广东省华南师大附中2019届高三三模测试理科数学试题

华附三模2019届高三测试理科数学
一、选择题：
1.已知全集{|0}U x R x =∈<，{|10}M x R x =∈+<，
1|218x N x R ⎧
⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭
，则()U C M N =I （ ） A.{|31}x x -<<-
B.{|30}x x -<<
C.{|10}x x -≤<
D.{|10}x x -<<
2.已知复数103i
z a i
=+-（a R ∈），若z 为纯虚数，则|2|a i -=（ ）
A.5
C.2
3.已知向量()cos75,sin 75a ︒︒=r ，()cos15,sin15b ︒︒
=r ，则||a b -r r 的值为（ ）
A.
12
B.1
C.2
D.3
4.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A.
14
B.
12
C.
23
D.
34
5.已知5
112a x x x ⎛⎫⎛
⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A.80-
B.40-
C.40
D.80
6.记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1292a a +=，4458S =，则使1
10
n a <的最小的整数n 是（ ） A.4
B.5
C.6
D.7
7.记函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，将函数()f x 的图象向右平移
4
π
个单位后，得到函数()g x 的图象，现有如下命题：1p ：函数()g x 的最小正周期是2π；2p ：函数()g x 在区间,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增；3p ：函数()g x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为[-1,2].则下列命题是真命题的为（ ） A.()23p p ⌝∧
B.()13p p ∨⌝
C.12p p ∨
D.12p p ∧
8.已知函数()sin 44166f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则下列判断错误的是（ ）
A.()f x 为偶函数
B.()f x 的图像关于直线2
x π
=-对称
C.关于x 的方程()0.7f x =有实数解
D.()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称
9.抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，
AK l ⊥，垂足为K ，则AKF V 的面积是（ ）
A.4
B.
C.
D.8
10.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为6的等边三角形，PAB V 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.64π
B.48π
C.36π
D.27π
11.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0—1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第21n -行；则第61行中1的个数是（ ）
A.31
B.32
C.33
D.34
12.已知函数2
()ln(1)f x x x a x =+-+有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A.(,0]-∞
B.[0,)+∞
C.(0,1)(1,)+∞U
D.(,0]{1}-∞U
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在数列{}n a 中，11
2019
a =
，11(1)n n a a n n +=++，（*n N ∈），则2019a 的值为________.
14.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈）始终平分圆2
2
4240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是________.
15.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2
()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式
(1)(1)40f x f x x +--+>的解集为________.
16.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，一平行于平面1A BD 的平面α与棱AB ，AD ，1AA 分别交于点E ，F ，G ，点P 在线段11A C 上，且1PG AC ∥，则三棱锥P EFG -的体积的最大值为________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本题满分12分）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c （a b c <<），sin b C =，
sin sin cos()cos B C A C B =-+.
（1）求cos C .
（2）点D 为BC 延长线上一点，3CD =，AD =
ABC V 的面积.
18.（本题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程ˆ50.8169.7y
x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx
y ae =的附近.
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程ˆbx
y ae =，（a 精确到个位，b 精确到0.01）
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线ˆˆˆw
v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为(
)()
()
1
2
1
ˆn
i i i n
i
i w w v v
v v β
==--=-∑∑，ˆˆw v α
β=-，②刻画回归效果的相关指数()()
2
2
1
2
1
ˆ1n
i i i n
i
i y y
R y y ==-=--∑∑.
③参考数据； 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈
表中1ln i u y =，10
1
110i i u u ==∑.
19.
（本题满分12分）已知矩形ABCD ，2AB =，AD =AC 将ACD V 折起至ACP V .使得
二面角P AC B --为60o ，连结PB .
（1）求证：平面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值.
20.（本题满分12分）已知双曲线1C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且1C 的渐近线方程为0x ±=.
（1）求双曲线1C 的方程；（2）若直线:l y kx =+22
2:142
x y C +=及双曲线1C 都有两个不同的
交点，且l 与1C 的两个交点A 和B 满足6OA OB ⋅<u u u r u u u r
（其中O 为原点），求2k 的取值范围.
21.（本题满分12分）已知函数2
()2ln f x x ax =-，()(1)34x
g x x e ax =++-，a R ∈. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 有最大值且最大值是1-，求证：()()f x g x <.
请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C
的参数方程为x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=. （1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若点P 的极坐标为1,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB +的值. 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知a ，b 均为实数，且|34|10a b +=.（1）求22a b +的最小值；
（2）若2
2
|3||2|x x a b +--≤+对任意的a ，b R ∈恒成立，求实数x 的取值范围.
2019届高三综合测试理科数学答案
一、选择题
二、填空题 13.1
14.(,1]-∞
15.(,0)-∞
16.2
三、解答题
17.解：（1）∵A B C π++=，∴cos cos()B A C =-+
∴sin sin cos()cos cos()cos()2sin sin B C A C B A C A C A C =-+=--+=， ∵(0,)C π∈，∴sin 0C > ∴sin 2sin B A =，
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
得2b a =.
∵sin b C =，代入2b a =
得sin C = ∴由C 是最大角，得23C π=
1
cos 2
C =-. （2）由余弦定理，2222cos A
D AC CD AC CD ACD =+-⋅∠，3
ACD C π
π∠=-=
∴217962
b b =+-⋅， ∴2b =或1.
∵2b a =，∴1a =或12
a =
.
∴
1sin 22ab C =
或1sin 28
ab C =. ∴ABC V
18.解：（1）对bx
y ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程.
()()
()
10
1
10
2
1
9.00
ˆ0.10883
i
i
i i
i x x u
u b
x x ==--==
≈-∑∑ ˆˆ 6.050.108 5.5 5.456 5.46c
u bx =-≈-⨯=≈ ˆ
5.46ˆ235c a e e =≈≈
∴模型②的回归方程为0.11ˆ235x
y
e =.
（2）由表格中的数据，有3040714607>，即
()
()
10
10
2
2
1
1
30407
14607
i
i
i i y y y y ==>
--∑∑，
即()
()
10
10
2
2
1
1
30407
14607
11i i i i y y y y ==-
<-
--∑∑，22
12R R <
模型①的相关指数21R 小于模型②的2
2R ，说明回归模型②的拟合效果更好.
202l 年时，13x =，预测旅游人数为0.1113
1.43ˆ235235235 4.2987y
e e ⨯==≈⨯=（万人）
19.解：（1）在矩形ABCD 中，取AB 中点O ，连结DO ，与AC 交于点E ，则1AO =.
Rt ACD V 与Rt AOD V 中，
DC AD AD AO
== ∴Rt ~Rt ACD AOD V V ， ∴ADO ACD ∠=∠，
∴90DAE ADE ︒∠+∠=，即DO AC ⊥. ∵D DC AO ∥，∴
2DE DC
EO AO
==. 折起后，DE 即为PE ，则仍有PE AC ⊥，EO AC ⊥，则PEO ∠即为二面角P AC B --的平面角，即
60PEO ︒∠=，
连结PO .
所以在PEO V 中，1cos 2EO
PEO PE
∠==
， 即90POE ︒∠=，即PO OE ⊥.
由前所证，AC PE ⊥，AC EO ⊥，PE EO E =I ， ∴AC ⊥平面PEO ，∵AC PO ⊥.
而AC EO E =I ，EO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC . 又∵PO ⊂平面P AB ，∴平面PAB ⊥平面ABC .
（2）如图，在平面ABC 内，过点O 作AB 的垂线为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系.
由（1）易得1PO =.
(0,1,0)A -，(0,1,0)B
，(C ，(0,0,1)P (0,1,1)PA =--u u u r
，(1)PC =-u u u r ，(0,1,1)PB =-u u u r
，
设平面P AC 的法向量为()1111,,n x y z =u r
，则由
1100n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u
r
得：111110
0y z y z --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 取11z =
，则1(1,1)n =-u r
.
易知平面P AB 的法向量为2(1,0,0)n =u u r
，
设二面角A PC B --的平面角为θ，因为θ为锐角，则
1212
cos n n n n θ⋅==
⋅u r u u r u r u u r ，即二面角A PC B --
的余弦值为2. 另解：由（1）可得1OP =，且PO AB ⊥，O 为AB 中点，则APB V 为直角三角形， ∴AP PB ⊥.
又∵AP PC ⊥，PB PC P =I ， ∴AP ⊥平面PBC ，
∴BPC ∠即为二面角A PC B --的平面角. 由（1），平面PAB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥， ∴BC ⊥平面P AB ， ∴BC PB ⊥，
而PB BC =
=，
∴cos 2BPC ∠=
，即二面角A PC B --
的余弦值为2
.
20.解：（1）依题意设双曲线1C 的方程为23y λ-=（0λ>），则23a λ=，2b λ=， 又2c =，于是由2
2
2
441a b c λλ+=⇒=⇒=，故1C 的方程为2
213
x y -=； （2
）将y kx =+代入22
142
x y +=得(
)221220k x +++=， 直线l 与椭圆2C 有两个不同的交点得
()()2222)8128410k k ∆=-+=->，即21
4
k >
， ①
将y kx =+2
213
x y -=得(
)2213120k x ---=， 由直线l 与双曲线1C 有两个不同的交点A ，B 得
()()2
222
1130)481312430
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即213k ≠且2
43k <， ② 设()11,A x y ，()22,B x y
，则12213x x k +=
-，122
12
13x x k
-=-， 6OA OB ⋅<u u u r u u u r
得12126x x y y +<，而
(
)()2
121212
1213x x y y k
x x
x x +=+++()2222
22
1211839
3131331
k k k k k k -++=
++=---， 于是2239631k k +<-，解此不等式得21k >，或2
13
k <
， ③ 由①，②，③得
21143k <<，或24
13k <<， 故2k 的取值范围为114,1,433⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U . 21.解：（1）函数2
()2ln f x x ax =-的定义域是(0,)+∞，
()2
212
()2ax f x ax x x
'-=-=
，0x > ①当0a ≤时，()0f x '
>，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，没有单调递减区间；
②当0a >时，今()0f x '
=，得x a
=
.
当0,
x a ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>
，当x a ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '
<， 函数()f x
的单调递增区间为⎛
⎝
⎭
，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭ 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，没有单调递减区间；
当0a >时，函数()f x
的单调递增区间为⎛ ⎝⎭
，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭ （2）证明：∵()f x 有最大值且最大值是1-，由（1）知，
0a >
，且max ()ln 11f x f a ==--=-⎝⎭
，
∴1a =，
法一：（二次部分求导，用隐零点求最值问题） 设2
()()()(1)342ln x
h x g x f x x e x x x =-=+++--
2(2)(21)1()(2)23(2)(2)2x x x x x h x x e x x e x e x x x '+-⎛
⎫=+++-
=++=++- ⎪⎝
⎭ 又设1()2x x e x ϕ=+-
，则21
()0x x e x
ϕ'=+>， 所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，因为1
412404e ϕ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，1312303e ϕ⎛⎫
=+-> ⎪⎝⎭
，
所以存在011,43x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00x ϕ=，
当()00,x x ∈时，()0x ϕ<，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>；
所以当()00,x x ∈时，()0h x '
<，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '
>，()h x 单调递增；
∴()()02
min 00000()1342ln x
h x h x x e x x x ==+++--
由00
120x
e x +-
=，得001
2x e x =-，
所以()()2000000112342ln h x x x x x x ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭
20000152ln x x x x =+-+-，011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设21()52ln x x x x x τ=+-+
-，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()222222
211(21)121()21x x x x x x x x x x x τ'--+-=+--=+=， 所以当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0x τ<，()x τ在11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减， ∴()()20011114532ln 22ln 30333
39h x x ττ⎛⎫⎛⎫=>=+-+-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()0h x >，即()()f x g x <得证.
法二：（放缩法，用隐零点求最值问题）上接1a =，
2()()(1)342ln x g x f x x e x x x -=+++--，
当0x >时，易证：1x e x >+，ln 1x x ≤-，证明如下：
设()1x p x e x =--，0x >，()10x p x e '=->，()p x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0p x p >=
∴1x e x >+.
设()ln 1q x x x =-+，0x >，11()1x q x x x
'-=
-= 当(0,1)x ∈时，()0q x '<，
当(1,)x ∈+∞时，()0q x '>；
∴()p x 在(0,1)上单调递减，(0,)+∞上单调递增，
∴()(1)0p x p ≥=
∴ln 1x x ≤-
∴22()()(1)(1)342ln 2532ln g x f x x x x x x x x x ->++++--=+--， 设2()2532ln h x x x x =+--，22452()45x x h x x x x '
+-=+-=，0x >，
显然24520x x +-=有异号两根，设正根为0x ，2004520x x +-=，
则当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '
>， ∴()h x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增，
∴()0()h x h x ≥，
()20000000522532ln 532ln 2
x h x x x x x x -+=+--=+-- ()000000542ln 222ln 21ln 02
x x x x x x -=->--=--≥ ∴()0h x >，()()()0g x f x h x ->>，即()()f x g x <得证.
22.（1）椭圆C 的普通方程为22
132
x y +=， 将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入整理得：2222sin 60ρρθ+-= ∴椭圆C 的极坐标方程为2222sin 60ρρθ+-=，
由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为10x y +-=；
（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 点1,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直角坐标为：(0,1)P ，它在直线l 上. 设直线l
的参数方程为212
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22132x y +=
，得22
231622t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
化简得2560t +-=
，所以125t t -+=，1265
t t -=. 由直线参数方程的几何意义可得：
1212
||||
PA PB t t t t
+=+=-==
23.解：（1）因为()()()
22222222
10(34)3425
a b a b a b
=+≤++=+
所以224
a b
+≥，当且仅当
3
4
a
b
=，即
6
5
8
5
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，或
6
5
8
5
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
时取等号，即22
a b
+的最小值为4.
（2）由（1）知22
|3||2|
x x a b
+--≤+对任意的a，b R
∈恒成立|3||2|4
x x
⇔+--≤
3
54
x<-
⎧
⇔⎨
-≤
⎩
，或
32
214
x
x
-≤<
⎧
⎨
+≤
⎩
，或
2
54
x≥
⎧
⎨
≤
⎩。