比较九章算数和几何原本.doc

《九章算术》和《儿何原本》在思维方法上有很大的不同

我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原木》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》。其中的勾股章提出了勾股数问题的通解公式，在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这己比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容, 在西方却还是近代的事。《九章算术》及其刘徽注，以杰出的数学成就，独特的数学体系。不仅对东方数学，而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响，在科学史上占有极为重要的地位。它的出现，标志着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，为此后中国数学领先世界1500多年奠定了基础。

《儿何原本》是欧儿里德一生著有的多部数学著作其中最有价值的一部。它系统的总结了古代劳动人民在实践中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系一一几何学。

《九章算术》是一部经儿代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年（公元前一世纪）。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

《九章算术》很强调辩证思维，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧儿里得在《儿何原本》中提出儿何学的“根据” 问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际, 以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。

数学是一切科技的基础。《几何原本》和《九章算术》反映了东西方算学的基本思维方式。对于未来的科技来说，多一种思维方式就是多了一种工具，或者说多了思考问题的一个维度。《九章算术》是由中国人所发明，鉴于西方人在数学方面已经有了长足的进展，中国人不仅需要继承西方的科学文化，同样也需要在传统上翻新，为世界文明做新的贡献。

我以为，《几何原本》和《九章算术》是目前流传下来的两大体系，失传的还有一些，最典型的是古埃及人的算学，试想，能够造出金字塔的民族，其数学一定是震惊世人的，并且预案早于世界其他民族和国家。此外，古印第安人也应当有不凡的数学知识，他们同样建造了美洲的金字塔。不过，我推测，他们都太过于追求精神生活，向往来世，最后，他们的文明都烟消云散了。

古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作一把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧儿里得在《儿何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。《几何原本》分十三篇.含有467个命题。

《几何原本》对世界数学的贡献主要是：

1.建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。

2.把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。

3.示范地规定了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。

《几何原本》精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建工了数学的科学体系。为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。二千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。

而中国的经典之作是《九章算术》。不同的是，《九章算术》并不是一人一时写成的，它经历了多次的整理、删补和修订，是几代人共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年（公元一世纪）。《九章算术》采用问题集形式.全书分为九章, 例举了246个数学问题，并在若干问题之后，叙述这类问题的解题方法。

《九章算术》对世界数学的贡献主要有：

1.开方术，反应了中国数学的高超计算水平，显示中国独有的算法体系。

2.方程理论，多元联立一次方程组的出现，相当于高斯消去法的总结，独步于世界。

3.负数的引入，特别是正负数加减法则的确立，是一项了不起的贡献。

刘徽公元263年注《九章算术》，主要贡献是整理此前的中国占代数学成就，并用自己的理解加以评述，特别是一些数学方法的提炼，达到中国数学的高峰。

《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就，是中国数学体系形成的重要标志，其内容丰富多彩，反映了我国占代高度发展的数学。《九章算术》对中国数学发展的影响，可与欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深远的。

结论：《九章算术》和《几何原本》同为世界最重要的数学经典。《九章算术》以其实用、算法性称誉世界，《几何原本》以其逻辑演绎的思想方法风靡整个科学界。二者是互相补充的，并非一个掩盖另一个。

浅谈《九章算术》与《几何原本》的异同就数学而言，古代东西方文明都对其发展作出了不可磨灭的贡献；其中以中国的《九章算术》和西方的欧几里得的《几何原本》的贡献最大。以下，我就这两部经典的数学著作谈谈我的读后感。一、结构：《几何原本》分十三篇。含有467个命题；有5个公理和5条

公设；大部分的命题都是由极少数的公理逻辑推理而来《九章算术》共收有246个数学问题，包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。其数学成就也是多方面的。贡献：《几何原本》对世界数学的贡献主要是：1.建

立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出儿百个定理。 2.把逻辑证明系统地引入数学中，

强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。 3.示范地规定了几

何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。《几何原本》精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建工了数学的科学体系。为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。二千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。《九章算术》对世界数学的贡献主要有： 1.开方术，反应了中国数学的高超计算水平，显示中国独有的算法体系。 2.方程理论，

多元联立一次方程组的出现，相当于高斯消去法的总结，独步于世界。 3.负数的引入，特别是正负数加减法则的确立，是一项了不起的贡献。二、两部著作中的一些内容比较：《九章算术》在方程理论中的多元联立一次方程组的出现比高斯后来提出的消去法早了很多年；在解线性方程组时，首次提出了负数的加减法法则，这对数学的贡献是非常巨大的；在代数方面，开方术也是《九章算术》的一大贡献；其开方程序是独创先河；例如，秦九韶算法也的源于此；在几何方面，《九章算术》主要是面积（方田）和体积（商功）的计算；以计算为中心；任何问题，都要计算出具体的数字作为答案；几乎没有关于任何数的性质、图形的定性的关系命题。例如三角形全等、三角形相似的条件在《九章算术》中都没有相关的表述。有的只有算出线段的长、图形的面积和体积。《几何原本》中的命题是通过公理和定义以及公设经逻辑推理而来；它建立了公理化的思想；也赋予了数学逻辑性强、严密的特点。《几何原本》更多的是在给出相关图形的概念、性质等的表述；这就是它与《九章算术》最大的不同之处。在儿何方面，《儿何原本》进一步地概括了一些概念；例如，对于“曲线”的概念，古希腊人只限于用尺规作图来得到；而由《几何原本》而来的解析几何把“曲线”概括成任意的几何图形。其次，再一次突破直观的限制，打开了数学发展的新思路。笛卡儿和费马首先建立起来的是二维平面上的点和有序实数对之间的对应，按同样的思想，不难得出通过三个坐标轴得出三维空间的点和实数的有序三数组之间的对应关系。现实的空间仅限于三维，由于解析几何中采用了代数方法, 平面上的点对应于有序实数对，空间的点对应着三元有序实数组，那么代数中的四元有序实数组当然可以与此类比，构成一个四维空间，由此类推，提出了高维空间的理论。这是现代数学极重要的思想，开拓了数学的新领域《九章算术》涵盖的开放化的归纳体系中对不同的问题都有一定的归纳总结，算法化的内容对不同的实际问题予以程序