(定价策略)第六章关于鞅方法定价

（定价策略）第六章关于鞅方

法定价

第六章鞅方法定价

在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以用来给期权和期货定价。在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。接着，我们讨论一般结果。我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？

价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。

1．二项树模型中的等价鞅测度

在二项树模型中模型

图1一期二项式生成过程

这里

=股票在时间的价格

=股票价格上涨的概率

=一期的无风险利率

=股票价格上涨的乘子

=股票价格下跌的乘子

在每一期末，股票价格或者以概率涨为，或者以概率跌为。

每期的无风险利率为。对的限制为，这是无套利条件。直观地可以看出，无论是（这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。

等价鞅测度的含义：

等价的含义：当实际的概率为正时，也为正。

条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。

例子：用密度函数来刻画

例子：在二项树下的条件期望

鞅的含义：

即，和均是鞅过程。

等价鞅测度存在性：

定义

，

则

从的定义可以看出，无套利条件成立当且仅当大于0而小于1（即，是概率）。

等价鞅测度唯一性：上面定义的是使得下式成立（即股票和期权价格的折现值是鞅）的唯一概率。

（Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.）

性质：在一个二项树模型中，股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条件是存在唯一的等价鞅测度。

证明：

例子：无套利验证

例子：期货合约的无套利定价

例子：不完备市场的等价鞅测度不唯一。

注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone.

(2) 推广：利率衍生产品，利率是随机的，以商品为标的物的衍生产品，外汇衍生产品。

2．一般经济系统

2.1 不确定性经济环境

我们考虑一个具有唯一易腐消费品的证券市场经济。如果没有特别地强调，我们用表示不确定经济环境中具有有限状态的状态空间，用F=表示信息结构，对任意。和第一章一样，我们假设到时间，投

资者就完全知道真实的状态且{Ø,}。证券市场具有+1种长期证券，以作为指标。长期证券的特征由其红利过程来刻画，这里表示以消费品为单位，在时间支付的随机红利。红利过程适应于F。为使得分析简化，我们不妨假设第0种长期证券直到时间才支付红利，在时间，不管哪个状态发生，支付的红利均为一个单位的消费品。从这个假设我们可以看出，第0种证券事实上是一种期的面值为1的折现债券。

第0种证券在时间的价格以表示，；而第（）种证券在时间的分红后价格以表示。因为价格过程是分红后的价格，所以有。自然地，我们假设和是关于可测的。因为在经济均衡中能够确定的只是证券的相对价格，所以不失一般性，我们假设长期证券的价格以唯一的消费品为单位，即消费品的价格为1。

经济中有个个体，以作为指标。每个个体具有时间可加的效用函数，这些函数是单调增的、严格凹的、可微的。我们假设，这个假设保证所有个体都选择严格正的消费。我们假设个体的主观概率为，并且任意不确定状态的概率大于0。我们假设个体拥有的禀赋是长期证券，份额为，表示个体在时间0拥有的第0种证券的份数。表示个体在时间0拥有的第种证券的份数。为了避免退化情形，我们假设对每个个体而言，≥0，≥0且存在某个使得>0。

定义1：一个交易策略是一个维过程

,

这里，和分别表示个体在时间的交易发生前，持有的从时间-1到时间的第0种证券和第证券的份数。

一个交易过程一定是一个可料过程。

我们引入记号

定义2：一个消费计划是一个适应于F的过程：

，

这里表示以唯一消费品为计量单位，个体在时间的随机消费。

定义3：一个交易策略称为可行的，如果它是可料的且存在一个消费计划使得，对于任意有

，（2-1）

这里

，

。

我们用H表示所有的可行的策略形成地集合。

注：1. 关系（2-1）是一种自然的预算约束：在期收入（包括证券组合的市场值和红利）用于消费和下一期的投资（购买下一期的证券组合）。

2. 因为，且对所有的而言，，所以（2-1）的左边为0，从而（2-1）变成

+

即在期末，所有的财富都用于消费。