九年级数学第2讲.第二轮复习之函数图象上点的存在性专题——距离最值、面积最值及周长和面积的等分问题

`中考说明：从07到12年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题简单的可分为以下几类：① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．Pd O图1图2P 2P 1ld d图3角平分线角平分线角平分线角平分线2第二轮复习之函数图象上点的存在性专题—距离最值、面积最值及周长和面积的等分问题题型一：存在问题中的距离图4I 3I 2I 1I二、线段最值问题： 题型一：已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆心，线段AB 为半径作圆，AC 交A ⊙于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -．点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．题型二：在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．题型三：直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．题型四：直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B ′′、，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求． 点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．题型五：从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点． A'BP Al Ol 1l 2QPB'A'BAO B AP 2P 1P l 2l 1B'A'QPBAl题型六：A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求． 点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．题型七： 垂线段最短．AB ≥AM+BNNBMA斜边大于直角边C B A垂线段最短【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)P ，，(02)A ，两点．⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标．（北京中考）【解析】 ⑴ 由题意可得3652m m n n ++=⎧⎨=⎩解得132m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩故抛物线的解析式为：2123233y x x =++．⑵ 由2123233y x x =++可知抛物线的顶点坐标为()31B -，，故()31C --，，由题意可知直线l 过原点()00，和()31C --，． 设直线l 的解析式为y kx =，则有31k -=-解得3k =． 故直线l 的解析式为3y x =． 典题精练dA'B QPA⑶ 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点有四个． 由勾股定理可知OB =OC =BC =2，故△OBC 为等边三角形，四边形ABCO 是菱形，且∠BCO =60°，连接AC 交x 轴于一点M ，易证点M 到OB 、OC 、BC 的距离相等． 由点A 在∠BCO 的平分线上，故它到BC 、CO 3同时不难计算出点A 到OB 3故点A 也算其中一个． 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO 全等的菱形（如图所示，其中△OBC 为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB 、OC 、BC的距离相等．此四个点的坐标分别为：230M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()02A ，，()02-，，()230-．Bl-3-2-1CN-4-2M 12OA321y x【例2】 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，且经过()04B ，，()59C ，，直线BC 与x 轴交于点A ．⑴求出直线BC 及抛物线的解析式． ⑵()1D y ，在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M N ，，且MN ＝２ ，点M 在点N 的上方，使得四边形BDNM 的周长最小，若存在，求出M N 、两点的坐标，若不存在，请说明理由．⑶现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交于另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线BC距离为32的点P ． （延庆一模） 【解析】 ⑴ 设直线BC 的解析式：y kx b =+根据题意得：495b k b =⎧⎨=+⎩，解得41b k =⎧⎨=⎩．直线BC 的解析式为4y x =+．∵抛物线的对称轴为2x = 设抛物线的解析式为()22y a x t =-+，根据题意得()()22402952a ta t⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得10a t =⎧⎨=⎩， 抛物线的解析式为244y x x =-+．⑵ ∵若四边形BDNM 的周长最短，求出BM DN +最短即可，∵点D 抛物线上，∴ ()11D ，，∴D 点关于直线2x =的对称点是()131D ，∵()04B ，，∴将B 点向下平移2个单位得到()102B ， ∴直线11B D 交直线2x =于点N ，∵直线11B D 的解析式为123y x =-+，∴423N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵2MN =，∴1023M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．⑶ 将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，设P 到直线BC 的距离为h ，故P 应在与直线BC 平行，且相距32的上下两条平行直线1l 和2l 上．由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC 的距离也为321l 与y 轴交于E 点，过E 作EF BC ⊥于F 点，在Rt BEF △中， 32EF h ==，45EBF ABO ∠=∠=°，∴6BE =．∴可以求得直线1l 与y 轴交点坐标为()010， 同理可求得直线2l 与y 轴交点坐标为()02-，∴两直线解析式110l y x =+∶；22l y x =-∶． 根据题意列出方程组：l 2:y=x-2P 4P 3E y=x+4l 1:y=x+10hP 2P 1CB AFD 1412108642642-2O -2-4y x⑴24410y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩；⑵2442y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩．∴解得：11616x y =⎧⎨=⎩；2219x y =-⎧⎨=⎩；3320x y =⎧⎨=⎩；4431x y =⎧⎨=⎩∴满足条件的点P 有四个，它们分别是()1616P ，，()219P -，，()320P ，，()431P ，．【例3】 已知抛物线21y ax bx =++经过点()13A ，和点()21B ，． ⑴求此抛物线解析式；⑵点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值； ⑶过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 2倍，试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明） （崇文一模）y x331221O 1FGy xE HD 1OCBA【解析】 ⑴ 依题意：311421a b a b =++⎧⎨=++⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．⑵ 点()13A ，关于y 轴的对称点A '的坐标是()13-，，点()21B ，关于x 轴的对称点B '的坐标是()21-，．由对称性可知 AB BC CD DA +++=AB B C CD DA ''+++≥AB A B ''+由勾股定理可求AB = 5，5A B ''=．所以，四边形ABCD 周长的最小值是55AB A B ''+=+．⑶ 确定F 点位置的方法：如图，过点E 作直线EG 使对称轴与直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点．设对称轴与x 轴交于点H ，在Rt HEF △中，由1HE =，9045FHE EFH ∠=︒∠=︒，，得1HF =．所以点F 的坐标是()11，．中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．【例4】 抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【分析】 求三角形面积的问题通常要用割补法或等积变换等方法，本题较特殊，还可利用直线与抛物线相切来寻找面积最大时E 点的坐标．【解析】 解法一：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，设()223E a a a --+，()30a -<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-∴()1122BOCE S BF EF OC EF OF =⋅++⋅四边形()()()()22113232622a a a a a a =+⋅--++--+⋅- 2399222a a =--+23363228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638．此时，点E 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，．解法二：过E 作EF x ⊥轴交BC 于点H ， 设E 坐标为()223a a a --+，，则()3H a a +，， ∴222333EH a a a a a =--+--=--，由()213322BEC BEH CEH S S S OB EH a a =+=⋅⋅=--△△△∴()239322BOCE S a a =-++四边形，典题精练题型二：存在问题中的面积xy H F EOC BAExOyCBA当32a =-时，BOCE S 四边形取到最大值，此时，31524E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．解法三：过抛物线上一点作BC 平行线l ，当直线l 与抛物线有且只有一个公共点时，BEC S △取到最大值，此点即为点E ，设直线l 解析式为y x b =+，则方程223x b x x +=--+，有两个相等实根，即0∆=， 可求214b =，由此可求得方程的根，即可求出E 点坐标．【例5】 如图，抛物线()20y ax bx a =+>与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为()22--，，点A 在第一象限内，且tan 4AOx ∠=. 过点A 作直线AC x ∥轴，交抛物线于另一点C ．⑴求双曲线和抛物线的解析式； ⑵计算ABC △的面积；⑶在抛物线上是否存在点D ，使ABD △的面积等于ABC △的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． （山东日照）【解析】 ⑴ 把点()22B --，的坐标，代入ky x=，得：22k -=-，∴4k =．即双曲线的解析式为：4y x= ．设A 点的坐标为()m n ，，∵A 点在双曲线上，∴4mn =．…①又∵tan 4AOx ∠=，∴4nm=， 即4n m =．…② 又①，②得：21m =，1m =±. ∵A 点在第一象限，∴1m =，4n =， ∴A 点的坐标为()14，把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+，得：4242a ba b =+⎧⎨-=-⎩解得13a b ==，；∴抛物线的解析式为：23y x x =+ ； ⑵ ∵AC x ∥轴，∴点C 的纵坐标4y =，代入23y x x =+，得方程2340x x +-=，解得14x =-，21x =（舍去）． ∴C 点的坐标为()44-，，且5AC =，又ABC △以AC 为底，则高为6，∴ABC △的面积156152⨯⨯= ；⑶ 存在D 点使ABD △的面积等于ABC △的面积. 可计算发现点D 不在直线AB 下方. 过点C 作CD AB ∥交抛物线于另一点D ．因为直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且C 点的坐标为()44-，，CD AB ∥，所以直线CD 相应的一次函数是：212y x =+.解方程组23212y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得318x y =⎧⎨=⎩或44x y =-⎧⎨=⎩（舍），所以点D 的坐标是()318，.CBAOyx【例6】 已知顶点为()15A ，的抛物线2y ax bx c =++经过点()51B ，. ⑴求抛物线的解析式；⑵如图1，设C D ，分别是x 轴、y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值. ⑶在⑵中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD .设点()P x y ，()0x >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰直角三角形PRQ .①当PQR △与直线CD 有公共点时，求x 的取值范围； ②在①的条件下，记PQR △与COD △的公共部分的面积为S .求S 关于x 的函数关系式，并求S 的最大值. （四川乐山）图1BC DAOyxQ R P图2BC DA O yx【解析】 ⑴ 设以()15A ，为顶点的二次函数解析式为()215y a x =-+∵()215y a x =-+的图象经过点()51B ，∴21(51)5a =-+解得14a =-∴()21154y x =--+即：21119424y x x =-++⑵ 如图，作点A 关于y 轴对称点A '，与y 轴交与A'BCDAOy x点D ，作点B 关于x 轴对称点B '，与x 轴交与点C ，连接AD DC CB BA ，，，.四边形ABCD 的周长最小. ∵()15A ，，()51B ，，∴()15A '-，，()51B '-， ∴DA CD BC AB C ABCD +++=四边形''()()()()2222155115514262102=-+-+--++=+=⑶ ①如图∵()()1,551A B ''--，，∴直线AB 的解析式为4y x =-+∴直线4y x =-+与直线y x =的交点()22M ， ∵(),P x y ，点Q 为OP 的中点 ∴,22x y Q ⎛⎫⎪⎝⎭∵PQR △与直线CD 有公共点，()22M ， ∴222x x⎧⎪⎨⎪⎩≥≤，即24x ≤≤. ②如图：点()22M ，，当MP MQ =时，1222x x -=-，得：83x =， 当823x ≤≤时，2111111()()2(2)2(2)222222S PR RQ MP x x x x x x =⋅-=-⋅--⋅-⋅-227716444()8877S x x x =-+-=--+当167x =时，4=7S 最大．当843x ≤≤时，22111112(2)2(2)(4)22224S MQ x x x ==⋅-⋅-=- 当83x =时，4=9S 最大．故S 的最大值为47．目标班训练1. 如图：抛物线经过()30A -，、()04B ，、()40C ，三点． ⑴求抛物线的解析式；思维拓展训练(选讲)M A'B'Q RPBCDAOyx⑵已知AD AB =（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； ⑶在⑵的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ MC +的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴ 解法一：设抛物线的解析式为()()34y a x x =+-因为()04B ，在抛物线上， 所以()()40304a =+-，解得13a =-所以抛物线解析式为()()2111344333y x x x x =-+-=-++解法二：设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠， 依题意得：4c =且9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以所求的抛物线的解析式为211433y x x =-++．⑵ 连接DQ ，在Rt AOB △中，22AB AO BO =+=所以5AD AB ==，347AC AD CD =+=+=，752CD AC AD =-=-=因为BD 垂直平分PQ ，所以PD QD =， PQ BD ⊥，所以PDB QDB ∠=∠因为AD AB =，所以ABD ADB ∠=∠，ABD QDB ∠=∠， 所以DQ AB ∥，所以CQD CBA ∠=∠．CDQ CAB ∠=∠，所以CDQ CAB △∽△，DQ CDAB CA=， 即257DQ =，107DQ =，所以1025577AP AD DP AD DQ =-=-=-=， 2525177t =÷=，所以t 的值是257． ⑶ 答对称轴上存在一点M ，使MQ MC +的值最小理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-=所以()30A -，，()40C ，两点关于直线12x =对称 连接AQ 交直线12x =于点M ，则MQ MC +的值最小过点Q 作QE x ⊥轴于E ，所以90QED BOA ∠=∠=°DQ AB ∥，BAO QDE ∠=∠，DQE ABO △∽△QE DQ DE BO AB AO ==，即107453QE DE ==，所以87QE =，67DE =， 所以620277OE OD DE =+=+=，所以20877Q ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AQ 的解析式为()0y kx m k =+≠ 则2087730k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，由此得8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+． 联立128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此得122841x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以128241M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则在对称轴上存在点128241M ⎛⎫⎪⎝⎭，，使MQ MC +的值最小．训练2. 如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C ，线段BC 向上平移3个单位得到对应线段B C ''，抛物线上一动点P （点P 在平行四边形BCC B ''中），是否存在点P ，使得PBC PB S S ''-△△的值最大． 【分析】 几何法：当点P 为直线y x b =+与抛物线的切点时，PBC S △取到最大值．同时PB C S ''△取到最小值．代数法：设点P 的坐标为()223m m m --+，，然后用m 表示PBC PB C S S ''-△△，再求最大值．【解析】 若y x b =+和223y x x =--+相切．223y x by x x =+⎧⎨=--+⎩消y 得2330x x b ++-=，()9430b --=解得214b =，代入求得31524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．目标123班训练1. 已知，如图，二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧),点H 、B 关于直线l ：33y x 对称.⑴求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上； ⑵求二次函数解析式；PC'B'ACB y x⑶过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN NM MK ++和的最小值.（福建福州中考）【解析】 ⑴ 依题意,得2230ax ax a +-=(0)a ≠解得13x =-,21x = ∵B 点在A 点右侧∴A 点坐标为(30)-,,B 点坐标为(10), ∵直线l :33y =+当3x =-时,3(3)30y =-∴点A 在直线l 上 ⑵ ∵点H 、B 关于直线l :33y =对称∴4AH AB ==过顶点H 作HC AB ⊥交AB 于C 点则122AC AB ==,23HC =∴顶点(3)H -把(1,23)H - 代入二次函数解析式223y ax ax a =+-,解得3a =∴二次函数解析式为23333y x =+⑶ 直线AH 的解析式为333y x =+ 直线BK 的解析式为33y x =-由3333y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得{23x y == 即3)K ,则4BK = ∵点H 、B 关于直线AK 对称A BKHx yOlA BKHxyO lA BKHxyC OAB KHNM DEQxyO l∴HN MN +的最小值是MB ,过K 作KD x ⊥轴于D 点. 23KD KE ==过点K 作直线AH 的对称点Q ,连接QK ,交直线AH 于E 则QM MK =,23QE EK ==AE QK ⊥ ∴BQ 的长是HN NM MK ++的最小值 ∵BK ∥AH∴90BKQ HEQ ∠=∠=︒在Rt BKQ △ 由勾股定理得8QB =∴HN NM MK ++的最小值为8.训练2. 如图：抛物线经过()30A -，、()04B ，、()40C ，三点． ⑴求抛物线的解析式；⑵已知AD AB =（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； ⑶在⑵的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ MC +的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴ 解法一：设抛物线的解析式为()()34y a x x =+-因为()04B ，在抛物线上， 所以()()40304a =+-，解得13a =-所以抛物线解析式为()()2111344333y x x x x =-+-=-++解法二：设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠， 依题意得：4c =且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以所求的抛物线的解析式为2114y x x =-++．⑵ 连接DQ ，在Rt AOB △中，222234AB AO BO =+=+所以5AD AB ==，347AC AD CD =+=+=，752CD AC AD =-=-= 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD QD =，PQ BD ⊥，所以PDB QDB ∠=∠ 因为AD AB =，所以ABD ADB ∠=∠，ABD QDB ∠=∠， 所以DQ AB ∥，所以CQD CBA ∠=∠．CDQ CAB ∠=∠，所以CDQ CAB △∽△，DQ CD AB CA =，即257DQ =，107DQ =，所以1025577AP AD DP AD DQ =-=-=-=，2525177t =÷=，所以t 的值是257．⑶ 答对称轴上存在一点M ，使MQ MC +的值最小理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-=所以()30A -，，()40C ，两点关于直线12x =对称 连接AQ 交直线12x =于点M ，则MQ MC +的值最小过点Q 作QE x ⊥轴于E ，所以90QED BOA ∠=∠=°DQ AB ∥，BAO QDE ∠=∠，DQE ABO △∽△QE DQ DE BO AB AO ==，即107453QE DE ==，所以87QE =，67DE =， 所以620277OE OD DE =+=+=，所以20877Q ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AQ 的解析式为()0y kx m k =+≠则2087730k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，由此得8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+．联立128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此得122841x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以128241M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则在对称轴上存在点128241M ⎛⎫⎪⎝⎭，，使MQ MC +的值最小．题型一 存在问题中的距离 巩固练习 【练习1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()20A ，、()40B ，两点，直线122y x =+交y 轴于点C ，且过点(8)D m ，． ⑴求抛物线的解析式；⑵在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；⑶将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，当四边形A B DC ''的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A B DC ''周长的最小值． 复习巩固yx-1-212345678-2-187654321O（顺义二模）【解析】⑴依题意，得4201640b cb c++=⎧⎨++=⎩解得68bc=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式是268y x x=-+．⑵依题意，得(02)C，，(86)D，．作点(02)C，关于x轴的对称点(02)C'-，，求直线C D'的解析式为2y x=-，直线C D'与x轴的交点即为P点．因此，P点坐标为(20)，．⑶左右平移抛物线268y x x=-+，因为线段2A B''=和CD=228445+所以要使四边形A B DC''的周长最小，只要使A C B D''+的值最小；因为2A B''=，因此将点C向右平移2个单位得()122C，，作点1C关于x轴的对称点2C，2C点的坐标为()22-，，设直线2C D的解析式为y kx b=+，将点()222C-，、()86D，代入解析式，得2286k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得 43143k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线2C D 的解析式为41433y x =-．∴直线2C D 与x 轴的交点即为B '点，可求702B ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，因此302A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．所以当四边形A B DC ''的周长最小时，抛物线的解析式为37()()2y x x =--，即22154y x x =-+．∵2A C B D C D ''+== 226810+．∴四边形A B DC ''的周长最小值为245101245+=+．题型二 存在问题中的面积 巩固练习【练习2】 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，，把直线 OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点()6B m ，，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点.⑴求m 的值；⑵求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点E ，使凸四边形OECD 的面积1S 是四边形OACD 面积S 的23?若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（内蒙古乌兰察布中考）【解析】 ⑴ 设反比例函数的解析式为：ky x=，把()33A ，代入解析式中求得9k =.当6x =时，9362y ==，所以32m =； 点B 的坐标为362⎛⎫ ⎪⎝⎭，.⑵ 设直线OA 的解析式为1OA y k x =，把()33A ，代入解析式中求得11k =，则有OA y x =，设直线BD 的解析式为BD y x b =+，把362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式中求得4.5b =-，则有 4.5BD y x =-，所以362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、()0 4.5D -，设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由题意知33DC BAy xO933336624.5a b c a b c c ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪=-⎪⎩解得0.544.5a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以20.54 4.5y x x =-+-⑶ 由 4.5BD y x =-求出()4.50C ，，四边形OACD 面积OAC OCD S S S =+△△=111353 4.5 4.5 4.5228⨯⨯+⨯⨯=， 四边形OECD 的面积122135453384S S ==⨯=因为初中只研究凸四边形，经分析点E 在直线CD 的上方，四边形OECD 的面积1OCE OCD S S S =+△△则45194.5 4.5428OCE S =-⨯⨯=△所以1928OC h ⨯⨯=，求出12h =，即点E 的纵坐标是12，把12y =代人20.54 4.5y x x =-+-中得出46x =所以1462E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1462E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.又因为E 在直线CD 的上方， 所以1462E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.第十八种品格：坚持坚持即是成功有一个少年，拜在一位师傅门下，想学功夫。