轴对称,作轴对称图形学案(横版)

学习过程
一、复习预习
1.角的平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2.角的平分线的画法：
（1）用量角器作；
（2）把角对折使角的两边完全重合，折痕就是角的平分线；
（3）尺规作图法：
①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ；
②分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点P ；
③画射线OP，射线OP即为所求。

注意：用尺规作图时，作图的痕迹要保留，不能擦掉。

3.角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）∴PA＝PB。

（角平分线的性质）
4．角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
5.三角形角平分线：
1. 三角形角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段，叫三角形的角平分线。

注意：三角形的角平分线是线段。

2. 三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

且任意三角形的角平分线都在三角形内部。

3. 三角形三条角平分线相交于三角形内部一点，并且这一点到三条边的距离相等（即内心）。

4. 三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等。

5. 三角形两个外角的平分线交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个。

二、知识讲解
考点/易错点1
轴对称与轴对称图形：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系。

考点/易错点2
轴对称与轴对称图形的性质：
轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

考点/易错点3
线段的垂直平分线的性质：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

这是一个证明线段相等的办法。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

考点/易错点4
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：
如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。

考点/易错点5
轴对称变换：
画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

考点/易错点6
用坐标表示轴对称：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。

如(,)
a b-，关于y轴对称的
P a b关于x轴对称的点的坐标为(,)
点的坐标为(,)
-。

a b
三、例题精析
【例题1】
【题干】判断下图中的图形是否为轴对称图形，若是，说出它有几条对称轴。

【答案】图②④⑤⑦⑧⑩是轴对称图形，其中图②④⑤⑧都有1条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑩有2条对称轴。

【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，解决此类问题应联想轴对称图形的概念并展开想象。

【例题2】
【题干】如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形有几条对称轴？
【答案】阴影三角形与三角形①、②成轴对称；整个图形共有两条对称轴。

【解析】判断两个图形是不是成轴对称，关键是要把握轴对称的含义。

【例题3】
【题干】图中的两个四边形关于某直线对称，根据图形提供的条件求,x y 。

【答案】证明：∵2AB EF ==，120A E ∠=∠=
∴A 与E 、B 与F 是对称点
∵F B ∠=∠，即70x =
又100D H ∠=∠=
∴D 与H 、C 与G 是对称点
∴GF ＝BC ，即6y =。

【解析】由2AB EF ==，120A E ∠=∠=，可知A 与E 、B 与F 是对称点。

又由，可知D 与H 、C 与G 是对称点。

100D H ∠=∠=
【例题4】
【题干】如图，点,,
A B C表示三个村庄，为了解决村民的饮水问题，现计划打一口井，要使水井到三个村庄的距离相等，请你确定水井的位置。

【答案】（1）连接AB、BC；
（2）分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，点P就是所要确定的水井的位置。

【解析】本题实际是找一个点，使之到三角形ABC三个顶点的距离相等。

可将此问题分解为几个步骤再进行解答：先找到A、B两点距离相等的点的集合；再找到B、C两点距离相等的点的集合；最后再找这两个集合的公共点。

【例题5】
【题干】如图，在ABC
∆中，AB AC
=，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若24
AD AC cm
+=，20
BD BC cm
+=，求BEC
∆的周长。

【答案】∵
1
2
AD BD AB
==，AB AC
=
∴
1
2
AD AC
=
∵24
AD AC
+=
∴8
AD BD
==，16
AC=又∵20
BD BC
+=
∴12
BC=
∵DE 垂直平分AB
∴EA EB =
∴161228BE EC BC AC BC ++=+=+= 即BEC ∆的周长为28cm 。

【解析】解此题要注意利用“AB 的垂直平分线DE ”这个条件，以及要找出“24AD AC cm +=，20BD BC cm +=”
这个条件中四条线段之间的联系。

【例题6】
【题干】如图，ABC
∆和DEF
∆关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
【答案】（1）连接AD；
（2）分别以点A、D为圆心，以大于1
2
AD的长为半径作弧，两弧交于M、N两点；
（3）作直线MN。

直线MN即为所求的直线（对称轴）。

【解析】因为两个图形关于某条直线对称时，其对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，所以只要确定一对对应点，然后连接这两点得到一条线段，再画出这条线段的垂直平分线，就能得到这两个图形的对称轴。

【例题7】
【题干】如图，已知ABC
∆关于直线m对称的图形。

∆，直线m，画出ABC
【答案】（1）过点A作AD m⊥于点D，延长AD至A＇，使A＇D＝AD，得到点A关于直线m的对称点A＇；（2）同理，可作出点B、C关于直线m的对称点B＇、C＇；（3）顺次连接A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇；则'''
∆就是所求作的三角形。

A B C
【解析】分别作出点A、B、C关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点就可以得到轴对称变换后的图形。

【例题8】
【题干】（1）如图甲，在平面直角坐标系中，(1,5)A -，(1,0)B -，(4,3)C -，求出ABC S ∆； （2）作出ABC ∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆，并写出111A B C ∆三个顶点的坐标。

甲 乙
【答案】（1）根据A 、B 、C 三点的坐标，可知5AB =，AB 边上的高为3
所以，115
5322ABC S ∆=⨯⨯=
；（2）ABC
∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆如图乙所示，三个顶点的坐
标分别为1(1,5)A ，1(1,0)B ，1(4,3)C 。

【解析】由于图形是在直角坐标系中，且坐标比较特殊，所以很容易得5AB =，AB 边上的高为3。

根据关于y 轴对称的点的坐标的特点，很容易求出111,,A B C 三个点的坐标，以点带面，即可作出111A B C ∆。

【例题9】
【题干】如图，,Ox Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？
【答案】（1）作点A关于,Ox Oy对称的点M、N；
（2）连接M、N，与,Ox Oy分别交于P、Q。

点P、Q就是所求的加油站的位置。

【解析】要使油库和加油站组成的三角形的周长最小，可根据两点之间线段最短，只需令三角形的三边之和等于某两点之间的距离，因此考虑作点A关于,Ox Oy对称的点。

四、课堂运用
【基础】
1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）
2. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（）
A．B．C．D．
3. 如图，ΔABC 与ΔC B A '''关于直线l 对称，则∠B 的度数为_________；
30︒
l
C'
B'
A'
B C
A
50︒
4. 已知点(2,3)A x +与点(5,7)B y -+关于x 轴对称，则x =________，y =________；
【巩固】
1. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，则图中阴影部分的面积为
2.如下图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°。

BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，试证明：BE垂直平分AD。

B
4. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为__________。

【拔高】
1.如图，点A，B表示两个村庄，直线MN，PQ分别是村子旁边的航运河流和公路，交汇处为点O，现要建一个货物仓库，要求仓库到A、B两村的距离相等，并且仓库到河流与公路的距离也要相等，请你确定仓库的位置。

2. 某一夏令营队要从A 地穿过草地去B 地,途中需要到河边MN 去加水．请问:在河边的哪一个点加水,才能使行程路线最短?
3. 如图所示，△ABC中，DE垂直平分线段AB，AE＝5cm，△ACD的周长为17cm，求△ABC的周长。

课程小结
1．轴对称和轴对称图形的概念
2. 轴对称图形的性质
3. 垂直平分线的概念和性质
4. 轴对称变换
5. 坐标轴对称的点的坐标。