答】解:如图,连接OA,正六边形的中心角为∠AOB=360°÷6=60°,正五边形的中心角为∠AOH=360°÷5=72°,∴∠BOH=∠AOH﹣∠AOB=72°﹣60°=12°.故答案为:12.5、(2022•梧州)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正四边形,分别以点A,O为圆心,取大1OA的定长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交⊙O于点E,F.若OA 于2=1,则BE⌒,AE,AB所围成的阴影部分面积为.【分析】连接OE、OB.由题意可知,∴△AOE为等边三角形,推出S阴影=S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB=S扇形AOB﹣(S扇形AOE﹣S△AOE)﹣S△AOB=S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB,即可求出答案.【解答】解:连接OE、OB,由题意可知,直线MN垂直平分线段OA,∴EA=EO,∵OA=OE,∴△AOE为等边三角形,∴∠AOE=60°,∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形,∴∠AOB=90°,∴∠BOE=30°,∵S弓形AOE=S扇形AOE﹣S△AOE,∴S阴影=S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB=S扇形AOB﹣(S扇形AOE﹣S△AOE)﹣S△AOB=S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB=S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB=+﹣=.故答案为:.6、(2022•宿迁)如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是.【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O,过点M、O作直线l交CD于点N,则直线l 将正六边形的面积平分,直线l被正六边形所截的线段长是MN,连接OF,过点M作MH ⊥OF于点H,连接OA,由正六边形的性质得出AF=AB=6,∠AFO=∠AFE=×=60°,MO=ON,进而得出△OAF是等边三角形,得出OA=OF=AF=6,由AM=2,得出MF=4,由MH⊥OF,得出∠FMH=30°,进而求出FH=2,MH=2,再求出OH=4,利用勾股定理求出OM=2,即可求出MN的长度,即可得出答案.【解答】解:如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,过点M、O作直线l交CD于点N,则直线l将正六边形的面积平分,直线l被正六边形所截的线段长是MN,连接OF,过点M 作MH⊥OF于点H,连接OA,∵六边形ABCDEF是正六边形,AB=6,中心为O,∴AF=AB=6,∠AFO=∠AFE=×=60°,MO=ON,∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴OA=OF=AF=6,∵AM=2,∴MF=AF﹣AM=6﹣2=4,∵MH⊥OF,∴∠FMH=90°﹣60°=30°,∴FH=MF=×4=2,MH===2,∴OH=OF﹣FH=6﹣2=4,∴OM===2,∴NO=OM=2,∴MN=NO+OM=2+2=4,故答案为:4.。
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等,各内角相等”是正多边形的两
个基本特征,当边数n>3时,二者必须同时具备,
缺一不可,否则多边形就不是正多边形.
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3. 正多边形的有关概念
知1-讲
(1)正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径: 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心,OA 为半径作⊙ O,直径 FC ∥ AB, AO, BO
的延长线交⊙ O 于点 D, E.
求证:六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
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知1-练
思路导引:
感悟新知
知1-练
证明: ∵三角形 AOB 是正三角形,
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°, OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O;
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°,其中 A, B,C
均为圆上的点;
(3)连接 AB, BC, CA,则△ ABC 为
所求作的正三角形 ,如图 24. 3-4所示.
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作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O;
知3-练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB;
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE-CDE=CDA-CDE,即BC=AE.∴BC=AE.
同理可证其余各边都相等,
∴五边形 ABCDE 是正五边形.
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知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(-)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积;2.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念:(1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系:(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.(3)把圆分成n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.3、正多边形性质:(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.要点诠释:(1)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是360n;所以正n边形的中心角等于它的外角.(2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.考点二、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式:,周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1.图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形.(1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180°)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于.【思路点拨】(1)作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长 FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求;(2)由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD=3=135°得到的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.【答案与解析】(1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求,(2)∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AOD=3=135°,∵OA=5,∴的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,∴2πR=,∴R=,即这个圆锥底面圆的半径为.故答案为:.【总结升华】本题考查了尺规作图,圆内接八边形的性质,弧长的计算,圆的周长公式的应用,会求八边形的内角的度数是解题的关键.举一反三:【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是______米.【答案】31+.解析:如图,以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C=3,所以AB=AO1+O1C+BC=1313122++=+.【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32::【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为2,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是()A.5:4 B.5:2 C.:2 D.:【答案】A.【解析】解:如图1,连接OD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=∠ABO=90°,AB=BC=CD=2,∵∠AOB=45°,∴OB=AB=2,由勾股定理得:OD==2,∴扇形的面积是=π;如图2,连接MB、MC,∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形,四边形ABCD是正方形,∴∠BMC=90°,MB=MC,∴∠MCB=∠MBC=45°,∵BC=2,∴MC=MB=,∴⊙M的面积是π×()2=2π,∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷(2π)=.故选:A.类型二、正多边形与圆有关面积的计算2.(1)如图(a),扇形OAB 的圆心角为90°,分别以OA ,OB 为直径在扇形内作半圆,P 和Q分别表示阴影部分的面积,那么P 和Q 的大小关系是( ).A .P =QB .P >QC .P <QD .无法确定(2)如图(b),△ABC 为等腰直角三角形,AC =3,以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ,则图中阴影部分的面积是________.(3)如图(c),△AOB 中,OA =3cm ,OB =1cm ,将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′,求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时,可采用和差法、转化法、方程法等,有时也需要运用变换的观点来解决问题.【答案与解析】解:(1)阴影部分的面积直接求出十分困难,可利用几个图形面积的和差进行计算:2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=; (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形,则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积,等于△ABC 面积的一半,答案为94; (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置,则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=. 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法;(2)割补法;(3)旋转法;(4)拼凑法;(5)等积变形法;(6)构造方程法.举一反三:【变式】如图,在△ABC 中,AB =AC ,AB =8,BC =12,分别以AB 、AC 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( )A .64π127-B .16π32-C .16π247-D .16π127-【答案】解:如图,由AB ,AC 为直径可得AD ⊥BC ,则BD =DC =6.在Rt △ABD 中,228627AD =-=,∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影. 答案选D.3.如图所示,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,弦BC ∥OA ,连AC ,求阴影部分的面积.【思路点拨】图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,如果连接OB 、OC ,由BC ∥OA ,根据同底等高的三角形面积相等,于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解.【答案与解析】解:如图所示,连OB 、OC∵ BC ∥OA .∴ △OBC 和△ABC 同底等高,∴ S △ABC =S △OBC ,∴∵ AB 为⊙O 的切线,∴ OB ⊥AB .∵ OA =4,OB =2,∴ ∠AOB =60°.∵ BC ∥OA ,∴ ∠AOB =∠OBC =60°.∵ OB =OC ,∴ △OBC 为正三角形.∴ ∠COB =60°,∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形.【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换;②可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化.举一反三:【变式】如图所示,半圆的直径AB =10,P 为AB 上一点,点C ,D 为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于________.【答案】 解:连接OC 、OD 、CD .∵ C 、D 为半圆的三等分点,∴ ∠AOC =∠COD =∠DOB =180603=°°. 又∵ OC =OD ,∴ ∠OCD =∠ODC =60°,∴ DC ∥AB ,∴ PCD OCD S S =△△,∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD .4.如图,在边长为4的正方形ABCD中,以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E.(1)求弧BE所对的圆心角的度数.(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).【思路点拨】(1)连接OE,由条件可求得∠EAB=45°,利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°;(2)利用条件可求得扇形AOE的面积,进一步求得弓形的面积,利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积.【答案与解析】解:(1)连接OE,∵四边形ABCD为正方形,∴∠EAB=45°,∴∠EOB=2∠EAB=90°;(2)由(1)∠EOB=90°,且AB=4,则OA=2,∴S扇形AOE==π,S△AOE=OA2=2,∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2,又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8,∴S阴影=8﹣(π﹣2)=10﹣π.【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质,掌握扇形的面积公式是解题的关键,注意弓形面积的计算方法.»AB)对应5.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,重叠部分(阴影)的量角器圆弧(的中心角(∠AOB)为120°,AO的长为4cm,求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形,经过怎样的拼凑、割补、叠合而成,这是解决这类题的关键.【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成,其中扇形AOB 的中心角是120°,AO 的长为4,Rt △BOC 中,OB =OA =4,∠BOC =60°,∴ 可求得BC 长和OC 长,从而可求得面积,阴影部分面积=扇形AOB 面积+△BOC 面积=21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题,解答时,常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三:【变式】如图,矩形ABCD 中,AB =1,2AD =.以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ,则图中阴影部分的面积为________.【答案】1224π--. 解析:连接AE ,易证AB =BE =1,∠BAE =45°,所以∠EAD =45°, 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形.6.如图,AB 是⊙O 的直径,点P 是AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,连接AC ,过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ,交⊙O 于点E .已知AB ﹦8,∠P=30°.(1)求线段PC 的长;(2)求阴影部分的面积.【思路点拨】(1)连接OC,由PC为圆O的切线,根据切线的性质得到OC与PC垂直,可得三角形OCP为直角三角形,同时由直径AB的长求出半径OC的长,根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值,根据∠P的度数,利用特殊角的三角函数值求出tanP的值,由tanP及OC的值,可得出PC 的长;(2)由直角三角形中∠P的度数,根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数,进而得出∠BOC的度数,由OD与BC垂直,且OC=OB,利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线,可求出∠COD度数为60°,再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由斜边OC的长求出OD的长,先由∠COD的度数及半径OC的长,利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积,再由OD与CD的长,利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积,用扇形COE的面积减去三角形COD的面积,即可求出阴影部分的面积.【答案与解析】解:(1)连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∵AB=8,∴OC=12AB=4,又在直角三角形OCP中,∠P=30°,∴tanP=tan30°=OCPC,即PC=433=43;(2)∵∠OCP=90°,∠P=30°,∴∠COP=60°,∴∠A OC=120°,又AC⊥OE,OA=OC,∴OD为∠AOC的平分线,∴∠COE=12∠AOC=60°,又半径OC=4,∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯,在Rt△OCD中,∠COD=60°,∴∠OCD=30°,∴OD=12OC=2,根据勾股定理得:CD=22OC-OD=23,【总结升华】此题考查了切线的性质,含30°角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义,以及扇形的面积公式,遇到已知切线的类型题时,常常连接圆心与切点,利用切线的性质得出垂直,利用直角三角形的性质来解决问题.。
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义:各边相等,各角也相等的多边形,叫做正多边形;②定义中两个条件缺一不可.我们知道三边相等的三角形是正三角形,三个角相等的三角形也是正三角形.但菱形四条边相等,却不是正四边形.矩形四角都相等,也不是正四边形.所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可.2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧,就可以得到这个圆的内接正多边形,这个圆是这个多边形的外接圆.3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.如图,设正多边形的边长为a n,半径为R,边心距为r n,中心角为αn,则它们有如下关系:;正n边形的中心角;正n边形的周长P n=na n;正n边形的面积.4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时,通常运用转化的思想方法,将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半,正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线,当边数为奇数时,它的对称轴是边心距所在的直线;②只有正偶边形才是中心对称图形;③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合.典例讲解例1、填空题1. 如图,小颖同学在手工制作中,把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则该圆的半径为()A. B. C. D.答案:D2. 正六边形两条平行边间的距离是1,则它的边长为()A. B. C. D.答案:C3. 已知正三角形的边长为2,则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为()A. B. C. D.答案:B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为()A.1∶2∶3B.C. D.答案:A例2、如图,圆内接正六边形ABCDEF中,对角线BD、EC相交于点G,求∠BGC的度数.解:正六边形ABCDEF中DC=DE,,∴,同理可证:∠2=,∴∠BGC=∠1+∠2=.例3、如图,已知正三角形ABC外接圆的半径为R,求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积.思路点拨:过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH,在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素.解:连接OB、OC,作OH⊥BC于H.例4、如图,正方形的边长为4cm,剪去四个角后成为一个正八边形,求这个正八边形的边长和面积.解:由题意知PD=PE=FQ设PD=PE=FQ=xcm,则EF=ED=(4-2x)cm,∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴,∴正八边形的边长为4-2x=cm,面积为.。
正多边形与圆的关系
正多边形与圆的关系正多边形和圆是几何学中常见的两种图形,它们之间存在着一些特殊的关系。
在本文中,我们将探讨正多边形与圆的关系,并介绍其中的几个重要概念和性质。
一、正多边形的定义和性质正多边形是指所有边相等、所有角度相等的多边形。
以正n边形为例,它共有n条边和n个顶点,每个内角都是360°/n。
由于每个内角相等,所以每个外角也相等,每个外角都是360°/n。
正多边形具有一些重要的性质。
首先,正多边形的内角和外角之和分别为180°和360°。
其次,正多边形可以通过将圆分成若干等分扇形得到。
每个扇形对应正多边形上的一个顶点,而圆心则对应于正多边形的中心。
二、正多边形与圆的内切关系正多边形可以与一个圆内切,即正多边形的每个顶点都在圆上。
以正六边形为例,将其内接于一个圆,使得每个顶点都与圆的周边相切。
这样,正六边形的外接圆和内接圆就是同一个圆。
在正多边形内切圆的情况下,我们可以推导出一些有趣的数学关系。
首先,正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
其次,正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的内接圆的半径之和。
三、正多边形与圆的外接关系正多边形还可以与一个圆外接,即正多边形的每条边都与圆相切。
这种情况下,正多边形的外接圆和内接圆不再是同一个圆。
在正多边形外接圆的情况下,我们可以得到与内接圆类似的数学关系。
首先,正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
其次,正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的外接圆的半径之和。
四、正多边形与圆的面积关系正多边形的面积可以通过将其划分成若干等边三角形求和得到。
以正n边形为例,其面积可以表示为S=0.5*n*r*l,其中r为内接圆的半径,l为正多边形的边长。
而圆的面积可以表示为S=π*r^2,其中r为圆的半径。
通过比较正多边形的面积公式和圆的面积公式,我们可以发现一个有趣的关系:当n无限增大时,正多边形的面积逐渐接近于圆的面积。
2019初三数学知识点:正多边形与圆
2019初三数学知识点:正多边形与圆1、正多边形与圆有着密切的关系:1)把一个圆的圆周分成n等份,顺次连接各分点所得图形,即为圆的内接正n边形,这个圆叫做这个正n边形的外接圆。
2)正多边形的相关概念:正多边形的中心——是正多边外接圆的圆心。
正多边形的半径——是正多边形内切圆半径。
(rn)正多边形的中心角——是正多边形的边所对的外接圆的圆心角。
(αn)正多边形的边心距——是正多边形的边到中心的距离。
(rn)3)正n边形的有关计算:;边an、半径rn、边心距rn的关系:rn2—rn2=()2(勾股定理)正n边形的面积:sn=lnrn(ln—正多边形周长)(边数不同仅反应在中心角αn的不同)2、圆内接多边形各边相等时为正多边形;圆外切多边形各角相等时为正多边形.3、圆内接多边形各角相等且边数为奇数时,此内接多边形为正多边形;圆外切多边形各边相等且边数为奇数时,此外切多边形为正多边形.4、一个圆的内接正n边形与其外切正n边形相似,且相似比等于cos(180°/n);5、周长相等的正多边形与圆相比,圆的面积较大,且多边形边数越多,其面积越接近于圆;面积相等的正多边形与圆相比,圆的周长较小,且多边形边数越多,其周长越接近于圆.6、圆是轴对称图形,对称轴有无数条;正多边形也是轴对称图形,对称轴的条数与边数相等.7、圆也是中心对称图形;正多边形只有当边数为偶数时,它才是中心对称图形.课后练习1、下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.2、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定解析:外角+内角=180现在外角>内角,所以内角90正n多边形,有:(n-2)*180/n2n-4n只能是n=3只能是正三角形3、同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1。
数字中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解(基础)【考纲要求】1.了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积;2.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念:(1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系:(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.(3)把圆分成n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.3、正多边形性质:(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.要点诠释:(1)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是360n;所以正n边形的中心角等于它的外角.(2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.考点二、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式:,周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1.(2015•镇江)图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形.(1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180°)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于.【思路点拨】(1)作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长 FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求;(2)由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD=3=135°得到的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.【答案与解析】(1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求,(2)∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AOD=3=135°,∵OA=5,∴的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,∴2πR=,∴R=,即这个圆锥底面圆的半径为.故答案为:.【总结升华】本题考查了尺规作图,圆内接八边形的性质,弧长的计算,圆的周长公式的应用,会求八边形的内角的度数是解题的关键.举一反三:【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是______米.【答案】31+.解析:如图,以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C=3,所以AB=AO1+O1C+BC=1313122++=+.【高清课堂:正多边形与圆的有关证明与计算自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32::【高清课堂:正多边形与圆的有关证明与计算自主学习2】【变式3】(2015•广西自主招生)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为2,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是()A.5:4 B.5:2 C.:2 D.:【答案】A.【解析】解:如图1,连接OD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=∠ABO=90°,AB=BC=CD=2,∵∠AOB=45°,∴OB=AB=2,由勾股定理得:OD==2,∴扇形的面积是=π;如图2,连接MB、MC,∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形,四边形ABCD是正方形,∴∠BMC=90°,MB=MC,∴∠MCB=∠MBC=45°,∵BC=2,∴MC=MB=,∴⊙M的面积是π×()2=2π,∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷(2π)=.故选:A.类型二、正多边形与圆有关面积的计算2.(1)如图(a),扇形OAB 的圆心角为90°,分别以OA ,OB 为直径在扇形内作半圆,P 和Q分别表示阴影部分的面积,那么P 和Q 的大小关系是( ).A .P =QB .P >QC .P <QD .无法确定(2)如图(b),△ABC 为等腰直角三角形,AC =3,以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ,则图中阴影部分的面积是________.(3)如图(c),△AOB 中,OA =3cm ,OB =1cm ,将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′,求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时,可采用和差法、转化法、方程法等,有时也需要运用变换的观点来解决问题.【答案与解析】解:(1)阴影部分的面积直接求出十分困难,可利用几个图形面积的和差进行计算:2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=; (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形,则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积,等于△ABC 面积的一半,答案为94; (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置,则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=. 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法;(2)割补法;(3)旋转法;(4)拼凑法;(5)等积变形法;(6)构造方程法.举一反三:【变式】如图,在△ABC 中,AB =AC ,AB =8,BC =12,分别以AB 、AC 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( )A .64π127-B .16π32-C .16π247-D .16π127-【答案】解:如图,由AB ,AC 为直径可得AD ⊥BC ,则BD =DC =6.在Rt △ABD 中,228627AD =-=,∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影. 答案选D.3.如图所示,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,弦BC ∥OA ,连AC ,求阴影部分的面积.【思路点拨】图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,如果连接OB 、OC ,由BC ∥OA ,根据同底等高的三角形面积相等,于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解.【答案与解析】解:如图所示,连OB 、OC∵ BC ∥OA .∴ △OBC 和△ABC 同底等高,∴ S △ABC =S △OBC ,∴∵ AB 为⊙O 的切线,∴ OB ⊥AB .∵ OA =4,OB =2,∴ ∠AOB =60°.∵ BC ∥OA ,∴ ∠AOB =∠OBC =60°.∵ OB =OC ,∴ △OBC 为正三角形.∴ ∠COB =60°,∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形.【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换;②可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化.举一反三:【变式】如图所示,半圆的直径AB =10,P 为AB 上一点,点C ,D 为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于________.【答案】 解:连接OC 、OD 、CD .∵ C 、D 为半圆的三等分点,∴ ∠AOC =∠COD =∠DOB =180603=°°. 又∵ OC =OD ,∴ ∠OCD =∠ODC =60°,∴ DC ∥AB ,∴ PCD OCD S S =△△,∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD .4.(2015秋•江都市期中)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以AB为直径的半圆与对角线AC 交于点E.(1)求弧BE所对的圆心角的度数.(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).【思路点拨】(1)连接OE,由条件可求得∠EAB=45°,利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°;(2)利用条件可求得扇形AOE的面积,进一步求得弓形的面积,利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积.【答案与解析】解:(1)连接OE,∵四边形ABCD为正方形,∴∠EAB=45°,∴∠EOB=2∠EAB=90°;(2)由(1)∠EOB=90°,且AB=4,则OA=2,∴S扇形AOE==π,S△AOE=OA2=2,∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2,又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8,∴S阴影=8﹣(π﹣2)=10﹣π.【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质,掌握扇形的面积公式是解题的关键,注意弓形面积的计算方法.»AB)对应5.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,重叠部分(阴影)的量角器圆弧(的中心角(∠AOB)为120°,AO的长为4cm,求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形,经过怎样的拼凑、割补、叠合而成,这是解决这类题的关键.【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成,其中扇形AOB 的中心角是120°,AO 的长为4,Rt △BOC 中,OB =OA =4,∠BOC =60°,∴ 可求得BC 长和OC 长,从而可求得面积,阴影部分面积=扇形AOB 面积+△BOC 面积=21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题,解答时,常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三:【变式】如图,矩形ABCD 中,AB =1,2AD =.以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ,则图中阴影部分的面积为________.【答案】1224π--. 解析:连接AE ,易证AB =BE =1,∠BAE =45°,所以∠EAD =45°, 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形.6.如图,AB 是⊙O 的直径,点P 是AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,连接AC ,过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ,交⊙O 于点E .已知AB ﹦8,∠P=30°.(1)求线段PC 的长;(2)求阴影部分的面积.【思路点拨】(1)连接OC,由PC为圆O的切线,根据切线的性质得到OC与PC垂直,可得三角形OCP为直角三角形,同时由直径AB的长求出半径OC的长,根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值,根据∠P的度数,利用特殊角的三角函数值求出tanP的值,由tanP及OC的值,可得出PC 的长;(2)由直角三角形中∠P的度数,根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数,进而得出∠BOC的度数,由OD与BC垂直,且OC=OB,利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线,可求出∠COD度数为60°,再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由斜边OC的长求出OD的长,先由∠COD的度数及半径OC的长,利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积,再由OD与CD的长,利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积,用扇形COE的面积减去三角形COD的面积,即可求出阴影部分的面积.【答案与解析】解:(1)连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∵AB=8,∴OC=12AB=4,又在直角三角形OCP中,∠P=30°,∴tanP=tan30°=OCPC,即PC=433=43;(2)∵∠OCP=90°,∠P=30°,∴∠COP=60°,∴∠AOC=120°,又AC⊥OE,OA=OC,∴OD为∠AOC的平分线,∴∠COE=12∠AOC=60°,又半径OC=4,∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯,在Rt△OCD中,∠COD=60°,∴∠OCD=30°,∴OD=12OC=2,根据勾股定理得:CD=22OC-OD=23,【总结升华】此题考查了切线的性质,含30°角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义,以及扇形的面积公式,遇到已知切线的类型题时,常常连接圆心与切点,利用切线的性质得出垂直,利用直角三角形的性质来解决问题.。
正多边形与圆
正多边形与圆正多边形和圆是几何学中的基本概念,它们具有独特的性质和特点。
正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形,而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
本文将详细讨论正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、正多边形的定义与性质正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形。
按照边的数量,我们可以称之为正三边形、正四边形、正五边形等。
下面以正三边形为例,介绍正多边形的一些性质。
1. 正多边形的特点正三边形是最简单的正多边形,它的三条边相等,三个内角也相等。
除了边长和角度相等外,正多边形的对角线长度也相等,对称轴的存在使得正多边形具有额外的对称性。
2. 正多边形的内角和外角正多边形的内角和外角和的关系是一个重要的性质。
以正三边形为例,它的内角和为180度,外角和为360度。
无论正多边形的边数增加到多少,内角和始终是180度,而外角和始终是360度。
二、圆的定义与性质圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
以下是圆的一些定义与性质。
1. 圆的定义圆是由平面上到一个给定点(圆心)的距离相等的所有点所组成的集合。
圆的长度单位是周长,面积单位是平方单位。
2. 圆的性质圆具有许多独特的性质,如以下几点:- 圆的直径是圆上任何两点间的最长线段,它等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点绕圆心一周所经过的长度,用2πr表示,其中r代表圆的半径。
- 圆的面积是圆内所有点所构成的区域的大小,用πr²表示,其中r代表圆的半径。
三、正多边形与圆的关系正多边形与圆之间存在着密切的关系,下面将介绍两者之间的一些关联性。
1. 内接圆和外接圆正多边形与圆的关系可以通过内接圆和外接圆来描述。
内接圆是指一个圆完全位于正多边形内部且与多边形的每一边都相切,而外接圆是指一个圆完全包围住正多边形且与多边形的每一条边都相切。
对于正多边形来说,内接圆和外接圆的圆心都位于正多边形的中心。
2. 正多边形与圆的面积关系正多边形与圆的面积关系可以通过比较它们的面积得出。
九年级上册数学正多边形和圆
九年级上册数学正多边形和圆正多边形和圆(人教版九年级上册)一、正多边形的概念。
1. 定义。
- 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如,等边三角形是正三角形,正方形是正四边形。
2. 正多边形与圆的关系。
- 把一个圆分成n(n≥slant3)等份:- 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
- 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
二、正多边形的有关计算。
1. 正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
- 中心:正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。
- 半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径,通常用R表示。
- 边心距:内切圆的半径叫做正多边形的边心距,通常用r表示。
- 中心角:正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角,正n边形的中心角α=frac{360^∘}{n}。
2. 正多边形的有关计算。
- 设正n边形的边长为a_n,半径为R,边心距为r。
- 在由半径R、边心距r和边长的一半frac{a_n}{2}所构成的直角三角形中,根据勾股定理有R^2=r^2+(frac{a_n}{2})^2。
- 正n边形的周长C = n× a_n,面积S=(1)/(2)C× r=(1)/(2)n× a_n× r。
三、正多边形的画法。
1. 用量角器等分圆。
- 先用量角器画一个等于frac{360^∘}{n}的圆心角,这个圆心角所对的弧就是圆的(1)/(n),然后在圆上依次截取这条弧的等弧,就可以得到圆的n等分点,从而画出正n边形。
2. 用尺规等分圆(特殊正多边形)- 正六边形:- 由于正六边形的中心角为60^∘,所以在圆中,以半径为弦长,在圆上依次截取六段相等的弧,就可以得到正六边形。
- 正四边形(正方形):- 先作圆的两条互相垂直的直径,再连接直径与圆的四个交点,就得到正方形。
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24.3正多边形与圆的有关计算学案班级:初2019级1班
教师寄语:勤于思考你就会发现数学的乐趣!
学习目标:了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,会应用多边形和圆的有关知识画多边形.
重(难)点预见:应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形
学习流程:
一、生读目标
二、自学指导:
1. 复习
(1)什么叫正多边形?
(2)从你身边举岀两三个正多边形的实例,正多边形具有轴对称、?中心对称吗?其对称轴有几条,对称中心是哪一点?
2、自主学习:自学教材104--- 105页思考下列问题:
1、正多边形和圆有什么关系?
只要把一个圆分成的一些弧,就可以作出这个圆的,这个圆就是这个正多边形的。
2、通过教材图形,识别什么叫正多边形的中心、正多边形的中心角、正多边形的边心距?
3、计算一下正五边形的中心角时多少?正五边形的一个内角是多少?正五边形的一个外角是多少?正六边形呢?
4通过上述计算,说明正n边形的一个内角的度数是多少?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系?
5、如何利用等分圆弧的方法来作正n边形?
方法一、用量角器作一个等于的圆心角。
方法二、正六边形、正三角形、正十二边形等特殊正多边形的作法?
三、自学检测:
1. 如图1所示,正六边形ABCDEF内接于U/ADB的度数是()
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 22. 5
(1) (2) 二次备课
2•圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则Z APB的度数是().
A. 36°
B. 60°
C. 72 D . 108
3•若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长,?则这段弧所对的圆心角为()
A • 18° B• 36°C• 72° D . 144°
4 •已知正六边形边长为a,则它的内切圆面积为________________ .
5. 如图2,在△ABC中,SCB=90 ° ,B=15°,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB于D,若AC=6,则
AD的长为 __________ •
6. 四边形ABCD为。
O的内接梯形,如图3所示,AB /CD,且CD为直径,?如果。
O的半径等于r,zC=60 °
那图中△ OAB的边长AB是_________ ; A ODA的周长是_________ ; ZBOC的度数是 __________ •
7. .如图所示,?已知。
0?的周长等于6jrcm, ?求以它的
半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
四、当堂训练:
1 •已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,?求正六边形的周长和面积.
(分析:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径
挂上钩,很自然应连接0A,过0点作OM MB垂于M,在Rt A AOM ?中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长•正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的)
2. 利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形.
错题更正。