完全平方公式
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
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公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
完全平方公式12种变形公式
完全平方公式12种变形公式完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。
它具有广泛的应用，如科学、工程等。
完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。
下面分别介绍它们的变形过程和形式：1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。
2.方相加变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。
3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。
4.方相减变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。
5.项变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。
6.积变形：即左边的方程可以变成[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。
7. 乘积变形：即左边的方程可以变成[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。
8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解
假设方程的两个解是x1和x2，那么根据求根公式的推导，可以得到
完全平方公式的一般形式如下：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
首先，将 ax^2+bx+c=0 变形为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
然后，将方程右侧的常数项移动到方程左侧，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
接着，我们将方程左侧的平方项和一次项组合成一个完全平方，即(x + (b/2a))^2 = (1/4a^2)(b^2 - 4ac)。
继续变形，得到x + (b/2a) = √((b^2 - 4ac)/(4a^2))。
再将方程左侧的二次项系数变为1，即 x = -b/(2a) ± √((b^2 -
4ac)/(4a^2))。
最后，简化形式，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过上述推导过程，我们得到了完全平方公式。
使用这个公式，可以
快速而准确地求解一元二次方程的解。
需要注意的是，完全平方公式适用于任意实数系数的二次方程。
但在
实际应用中，可能会遇到无实数解或有重复解的情况。
因此，在使用完全
平方公式求解一元二次方程时，需要根据情况进行判断和处理。
完全平方公式
完全平方公式1、完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+； ().2222b ab a b a +-=-即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍。
2、深入理解： 完全平方公式的条件：⑴二项式的平方。
完全平方公式的结论：⑴ 三项式 ；⑵有两项平方项，且是正的；另一项是二倍项，符号看前面。
口诀记忆：“头平方，尾平方，头尾两倍在中央”；3、逆运算：()2222b a b ab a ±=+±例1：计算下列各式： （1）、2)52(y x +（2）、2)221(y x -例2：（1）()212-+b a （2）5z)4y -(x 5-4++）（z y x例3：如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是。
例4：计算：()()_________22=--+b a b a ；()__________222-+=+b a b a 练习：1、如果多项式k xy x ++82是一个完全平方式，则k 的值是。
2、已知。
y ，xy y x 的值求22x 60,17+==+3、若13a a +=,求221a a +的值。
课下练习：1、下列计算中正确的是（）A.222)(b a b a +=+B. 222)(b a b a -=-C.22224)2(y xy x y x +-=-D.25541)521(22++=+x x x 2、下列各式计算结果为2xy －x 2－y 2的是（）A ．（x －y ）2B ．（－x －y ）2C ．－（x+y ）2D ．－（x －y ）23、已知,,,则代数式的值为( ) A.12 B.13 C.25 D.264、计算下列各式：（1）(3m-n)(m-2n) （2）()()()()()222312-+++--+x x x x x（3）、()2101684212⨯⨯⨯⨯-（4）、22)(2)())((b a b a b a b a --++-+5、如图15－2－3，AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP 、BP 为边作正方形.图15－2－3(1)设AP ＝x ，则两个正方形的面积之和S ＝__________；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，两个正方形的面积的和分别为S 1和S 2，比较S 1和S 2的大小：__________.。
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。
在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。
定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。
完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。
公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。
推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。
假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。
为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。
为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。
将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。
完全平方公式（完整知识点）
完全平⽅公式（完整知识点）完全平⽅公式完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。
该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了⼀次项②混淆公式（与平⽅差公式）③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。
学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和（或差）的平⽅，等于它们的平⽅和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.完全平⽅公式⼝诀前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即 (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形（习题）变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（⼆）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。
所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套⽤公式计算。
完全平方公式
完全平方公式具体来说，完全平方公式可以用于求解形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程的解。
首先，我们来推导完全平方公式。
考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。
为了将其表示成一个平方的形式，我们可以将x的系数b除以2，并进行平方。
这样，我们得到(x + b/2a)^2展开得到(x+b/2a)^2=x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2比较上式与原方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以看到，如果c可以表示为(b/2a)^2，那么方程就变成了一个平方。
因此，我们可以得到完全平方公式：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c。
根据这个公式，我们可以将一元二次方程表示成一个完全平方形式。
接下来，我们来研究如何使用完全平方公式来解一元二次方程。
假设我们有一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。
我们可以使用完全平方公式将其表示成(mx + n)^2 = 0的形式。
并且，根据等式的性质，我们可以得到mx + n = 0，进一步得到x = -n/m。
因此，我们可以得到一元二次方程的根的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是我们通常所说的一元二次方程的根的公式。
通过这个公式，我们可以很方便地求解一元二次方程的根。
此外，完全平方公式也可以用于其他应用，如配方法、求和方法等。
在数学中，我们常常利用完全平方公式来简化计算和求解问题。
总结起来，完全平方公式是将一个一元二次多项式表示成一个平方的形式的公式。
通过完全平方公式，我们可以方便地求解一元二次方程的根。
此外，完全平方公式还有其他应用。
对于学习和理解一元二次方程以及相关数学问题具有重要的意义。
完全平方公式的定义
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种有用的数学工具，可以用来解决多个方程。
它是一个常见的抽象表示形式，由四个变量X、a、b、c和d组成，它的表达式为：X^2+aX+b=cX+d。
这里的X表示一个未知数，a、b、c和d分别表示四个常数。
如果所有变量都是定值（即a,b,c和d都是非零常数），则将上述公式视为一元二次方程（也就是完全平方方程）。
在求解它时，首先必须将它化成一般形式ax²+bx+c=0。
然后应用平方根公式（即X=−b±√b²−4ac2a）来解决这个问题。
此外，如果该方程有不止一个根（即b²-4ac是正数时），则要考虑所有根的情况。
对于复杂的多项式问题来说，使用完全平方公式能够很好地减少问题的复杂度。
例如在求解三次多项式中的根时可以将三次多项式化成三个不含x³成分的完全平方形式。
考虑到这些优势和特性，它成为了很多学生和工作者在数学中使用的一个重要工具。
完全平方公式解法
完全平方公式解法完全平方公式是解决一元二次方程的一种方法，它可以帮助我们求解方程的根。
所谓一元二次方程，就是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
完全平方公式的表达式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中±表示两个解，√表示开平方，b^2-4ac是判别式。
下面我们来详细介绍一下完全平方公式的使用方法。
我们需要确定方程中的a、b、c的值。
这些值可以由题目中直接给出，或者通过观察方程得到。
接下来，我们计算判别式b^2-4ac的值。
判别式的值可以判断方程的解的情况：如果判别式大于0，说明有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，说明有一个实数解；如果判别式小于0，说明没有实数解，只有复数解。
然后，我们根据判别式的值来求解方程的根。
如果判别式大于0，我们可以使用完全平方公式的正负两个根来求解；如果判别式等于0，我们只需要使用完全平方公式的一个根来求解；如果判别式小于0，我们需要使用复数来表示方程的根。
我们将求解出来的根带入原方程，验证我们的答案是否正确。
下面我们通过一个例子来演示一下完全平方公式的使用方法。
例子：解方程x^2-6x+8=0。
我们可以看出a=1，b=-6，c=8。
接下来，计算判别式b^2-4ac的值，即(-6)^2-4*1*8=36-32=4。
由于判别式大于0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据完全平方公式，我们有x=(-(-6)±√4)/(2*1)。
化简得到x=(6±2)/2，即x=4或x=2。
我们将求解出来的根带入原方程验证一下。
将x=4带入方程得到4^2-6*4+8=0，等式成立；将x=2带入方程得到2^2-6*2+8=0，等式成立。
因此，我们得出结论，方程x^2-6x+8=0的解是x=4和x=2。
通过以上例子，我们可以看到完全平方公式简化了一元二次方程的求解过程，提高了求解的效率。
掌握了完全平方公式，我们可以更轻松地解决一元二次方程的问题。
完全平方公式
完全平⽅公式定义两数和的平⽅，等于它们的平⽅和加上它们的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平⽅，等于它们的和减去它们的积的2倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²该公式是进⾏与变形的重要的知识基础，是中常⽤到的公式。
该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项的理解等）。
学习⽅法完全平⽅公式的转换这两个公式的结构特征：1. 左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2. 左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.3. 公式中的字母可以表⽰具体的数（或），也可以表⽰或等数学式．公式⼝诀⾸平⽅，尾平⽅，⾸尾相乘放中间。
或⾸平⽅，尾平⽅，两数⼆倍在中央。
也可以是：⾸平⽅，尾平⽅，积的⼆倍放中央。
同号加、异号减，负号添在异号前。
（可以背下来）即（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。
解答：(1)原式=(2)原式=（⼆）、变项数：例2：计算：分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。
所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为，直接套⽤公式计算。
解答：原式=（三）、变结构例3：运⽤公式计算：(1)(2)(3)分析；本例中所给的均是⼆项式乘以⼆项式，表⾯看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中⼀个因式作适当变形就可以了。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。
它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。
完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。
这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。
完全平方公式的算法：1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。
2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。
3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。
完全平方公式的应用：1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。
2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项式的求根问题。
例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成一个完全平方的求根问题。
3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。
例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。
完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。
它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。
完全平方公式9种变形
完全平方公式9种变形一元二次方程ax²+bx+c=0 是高中数学中最基本也是最重要的方程之一，它的根也就是求解此类方程的结果叫做完美平方公式。
大家经常接触的一般格式完美平方公式就是：x²+bx+c=0，其它的变形形式有：ax²+bx+c=0ax²-bx+c=0ax²+bx-c=0ax²-bx-c=0ax²-c=0x²+c=0x²-c=0ax²=bx+cax²=bx-c从属性上来分析，完全平方公式一共有三类，它们分别是：一次项系数为零的公式，一次项系数非零的公式和不存在一次项的公式。
首先，一次项系数为零的完美平方公式有x²+bx+c=0、x²+bx-c=0、x²-bx+c=0、x²-bx-c=0、x²-c=0、x²+c=0、x²-c=0，在这几种完全平方公式中，系数a的值都是零，它们可以简化为bx±c=0，由于没有一次项，计算起来比较容易，只要将定义式中的常数向两边移动，然后利用算术平方根来计算结果即可。
其次，一次项系数不为零的完全平方公式有ax²+bx+c=0、ax²-bx+c=0、ax²+bx-c=0、ax²-bx-c=0、ax²-c=0，这几种公式系数a的值不为零，因此如果要对它们进行求解，就需要用到一次项来解决，具体操作是将一次项移动到右边，然后将方程化为二次常系数齐次方程形式，最后利用求根公式来求解即可；此外，不存在一次项的公式一共有两种，分别为ax²=bx+c和ax²=bx-c，不存在一次项的话，计算过程会复杂一点，那么就需要先将方程变为一次项系数为零的形式，然后再使用简化的求根公式来进行求解。
总的来说，完全平方公式共有9种变形形式，它们有自己的性质，在求解的时候也需要有相应的操作步骤。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
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完全平方公式
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．在运用公式时，防止发生这样错误．3．运用计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计
算．4．与都叫做．为了区别，我们把前者叫做两数和的，后者叫做两数差的．三、教法建议1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用进行计算．2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．（1）既讲“法”，又讲“理”在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．（2）讲联系、讲对比、讲特点对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(a+b)2=a2+b2的错误，其原因是把和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点．所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点．教学设计示例一、教学目标1．理解的意义，准确掌握两个公式的结构特征．2．熟练运用公式进行计算．3．通
过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．5．渗透数学公式的结构美、和谐美．二、学法引导1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．三、重点·难点及解决办法（一）重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．（二）难点综合运用平方差公式与进行计算．（三）解决办法加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．2．引入，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．3．举例分析如
何正确使用，师生共练完成本课时重点内容．4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习及其应用．（二）整体感知掌握好的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．（三）教学过程1．计算导入；求得公式（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；（2）用简便方法计算①103×97 ②103 ×103 （3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘法公式”．引例：计算，学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．或合并为：教师引导学生用文字概括公式．方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．【教法说明】①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导可以由计算直接得出．2．结合图形，理解公
式根据图形完成下列问题：如图：A、B两图均为正方形，（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
（2）图B中，正方形的面积为____________________，Ⅲ的面积为______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论：学生活动：在教师引导下回答问题．【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。
3．探索新知，讲授新课（1）引例：计算教师讲解：在中，把x看成a，把2y看成b，在中把2x看成a，把3y看成b，则、，就可用来计算，即【教法说明】引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础．（2）例1 运用计算：①②③学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．【教法说明】让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成，然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．4．尝试反馈，巩固知
识练习一运用计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（l0）学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决．5．变式训练，培养能力练习二运用计算：（l）（2）（3）（4）学生活动：学生分组讨论，选代表解答．练习三（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．甲的计算过程是：原式乙的计算过程是：原式丙的计算过程是：原式丁的计算过程是：原式（2）想一想，与相等吗？为什么？与相等吗？为什么？学生活动：观察、思考后，回答问题．【教法说明】练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解与之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义．练习四运用乘法公式计算：（l）（2）（3）（4）学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，
看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．【教法说明】这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．（四）总结、扩展这节课我们学习了乘法公式中的．引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．八、布置作业P133 1，2．（3）（4）．参考答案略．。