【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷 全国卷 I A 理科数学模拟试题(三)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
理数（三）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合(
){
}2
2log 2A x y x x
==--，B =N ，则A
B =（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}1,0- 2．复数()2i z x x =++（其中i 为虚数单位，x ∈R ）满足
2i
z
+是纯虚数，则z =（ ）
A ．．
3 D ．3
3．已知2
:,20p x x x a ∀∈++>R ；:28a
q <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．(),3-∞
C ．()1,3
D ．()
(),13,-∞+∞
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的离心率为e ，其中一条渐近线的倾斜角θ的取值
范围是,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，其斜率为k ，则2
e k 的取值范围是（ ）
A ．(
B ．⎛ ⎝⎦
C ．2,⎡⎣
D ．⎡⎢⎣
⎦ 5．电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是1
3
，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）
A ．
1027 B ．448729 C ．100243 D ．4081
6．已知点(),P x y ，若实数,x y 满足330,
10,3,
x y x y x ++≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥-⎩
则目标函数21x y z x +-=-的取值范围
是（ ）
A ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,34⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ C ．5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
7．已知0.3
2
a =，435
5
2
2b -
-
=+，lg9lg11c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 8．某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为（ ）
A ．2 B
． C
． D
．
9．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）
A ．1N a +
B ．2N a +
C ．11N a +-
D ．21N a +-
10．将函数()y f x =的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的1
2
，②向左平移
6π个单位，得到函数()y g x =的图象（如图所示），其中点2,03D π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，点,03E π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则函数()()f x y f x =
'在区间[]0,2π上的对称中心为（ ）
A ．(),0π，()2,0π
B ．(),0π
C ．()0,0，(),0π
D ．()0,0，(),0π，()2,0π 11．已知0a c >>，12,r r -
∈R ，()()22
2111:C x a y r r ++-=，
()()22
2222:C x a y r r -+-=.给出以下三个命题：
①分别过点(),0E c -，(),0F c ，作1C 的不同于x 轴的切线，两切线相交于点M ，则点
M 的轨迹为椭圆的一部分；
②若1C ，2C 相切于点H ，则点H 的轨迹恒在定圆上；
③若1C ，2C 相离，且122r r a ==，则与1C ，2C 都外切的圆的圆心在定椭圆上. 则以上命题正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
12．已知函数()22
e e ln ln ln 323x
f x c c x x ⎛⎫=--
- ⎪⎝
⎭（其中e 为自然对数的底数）有两个极值点，则函数()()2
2
e 211x
g x x c x c c =--+---的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某学校男女比例为2:3，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本，若女生比男生多10人，则m = ．
14．如图所示，已知在ABC ∆中，23AE AC =
，1
3
BD BC =，BE 交AD 于点F ，AF AB AC λμ=+，则λμ+= ．
15．某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是 小时．
16．母线长为的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入 个．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知数列{}n a 满足12a =，且1
122n n n a a ++=+，n ∈*N .
（1）设2n
n n
a b =
，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18． 如图，在
ABCD 中，30A ∠=︒，AD =2AB =，
沿BD 将ABD ∆翻折到A BD '∆的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '. （1）求证：A D '⊥平面BCD ；
（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ''=，且二面角M BD C --的大小为60°，求λ的值.
19． 我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响，把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为：风速不小于30米/秒的称为强台风，风速小于30米/秒的称为风暴，下表是2014年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计：
（1）根据上表，计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关；
（2）2017年8月23日，“天鸽”在深圳登陆，造成深圳特大风暴，如图所示的茎叶图统计了深圳15块区域的风速.（十位数为茎，个位数为叶）
①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25的概率；
②任取3个区域进行统计，X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .
附：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20． 已知双曲线2
212
x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，直线:l x p =与双曲线交于,M N ，直线2A M 交直线1A N 于点Q . （1）求点Q 的轨迹方程；
（2）若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切，探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.
21． 已知函数()e x
x a
f x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为()
g a .
（1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的a ∈R ，
1
e e
k <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,
2sin x t y t αα=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为
4cos 6sin ρθθ=+.
（1）求圆M 的直角坐标方程，并写出圆心和半径；
（2）若直线l 与圆M 交于,A B 两点，求AB 的最大值和最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x x a =++.
（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值.
理数（三）答案
一、选择题
1-5:ADCDB 6-10:DCCDD 11、12：AD
二、填空题
13．50 14．
6
7
15．3.5 16．10 三、解答题
17．解：（1）把2n n n a b =代入到1
122n n n a a ++=+，
得1
1112
22n n n n n b b ++++=+，
两边同除以1
2
n +，
得11n n b b +=+，
∴{}n b 为等差数列，首项1
112
a b ==，公差为1， ∴()
n b n n =∈*N . （2）由22
n
n n n n
a b n a n ==
⇒=⨯， ∴133
1222322n n S n =⨯+⨯+⨯+
+⨯
2342122232n S ⇒=⨯+⨯+⨯()1122n n n n ++
+-⨯+⨯，
两式相减，得123
2222n n S -=+++
+-()112122n n n n ++⨯=-⨯-
()()1122n n S n n +⇒=-⨯+∈*N .
18．解：（1）ABD ∆中，由余弦定理，可得1BD =. ∴222BD AD AB +=，
∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒. 作DF A B '⊥于点F ， ∵平面A BC '⊥平面A BD '， 平面A BC
'平面A BD A B ''=，
∴DF ⊥平面A BC '. ∵CB ⊂平面A BC '， ∴DF BC ⊥. 又∵CB BD ⊥，BD DF D =，
∴CB ⊥平面A DB '. 又∵A D '⊂平面A DB '， ∴CB A D '⊥. 又A D BD '⊥，BD CB B =，
∴A D '⊥平面CBD .
（2）由（1）知,,DA DB DA '两两垂直，以D 为原点，以DA 方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，
则()0,1,0B
，()
C
，(A '. 设(),,M x y z ，
则由,
,x A M A C y z λλ⎧=⎪
''=⇒=⎨⎪
=⎩
()
,M λ⇒.
设平面MDB 的一个法向量为(),,m a b c =，
则由0,0,m DB m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
)
0,0,
b a b
c λ=⎧⎪⇒⎨
++=⎪⎩
取()11,0,a c m λλλλ=-⇒=⇒=-. 平面CBD
的一个法向量可取(DA '=，
∴
1
cos ,2
DA m '=
⇒
1122
λ-=
⇒=. ∵[]
0,1λ∈， ∴1
2
λ=
. 19．解：（1）22⨯列联表如下：
由22⨯列联表中数据，
可得2
K 的观测值()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()2
30108185 6.63512181515
⨯-=<⨯⨯⨯，
所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关. （2）①风速小于25的区域有7块，
2块区域风速都小于25的概率为
272151
5
C C =，
故取到2个区域风速都不小于25的概率为14155
-=. ②达到强台风级别的区域有5块， 故0,1,2,3X =.
()31031524
091C P X C ===
, ()2110531545
191C C P X C ===
, ()121053
1520
291C C P X C ===, ()353152
391
C P X C ===,
故随机变量X 的分布列为
()2445202
0123191919191
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 20．解：（1）设点(),Q x y ，()0,M p y ，()0,N p y -，其中00y ≠.
由题意，得()
1A
，)
2A .
由11QA NA k k =⇒
=，①
22QA MA k k =⇒
=
两式相乘得22
02222
y y x p =---. ∵22
012
p y -=，
∴2
2
12p y =-， 代入上式得
2
222112222
p y x p -==---2212x y ⇒+=， 由①与00y ≠，得0y ≠，
10x =≠-⇒≠. 故点Q 的轨迹方程为()2
210,02
x y x y +=≠≠. （2）设点()(),0,0A m n m n ≠≠，过点A 作椭圆的切线，
则切线的斜率存在且不为0，设斜率为k ，
则切线方程为()y n k x m y kx n km -=-⇒=+-，
代入到椭圆方程整理，
得()()()2
22124220k x k n km x n km ++-+--=. ()2216k n km ∆=--()()22412220k n km ⎡⎤+--=⎣⎦
， 即()
2222210m k mnk n --+-=.
这个关于k 的一元二次方程的两根即为AB k 与AD k ，
由1AB AD k k ⋅=-， 得22221132
n m n m -=-⇒+=-. 设O
为坐标原点，故可知OA =
同理，得OA OB OC OD ====
即点O 为矩形ABCD 外接圆的圆心，其中AC
为直径，大小为
故矩形ABCD
对角线长为定值
21．解：（1）由题意，得()1e x
a x f x --'=. 当11a -≤-，即2a ≥时，()()0f x f x '≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数， 所以()f x 最大值为()()()1e 1g a f a =-=-.
当111a -<-<，即02a <<时，当()1,1x a ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,1x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，
所以()f x 的最大值为()()11e a g a f a -=-=.
当11a -≥时，即0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[]1,1x ∈-时为单调递增函数， 所以()f x 的最大值为()()11e
a g a f +==. 综上得()()1e 1,2,e ,02,1,0.e
a a a g a a a a -⎧-≥⎪⎪=<<⎨⎪+⎪≤⎩
（2）令()()h a g a ka t =--.
①当02a <<时，()()1e
a h a g a ka t ka t -=--=--()1e a h a k -'⇒=-， 由()0h a '=，得1ln a k =+，
所以当()0,1ln a k ∈+时，()0h a '<；
当()1ln ,2a k ∈+时，()0h a '>，
故()h a 最小值为()()1ln 1ln h k k k k t +=-+-0ln t k k ≥⇒≤-. 故当1e e
k <<且ln t k k ≤-时，()g a ka t ≥+恒成立. ②当2a ≥，且ln t k k ≤-时，()()()h a g a ka t =-+()e e a k t =---.
因为e 0k ->，
所以()h a 单调递增，
故()()()()min 22e 2ln h a h k e t e k e k k ==---≥--+e 2ln k k k =-+.
令()e 2ln p k k k k =-+，
则()ln 10p k k '=-≤， 故当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()p k 为减函数，
所以()()e p k p >，
又()e 0p =， 所以当1e e
k <<时，()0h a >， 即()0h a ≥恒成立.
③当0a ≤，且ln t k k ≤-时，
()()()11e e
h a g a ka t a k t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭， 因为10e
k -<， 所以()h a 单调递减，
故()()min 110ln e e h a h t k k ==
-≥+. 令()1ln e
m k k k =+， 则()1ln 0m k k '=+≥， 所以当1
,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()p k 为增函数， 所以()10e m k m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，
所以()0h a >，即()0h a ≥. 综上可得当1e e
k <<时，“ln t k k ≤-”是“()g a ka t ≥+成立”的充要条件. 此时2ln tk k k ≤-.
令()2
ln q k k k =-，
则()()2ln 2ln 1q k k k k k k '=--=-+，
令()0q k '=，得1
2e k -=. 故当112e ,e k --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0q k '>； 当12e ,e k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0q k '<，
所以()q k 的最大值为121e 2e
q -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当且仅当12
e k -=，1
21ln e 2t k k -=-=时，取等号， 故tk 的最大值为12e
. 22．解：（1）4cos 6sin ρθθ=+⇒24cos 6sin ρρθρθ=+
2246x y x y ⇒+=+
()()22
2313x y ⇒-+-=.
圆心为()2,3（2）把直线l 的参数方程代入圆M 的标准方程，
得()()221cos 22sin 313t t αα+-++-=，
整理得()22cos 2sin 110t t αα-+-=， ()22cos 2sin 440αα∆=++>，
设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，
则122sin 2cos t t αα+=+，1211t t =-.
所以12AB t t =-=
=
=
因为[]sin 21,1α∈-，
所以AB ⎡∈⎣， 即AB
的最大值为
23．解：（1）对x ∀∈R ，()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 当且仅当()0x x a +≤时取等号， 故原条件等价于21a a ≥-，
即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤，
故实数a 的取值范围是(],1-∞.
（2）由210a x x a -≥++≥，可知210a -≥， 所以12
a ≥， 故0a -<.
故()2,,,0,2,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩
的图象如图所示，
()2,221,52321.2
a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨++=-=-⎪⎩⎪⎩.。