高等代数与中学数学关联[论文]
浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用
ｉｕ ｔａ ｅ ｈａ ｈ ｉ ｒ ｖｎｇ ｅｆ ｃ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｏ ｉｄ ｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍａｉｓ ｔａ ｈ ｎ ．ｕｒｈ ｒ ｒ ， ｉ ｐ ｐ ｒ ｌ ｓｒ ｔｄ ｔ ｔｔ ｅ ｍｐ ｏ ｉ ｆｅ ｔｏ ｉｈｅ ｌ ｅ ｒ ｎ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔｃ ｅ ｃ ｉ ｇＦ ｔ ｅ ｍｏ ｅｔ ｓ ａ ｅ ｌ ｈ
Ａｂ ｔａ ｔＢ ｎ ｌｚｎ ｈ ｏ ｎ ｃｉｎ ｏ ｉｈｅ ｌｅ ｒ ｏ ｏ ｍａ ｏ ｌｇ ｎ ｉ ｄｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍ ａｉｓｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｓｒ ｃ ： ｙ ａ ａｙ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｆ ｒｎ ｒ ｌｃ ｌ ｅ ａ ｄ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔ ， ｓ ａ ｅ ｏ ｅ ｃ ｈ
高等数学在中学数学中的应用
贵阳学院成人高等教育学生毕业论文高等数学在中学数学中的应用站点名称：学生姓名：班级：学号：指导教师：时间：高等数学在中学数学中的应用摘要中学数学内容，是常量和变量数学的初步认识，是高等数学许多概念和理论原型和特征所在，运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明。
同时，中学数学中所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大。
因此，指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去，把高等数学与中学数学有机结合在中学数学教学中有着重要的意义。
本文通过大量具体范例分析论述了高等数学在中学数学中的应用，找出了高等数学和中学数学之间的内在联系，以指导中学数学教学实践。
关键词：高等数学；中学数学；应用The higher mathematics in the middle schoolmathematics applicationAbstractThe middle school mathematics content, is the constant and variable mathematics preliminary understanding, is the many concepts of higher mathematics and Theoretical Prototype and feature location, use the knowledge of higher mathematics to school mathematics cannot or difficult to solve the basic theory to rigorously prove. At the same time, the middle school mathematics to higher mathematics in college entrance examination in the proportion of the growing. Therefore, guiding students in learning higher mathematics and middle school mathematics the immanent connection between, and higher mathematics thinking method into the middle school mathematics to higher mathematics and middle school mathematics, the organic combination of mathematics teaching in secondary schools is of great significance. In this paper, through a large number of specific examples of analysis of advanced mathematics in the middle school mathematics application, finds out the higher mathematics and middle school mathematics the immanent connection between, with the guidance of middle school math teaching practice.Key words:Higher mathematics; middle school mathematics; application目录摘要 (I)Abstract ........................................................... I I 目录............................................................ I II1、绪论 (1)2、高等数学与中学数学的概念及关系 (1)2.1高等数学与中学数学的概念 (1)2.1.1高等数学 (1)2.1.2中学数学 (2)2.2中学数学与高等数学的关系 (2)3、高等数学方法在中学数学中的应用 (2)3.1“构造”思想方法在中学数学中的应用 (2)3.1.1 “函数与方程”的思想方法 (3)3.1.2“数学关系”的思想方法 (5)3.1.3 “图形”的思想方法 (5)3.2微积分方法在中学数学中的应用 (6)3.2.1求函数的极值、最值 (7)3.2.2利用微积分证明代数式 (8)3.2.3求曲边图形的面积 (9)3.2.4利用导数法求解 (10)3.2.5利用极限法求解 (12)3．3概率在中学数学中的应用 (14)3．4 “变量”与“常量”的转化思想在中学数学中的应用 (15)4、结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)1、绪论高等数学是中学数学的延续和发展，而中学数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。
浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究
浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。
其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。
运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。
作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。
1 高等代数与中学数学在知识方面的联系1.1 行列式的应用虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数，满足，，，，求.分析由已知条件得把上式看成关于，，，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式，由行列式与线性方程组的理论，可得，，，，即.1.2 柯西不等式的应用在欧氏空间里，取，时，就有柯西不等式：对任意实数组和，有.当且仅当时，上式的等号成立，特别的，时，有.例已知为内一点，，，，点到的三边，，的距离分别为，，.求证：.证明由题意知，要证明结论成立，只需证，由柯西不等式得，上式显然成立，所以.1.3 二次型的应用定理设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.例设，且满足，求的最大值与最小值.分析：二次型的矩阵，则，解得，，于是由以上定理可得，在下的最大值为，最小值.2 教学启示现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。
浅谈高等数学在中学数学中的应用大学论文
浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。
通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。
本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。
另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。
关键词高等数学中学数学微积分行列式IAbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculusII目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (9)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (13)3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)3.3.1 仿射变换的应用 (14)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (14)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)4.1 拉格朗日中值定理 (20)4.2 有关级数的应用 (23)总结 (26)参考文献............................................................ 错误!未定义书签。
高等代数教学论文
高等代数教学中的几点感悟文宋雪丽摘要在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。
结合教学实践，谈了一些感悟。
关键词内容；概念；方法高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。
由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。
由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。
因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。
结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。
一、尽量与中学数学内容相联系高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。
例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。
高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。
在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。
高等代数中介绍一元次方程根的定义、复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元次方程根的特点、有理数一元次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。
高等代数中有元一次线性方程组的行列式解法克拉默法则和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。
通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。
不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。
因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。
浅析高等代数与中学数学的关联
浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。
高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。
关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。
它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。
在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。
不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。
为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。
通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。
在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。
这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。
一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。
高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。
接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。
高等代数对中学代数的指导作用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。
其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。
学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。
众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。
可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。
但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。
这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。
我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。
高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。
高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。
注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。
通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。
二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。
从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。
无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。
学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。
其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。
在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。
而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。
此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。
例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。
同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。
最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。
高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。
通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。
高等代数与高中数学的联系与区别
高等代数与高中数学的联系与区别高等代数与高中数学（尤其是其中的代数部分）之间存在着紧密的联系和显著的区别。
以下是对二者关系的一个简要概括：联系：1. 基础概念的延续：高等代数是建立在高中数学基础上的，许多基本概念如线性方程组、矩阵、行列式、向量、群论等，在高中数学中都有初步的介绍。
例如，中学阶段会学习到一元和二元一次方程组的解法，这是高等代数中线性方程组理论的基础。
2. 函数和数列的深化：高中数学涉及函数的基本性质、运算及其图像表示，以及数列的概念、极限和递推公式等内容。
在高等代数中，这些内容将进一步拓展，包括但不限于多项式函数的更深层次分析、线性空间中的函数和序列，以及迭代方法等。
3. 几何直观到抽象结构：解析几何在高中数学中有详细阐述，这为高等代数中的坐标变换、向量空间和线性映射提供了直观背景。
在高等代数中，这些几何概念被抽象化为更一般的代数结构。
4. 问题解决策略：中学代数训练了逻辑推理能力和问题解决技巧，这些技能对于理解高等代数中的复杂概念和证明过程至关重要。
区别：1. 抽象程度加深：高等代数相较于高中数学更为抽象，它不再局限于具体的数值计算或几何图形的研究，而是研究更一般化的代数结构和系统，比如群、环、域、模等。
2. 理论体系完备：高等代数构建了一套完整的理论框架，包括集合论基础、线性代数、群论、环论和域论等，而高中数学主要关注具体操作和应用。
3. 深度和广度提升：高等代数不仅对已有的概念进行深入探讨，还引入了许多新的概念和定理，并且运用公理化方法构建整个数学分支。
比如，矩阵论在高中仅限于初等操作和简单性质，而在高等代数中则涉及到特征值、特征向量、相似变换等丰富内容。
4. 证明与推理强化：高等代数更加注重数学证明和严密的逻辑推理，要求学生具备较强的逻辑思维能力及形式化表达能力，而高中数学虽然也会涉及一些简单的证明，但通常不会像高等代数那样强调严谨性和抽象性。
综上所述，高等代数是在高中数学的基础上进一步发展的，它更加强调抽象思考、理论体系的构建以及严格的逻辑推理，旨在培养学生的高级数学思维和解决问题的能力。
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。
近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。
首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。
高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。
由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。
其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。
抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。
此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。
首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。
其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。
它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。
最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。
高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。
综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数是一门研究变量、函数和关系的数学，用于探索和解决复杂的问题，主要涉及分析、几何和代数的基本原理，是应用数学的有效工具之一。
高等代数在中学数学中有着广泛的应用。
高等代数在中学数学中最广泛的应用是分析函数。
函数是一种多变量表示内容，这种表示可以帮助学生更好地理解结构和语义，从而用来求解问题。
使用高等代数可以更好地应用函数。
例如，中学学生可以使用高等代数的技术来求函数的导数和定义域，以及了解函数的性质和行为。
此外，高等代数在中学数学中还有广泛的应用。
当学生学习几何时，可以使用高等代数的技术求解凸包和若干几何问题，进而推导几何变换。
在解非线性方程组问题时，学生也可以运用高等代数的技巧，有助于理解抽象性和复杂性道理。
另外，高等代数还可以让学生更好地理解统计和概率。
其中，概率理论是有多变量分布等复杂模型的数学建模，可以用线性代数和高等代数解决复杂问题。
此外，学生还可以学习多元分析中的多项式，从而帮助他们了解数据的方差和相关性等。
总之，高等代数是中学数学的重要组成部分，它的应用场景非常广泛，能够为学生解决许多问题。
当学生要求解复杂的函数、凸包或分析多变量分布时，都能使用高等代数的基本原理，有效的解决问题，辅助理解抽象性和复杂性的道理。
高等代数中高中数学论文
高等代数中高中数学论文一、新课改和高中数学学习的现状从长远发展的角度看，这一改变是非常有利于学生的学习和进步的。
数学是一门非常具有逻辑性和连续性的学科，对于高等代数来说尤为如此。
所以在学生高等代数的学习上，更不能出现高中老师认为"这是大学老师该讲的内容'、而大学老师却认为"这是高中已经学过的内容'的现象发生。
这对于学生来讲是非常不负责任的。
所以我们应该正确的看待新课改所给高中数学中的高等代数带来的影响，改变是进步的必经之路，只有不断创新，才能不断发展。
二、新课改对于高中高等代数学习的影响分析高中数学的新课改让学生们对高等代数有了一定的初步认识和了解，这对于大学所学的高数内容来看有很大的铺垫意义。
多项式因式分解的理论与方法、线性方程组理论意义、行列式在中学数学解题中的应用、矩阵与几何变换、欧氏空间与中学几何、向量的线性关系的几何意义、集合与映射等等，这些有关高等代数的内容的学习既可以向学生们展示高等数学的学习思路和学习内容，又可以促进学生学习数学的系统逻辑性的认识，从而充分的发挥数学优势，利用高等数学的学习方法和逻辑思维去解决问题，提高学生的思想性和认识性。
在中学代数里，多项式中的x只能代表数，而在高等代数里，多项式中的文字x可作允许的各种解释（如x可以代表矩阵、线性变换等）。
再比如，线性空间中定义了一种加法运算，它可以是数的加法，多项式的加法，矩阵的加法。
在高等代数中，由于概念的高度抽象性，作为概念之间规律性联系的定理，也一般是大量事实的高度概括。
不管怎么说，高中数学为高等代数的许多学习内容奠定了基石，同时，高等代数也让高中数学知识在大学得到了深入的提高和延伸，并且有效地解释了许多高中数学没能解释清的问题，从这一点上看，高中数学的新课改对于运用现代数学的观点、原理和方法指导高等代数教学具有非凡的现实意义。
新课改对高等代数学习有明显的有益影响，对于初等数学与高等数学的融合，数学各部分的融合，几何概念和算术概率的融合，数学与应用数学的融合，感性与理性的融合等，不仅在数学教育中，更是在整个现代化教育中为学生的德育和优育做好的由学习思维引发的德操思维的转化。
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。
高等代数课程与高中数学的教学衔接策略
高等代数课程与高中数学的教学衔接策略摘要：尽管高等代数课程和高中数学教学看似没有什么联系，其实，二者之间有着非常紧密的关联，所以当前我国许多大学数学教师在讲解高等代数课程时，也开始改变传统的教学方法，适当的引进高中有关数学知识，这对实现既定教学目标和激发学生学习热情都有着重要意义。
本文详细分析了高等代数课程与高中数学教学衔接的有效策略，以供大家参考。
关键词：高等代数课程；高中数学；教学衔接；策略近年来，我国越来越多的人重视基础教育体系变革，但是不同体系之间的教学衔接仍旧不受重视。
将高等代数课程和高中数学教学进行合理衔接，必定有利于加强学生的逻辑思维。
因此，作为大学数学教师，在高等代数课程教学中必须要融入高中数学教学内容，这样可以明显提高教学质量，也便于学生接受和学习。
一、准确把握课程在思想方式的衔接大学数学教师，尤其是大一年级的教师，在教学中必须要重视思想方法上大学数学和高中数学的衔接。
作为大学数学教师，在教学前应该熟练掌握学生在学习数学课程前形成的相关观念，而且将此当做衔接点[1]。
比如：对“行列式的定义”进行讲解时，可以预先对高中数学的消元法进行复习，利用消元法将二元线性方程组求解出来。
如果1122-1221≠0，利用消元法求解这个方程组的解是：这些能够写成：在这个前提下，将二阶行列式的定义引进，以讲解n阶行列式以及三阶行列式的基本定义。
在高中普遍应用的此教学思想方式在学习高等代数课程中是十分重要的。
并且在高等代数教学中长期贯穿将抽象转变成具体的思想方式。
比如：对“高等代数的线性空间以及二次型”等概念进行讲解时，由于这些概念比较抽象，可以将其变成具体的知识进行探讨，这样可以帮助学生掌握知识，以实现大学数学和高中数学在思想方式上的顺利衔接。
二、重视教学内容的衔接要想真正真正做到高等代数课程和高中数学教学内容之间的衔接，必须要充分理解高中数学课本和高中数学新课程标准，利用认真对比分析高等代数课本和高中数学课本，清楚认识到二者在内容方面的不同，还有彼此之间的连贯关系，实现教学中有的放矢，使学生可以科学建立全新的完整的数学认知结构。
高等代数对中学代数的指导作用(精品文档)
高等代数对中学代数的指导作用摘要：高等代数与中学代数有着不可分割的关系，相辅相成，高等代数对中学代数既是加深与拓展，也是继续和提高，是一种阶梯式的跨越。
本文通过代数的发展史、现今数学教育教学上的新要求和新改革，探讨了高等代数与中学代数之间的关系，以及高等代数本身的特点，研究了高等代数对中学代数的指导作用；同时，通过高等代数在中学代数中的应用，进一步进行阐述其指导意义、作用。
关键词：高等代数；中学代数；指导作用；应用Higher Algebra guidance to high school algebra Abstract:Advanced algebra and high school algebra are closely and complementarey connected, Algebra middle school algebra is to deepen and expand, but also continue to improve by leaps and bounds as a ladder. In this paper, the history of algebra, math teaching today's new demands and new reform of the higher algebra and the relationship between high school algebra and advanced algebra own characteristics, research on high school algebra, advanced algebra guidance; the same time through advanced algebra in high school algebra, further elaborate its significance, role.Key words:advanced algebra; middle school algebra; guide; application目录引言 (1)1 高等代数对中学代数的指导作用的意义 (2)1.1 代数的发展史 (2)1.2 高等代数与中学数学教育的教育目标 (4)1.3 数学教育教学的新革 (6)2 高等代数与中学代数的关系 (7)2.1 高等代数与中学代数之间的联系 (7)2.1.1 高等代数与中学代数的统一性 (7)2.1.2 高等代数与中学代数的连贯性 (8)2.1.3 从中学代数到高等代数研究对象与方法的发展 (9)2.1.4 从中学代数到高等代数数学观的发展 (10)2.2 高等代数与中学代数之间的区别 (10)3 高等代数对中学代数的指导 (12)3.1 高等代数数学思维的特点 (12)3.1.1 广阔性 (12)3.1.2 目的性 (14)3.2 高等代数在中学代数中的应用 (15)3.2.1 向量线性关系的几何意义 (15)3.2.2 Cauchy 不等式的应用 (15)3.2.3 抛物线相似的问题 (16)3.2.4 利用行列式知识证明四点共圆问题 (17)3.2.5 利用矩阵求最大公因式 (18)3.2.6 因式分解的理论依据 (19)3.2.7 线性方程组理论的应用 (19)3.2.8 二次型理论与多元二次多项式的因式分解问题 (20)3.2.9 欧式空间的中学模型 (21)3.2.10 矩阵与几何变换 (21)3.2.11 中学数学的“关系”题 (21)4 结束语 (23)致谢 (23)参考文献 (24)引言在我国高等师范院校中，多数专业所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深和拓广，惟数学专业例外。
浅析高等代数与中学数学的关联
一
明显 ， 常借 助于图形 。而高等代数在数学基本知识技 能方面的
培养 上是承上启下 的 ， 一般先 给出严格 的定义 ， 然 后从定义 出
因式 分解的存在 和唯一性定理 ， 分别给 出了复数 系 、 实数系
的研究 ； 通过选定基 ， 将 向量之 间的关系转化 为向量坐 标之间 的关 系； 将 线性变换 的研 究转化为矩 阵的研 究等 ； 同时按元素
的讲解 ， 提高学 生的学 习兴趣 。 这样 ， 高等数学类课程 的学 习难
度就会大大降低 。
一
、
高等数学类课程与中学数学在知识方面的联 系
间的关系进行分类 ， 如用等价关 系、 相似关 系 、 合 同关系对矩 阵 分类 ； 利用 同构关 系对线 性空 间分类 、 用维数 对欧 氏空间分类 等， 这都用到归一化思想。 总之 ， 中学数学 教学 中， 由于受 中学 生理解能 力和所学 知
新 校 园 Ｘ ｉ ｎ Ｘ ｉ ａ ｏ Ｙ ｕ ａ ｎ
科研 教学
浅析高等代数与中学数学的关联
方 次 军 文分析 了高等代数与 中学数 学在知识 方面的联
武汉
４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
的仅仅是向量元素 的一种特殊情形。 可见 ，高等代数在知识上 的确是 中学数学的继续和提高 。
发， 通 过严 密的逻辑推理得 出性质 、 定理 、 推论 ， 直至建立 完整 的理论体 系 ， 同时具备抽象性 和归一性 ， 应用更广泛 ， 从而能解
决更复杂的问题 。
参考文献 ：
和有理数系 的因式分解
例谈中学数学与高等数学之间联系
恒等式的证 明在 中学数学 中是屡见 不鲜的问题，如果用
内容 的教学研 究，使 中学数学 的教 学达 到理 想 的教学效 果． 高等 数学 的方法来证 明恒等式，有 着初等数学无 可比拟 的优
我们可 以通过 以下几 个方面 的例题 ，就会发现 中学数学 与高 势 ．
等数学 间存在 紧密联 系．
例谈 中学数学与高等数学之 间联 系术
广 东省 中山市 民众 中学 （５２８４４１） 陈晓明 杨 良畏
摘 要 中学 数学 教学 内容 是高 等数 学 内容 学 习 的基 础，
例 ２已知 ｆ（ｘ）＝ａｘ。＋ｂｘ ＋ｃｘ（ａ≠０）在 ＝４－１时，
初等数 学相 关题 目，采用 高等数学 解答显得 尤为 轻松．本文 取 的极值且 ｆ（１）： 一１，试求常数 ａ，ｂ，ｃ的值．
一 自然数 ，求证 ：方 程 ＾（ ）·＾＋１（ｚ）＝ ０在 实数域 内有唯
一 实根．
， 在令 ｙ２＝ （ 一 ２）ｅｚ＋ ＋ ２，当
以及 ２００８年 浙江省 大学生高 等数学竞 赛试题第 五题．下 面 解 （分 离 参 数 法 ）由 条 件 司 知 ，ｅ 一 １一 一 ａｘ ≥ ０，
我们具体看看 四川师范大学那 道题 ． 因 为 ｚ ＝ ０时 不 等式 成 立，所 以 只是 考 虑 ｚ ≠ ０时 的情
例５＾（ ）＝ｌ＋ ＋ ＋ ＋…＋山 ＿其中ｎ是任 况，当 ≠ ０时，ｎ ≤ ＿二＝ ，令 ｙｌ： 二 ，则
主要引例说 明中学数学 与高等数学 之间联 系．
解 。， （ ）＝ ３ａｘ。＋２ｂｘ＋ｃ，因为 ＝ 土１为函数极值 点，
关键词 中学数学；高等数学；联系
所 以 ：士１是方程 ， （。）：０的根，即 ３ａｘ ＋２ｂｘ＋ｃ＝０．
高等代数与中学数学概念的衔接问题研究 Microsoft Word 文档 (2)
高等代数与中学数学概念的衔接问题研究摘要：高等代数是师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高。
在教学过程中利用中学数学知识启发引导学生探讨高等代数的相关内容，既有利于学生巩固中学数学知识，又有利于学生认识学习高等代数的重要性，同时为学生学习后继课程及今后从事中学数学教育教学工作奠定一定的基础。
关键词：高等代数；中学数学；教学高等代数是民族师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高，同时也是培养学生建立现代数学思想的基础工具课程之一。
随着中学数学课改的不断深入，“高等代数”作为从“中学代数”到“抽象代数”的过渡课程，无论是在课程内容上还是在教学方法上都需要进一步的改革。
本文根据师范院校的学生专业特点，并结合自身多年的教学实践经验和与中小学一线数学骨干教师及学生之间的交流，就高等代数教学与中学数学内容的衔接问题作如下阐述。
在交流过程中，大部分学生认为高等代数纯数学理论强，抽象难学，对有些概念和问题含糊不清，似懂非懂，尤其是向量空间、线性变换、欧氏空间等概念因对公理化的定义难以全面理解，使部分学生对高等代数失去深入学习的兴趣，进而影响到后续课程的学习。
在对近300名学生的调研中发现70%的学生能够掌握基本概念及其性质，独立完成课本上的计算题，而对于证明题仅有50%的学生能够独立完成。
为了激发学生进一步学习高等代数的积极性和主动性，培养其良好的数学思维品德。
同时让学生深入理解高等代数的有关概念，全面系统的掌握概念产生的背景，提高学生的创新能力和实践能力。
笔者在教学过程中尝试以中学数学知识为背景启发引导学生学习高等代数，激发学生的学习兴趣。
课堂教学效果有了明显的转变，同时学生学习高等代数的积极性也在不断提高，为进一步学习后续课程起到了一定的积极作用。
具体做法是：一、在高等代数的教学方法上做好与中学数学知识的衔接工作随着中学数学新课程理念的全面推广，学生应用数学知识解决实际问题的能力在不断提升，教师的教育观念正逐步从“应试教育”向“素质教育”转变。
高等代数与中学数学的联系
目录摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 知识方面的联系 (1)2．1多项式理论的应用 (1)2．2行列式的应用 (2)2．3柯西不等式的应用 (3)2．4二次型的应用 (4)3 思想方面的联系 (4)3．1符号化思想 (4)3．2分类思想 (5)3．3化归与转化思想 (5)3．4结构思想 (6)3．5公理化方法 (6)3．6坐标方法 (6)3．7构造性方法 (7)4 观念方面的联系 (7)结束语 (8)参考文献 (8)致谢 (10)摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application1 引言高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．2 知识方面的联系2．1 多项式理论的应用作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．例1 多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．解 将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，再将142=-x x 代入上式，可得18174)(2=+-=x x x f ．例2 已知c b a 、、 为整数，且满足a c cb b a ++与c b b c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明 设))()(()(ac x c b x b a x x f ---=． 于是1)()()(23-+++++-=x ab bc c a x a c c b b a x x f ．由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，a c 均为它的三个有理整数根，又因为它们的乘积为1，所以1===ac c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用 “矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．例3 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．解 由已知条件，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅=+-+-+-4333922261110)1()1()1(23232323d c b a d c b a d c b a d c b a 把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式1333122211111)1()1()1(23232323---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即142)(23---=x x x x f ．例4 试分解多项式xyz z y x 3333-++．解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即xyz z y x xz yy x zz y xD 3333-++==． 而x y zx y z x y z D zx y y z x ++++++=xz y y x zz y x 111)(++= 222=()()x y z x y z xy yz zx ++++---．所以，xyz z y x 3333-++可分解为：))((222zx yz xy z y x z y x ---++++．此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．2．3 柯西不等式的应用定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量ξ，η有不等式〉〈〉〈≤〉〈ηηξξηξ， ，，2，当且仅当ξ与η线性相关时，等号成立．在欧氏空间n R 里，取)…(21n a a a ，， ，=ξ，)...(21n b b b ，， ，＝η时，就有 柯西不等式 对任意实数组n a a a ，， ，…21和n b b b ，， ，...21，有 ≤+++22211)…(n n b a b a b a )...)(…(222212n 2221n b b b a a a ++++++．当且仅当)21(， ==i kb a i i 时，上式的等号成立． 特别的，)…21(1n i b i ，， ， ==时，有 )…()…(2n 2221221a a a n a a a n +++≤+++．所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间n R 中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．例5 已知P 为ABC ∆内一点，a BC =，b CA =，c AB =，点P 到ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d ．求证：ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 证明 由题意知3212cd bd ad S ABC ++=∆，要证明结论成立，只需证2321321)())((c b a cd bd ad d c d b d a ++≥++++， 由柯西不等式得，上式显然成立，所以ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 2．4 二次型的应用作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．定理]6[ 设n 元二次型'()f x x Ax =，则f 在条件112=∑=ni i X 下的大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值．例6 设2232)(y xy x x f ++=，且满足122=+y x ，求)(x f 的最大值与最小值．解 二次型),(y x f 的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3111A ，则 2431112+-=----=-λλλλλA I ， 解得221+=λ，222-=λ，于是由以上定理可得，)(x f 在122=+y x 下的最大值为22+，最小值22-．3 思想方面的联系3．1 符号化思想原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间…相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象．例7 设集合}){(R y x y x ∈=Ω，，，规定：（1）），（000=；（2）当且仅当21x x =，21y y =时，)()(2211y x y x ，，=．在Ω上定义运算“⊗”：21212211)()(y y x x y x y x +=⊗，，，设Ω∈c b a ，，，有以下四种命题：a b b a ⊗=⊗① ；)()(②c b a c b a ⊗⊗=⊗⊗；③若0=⊗b a ，则b a ，中至少有一个为0；④若c a b a a ⊗=⊗≠，0，则c b =；其中真命题的个数为（A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（08广东梅州市检）3．2 分类思想数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类．分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见．如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛运用．例8 已知函数1)2()1(2--+-=x m x m y （m 是实数）．如果函数的图像和X 轴只有一个交点，求m 的值．解 当1=m 时函数就是一个一次函数1--=x y ，它与X 轴只有一个交点)01(，-． 当01≠-m 时，函数就是一个二次函数1)2()1(2--+-=x m x m y0)1(4)2(2=-+-=∆m m ，得0=m ．抛物线122---=x x y 的顶点)01(，-在X 轴上．评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷．运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用．3．3 化归思想化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简．例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等．例9 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+ 恒成立，求a 的取值范围．分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法，，化为简单的参数的一元二次不等式． 解：设22log 1a t a =+， 则 224(1)8(1)log log 32a a t a a++==-，222(1)log 24a t a +=-． 于是，已知的不等式化为()23220t x tx t -+->．该不等式对所有实数t 恒成立的充要条件是()230,4830.t t t t ->⎧⎨∆=+-<⎩解得0t <．即22log 01a a <+， 进一步解得 01a <<．3．4 结构思想现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体．从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构．因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方．例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想．3．5 公理化方法中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的《几何原本》中的“23条定义”、“五大公理”、“五大公设”的的理论基础上．并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质公理化方法．高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法．实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展．3．6 坐标方法坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案．在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广．特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展．例10 如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，21===CA CB C C |，CB AC ⊥ ，E D ﹑分别是棱11﹑C B AB 的中点，F 是AC 的中点，求EF DE ﹑的长度．解 以点C 为坐标原点，1﹑﹑CC CB CA 所在直线为X 轴、Y 轴、Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．21===CA CB C C ，)000(，，C ∴，)002(，，A ，)020(，，B ，)200(1，，C ，)220(1，，B ． 由中点坐标公式可得)011(，，D ，)210(，，E ，)001(，，F5)20()11()01(222=-+-+-=∴DE ，6)02()01()10(222=-+-+-=EF图１3．7 构造性方法中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理．例如，正交基存在性定理的证明，带余除法定理的证明，最大公因式存在性的证明等等．所以，构造方法使二者既有联系，又有区别．例11 若()()()042=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列． 证明 当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠时，设方程()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=∆得21t t =，并易知1=t 是方程的根，所以=21t t 1=--yx z y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列． 评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式∆=ac b 42-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解．综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同．简而言之，高等代数源于中学数学，却高于中学数学．中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强．通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的．4 观念方面的联系中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学．接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系．研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主．例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究．高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用．例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间、欧氏空间等．充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助．数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中．下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系．首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头”．显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的．由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质．例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间．可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质．其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义．所以容易造成知其然，不知其所以然的格局．特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形．显然在数学上，这是不够严谨的．高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统．最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题．相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学．随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大．结束语在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同，因为高等代数与中学数学的研究对象、方法出现了巨大差异，中学教师大都毕业于师范院校本﹑专科，具有高等代数知识是无疑的，但能用高等代数的思想﹑观点去指导中学数学教学的却不多见]7[．数学师范专业的学生有种误区，认为“教学中用不上高等代数知识”，因而在学习高等代数知识的过程中懈怠，学习积极性不高，甚至于“厌学”．本文通过从数学方法、数学思想、数学观念三方面，并辅以例题综合阐述中学数学与高等代数的种种联系．在课程教学改革中，不仅要挖掘知识体系的联系，更要挖掘数学方法，数学观念方面的联系]8[．促进中学数学与高等代数的完美结合，进而扩大高等代数在中学数学的应用．参考文献[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．：广西教育出版社，1996．[2] 杨世明，周春荔，等．ＭＭ教育方式：理论与实践[M]．：香港新闻出版社，2002．54－87．[3] 中华人民共和国教育部．普通高中教学课程教育标准：实验[M]．：人民教育出版社，2003．[4] 庄瓦金．高等代数教程[M]．：高等教育出版社，2004．92－95[5] 张禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．：高等教育出版社，1999．[6] 扬家骥．高等代数在初等数学中的应用[M]．：山东教育出版社，1992．[7] 杨远廷．用高等数学的观点看中学数学教学[J]．德阳教育学院学报，2000，14(1):44－45．[8] 王玉行．高等代数对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略[J]．数学教育学报，2007，16(3)：92－94．致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了．尤其要强烈感谢我的论文指导老师—钟纯真老师、刘熠老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作．感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版的过程中提供热情的帮助．由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！。
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浅析高等代数与中学数学的关联
摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。
高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。
关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念
信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。
它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。
在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。
不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。
为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。
通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。
在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。
这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。
一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系
中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。
高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。
接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解
中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。
高等代数中先给出了行列式定义与计算方法，然后对n个未知数和n个方程组的情形，在行列式d不为零时，给出了cramer法则。
第三章重点讲线性方程组的解法（矩阵消元解法），特别是在引入了矩阵的概念和算法后，书写和计算简洁上有了很大的进步。
最后给出了线性方程组解的判定及解与解之间的关系，得到了基础解系的表达方式，从而给线性方程组的求解画上了圆满的句号。
中学数学学习了向量的运算，如加减法、数量积、长度和夹角等概念。
高等代数第九章欧几里得空间中对此进行了全面的定义，将其一般化，其中内积运算更具代表性，中学数学中讲到的仅仅是向量元素的一种特殊情形。
可见，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高。
它不仅解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以中学数学中涉及的整数、实数、
平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间，进而得到欧氏空间等代数系统。
这对用现代数学的观点和方法去研究中学数学是十分有用的。
二、高等数学类课程与中学数学在思想方法上的联系
1.抽象化
中学阶段用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的概念。
高等代数用字母表示多项式、矩阵，变换等，并开始研究抽象的代数系统——向量空间。
这里，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式，这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的。
随着概念抽象化程度的不断提高，数学研究的对象也急剧扩大，进而定义一些运算，如加法、乘法运算，得到群、环等概念。
高等代数等近现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构的科学。
2.归一化
在高等代数里，通过按行、按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；将二次型的研究转化为对实对称矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系；将线性变换的研究转化为矩阵的研究等；同时按元素间的关系进行分类，如用等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类；利用同构关系对线性空间分类、用维数对欧氏空间分类等，这都用到归一化思想。
总之，中学数学教学中，由于受中学生理解能力和所学知识所限，
许多概念只能给出定性的描述，推理的严谨性也不够明显，常借助于图形。
而高等代数在数学基本知识技能方面的培养上是承上启下的，一般先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系，同时具备抽象性和归一性，应用更广泛，从而能解决更复杂的问题。
参考文献：
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[4]邹泽民.高等代数教学中的“联系、联想、对比”[j].数学教育学报，1996，（04）.。