【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 H单元

数 学

H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2

＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)

的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.

(1)求C 2的方程．

(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →

同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；

(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．

20．解：(1)由C 1：x 2

＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以

a 2－

b 2＝1.①

又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2

＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6

b 2＝1.②

联立①②，得a 2

＝9，b 2

＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 2

8

＝1.

(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．

(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →

，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3

－x 4，于是(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2

－4x 3x 4.③

设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.

由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2

＝－4.④

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 2

9

＝1得(9＋8k 2)x 2

＋16kx －64＝0.

而x 3，x 4是这个方程的两根，所以

x 3＋x 4＝－

16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64

9＋8k

2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2

＋1)＝162k 2

（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2

＋1)＝162

×9（k 2

＋1）（9＋8k 2）2

， 所以(9＋8k 2)2

＝16×9，解得k ＝±

64，即直线l 的斜率为±6

4

.

(ii)证明：由x 2

＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 1

2(x －x 1)，即y ＝

x 1x 2

－x 21

4

.

令y ＝0，得x ＝x 1

2

，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 2

1

2

－

y 1＋1＝x 21

4

＋1>0，

因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．

19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为3

3

，点M

在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2

＋y 2

＝b 2

4截得的线段的长为c ，|FM |＝43

3

.

(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；

(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．

19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13

，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2

.

设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有

kc k 2＋12＋c 2

2

＝b 22，解得k ＝33

. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝3

3

(x ＋c )，两个方程联立，

消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2

＝0，解得x ＝－53

c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的

坐标为c ，23

3

c .由|FM |＝

（c ＋c ）2

＋

233c －02＝43

3

，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23

＋y 2

2

＝1.

(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝

y

x ＋1

，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，

与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 2

2

＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2

＝6.又由已知，得t ＝

6－2x 2

3（x ＋1）2>2，解得－3

2

设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x

，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2

＝2x

2－

23

. ①当x ∈－3

2

，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝

2

x 2

－23，得m ∈23，233

. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2

x 2

－2

3

，得m ∈－∞，－23

3

.

综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，23

3.

H2 两直线的位置关系与点到直线的距离

15．B12、H2 设曲线y ＝e x

在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x

(x >0)上点P 处的切线垂直，

则P 的坐标为________．

15．(1，1) 对y ＝e x

求导得y ′＝e x

，令x ＝0，得曲线y ＝e x

在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1

x

2＝－1，得x ＝1，则y

＝1，所以P 的坐标为(1，1)．

H3 圆的方程

14．H3、H4 如图1­3，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.