【庆福数学】二次函数与反比例函数知识点总结及典型例题分析

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减小。
例 1：.函数 y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，则二次函数 y=ax2+bx 的大致图象是
(B)
B【解析】本题考查【解析】由函数 y=ax+b 的图象经过一、二、三象限， 可得：a>O，b>O， 则函数 y=ax2+bx 的 开口向上，对称轴
为 x=－2ba<0，
例 2（’09 湖北黄石市）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，
其中正确结论的个数为（ ）
例2图
A、4 个
B、3 个
C、2 个
D、1 个
分析:从图像的开口方向和图像与 y 轴交点的纵坐标可以直接得到 a<0,c>0.对于 b,要根据
2
抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在 y 轴右侧,即－2ba>0,则ba<0,所以 a、b 异号;反之,a， b 同号.本题中抛物线对称轴在 y 轴右侧,所以 b>0;所以 abc<0.对于 2a+b,需要根据抛物线顶点 横坐标与 1 的大小比较.观察图像可得, －2ba<1,所以 2a+b＜0.而 4a－2b+c 是二次函数当自变 量取值为－2 时的函数值,观察图像可发现点(－2, 4a－2b+c)在 x 轴下方,所以 4a－2b+c<0.又 由图像可得当 x=1 时的函数值 a+b+c 的绝对值大于 x=－1 时的函数值 a－b+c 的绝对值,所以
k b
0 0
直线经过第一、二、四象限
k b
0 0
直线经过第二、三、四象限
（2）增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小. （3）截距: 当 b>0 时，图象交于 y 轴正半轴, 当 b<0 时，图象交于 y 轴负半轴,当 b=0 时， 图象交于原点. （4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴.
反比例函数:y＝ k （k 为常数，k≠0）中图象与系数的关系: x
说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”
1
这一条件。
2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近 x 轴、y 轴，但与 x 轴、y 轴没有交点。
3） 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠 近坐标轴．
a+b+c+ (a－b+c)>0,所以 a+c>0.故选答案 B.【点拨】由抛物线开口方向判定 a 的符号，由对
称轴的位置判定 b 的符号，由抛物线与 y 轴交点位置判定 c 的符号。由抛物线与 x 轴的交点
个 数 判 定 b2 4ac 的符号，若 x 轴标出了 1 和－1，则结合函数值可判定 2a b 、 a b c 、 a b c 的符号。
例 3.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一次函数 y＝ax＋c 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A
B
C
D
【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这
方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ．
一次函数:y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:
（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四ห้องสมุดไป่ตู้限
k b
0 0
直线经过第一、二、三象限
k b
0 0
直线经过第一、三、四象限
题型 2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题. 二次函数 y ax2 bx c 中图象与系数的关系:（1）二次项系数 a 的正负决定开口方向，a 的
大小决定开口的大小． a>0 时，开口向上，a<0 时，开口向下。 a 越大，开口越小。 a 越
小，开口越大。（2）一次项系数 b ，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．若
(7) y ax2 3x 6(a为定值) (8)y (m2 1)x2 3(m为定值)
3
分析：一般地，形如 y ax2 bx c （a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其 中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。判断函 数是否是二次函数， ①首先是要看它的右边是否为整式，②若是整式且仍能化简的要先将 其化简，③ 然后再看自变量是否为 2，④最后看二次项系数是否为 0 这个关键条件
ab 0 ，则对称轴 x b 在 y 轴左边，若 ab 0 ，则对称轴 x b 在 y 轴的右侧。
2a
2a
若 b=0，则对称轴 x b ＝0,即对称轴是 y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴 0” （3）常 2a
数项 c ，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．当 c 0 时，交点在 y 轴的正半轴上 ;当 c 0 时，
二次函数与反比例函数知识点总结及典型例题分析
题型 1：二次函数的判定
例 1.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y x2 1 (2) y 4 x2 1 (3) b 0.8(220 a) (4) y 5x2 5x(x 1)
x (5) y 3x2 4 x3
(6) y 2 1 x2
抛物线经过原点，;当 c 0 时，交点在 y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点 0”(4) △=b2
－4ac 决定了抛物线与 x 轴交点的个数. ① 当 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点 ② 当
0 时，抛物线与 x 轴只有一个交点； ③ 当 0 时，抛物线与 x 轴没有交点.另外当 a 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ； 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下
反比例函数
y＝ k （k 为常数，k≠0） x
k 的取值
k＜0
k＞0
图像
性质
a) x 的取值范围是 x≠0；ay) x 的取值范围是 x≠0；y
的取值范围是 y≠0;
的取值范围是 y≠0;
b) 函数的图像两支分别位b) 函数的图像两支分别位
于第二、第四象限，在每个 于第一、第三象限，在每个
象限内 y 值随 x 值的增大而 象限内 y 值随 x 值的增大而