一个分数阶混沌系统的分析及其同步应用
分数阶超混沌Lorenz系统及同步研究
超 混 沌 Ｌ ｒ ｚ系统 ， ｏｅ ｎ 并进 行 了数 值仿 真 。 结果 表 明 ： 系统 存 在 超 混 沌 的 最低 阶 数 为 ３ ８ 该 ． ８阶 。利 用 一 步耦 合 法 给 出 了分 数 阶 超 混 沌 系统 的 同步 ， 利 用 数 值模 拟验 证 其 准确 性 。 并
关键词： 分数阶； 超混沌； ｒｎ ｏ Ｌ ｅｚ系统 ； 同步
矗 ｉ
７ ３
ｉ 一（ —Ｏ （ ｉ ｔ ｉ＋１ ， ） ） 其 中
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模 拟
首先 考虑 如下 初值 问题 ：
系统设 计过程 和参数 自适应 律 。近 年 来 ， 分数 阶混 沌系统 引起人 们广 泛的兴趣 和深人 的研 究 Ｊ 。本
文将 分 数 阶微 积分 理 论 引入 到 超 混 沌 Ｌ ｒｎ ｏ ｅｚ系统
中， 立 了在 Ｃ ｐ ｔ 建 ａ ｕｏ意义 下 的 Ｒ ｅ ａ ｎＬｏｖｌ ｉ ｎ —ｉ ｉｅ分 ｍ ｕ ｌ
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分数阶混沌稳定性理论及同步方法研究的开题报告
分数阶混沌稳定性理论及同步方法研究的开题报告一、选题背景和研究意义分数阶混沌系统是指系统中的动力学方程中带有分数阶导数，分数阶混沌现象在信息处理、通信、控制等领域有诸多应用。
目前，对于线性系统，已有较为全面的理论研究；然而，对于分数阶非线性系统，研究较少，且目前关于分数阶混沌的稳定性、同步控制等方面的研究仍存在许多问题待解决。
因此，本文将围绕分数阶混沌系统的稳定性和同步控制等问题进行深入研究。
二、研究内容和研究方法本文旨在研究分数阶混沌系统的稳定性和同步控制方法，具体内容如下：1.研究分数阶混沌系统稳定性的理论框架，建立一种基于拉普拉斯变换和Lyapunov理论的稳定性分析方法。
2.研究分数阶混沌系统的同步控制问题，提出一种基于反馈控制和自适应控制的控制方法，实现两个分数阶混沌系统的同步控制。
3.针对分数阶混沌系统的同步控制问题，提出一种基于神经网络控制的新型同步方法，改善分数阶混沌同步的效果。
本文将采用数学建模和仿真实验相结合的方式，搭建分数阶混沌系统的模型，并通过MATLAB仿真进行验证，在此基础上，提出上述控制方法，并进行仿真实验。
三、预期研究结果和创新点本研究的预期结果和创新点如下：1.提出一种新的基于拉普拉斯变换和Lyapunov理论的分数阶混沌系统的稳定性分析方法，该方法可有效评估分数阶混沌系统的稳定性。
2.提出一种基于反馈控制和自适应控制的同步控制方法，实现分数阶混沌系统的同步控制。
3.提出一种新型的基于神经网络控制的同步方法，改善分数阶混沌同步的效果。
本研究的创新点主要在于：（1）提出了一种新的分数阶混沌系统的稳定性分析方法，可有效评估分数阶混沌系统的稳定性；（2）提出了一种基于反馈控制和自适应控制的分数阶混沌同步方法，实现了两个分数阶混沌系统的同步控制；（3）提出了一种基于神经网络控制的新型同步方法，改善了分数阶混沌同步的效果。
四、拟定论文的主要结构本文拟分为五个部分：引言、分数阶混沌系统理论、分数阶混沌系统同步控制、控制方法的仿真实验和结论。
一个分数阶四维超混沌系统的同步研究
文章 编号 ： １ ６ ７ ３— ２ ０ ５ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ４ ６ ８— ０ ５
一
个 分 数 阶 四维 超 混 沌 系统 的 同步 研 究
潘 红
（ 山西 工程 职 业技 术 学 院 ， 太原 ０ ３ ０ ０ ０ ２ ）
摘
要： 本文对一个分数 阶四维超混沌 系统应用一步耦合法进行 同步设计 构造 ， 并利用拉普拉 斯终
中 图分 类 号 ： ｏ １ ７ ７ ． ９ １ 文 献标 志码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ － ２ ０ ５ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ． ０ １ ５
一
从Ｏ ｔ ｔ 、 Ｐ ｅ ｃ ｏ ｒ ａ 和Ｃ ａ ｒ ｒ ｏ ｌ ｌ 等人¨ 对 混沌 同步开 拓性 研究 以来 ， 混沌 同步 就一 直 处 于研究 热 潮 之 中 ， 分 数 阶混沌 系统 的 同步研 究也 备受 瞩 目， 文献［ ２ ＿ ４ ］ 深 入 的研 究 分数 阶 混沌 系 统 的 同步 问题 ； 文献［ ５ ］ 发 现 了分 数阶 Ｃ ｈ ｅ ｎ系统 的混沌行 为 ， 并 研究 了分数 阶混 沌系统 的 同步控制 方法 ； 虽然 分数 阶混沌 系统 同步控 制 方 面 的文献还 很有 限 ， 但 其实 际应用 价值是 不可 忽视 的 。随着 分 数 阶微积 分 理论 的发 展 ， 分数 阶动力 系 统 的混 沌 控制 与混沌 同步正 成 为近年来 控制 学科领 域研 究 的重 点 。 由于分数 阶超混 沌 系统 的动力学 行为 比一般 混沌 系统具 有更 强 的随机性 和更 高 的不可 预 测性 ， 所 以其
方程 （ ４ ） 两端同时做拉普拉斯变换 ， 令 巨（ ｓ ）＝Ｌ ｛ ｅ ｉ （ ｔ ） ｝ （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 并根据 ｛ ｄ ／ ｄ ｔ ｝＝ｓ ｑ Ｅ （ ｓ ）
一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ ［ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ｝ ０Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
＜１ Ｔｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｓｅ ． ． ｅ ｚ ｈ ｅ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｉｓｓ ｎ ｈ ｌ ｈ ｃ ｏ ｚ ｔ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｙ ｔｍｓ ｏ
与陈关 荣进 一步 发现 了 Ｌ 统 Ｊ不 久 ， 们 又 提 ｖ系 ， 他 出一个 统一 系统 ． 】并且 ， 量研 究 表 明 当混 沌 系 大 统 的 阶数为分 数 时仍 然 出现 混沌 现 象 ， 更 能 反 映 且
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２０ ２—１ ０
１ 分数 阶微分及其逼近
摘要 ： 构造 了一 个新 的三 维混沌 系统 ， 系统与 Ｃ ｅ 该 ｈｎ系统 、ｏｅｚ系统等各 类 经典 的混 沌 系统 都 是 Ｌｒｎ 拓扑 不等价 的． 通过理 论分析 、 数值 仿 真研 究 了该 系统 的混 沌特 性 ， 且发 现 新 系统在 低 于 ３阶 时仍 然 呈现 丰 富的混 沌现 象． 实现 了该 分数 阶 系统 与其响 应 系统的异 结构 同步 ． 关键词 ： 沌 系统 ； 引子 ； 结构 同步 混 吸 异
的研 究具 有重 要意 义．
未停止对混沌信号产生和建模的研究 ， 的混沌系 新
统也 不断被 提 出．９９年 陈关 荣 在混 沌 系 统反 控 制 １９ 中发 现 了一 个 与 著 名 的 Ｌ ｒ ｚ系 统 相 似 但 不 拓 扑 ｏｅ ｎ
分数阶忆阻器及其在混沌系统中的应用
分数阶忆阻器及其在混沌系统中的应用摘要分数阶计算在最近几十年来逐渐被广泛应用于各种工程领域中，例如：自动控制、信号处理、图像处理、力学系统等等。
分数阶方程相较于传统的整数阶方程，可以更好地模拟一些非典型的实际问题，并且具有更广泛的运用范围。
而分数阶系统与混沌系统之间则存在着密切的联系，在这些领域中逐渐成为研究的热点。
本文将介绍分数阶的理论基础和分数阶忆阻器的基本性质，探讨分数阶忆阻器在混沌系统中的应用，以期为混沌系统理论的研究提供新的思路。
关键词：分数阶计算、忆阻器、混沌系统、应用研究一、引言混沌是指一种非线性动力学行为，表现为相空间中的随机、无法预测、非周期性的运动，在不同的物理学领域中被广泛应用于信号加密、图像压缩、随机数产生等。
而分数阶计算则是一种近年来兴起的研究领域，其在描述复杂动力学过程和非线性时变系统中具有很好的应用前景。
在分数阶系统理论研究中，分数阶计算和混沌系统的结合则成为了一个重要的研究方向。
本文主要介绍分数阶忆阻器及其在混沌系统中的应用，首先从分数阶计算的理论基础出发，介绍分数阶运算法和分数阶微积分；然后介绍忆阻器的概念及其基本性质；接下来，探讨分数阶忆阻器在混沌系统中的应用，包括基于分数阶忆阻器的混沌电路、分数阶忆阻器混沌振荡器等，最后对当前研究的不足和未来发展方向做出简要总结。
二、分数阶计算的理论基础2.1 分数阶运算法分数阶微积分是研究分数阶导数和积分的一门学科，他的产生和发展源于控制理论和力学系统的研究。
他的引入可以更好的描述一些复杂动力学过程和非线性时变系统的行为。
设 $f(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的函数，其 $s$ 阶导数定义为：$$D^s f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-s)}\frac{\mathrm{d^n}}{\mathrm{d}x^n}\int_a^x\frac{f(t )\mathrm{d}t}{(x-t)^{s-n+1}}$$其中 $n$ 为大于等于 $s$ 的最小整数， $\Gamma(s)$ 为欧拉$\Gamma$ 函数。
一个新分数阶混沌系统的分析与同步
第６ 期
天 津科技大 学学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｂ １ ． ３１ ＮＯ ． ６
Ｄｅｃ ． ２ ０１ ６
ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗａ ｒ ｅ ｎｄ ａ ｂ ａ ｓ ｅБайду номын сангаасｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｏ ｒ － ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｙ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｓ ａ
分数阶混沌 系统的 同步 问题 ， 基 于极 点配置方法 以及扩展 的非线性状 态观 测器理论 ， 设 计 了一种投影 同步方案． 数值 仿 真与理论分析的结果一致 ， 充分验证 了该 同步方案 的可行性和有效性 ． 关键词 ：分数 阶 ；混沌系统 ；状态观测器 ；投影 同步 ；数值仿真 中图分 类号 ：Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ２ 。 ６ ５ １ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ ０ ６ ９ — ０ ５
摘
要 ：提 出一 个新 的 同 量 阶 ２ ． ７ 阶分 数 阶 混 沌 系统 ， 基 于预 估 一 校 正 时域 法 ， 采 用 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ绘 制 了该 分数 阶 混 沌 系统
的相轨迹 图、 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指数 图和分 岔图 ， 并用数值仿真验证 了该 系统在 一定参数 变化范 围内存在混沌吸 引子． 研 究该
一个分数阶混沌系统的分析及电路设计
２ ０ １ ３年 ２月
一
个分 数 阶混沌 系统 的分析及 电路设计
贾红艳
（ 天津科技大学 电子信息与 自 动化学 院 ，天津 ３ ：基 于一 个整 数 阶 的 四 翼 混 沌 系统 ， 采 用 频 域 近 似 的 方 法研 究 它 的 分数 阶 方程 ， 发 现 了该 分数 阶 系统 的 混 沌 吸
１ 分数 阶三维 四翼混沌 吸引子
１ ． １ 三维 四翼 混沌 吸 引子 最近 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ等【 ｌ ］ 提 出 了 一 个 三 维 四翼 混 沌 系
说明混沌吸引子 的存在 ， 而对进一步说明分数阶混沌 系统 的演化 过程 的分形 分析 、 从 物理 意 义上 验证 混沌
ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒｅ ｆ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ． Ｍｏ ｒ ｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｉｓ ｒ ｔ ｉ ｃ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｕｄ ｔ ｙ ｉ ｎ ｇ ｉ ｔ ｓ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｎｏ ｔ
Ｊ Ｉ Ａ Ｈｏ ｎｇ ｙ ａ ｎ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ａ ｕ ｔ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ２ ２ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
研究 引起 了越来越多 的关注．目前 ， 在 已有的整数阶 混沌系统基础上 ， 通过将整数阶的常微分方程组转换 为分数 阶次 的常微分方程组 ， 研究其混沌动态 ， 已经 成为分数阶混沌的一个研究热点问题Ｉ 引 ． 但 目前对
一个分数阶变形混沌系统及其同步
计 算 得 该 混 沌 吸 引 子 在 时 间 序 列 中 的 ４个
Ｌ ａｕ ｏ 指数分别 为 一 ０ ６２２ 一一０ ２７１ ｙｐ ｎ ｖ ． ７ ， ． ３ ，
Ｉ ３一 一 ０． ４１２， 一 一 ３２ ０６ ７ ５ Ｉ ４ ．１ ．
１ １ ２ 系统参 数 的 影 响 随着 系 统 参 数 的改 变 ， ． ．
Ｆｉ ．２ Ｂｉｕ ｃ ｔｏ ｄ ａ ｒ ｍ ｎｄ Ｌｙ ｐ ｏ － ｘ ｎｅ ｔ ｓ ｃ ｒ ｍ ｅ ｓ ｓ ｔ ｏ ｒ ｌ ｐ ｒ ｍ ｅ ｅ ｇ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｇ ａ ａ ａ ｕｎ ｖ ｅ ｐｏ ｎ ｐｅ ｔ ｕ ｖ ｒ ｕ ｈｅ ｃ ｎｔ ｏ ａ ａ ｔ ｒ ａ
ｌ ｚ ｄ ｂ ｂ ｅ ｖｎ ｈ ｈ ｓ ｉｇ ａ ｆｓ ｓ ｅ ａ ｔ ａ ｔ ｒ ．Ａ ｕ ｆ ｉｎ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｒｔ ｒｏ ｙ ｅ ｙ ｏ ｓ ｒ ｉ ｇ ｔ ｅ ｐ ａ ｅｄ ａ ｒ ｍｓ ｏ ｙ ｔ ｍ ｔｒ ｃ ｏ ｓ ｓ ｆｉ ｅ ｔｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉ ｎ ｃ ｉｅ ｉ ｎ ｃ ｆ ｒａ ｇ ｎ ｒ ｌｌ ｅ ｒ ｓ ａ ｅ ｅ ｒ ｒ ｖ ｒ ｂ ｅ ｗａ ｉ ｏ ｏ ｓｙ ｐ ｏ ｅ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ １ ｅ ｒｚ ｔ ｎ ｔ ｅ ｒ ｏ ｅ ｅ ａ ｉ ａ ｔ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｌ ｓ ｒｇ ｒ ｕ ｌ ｒ ｖ ｎ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｉ ａ ｉａ ｉ ｈ ｏ ｙ ｎ ａ ｎ ｏ ａ ｄ Ｇｅ ｓ ｈ ｏ ｉ ’ ｅ ｒ ｍ． Ｎｕ ｒｃ ｌｓ ｕ ａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｈ ｆｉｉ ｎ ｙ ｏ ｈ ｔ ｏ ． ｎ ｒ ｃ ｇ ｒｎ Ｓ Ｔｈ ｏ ｅ ｍｅ ｉａ ｉ ｌ ｔ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅ ｆ ｅ ｃ ｆｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｍ ｏ ｃ Ｋｅ ｒ ｓ ｒ ｃ ｉ ｎ ｌ ｒ ｅ ；ｄ ｎ ｍｉ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔ ｎ；Ｇｅ ｓ ｈ ｏ ｉ Ｓ Ｔｈ ｏ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｆ ａ ｔｏ ａ— ｄ ｒ ｙ ａ ｃ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ；ｓ ｎ ｈ ｏ ｉａ ｉ ｏ ｏ ｒ ｃ ｇ ｒｎ’ ｅ ｒ ｍ
分数阶神经网络的混沌特性及其同步研究
摘要分数阶微积分是一个与整数阶微积分有同样长历史的课题，但直到近几十年，因其在物理和工程中的应用，才又重新引起了人们的重视。
它将常见的微分和积分运算推广到任意实数阶，非常适合用来描述那些有记忆和遗传特性的材料和过程。
混沌是非线性动力学系统中特有的一种运动形式，因其局部不稳定、非周期、伪随机、遍历等特性，被广泛应用于密码学、保密通讯、图像数据压缩、高速检索、模式识别等领域。
如今，分数阶非线性系统的复杂动力学研究已经成为一个热门话题，大量研究专注于分数阶系统中混沌的产生，控制与同步。
本文主要研究了分数阶Hopfield型延时神经网络和分数阶细胞神经网络中的复杂动力学行为，利用分数阶微分方程稳定性理论和Matlab数值仿真工具对这两类系统中的混沌现象的产生做了定性和定量分析。
同时针对这两类神经网络分别设计了合适的控制器,实现了混沌同步，通过数值仿真验证了控制方法的有效性。
具体研究内容如下：第一章，详细介绍了分数阶微积分的定义及其数值方法，混沌的定义、基本特征及分析方法，阐述了混沌同步的概念和同步方法。
第二章，提出了一类分数阶Hopfield型延时神经网络并研究了该系统的复杂动力学特性。
分岔分析与相图的一致性验证了系统中混沌现象的存在。
确定了系统随阶数增大的倍周期分岔通往混沌的道路。
分别设计控制器，实现了两个具有相同或不同阶次的驱动—响应系统的同步。
第三章，提出了一类分数阶四细胞神经网络并发现了该系统中的超混沌现象。
分别确定了系统出现超混沌、混沌、周期轨道的参数范围。
提出了一种基于滑模控制技术(Sliding Mode Control) 的分数阶系统同步方法，并针对分数阶四细胞神经网络超混沌系统讨论了驱动—响应系统的完全同步，异结构同步和广义同步三种不同的同步情况。
关键词：分数阶，混沌，超混沌，神经网络，混沌同步，滑模控制ABSTRACTFractional calculus, an old mathematical topic, has the same long history as integer order calculus. In recent decades, it has been attracted researchers' attention due to its applications to physics and engineering. Fractional calculus is a generalization of integration and differentiation to an arbitrary real number order. Nowadays, it has been realized that many systems can be elegantly described with the help of fractional-order systems, especially in the case of description of memory and hereditary properties of various materials and processes. Chaos, a particular behavior of nonlinear dynamical system, is widely used in cryptography, secret communications, image data compression, retrieval and pattern recognition fields, because of its characteristics such as local instability, non-periodicity, pseudo-randomness and ergodicity. Today, the study on fractional-order nonlinear system dynamics has become a hot topic, and plenty of research focus on the generation, control and synchronization of chaotic systems.This paper investigates the complex dynamics behaviors in fractional-order Hopfield delayed neural networks and cellular neural networks. With the help of fractional differential equation stability theory and Matlab, these two kinds of systems are analyzed both qualitatively and quantificationally. Then, different controllers especially for these two kinds of neural networks are designed to achieve the chaos synchronization. Numerical simulation of the synchronization confirms the effectiveness of the control methods. Concrete contents are as follows:In chapter 1, the definition and numerical methods of fractional-order differentiation are introduced in detail. The definition, essential feature and analysis methods of chaos are recommended. The concept and methods of chaos synchronization are described briefly.In chapter 2, a kind of fractional-order Hopfield delayed neural networks is put forward and its complex dynamic behavior is discussed. The consistency between bifurcation analysis and phase portraits proves the existence of chaos. Two different period-doubling bifurcation roads, which lead to chaos with the increase of the system order, are determined. Thecontrollers are designed respectively for the drive-response systems, which have the same order or different orders, to achieve chaos synchronization.In chapter 3, a kind of fractional-order cellular neural networks which contains four cells is put forward, and its hyperchaos behavior is discovered. The ranges of system parameters,for which the system can exhibit hyperchaos attractor, chaos attractor or periodic orbit, are determined. Then, a kind of control method based on the sliding mode control theory is proposed to achieve the hyperchao synchronization. The controllers for drive-response system identical, nonidentical and generalized synchronization are presented respectively.Keywords: Fractional order, Chaos, Hyperchaos, Neural networks, Synchronization, SMC目录1 绪论 (1)1.1引言 (1)1.2三种分数阶微分定义及其数值解法 (3)1.3 混沌定义与混沌同步概述 (5)1.4 几种常用的混沌系统分析方法 (7)1.5 本文的主要工作和研究意义 (8)2 分数阶延时神经网络中的混沌及其同步 (10)2.1 背景介绍 (10)2.2 模型与算法描述 (11)2.3 分数阶延时神经网络中的混沌与分岔 (13)2.4 分数阶延时神经网络的同步 (17)2.5 本章小结 (20)3 分数阶细胞神经网络中的超混沌及其同步 (21)3.1 背景介绍 (21)3.2 模型描述与稳定性分析 (22)3.3 分数阶细胞神经网络中的超混沌与分岔 (25)3.4 分数阶细胞神经网络的同步 (31)3.5 本章小节 (41)4 结论与展望 (42)致 谢 (43)攻读硕士学位期间主要成果 (45)参考文献 (46)Contents1 Introduction (1)1.1 Introduction (1)1.2 Definitions of Fractional Derivatives and Its Numerical Methods (3)1.3 Definitions of Chaos and Overview of Chaos Synchronization (5)1.4 Some Common on Chaos System Analysis Methods (7)1.5 Main Research Contents and Significance (8)2 Chaos and Its Synchronization of Fractional Delayed Neural Networks (10)2.1 Background Information (10)2.2 Description of Model and Algorithm (11)2.3 Chaos and Bifurcation of Fractional Delay Neural Networks (13)2.4 Chaos Synchronization of Fractional Delay Neural Networks (17)2.5 Conclusions (20)3 Hyperchaos and Its Synchronization of Fractional Cellular Neural Network (21)3.1 Background Information (21)3.2 Description of Model and Stability Analysis (22)3.3 Hyperchaos and Bifurcation of Fractional Cellular Neural Network (25)3.4 Chaos Synchronization of Fractional Cellular Neural Network (31)3.5 Conclusions (41)4 Summary and Prospects (42)Acknowledgments (43)Main Achievements during the Study for a Master's Degree (45)References (46)1 绪论本章简要介绍了分数阶微积分及混沌的发展历史和研究现状，说明了分数阶非线性系统复杂动力学分析中应注意的问题，概述并比较了现有的三种最常用的分数阶微分定义，详细介绍了一类本文用于求解分数阶微分方程的数值解法，介绍了混沌及混沌同步的定义与性质，对后文中用到的几种混沌系统分析方法作了说明，最后对本文的主要工作和研究意义作了阐述。
一个新分数阶混沌系统的同步和控制_杨叶红_肖剑_马珍珍
０ 引言
混沌现象是在一个系统中出现的一种看似无规则的且具有内在随机性的复杂现象。大量研究表明， 当 混沌系统的阶数为分数时仍然出现混沌现象， 并且更能反映出系统呈现的工程物理现象。近年来， 人们对混 沌系统进行了深入研究。在混沌系统的同步中， 参数具有重要的作用， 研究者对整数阶混沌系统参数识别进
第 ４ ９卷 第 ２期 ２ ０ １ ４年 ２月 山 东 大 学 学 报 （ 理 学 版） Ｖ ｏ ｌ ． ４ ９ Ｎ ｏ ． ２ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ４ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇＵ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
大多以参数和结构确定的混沌系统作为研究对象设计同步方法， 当系统中某些参数未知时， 混沌系统的敏感 性将造成系统状态极大的差异。
2014-03-05 17:46 收稿日期： ２ ０ １ ３ ０ ５ ０ ９ ；网络出版时间： ２ ０ １ ３ １ １ ２ ２１ ５ ∶ ０ ７ /kcms/detail/37.1389.N.20140305.1746.002.html 网络出版地址： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ３ ７ ． １ ３ ８ ９ ． Ｎ ． ２ ０ １ ３ １ １ ２ ２ ． １ ５ ０ ７ ． ０ ０ １ ． ｈ ｔ ｍ ｌ
β ｊ ， ｎ ＋ １ ＝
０ ≤ｊ ≤Ｎ
ｐ ｍａ ｘ｜ ｙ （ ｔ ）－ｙ （ ｔ ）｜ ＝Ｏ （ ｈ ） ， ｊ ｈ ｊ
（ ９ ）
（ ｋ ）
（ ｋ ） ０
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ４ ）
分数阶Lorenz混沌系统的同步控制
关键词 ： 分数 阶； 混沌 系统 ； 控制器 ； 非线性 ； 线性
中 图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９ 文 献标 识 码 ： Ｂ
Ｓｙ ｎ ｃ ｈｒ Ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ Ｏ ｎ Ｃｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｆｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ—Ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ
Ｎ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ ２ １ ０ ０ ４ ４， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ＡＢＳ ＴＲＡＣＴ： Ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ—ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｈ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ．Ｔｈ ｅ ａ ｄ —
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分数阶Rucklidge混沌系统的同步研究
第 ３期
陈保颖等 ： 分数 阶 Ｒ ｃｌ ｇ 混沌系统 的同步研究 ｕｋｉ ｅ ｄ
＼ ５ｙ
１ １ 线性 反馈 实现 分 数 阶 Ｒ ｃ ｌ ｇ ． ｕ ｋｉ ｅ系统 的混 沌 ｄ
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一
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ｅ ： ｌ ） ｅ ＝ ｌ ， 么误 差 系统为 ： ２ Ｙ 一，３ — 那 ，
一
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［８ 提 出的 ．函数准则 ， 以保 证 同步是 全局渐 近 １］ ， 可
稳定 的．
１ 理 论 分 析
分数 阶导数 的概念 有 多种定 义 ¨ ， 里 我们 ，］这
采用 Ｃ ｐ ｔ 微 分定 义 ： ａｕｏ Ｄ （）＝ ｍ ｏ （） （／ ０ ： ｊ －ｘ ｔ Ｏ＞ ） （） １
电解液极 化 、 电缆 的 ） 道边界 层效应 、 色 噪声 （ 管 有
其 中 ｍ 为第一 个不 小于 的整数 ， ｍ为 的 ｍ 阶 ‘’ 导数 ， （ ＞０ 为 阶 Ｒ ｅ ａ ｎ—Ｌｏ ｖ ｌ ） ｉ ｎ ｍ ｉｕｉｅ积分 算 ｌ
子
和电磁波 等 ． 而且 分 数 阶在 图象 与 信 号处 理 领
采用 自适应 同步方 法． 两种方 案都具 有 易 于实现 这
２ １－ － ０００ ２ ３ ７收到第 ｌ ， １ － － 稿 ２ ０ ５ ７收到修改稿 ０ ０ ２
｝广 东 工业 大 学 校 青 年 基 金 （ ７０ １ ０２４ ）
面 我 们 将 利 用 该 引理 设 计 控 制 器 以实 现 分 数 阶
研 究 了分数 阶混沌 系 统 的 同步 问题 ． 献 ［６ １ ］ 文 １ ，７ 则分别 讨论 了分数 阶统 一混沌 系统 和分数 阶 Ｌ ｎ系
分数阶混沌系统有限时间稳定性分析及同步控制
收 稿 日期 ：２０１６—０６—０６ 基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 （１１７７１２６３，ｌ１６４１００２）；海 南 省 国 际 科 技 合 作 专 项 基 金 （ＫＪＨＺ２０１４—２５）；陕 西 师 范 大 学 研
究 生 教育 教 学 改 革 研 究 项 目（ＧＥＲＰ一１７－１２） ＊通 信 作 者 ：李 生 刚 ，男 ，教 授 ，博 士 生 导 师 。 Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｏｐｏｌｏｇｙｌｉ＠ １２６．ｔｏｍ
Ｘ ｉ ａｎ ７１０１１９，Ｓｈａａｎｘｉ， Ｃｈｉｎａ； ２ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈ ｕａｉｎａｎ
Ｎｏｒｍ ａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈ ｕａｉｎａｎ ２３２０３８，Ａｎｈｕｉ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｎｉｔｅ—ｔｉｍ ｅ ｓｔａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｂｏｕｔ ｆｒａｃｔｉｏｎａ１ ｏｒｄｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｆｉｎｉｔｅ—ｔｉｍ ｅ ｓｙｎ— ｃｈｒｏｎｉｚｉｎｇ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ—ｔｉｍｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ． Ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｃａｎ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｓｉｇｎａｌｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｅｄ—ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｂｏｕｎｄｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ—ｔｉｍ ｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｗ ｉｌｌ ｂｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ． Ｓｉｍ ｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍ ｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ；ｆｉｎｉｔｅ—ｔｉｍｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ Ｍ Ｒ Ｓｕ ｅｃｔ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ：３５Ｋ ５７
分数阶混沌系统的控制与同步研究
分数阶混沌系统的控制与同步研究分数阶混沌系统的控制与同步研究摘要：分数阶系统具有很好的非线性特性和长记忆能力，在混沌系统的研究中得到广泛应用。
本文主要探讨了分数阶混沌系统的控制与同步问题。
首先介绍了分数阶系统和混沌现象的基本概念，随后分别探讨了分数阶系统的控制方法和同步方法。
通过模拟实验验证了这些方法的有效性。
最后，总结了研究结果并指出了未来的发展方向。
1.引言随着现代科学技术的发展，混沌系统的研究引起了广泛的关注。
混沌系统是一类非线性动力学系统，具有高度复杂的行为和随机性，表现出的熵较高。
分数阶系统是近年来探讨的热点之一，其具有更广泛的记忆特性和非线性特性，能够更好地描述实际系统的动力学行为。
因此，分数阶混沌系统的控制和同步问题成为了研究的重点。
2.分数阶系统的基本概念分数阶系统是指微分与积分阶数不仅仅为整数，而是介于0和1之间的实数。
分数阶微分方程是描述分数阶系统的基本工具。
混沌系统是一类具有无法预测的行为和极其敏感的初始条件的系统。
分数阶混沌系统介于分数阶系统和混沌系统之间，兼具了两者的特性。
3.分数阶混沌系统的控制方法针对分数阶混沌系统的控制问题，研究者提出了多种方法。
其中一种常用的方法是基于反馈控制理论的方法。
通过在系统中引入适当的反馈控制项，可以有效地控制系统的混沌行为。
另一种方法是基于最优控制理论的方法，通过求解最优控制问题，可以获得使系统行为稳定或特定性能指标最优的控制策略。
4.分数阶混沌系统的同步方法分数阶混沌系统的同步问题是指如何使两个或多个分数阶混沌系统的状态变量在某种意义上达到一致。
同步方法可以分为无控制同步和有控制同步两种。
无控制同步是指系统自身通过耦合作用实现同步，而有控制同步是利用外部控制手段实现同步。
常用的同步方法有时间延迟复杂网络同步、自适应控制同步和非线性控制同步等。
5.模拟实验与结果分析为验证分数阶混沌系统的控制和同步方法的有效性，进行了一系列模拟实验。
通过对分数阶混沌系统进行控制和同步，分析了系统的动力学行为和性能指标。
新分数阶混沌系统的电路设计和同步控制
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岔图中出现由密集点构成的区域,系统处于混沌状
态.
考虑到分数阶混沌系统(
1)中含有 x2z 这种交
叉高阶项时,系统(
1)可能对 x 变量的初始值非常
敏感.现在改变x 变量的初始值x0 绘制分岔图,来
确认该模型动力学特性是否依赖于 x 变量的初始
Zhou 等 19 提出了具
有复杂共存吸引子的分数阶混沌系统.这些研究成
分数阶超混沌系统的模糊控制和同步
ＬＩ Ｕ Ｊａ ｃ ｅ ＴＡＮ Ｗ ｅ Ｆｕ ｚ ｃ ｎ ｒ ｌ ｎ ｓ ｎ ｈ ｏ ｉａｉｎ ｏ ｆａ ｔ ｎ ｌ－ ｒ ｅ ｈ ｐ ｒ ｈ ｏ ｃ ｙｔｍｓＣｏ ｕｅ ｉｎ— ｈ ｎ， ｎ． ｚ ｙ ｏ ｔｏ ａ ｄ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔ ｆ ｒ ｒ ｃ ｏ ａ ｏ ｄ ｒ ｙ ｅ ｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ． ｍｐ ｔｒ ｏ ，３ ３ ） ９ ０ ７ ４ （４
Ｃ ｍ ｕｅ Ｅ ｇｎｅｉｇ ａｄＡ ｐｉ ｔ ｎ 计算机工程与应用 ｏ ｐ ｔｒ ｎ ｔ ｒ ｎ ｐ ｌ ａｉ ｓ ｅ ｎ ｃ ｏ
分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法研究的开题报告
分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法研究的开题报告【摘要】本文研究分数阶非线性系统的混沌特性分析与同步控制算法，首先介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的基本概念和性质，然后基于Lozi混沌系统和Chen混沌系统，分别建立了分数阶Lozi混沌系统和分数阶Chen混沌系统，并分析了它们的混沌特性。
接着，提出了一种基于自适应反馈控制的分数阶Lozi混沌系统同步算法，并给出了理论证明和仿真结果。
最后，总结了本文的研究内容和主要贡献，并展望了未来的研究方向。
【关键词】分数阶微积分；分数阶微分方程；混沌系统；同步控制算法【Abstract】This paper studies the chaotic characteristics analysis and synchronization control algorithm of fractional-order nonlinear systems. Firstly, the basic concepts and properties of fractional calculus and fractional differential equations are introduced. Then, based on the Lozi chaotic system and Chen chaotic system, fractional-order Lozi chaotic system and fractional-order Chen chaotic system are established respectively, and their chaotic characteristics are analyzed. Then, an adaptive feedback control based synchronization algorithm for fractional-order Lozi chaotic system is proposed, and theoretical proof and simulation results are given. Finally, the research content and main contributions of this paper are summarized, and the future research direction is prospected.【Keywords】fractional calculus; fractional differential equation; chaotic system; synchronization control algorithm。
分数阶混沌系统有限时间稳定性分析及同步控制
刘丹丹，高彩霞
对一类非线性分数阶混沌系统有限时间稳定的判定方法，与现有的结果相比其更具有一般性；并应用该 方法设计了同步控制器，在满足系统所有变量有界的情况下实现了驱动系统和响应系统的异结构有限时 间同步。数值仿真结果进一步验证了该方法的有效性。
关键词
分数阶混沌系统，有限时间稳定，同步控制
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
x0 ≤ c1 ⇒ x ≤ c2 , ∀t ∈ [ 0, T ]
则称系统(5)关于 ( 0, c1 , c2 , T ) 有限时间稳定。 引理 1. 如果有 β > 0 ， a ( t ) 为定义在 [ 0, T ] 上的局部可积正定函数， g ( t ) 为定义在 [ 0, T ] 上的非负不
减少连续函数， g ( t ) ≤ M (常数)，存在一个非负局部可积函数 u ( t ) ∈ [ 0, T ] 满足：
th th th
Abstract
In this paper, the finite time stability and synchronization control of fractional order chaotic systems are studied; based on the Lyapunov fractional stability theory, the determination method of finite time stability for a class of nonlinear fractional chaotic systems is proposed, and it’s more generic than the existing results. And the synchronous controller is designed by the method; in the case of all the variables are met in the system, the different structure of the driver system and the response system are synchronized. Numerical simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed method.
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６ ． Ａ ｇ ｉ ｒ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｂ ａ ｎ ｋ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｅ ｓ ｉ ｎ Ｈ ｕ ｂ ｅ ｉ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ ， Ｗｕ ｈ ｎ ａ ４ ３ ０ ０ ７ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
４． Ｓ ｃ ｈ ｏｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｄ ｓ ｃ ａ ｐ ｅ Ｇａ ｒｄ ｅ ｎ ｉ ｎ ｇ， Ｙｕ ｎ ｎ ａ ｎ Ａｇ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｕｎ ｉｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｙ， ｔ Ｋｕ ｎ ｍｉ ｎ ｇ ６ ５ ０ ２ ０ １， Ｃｈ ｉｎ ａ ；
Ｑ Ｉ Ａ Ｎ Ｙｅ ， Ｚ Ｆ 【 ＡＮ Ｇ Ｘ ｕ ａ ｎ ， Ｚ Ｈ ＯＵ Ｌ ｉ — ｈ ｕ ａ ， Ｓ Ｕ Ｎ Ｊ ｉ — ｈ ｏ ｎ ｇ ， ＷＡＮ Ｇ Ｘｕ ， Ｌ Ｉ Ｕ Ｌ ｉ ｎ ｇ — ｌ ｉ ａ ｎ ｇ
（ １ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｙｕ ｎ ｎ ｎ ａ Ａｇ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｋ ｕ ｎ ｍｉ ｎ ｇ ６ ５ ０ ２ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
钱 晔 ， 张 璇 ， 周 丽 华。 ， 孙 吉红４ ， 王 旭 ， 刘 灵 亮
（ １ ． 云南农业大学 基础与信 息工程学院， 云南 昆明 ６ ５ ０ ２ ０ １ ； ２ ． 云南大学 软件 学院， 云南 昆明 ６ ５ ０ ０ ９ １ ； ３ ． 云 南大 学 信 息 学院 ， 云 南 昆明 ６ ５ ０ ０ ９ １ ；
４ ． 云南农 业 大学 园林 园艺 学院 ， 云南 昆明 ６ ５ ０ ２ ０ １ ； ５ ． 云 南 大学 经济 学院 ， 云 南 昆明 ６ ５ ０ ０ ９ １ ；
６ ． 中国农业银 行 湖北省 分行 ， 湖 北 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ １ ）
摘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要： 将一 个 四维 的整 数阶超 混沌 系统扩 展为 分数 阶形 式 ， 分 析 了扩 展 的分 数 阶系 统 的混 沌 特性 。基 于 分数 阶系 统稳
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ — ６ ２ ９ Ｘ． ２ ０ １ ５ ． ０ ６ ． ０ ２ ８
Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ａｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ ａ Ｆｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ －ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｃｈａ ｏ ｔ ｉ ｃ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａｎ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｈ ｙ ｐ ｅ ｒ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｆ ｏ ｕ ｒ —ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｅ ｘ ｐ ａ ｎ ｄ ｅ ｄ ｔ Ｏ ｂｅ ａ ｆ ｒ ａ ｃ ｉｏ ｔ ｎ ｌ —ｏ ａ ｒ ｄ ｅ ｒ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｗｈ ｏ ｓ ｅ ｃ ｈ ａ ｏ ｉ ｔ ｃ ｂ ｅ ｈ ａ ｖ －
理论 分析 与仿真 实验 的结果 表明 ： 扩展 的分数 阶系统 出现 混 沌 的最 低 阶数 是 ３ ． ２阶 ； 应用 分 数 阶混 沌 同步 进 行 图像 加 密 解 密具有 密钥敏 感 ， 加 密后 图像具 有类 随机 均匀分 布和相 邻像 素相关 性低 的优 良特性 。
关 键词 ： 混沌 ； 分 数 阶混沌 系统 ； 混 沌 同步 ； 图像 加密 中图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ 文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ ３ — ６ ２ ９ Ｘ（ ２ ０ １ ５ 】 ０ ６ — ０ １ ２ ８ — ０ ５
２ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｆ ｔ ｗａ ｒ ｅ， Ｙｕ ｎ ｎ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｋｕ ｎ ｍｉ ｎ ｇ ６ ５ Ｏ ０ ９ ｌ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ； ３ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｙｕ ｎ ｎ ｎ ａ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｋｕ ｎ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ６ ５ ０ ０ ９ １， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
ｉ ｏ ｒ ｓ ａ ｒ ｅ ｎａ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ． Ｂａ ｓ ｄ ｅ ｏ ｎ ｈｅ ｔ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｈｅ ｔ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ ｒａ ｆ ｃ ｉ ｔ ｏ ｎ ｌ —ｏ ａ ｒ ｄ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｄ ｅ ｗｉ ｈ ｔ ｈｅ ｔ ｔ ｈ ｉ ｎ ｋ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｒａ ｔ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ， ａ ｓ ｙ ｎ —
定性 理论 ， 与追踪控 制思 想相结 合 ， 提出一 种 分数 阶混 沌 系统 异 构 同 步方 法 ， 并 给 出 了 同步 控 制 器 的解 析 式 。 以分 数 阶 Ｒ ６ ｓ ｓ ｌ ｅ ｒ 超混沌 系统 与扩展 的分 数 阶混 沌 系统 的异 构 同 步为 例 ， 进行 了数值 仿 真 ， 并 将 所 提 的 同步 应用 于 图像 加 密解 密 。
第２ ５卷
第 ６期
计 算 机 技 术 与 发 展
Ｃ ＯＭＰＵＴ ＥＲ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＡＮＤ ＤＥＶＥＬ ＯＰ ＭＥＮＴ
２ ０ １ ５年 ６月
Ｖｏ １ ． ２ ５ Ｎｏ ． ６ Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ５
一
个 分 数 阶混沌 系统 的分 析 及 其 同步 应 用