(完整版)平方根中考试题及讲解
中考数学复习高频考点精讲精练(全国通用)：专题02 实数运算(解析版)
专题02实数运算一、平方根、算术平方根、立方根【高频考点精讲】1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
”。
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“a2．算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作a。
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数。
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算。
3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作3a。
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，任意数都有立方根。
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。
注意：“3a”的根指数“3”不能省略，对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一立方根。
4．平方根和立方根的性质（1）平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【热点题型精练】1．（2022•攀枝花中考）2的平方根是（）A．2B．±2C．D．解：因为（±）2＝2，所以2的平方根是，答案：D．2．（2022•海南模拟）一个正数a的两个平方根是2m﹣1和m+4，则这个正数a＝9．解：由题意得，2m﹣1+m+4＝0，解得：m＝﹣1，则a＝（m+4）2＝（﹣1+4）2＝9．答案：9．3．（2022•恩施州中考）9的算术平方根是3．解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．答案：3．4．（2022•贺州中考）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝0，则3m+n＝7．解：∵|m﹣n﹣5|+＝0，∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0，∴m＝3，n＝﹣2，∴3m+n＝9﹣2＝7．答案：7．5．（2022•宝鸡模拟）的立方根为（）A．B．C．D．解：∵（﹣）3＝，∴的立方根是．答案：A．6．（2022•常州中考）化简：＝2．解：∵23＝8∴＝2．答案：2．二、无理数定义及估算【高频考点精讲】1．无理数定义（1）定义：无限不循环小数叫做无理数。
初一数学二次根式试题答案及解析
初一数学二次根式试题答案及解析1.一个数的算术平方根是，则这个数是_____ _____．【答案】2．【解析】∵一个数的算术平方根是，∴这个数为（）2=2．故答案是2．【考点】算术平方根．2. 9的平方根是（）A．3B．±3C．D．81【答案】B【解析】根据平方根的定义可判断．【考点】平方根3. 49的算术平方根是．【答案】7【解析】根据算术平方根的意义可求.【考点】算术平方根4.的平方根为（）A．B．C．3D．【答案】B．【解析】由于=3，故其平方根是．故选B．【考点】平方根．5.在3.14，中，无理数有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】Ｂ.【解析】有限小数、整数、分数都属于有理数，故３.１４，，＝＝２都是有理数，开不尽方的平方根，圆周率都是无限不循环小数，所以是无理数.故选B.【考点】实数的分类.6.下列说法中正确的是（）A．立方根是它本身的数只有1和0B．算术平方根是它本身的数只有1和0C．平方根是它本身的数只有1和0D．绝对值是它本身的数只有1和0【答案】B.【解析】A．立方根是它本身的数除去1和0外，还有-1，故该选项错误；B．算术平方根是它本身的数只有1和0，故该选项正确；C．平方根是它本身的数只有1和0，故该选项错误；D．绝对值是它本身的数只有正数和0，故该选项错误.故选B.【考点】1.立方根；2.平方根；3.算术平方根；4.绝对值.7.下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】A选项正确，B、C、D选项错误.故选A.【考点】二次根式的化简.8.大于小于的所有整数的和是 .【答案】-4.【解析】求出和的范围，求出范围内的整数解，最后相加即可．∵-5＜＜-4，3＜＜4，∴大于小于的所有整数为-4，±3，±2，±1，0，∴-4-3-2-1+0+1+2+3=-4，【考点】估算无理数的大小．9.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A.，故本选项错误；B.，故本选项错误；C.，表示25的算术平方根是5，故本选项错误；D.，故本选项正确，故选D．10.下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根与这个数同号C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D．一个数的立方根是非负数【答案】B【解析】一个数的立方根只有一个，A错误;一个数有立方根，但这个数不一定有平方根，如，C错误;一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，所以D是错误的，故选B.11.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值.【答案】9【解析】解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1=9，解得因为3a＋b－1的算术平方根是4，所以3a＋b－1=16.又所以故a＋2b=9.12.在－4，，0，π，1，，这些数中，是无理数的是．【答案】π．【解析】无理数有：π．故答案为：π．【考点】无理数．13.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么图中阴影部分的面积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设两个正方形的边长是x、y（x＜y），得出方程x2=4，y2=9，求出x=2，y=3，代入阴影部分的面积是（y﹣x）x求出即可．解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），则x2=4，y2=9，x=2，y=3，则阴影部分的面积是（y﹣x）x=（3﹣2）×2=2，故选B．点评：本题考查了算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力．14.若（x－1）=64，则x=______。
期中考备战--初二数学学科精讲精练——平方根
初二数学知识点精讲精练——平方根【知识点】一、平方根1. 定义：若 则叫做的平方. 叫做的平方根.记做读作等于正负根号.叫做被开方数.2. 性质①正数有2个互为相反数的平方根②0的平方根是0③负数没有平方根二、算数平方根1. 定义：如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算数平方根.记作 规定0平方根还是02. 性质双重非负性：①被开方数≥0；②开方结果≥03. 初中三大有意义①分母不为0 1a()0a ≠ ②零指数幂的底数不为0 01a =()0a ≠③被开方数大于等于0()0a ≥a x x a x a a x a a a ³0³0x 2=a (a ³0)x ==x1．设a，b，c都是实数，且满足(2−a)2+√a2+b+c+|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求x2+2x的算术平方根．【例题解析】本题考查了代数式求值，算术平方根的定义，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【解答】解：由题意得，2﹣a=0，a2+b+c=0，c+8=0，解得a=2，b=4，c=﹣8，代入ax2+bx+c=0得，2x2+4x﹣8=0，所以，x2+2x=4，所以，x2+2x的算术平方根是2．2．已知：a、b、c满足(a−√8)2+√b−5+|c−3√2|=0求：（1）a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【例题解析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，三角形的三边关系．【解答】解：（1）根据题意得，a﹣√8=0，b﹣5=0，c﹣3√2=0，解得a=2√2，b=5，c=3√2；∵2√2+3√2=5√2＞5，∴能组成三角形，三角形的周长=2√2+5+3√2=5√2+5．【练习】1．若√x−1+（y﹣2）2=0，求xy的算术平方根．2．若(a+2)2+√b2−9=0，求a+b的值．3．已知√a−16+(b+2)2=0，求ab的值．4．观察下列各式：①、√1+13=2√13，②、√2+14=3√14③，√3+15=4√15，…，（1）请写出第6个式子：，（2）用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：．并验证你的猜想．5．求下列各式中的x．（1）16x2=25（2）（x﹣3）2=4初二数学知识点精讲精练——平方根（解析）【练习解析】1．若√x−1+（y﹣2）²=0，求xy的算术平方根．【分析】本题考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【解答】解：根据题意得：{x−1=0 y−2=0，解得：{x=1 y=2，则xy=2，则xy的算术平方根是：√2．2．若(a+2)2+2=0，求a+b的值．【分析】本题考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【解答】解：由题意得，a+2=0，b²﹣9=0，解得a=﹣2，b=±3，所以，a+b=﹣2+3=1，或a+b=﹣2﹣3=﹣5．3．已知√a−16+(b+2)2=0，求ab的值．【分析】本题考查非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【解答】解：根据题意得，a﹣16=0，b+2=0，解得a=16，b=﹣2，所以，ab =16−2=﹣8．4．观察下列各式：①、√1+13=2√13，②、√2+14=3√14③，√3+15=4√15，…，（1）请写出第6个式子： √6+18=7√18 ，（2）用含n （n ≥1）的式子写出你猜想的规律： √n +1n+2=（n+1）√1n+2 ．并验证你的猜想．【分析】此题主要考查了算术平方根以及数字变换规律，正确得出式子变化规律是解题关键．【解答】解：（1）第6个式子是√6+18=7√18． 故答案为√6+18=7√18； （2）规律：√n +1n+2=（n+1）√1n+2；√n +1n+2=√n 2+2n n+2+1n+2=√n 2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2=（n+1）√1n+2． 故答案为：√n +1n+2=（n+1）√1n+2．5．求下列各式中的x ．（1）16x ²=25（2）（x ﹣3）2=4【分析】本题考查了平方根的定义，正确理解定义是关键．【解答】解：（1）16x ²=25，x ²=2516，x=±5；4（2）（x﹣3）²=4，则x﹣3=2或x﹣3=﹣2，故x=5或1．。
中考复习初中数学中的平方根运算题
中考复习初中数学中的平方根运算题平方根运算是中学数学中的一个重要知识点，在中考中常常会出现相关的运算题。
本文将对初中数学中的平方根运算题进行复习总结，帮助同学们更好地应对考试。
一、平方根的定义在介绍平方根运算题之前，我们首先来回顾一下平方根的定义。
对于一个非负数a，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，那么称b为a的平方根，记作√a。
特别地，0的平方根为0。
二、平方根的性质在运算中，我们需要了解平方根的一些基本性质。
1. 非负数的平方根是非负数。
2. 正数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数。
3. 平方根运算和幂运算是互逆的，即√(a^2)=|a|，其中"|"表示取绝对值。
三、平方根的运算法则在解决平方根运算题时，我们需要掌握一些常用的运算法则。
1. 简化法则：a) 如果一个数的个位数是2、3、7或8，它的平方根是无理数；否则是有理数。
b) 一个数的各位数字之和能被3整除，那这个数的平方根也能被3整除；但反之不一定成立。
2. 计算法则：a) √(a*b) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √bc) √(a^n) = a^(n/2)，其中n为正整数四、平方根的运算题下面我们通过一些例题来巩固对平方根运算的理解。
例题1：计算√(144)解析：由于144是一个完全平方数，它的平方根是一个有理数。
因此√(144) = 12。
例题2：计算√(175)解析：由于175不是一个完全平方数，它的平方根是一个无理数。
因此√(175)是无法化简的。
例题3：计算√(4/25)解析：根据平方根的计算法则，√(4/25) = √4 / √25 = 2 / 5。
例题4：计算(√2 + √3)^2解析：根据平方根的计算法则，(√2 + √3)^2 = (√2)^2 + 2*√2*√3 + (√3)^2 = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6。
例题5：计算√(8^3)解析：根据平方根的计算法则，√(8^3) = 8^(3/2) = 8^(1+1/2) = 8 * √8 = 8 * 2√2 = 16√2。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.在0.1，﹣3，和这四个实数中，无理数是（）A．0.1B．﹣3C．D．【答案】C【解析】在0.1，﹣3，和这四个实数中，无理数有：【考点】无理数2.读取表格中的信息，解决问题.a=b+2c b=c+2a c=a+2b满足的n可以取得的最小整数是．【答案】7．【解析】由，，，….∵，∴.∴.∵36＜2014＜37，∴n最小整数是7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.二次根式化简；3.不等式的应用．3.计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】原式=（）2+×=+=2．故选：A．【考点】1、特殊角的三角函数值；2、实数的计算4.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2【答案】D【解析】根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故选D．【考点】二次根式有意义的条件5.在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14C．D．【答案】D．【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是小数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数，选项正确析.故选D．【考点】无理数.6.二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x<1B．x≥1C．x≤-1D．x<-1【答案】B．【解析】根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1．故选B．考点: 二次根式有意义的条件．7.下列计算正确的是 ()A．－＝B．＝－＝1C．÷(－)＝－1D．＝3【答案】A【解析】∵－＝2－＝∴A对．∵＝＝∴B错．∵÷(－)＝＝＝＋1∴C错∵＝＝＝3－1∴D错．选A.8.计算：·－＝________．【答案】2【解析】原式＝－＝3－＝2.9.下列各式中，正确的是 ()A．＝－3B．－＝－3C．＝±3D．＝±3【答案】B【解析】因为－＝－＝－3，所以选B.10. 9的算术平方根是( )A．3B．±3C．81D．±81【答案】A.【解析】9的算术平方根是.故选A.考点: 算术平方根．11.已知则.【答案】【解析】因为所以所以，故.12.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】A．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B．，故本选项正确；C．3与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D. ，，故本选项错误.故选B.考点: 二次根式的运算与化简.13.的值等于（）A．4B．－4C．±4D．【答案】A.【解析】根据42=16,可得.故选A．【考点】算术平方根.14.的算术平方根是（）A．4B．C．2D．【答案】C.【解析】根据算术平方根的定义解答即可．∵∴4的算术平方根是2.故选C.考点:算术平方根．15.观察分析下列数据，按规律填空：（第n个数）.【答案】.【解析】寻找规律:可写为.【考点】探索规律题(数字的变化类).16.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、与不是同类二次根式，无法合并，B、，C、，均错误；D、，本选项正确.【考点】二次根式的混合运算17.下列计算，正确的是A．B．C．D．【答案】C.【解析】A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误；C、，该选项正确；D、，故本选项错误.故选C.考点: 二次根式的混合运算.18.计算【答案】.【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.试题解析：考点: 二次根式的混合运算.19.计算：＝．【答案】7.【解析】直接根据二次根式的性质与化简进行计算即可．.故填7.【考点】二次根式的性质与化简．20.已知：a.b.c满足,求：（1）a,b,c的值；（2）试问以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由.【答案】（1）a=2,b=5,c=3;（2）能构成三角形,周长=.【解析】（1）几个非负数的和为零,要求每一项为零,由题,a-2=0,b-5=0,c-3=0,a=2 ,b=5,c=3;（2）能构成三角形的条件是两边之和大于第三边,由题,,而,所以能构成三角形,周长=. 试题解析：（1）由题,∴a-2=0,b-5=0,c-3=0,∴a=2,b=5,c=3;（2）∵,,∴能构成三角形,三角形的周长=.【考点】1.非负数的性质;2.三角形三边的关系.21.下列二次根式中，取值范围是的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须，因此，取值范围是的是. 故选C．【考点】二次根式和分式有意义的条件.22.若，,求.的值【答案】4【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，把a2b+ab2的因式分解为ab(a-b)，再代入计算即求解为4.试题解析：解：∵，∴∴【考点】1、二次根式的混合运算.2、因式分解.23.如果，那么= ．【答案】-2【解析】根据题意，可得=0，∣b-2∣=0，从而得到a+1=0，a=-1，b-2=0，b=2，ab=-2.因为二次根式为非负数，一个数的绝对值为非负数，由几个非负数的和为零，要求每一项都为零，即=0，∣b-2∣=0，而零的二次根式为0,0的绝对值为0，从而得到a+1=0，b-2=0，解得a=-1，b=2，ab=-2.【考点】几个非负数的和为零，要求每一项都为零.24.若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间【答案】B【解析】先根据四边形的面积公式列出算式，求出高的值，再估算出无理数，即可得出答案：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=。
中考数学真题分类汇编第三期专题2实数无理数,平方根,立方根试题含解析
实数( 无理数, 平方根, 立方根)一. 选择题1．〔2021·广西贺州·3 分〕在﹣1.1. 、2 这四个数中，最小的数是〔〕A．﹣1 B．1 C．D．2【解答】解：在实数﹣1，1，，2 中，最小的数是﹣1．应选：A．2. 〔2021·广西贺州·3 分〕4 的平方根是〔〕A．2 B．﹣2 C．± 2 D．16【解答】解：∵〔±2〕2=4，∴4的平方根是±2．应选：C．3. 〔2021·湖北江汉·3 分〕点A，B 在数轴上的地址以以下图，其对应的实数分别是a，b，以下结论错误的选项是〔〕A．|b| ＜2＜|a| B．1﹣2a＞1﹣2b C．﹣a＜b＜2 D．a＜﹣2＜﹣b【解析】依照图示可以获取 A.b 的取值范围，结合绝对值的含义推知|b| 、|a| 的数量关系．【解答】解： A. 以以下图，|b| ＜2＜|a| ，故本选项不吻合题意；B.以以下图，a＜b，那么2a＜2b，由不等式的性质知1﹣2a＞1﹣2b，故本选项不吻合题意；C.以以下图，a＜﹣2＜b＜2，那么﹣a＞2＞b，故本选项吻合题意；D.以以下图，a＜﹣2＜b＜2 且|a| ＞2，|b| ＜2．那么a＜﹣2＜﹣b，故本选项不吻合题意；应选：C．4. 〔2021·四川省攀枝花· 3 分〕以下实数中，无理数是〔〕A．0 B．﹣2 C．D．解：0，﹣2，是有理数，是无理数．应选C．5.〔2021·四川省攀枝花· 3 分〕如图，实数﹣3.x 、3.y 在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是〔〕A．点M B．点N C．点P D．点Q1解：∵实数﹣3，x，3，y 在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N．应选B．6. 〔2021·云南省昆明·4 分〕黄金切割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估计﹣1 的值〔〕A．在1.1 和1.2 之间B ．在1.2 和1.3 之间C．在1.3 和1.4 之间D．在1.4 和1.5 之间【解析】依照≈，可得答案．【解答】解：∵≈，∴﹣1≈，应选：B．【议论】此题观察了估计无理数的大小，利用≈2.236 是解题要点．7. 〔2021·浙江省台州·4分〕估计+1 的值在〔〕A．2 和3 之间B．3 和4 之间C．4 和5 之间D．5 和6 之间【解析】直接利用2＜＜3，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，应选：B．【议论】此题主要观察了估计无理数的大小，正确得出的取值范围是解题要点．8．〔2021·辽宁省沈阳市〕〔2.00 分〕以下各数中是有理数的是〔〕A．πB．0 C．D．【解析】依据有理数是有限小数或无量循环小，可得答案．【解答】解：A. π是无量不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B.0 是有理数，故本选项正确；C. 是无理数，故本选项错误；D. 无理数，故本选项错误；应选：B．【议论】此题观察了有理数，有限小数或无量循环小数是有理数．9．〔2021·重庆市B 卷〕〔4.00 分〕以下命题是真命题的是〔〕A．若是一个数的相反数等于这个数自己，那么这个数必然是0B．若是一个数的倒数等于这个数自己，那么这个数必然是1C．若是一个数的平方等于这个数自己，那么这个数必然是0D．若是一个数的算术平方根等于这个数自己，那么这个数必然是02【解析】依照相反数是它自己的数为0；倒数等于这个数自己是±1；平方等于它自己的数为 1 和0；算术平方根等于自己的数为 1 和0 进行解析即可．【解答】解：A. 若是一个数的相反数等于这个数自己，那么这个数必然是0，是真命题；B.若是一个数的倒数等于这个数自己，那么这个数必然是1，是假命题；C.若是一个数的平方等于这个数自己，那么这个数必然是0，是假命题；D.若是一个数的算术平方根等于这个数自己，那么这个数必然是0，是假命题；应选：A．【议论】此题主要观察了命题与定理，要点是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．10. 〔2021?莱芜?3 分〕无理数2 ﹣3 在〔〕A．2 和3 之间B．3 和4 之间C．4 和5 之间D．5 和6 之间【解析】第一得出 2 的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵ 2 = ，∴6＜＜7，∴无理数 2 ﹣3 在3 和4 之间．应选：B．【议论】此题主要观察了估计无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题要点．11. 〔2021?乐山?3 分〕估计+1 的值，应在〔〕A．1 和2 之间B．2 和3 之间C．3 和4 之间D．4和 5 之间解：∵≈，∴+1≈．应选C．12．〔2021·江苏常州·2 分〕a 为整数，且，那么a 等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解析】直接利用，凑近的整数是2，进而得出答案．【解答】解：∵a 为整数，且，∴a=2．应选：B．【议论】此题主要观察了估计无理数大小，正确得出无理数凑近的有理数是解题要点．二. 填空题1．〔2021·重庆市B 卷〕〔4.00 分〕计算：| ﹣1|+2 0= 2 ．【解析】此题涉及零指数幂、绝对值 2 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，尔后依照实数的运算法那么求得计算结果．【解答】解：| ﹣1|+2=1+1=2．3故答案为：2．【议论】此题主要观察了实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型．解决此类题目的要点是熟练掌握零指数幂、绝对值等考点的运算．2．〔2021·辽宁省盘锦市〕计算：﹣= ．【解答】解：原式=3 ﹣2= ．故答案为：．3. 〔2021·湖北荆州·3 分〕计算：| ﹣2| ﹣+〔〕﹣1+tan45° = ．【解答】解：| ﹣2| ﹣+〔〕﹣1+tan45°=2﹣2+2+1=3．故答案为：3．4. 〔2021?莱芜?4 分〕计算：〔π﹣3.14 〕0+2cos60° = 2 ．【解析】原式利用零指数幂法那么，特别角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=1+2×=1+1=2，故答案为： 2【议论】此题观察了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的要点．5. 〔2021?陕西?3 分〕比较大小：3_________ ( 填<，>或＝) ．【答案】<【解析】【解析】依照实数大小比较的方法进行比较即可得答案.【详解】∵32=9，9<10，∴3< ，故答案为：<.6. 〔2021·湖北咸宁·3 分〕写出一个比2 大比3 小的无理数〔用含根号的式子表示〕_____．【答案】【解析】【解析】先利用4＜5＜9，再依照算术平方根的定义有2＜＜3，这样即可获取满足条件的无理数．【详解】∵4＜5＜9，∴2＜＜3，即为比 2 大比 3 小的无理数．故答案为：．【点睛】此题观察了估计无理数的大小，熟练掌握利用完好平方数和算术平方根对无理数的大小进行估计是解题的要点．47．〔2021· 江苏镇江· 2 分〕计算： = 2 ．【解答】解：原式 = = =2．故答案为： 28．〔2021· 吉林长春· 3 分〕比较大小： ＞ 3．〔填“＞〞、“ =〞或“＜〞〕【解析】先求出 3= ，再比较即可．【解答】解：∵3 2 =9＜10，∴ ＞3，故答案为：＞．【议论】 此题观察了实数的大小比较和算术平方根的应用， 用了把根号外的因式移入根号内 的方法．三. 解答题1. 〔2021· 云南省曲靖· 5 分〕计算﹣〔﹣ 2〕+〔π﹣ 3.14 〕 0+ +〔﹣ 〕0+ +〔﹣ 〕﹣1 【解答】解：原式 =2+1+3﹣3=3．2. 〔2021· 云南省· 6 分〕计算： ﹣2cos45° ﹣〔 〕 ﹣1 0 ﹣〔π﹣ 1〕 【解析】 此题涉及零指数幂、 负指数幂、 锐角三角函数、 二次根式化简 4 个考点． 在计算时， 需要针对每个考点分别进行计算，尔后依照实数的运算法那么求得计算结果．【解答】解：原式 =3 ﹣2× ﹣3﹣1=2 ﹣4【议论】 此题主要观察了实数的综合运算能力， 是各地中考题中常有题型． 解决此类题目的 要点是熟练掌握负整数指数幂、 零指数幂、二次根式、绝对值、特别角的锐角三角函数值等 知识点．3. 〔2021· 浙江省台州· 8 分〕计算： | ﹣2| +〔﹣1〕× 〔﹣ 3〕【解析】 第一计算绝对值、二次根式化简、乘法，尔后再计算加减即可．【解答】 解：原式 =2﹣2+3=3．【议论】 此题主要观察了实数的综合运算能力， 是各地中考题中常有的计算题型． 解决此类 题目的要点是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．4. 〔2021· 广西贺州· 6 分〕计算：〔﹣1〕 2021+| ﹣ | ﹣〔 ﹣π〕2021+| ﹣ | ﹣〔 ﹣π〕0 ﹣2sin60 ° ．【解答】解：原式 =1+ ﹣1﹣2×=1+ ﹣1﹣=0．5 5. 〔2021· 广西梧州·6 分〕计算： ﹣2 ÷ 23+| ﹣1| × 5﹣〔π﹣ 3.14 〕 0【解析】依照算术平方根的定义、有理数的乘方法那么、绝对值的性质、有理数的乘法法那么、5零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．【解答】解：原式=3﹣32÷8+5﹣1=3﹣4+5﹣1=3．【议论】此题主要观察的是实数的运算，熟练掌握运算法那么是解题的要点．6. 2021 ·湖北十堰·5 分〕计算：| ﹣| ﹣2﹣1+【解析】原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法那么，以及二次根式性质计算即可求出值．【解答】解：原式= ﹣+2 =3 ﹣．【议论】此题观察了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的要点．﹣ 2 7．〔2021·辽宁省沈阳市〕〔6.00 分〕计算：2tan45°﹣| ﹣3|+ 〔〕﹣〔4﹣π〕0 ．【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特别角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2×1﹣〔3﹣〕+4﹣1=2﹣3+ +4﹣1=2+ ．【议论】此题主要观察了实数运算，正确化简各数是解题要点．8. 〔2021?呼和浩特?10 分〕计算〔1〕计算：2﹣2+〔3 ﹣〕÷﹣3sin45 °；〔2〕解方程：+1= ．解：〔1〕原式=﹣+〔9 ﹣〕÷﹣3×=﹣+ + ﹣=3 ；〔2〕两边都乘以x﹣2，得：x﹣3+x﹣2=﹣3，解得：x=1，检验：x=1 时，x﹣2=﹣1≠0，所以分式方程的解为x=1．9. 〔2021?乐山?9 分〕计算：4cos45°+〔π﹣2021〕0 ﹣解：原式=4×+1﹣2 =1．10. 〔2021?广安?5 分〕计算：〔〕﹣2+| ﹣2| ﹣+6cos30°+〔π﹣3.14 〕﹣2+| ﹣2| ﹣+6cos30°+〔π﹣3.14 〕0 ．6【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法那么，绝对值的代数意义，以及特别角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=9+2﹣﹣2 +6×+1=12．【议论】此题观察了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的要点．11. 〔2021?陕西?6 分〕计算：( －) ×( －) ＋| －1| ＋(5 －2π)【答案】【解析】【解析】按序次先分别进行二次依照的乘法运算、绝对值的化简、0 次幂的计算，尔后再按运算序次进行计算即可.【详解】(－) ×( －) ＋| －1| ＋(5 －2π)＝3 ＋－1＋1＝4 .【点睛】此题观察了二次根式的混杂运算，熟练掌握二次根式的混杂运算的法那么是解题的要点.12. 〔2021·湖北咸宁·8 分〕〔1〕计算：+| ﹣2| ；【答案】〔1〕．【解析】〔1〕按序次先化简二次根式、计算立方根、去绝对值符号，尔后再按运算序次进行计算即可得；【详解】〔1〕+| ﹣2|=2 ﹣2+2﹣= ；【点睛】此题观察了实数的混杂运算，熟练掌握各运算的运算序次以及运算法那么是解题的关键.13. 〔2021·辽宁大连·9 分〕计算：〔+2 〕 2 ﹣2﹣+2解：原式=3+4 +4﹣4 + = ．7。
七年级数学上册-6.1平方根 解析版
6.1平方根【考点梳理】考点一：算术平方根的非负性解题考点二：算术平方根的取值范围考点三：算术平方根的整数部分和小数部分考点四：算术平方根有关的规律探索题考点五：平方根有关的问题考点六：平方根的综合问题知识点一、平方根算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数。
0的算术平方根是0。
平方根:如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a（x 可能为正数，也可能为负数），那么x 就叫做a 的平方根(二次方根).开平方：求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算。
知识点二：平方根的表示方法:如果x 2=a (a≥0),那么x =a ±，a ±读作“正负根号a”。
a +表示a 的正的平方根。
a -表示a 的负的平方根。
规定：正数a 的正的平方根a 叫做a 的算数平方根；0的算数平方根是0.技巧归纳：1、正数有两个平方根，它们互为相反数；2、0的平方根是0；3、负数没有平方根。
题型一：算术平方根的非负性解题1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若230a b +++=，则()2023b a -的值是（）A ．1-B ．1C ．20235D ．2024【答案】A【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．根据算术平方根和绝对值的非负性可求出2a =-，3b =-，再代入()2023b a -中求值即可．【详解】解：∵230a b +++=，∴20a +=，30b +=，解得：2a =-，3b =-，∴()()202320231321----⎡⎤⎣⎦==-．故选A ．2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若a ，b 为实数，且满足220a b -+=，则b a -的值为（）A ．2B ．0C ．2-D ．以上都不对【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的应用，先根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可．掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．【详解】解：∵220a b -+=，∴2200a b -==，，解得20a b ==，，∴022b a -=-=-．故选：C ．3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）()221280x z y ++-+-=，则x y z ++的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出x ，y ，z 的值，进而得出答案．【详解】解：∵()221280x z y ++-+-=，∴2=0,1=0280x z y +--=，，解得：21,4x z y =-==，，∴2143x y z ++=-++=．故选：D ．题型二：算术平方根的取值范围4．（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算682-在（）A ．5与6之间B ．6与7之间C ．7与8之间D ．8与9之间【答案】B【分析】估算68的值，即可求解．【详解】解：∵646881<<∴86468819=<<=∴66827<-<；故选：B【点睛】本题考查无理数的估算．确定“646881<<”是解题关键．5．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）面积为20的正方形的边长为a ，则a 的值在（）A ．3和3.5之间B ．3.5和4之间C ．4和4.5之间D ．4.5和5之间【答案】C【分析】根据正方形的面积公式求得a 的值，然后进行估算即可求得答案．【详解】解：由题意可得20a =，162025<< ，4205∴<<，24.520.2520=> ，420 4.5∴<<，即a 的值在4和4.5之间，故选：C ．【点睛】本题考查无理数的估算，先估算出20在哪两个连续整数之间是解题的关键．6．（2023·重庆九龙坡·三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】通过算数平方根的算法，计算出正方形边长，再根据估算得出结果．【详解】解： 正方形的面积是20，∴正方形的边长为20，<<，162020.25故420 4.5<<，则20更接近4．故选A．【点睛】本题考查了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中准确算出算数平方根是关键．题型三：算术平方根的整数部分和小数部分7．（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的a-的整数部分为．边长为a，则2【答案】1【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．=+=，【详解】解：拼剪后的正方形的面积51015∴15a=，∵91516<<，即3154<<∴11522<-<，∴2152a-=-的整数部分是1，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）11的整数部分是．小数部分是．【答案】3113-【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵91116<<，∴3114<<，∴11的整数部分为3，∴11的小数部分为113-；故答案为3，113-．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．9．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键．由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可．【详解】解：∵正方形墙的面积为216cm ，∴正方形墙的边长为24cm ，∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点，∴石雕的面积为()21162248cm 2-⨯⨯⨯=；∴石雕的边长为8cm ，∵489<<，∴283＜＜，∴石雕边长的整数部分为2．故答案为：B ．题型四：算术平方根有关的规律探索题10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知：23.6 4.858=， 2.36 1.536=，则0.00236=（）A ．0.1536B ．15.36C ．0.04858D ．48.58【答案】C【分析】本题考查积的算术平方根的性质，理解“被开方数向一个方向移动2位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位”是解题的关键．【详解】解：0.0023623.60.0001 4.8580.010.04858=⨯=⨯=，故选C ．11．（22-23七年级下·福建厦门·期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（）x1515.115.215.315.415.515.615.72x 225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49①228.0115.1=；②235的算术平方根比15.3小；③2310401520=；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出215.8比215.7增大3.25A ．一个B ．两个C ．三个D ．四个【答案】C【分析】根据表格中的信息可知2x 和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．【详解】解：①228.0115.1=，故本选项正确，不符合题意；②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意；③23104001520=，故本选项错误，符合题意；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出215.8比215.7增大3.15，故本选项错误，符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．12．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）请同学们观察下表：n0.04440040000⋯n0.2220200⋯已知2 1.435.061≈，2 5.5390.61≈，则20610≈（）A ．14.35B ．143.5C ．55.39D ．553.9【答案】B【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此求解可得．【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，∵2 1.435.061≈，∴20610143.5≈．故选：B ．【点睛】本题考查计算器—数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律．掌握数的开方和数字的变化规律是解题的关键．题型五：平方根有关的问题13．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法：①0.40.2=；②74193=±，③0.01是0.1的平方根；④2(5)-的算术平方根是5；⑤23-的平方根是3±．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题考查平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【详解】解：①.0.40.2≠，则①不正确；②71641993==，因此②不正确；③0.01是0.1的一个平方根，因此③不正确；④()255-=，则2(5)-的算术平方根是5，因此④正确；⑤239-=-，负数没有平方根，因此⑤不正确；综上所述，正确的结论有④，故选：A ．14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（）A ．93=±B ．93±=±C ．2(3)3-=-D ．93-=-【答案】B【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根．根据平方根、算术平方根的性质进行求解即可．【详解】解：A 、933=≠±，本选项不符合题意；B 、93±=±，本选项符合题意；C 、2(3)33-=≠-，本选项不符合题意；D 、9-没有意义，本选项不符合题意；故选：B ．15．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知一个正数的两个平方根为32a +和2a +，则a 的值为（）A ．0B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可解答．【详解】解：∵一个正数的两个平方根为32a +和2a +，∴0322a a +++=，解得：1a =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．题型六：平方根的综合问题16．（2024七年级下·全国·专题练习）一个正数x 的两个不同的平方根分别是23a -和5a -．(1)求a 和x 的值．(2)求12x a +的平方根．【答案】(1)249，a x =-=(2)5±【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中249，a x =-=，代入12x a +，利用平方根定义求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵一个正数x 的两个不同的平方根分别是23a -和5a -，∴()()2350a a -+-=，解得2a =-，∴()22349x a =-=；（2）解：将492，x a ==-代入12x a +中，得124912225x a +=-⨯=，∵25的平方根为5±，∴12x a +的平方根为5±．17．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）已知222,A m m B m m =+=-+．(1)求23A B +；(2)若m 的算术平方根是它的本身，求23A B +的值．【答案】(1)27m m -+(2)0或6【分析】本题考查整式加减运算、代数式求值、算术平方根，熟练掌握整式加减运算法则是解答的关键．（1）根据整式的加减运算法则求解即可；（2）求得m 值，再代入（1）中求解即可．【详解】（1）解：23A B +()()22223m m m m =++-+222433m m m m =+-+27m m =-+；（2）解：由题意得：0m =或1，当0m =时，23A B +0=；当1m =时，23A B +176=-+=．18．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：(0)a a >…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…表格中x =，y =．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位．（3）规律运用：①已知5 2.24≈，则500≈；②已知7.07m ≈，500070.7≈，则m =．【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：（1）直接计算即可；（2）观察（1）中表格数据，找出规律；（3）利用（2）中找出的规律求解．【详解】解：（1）0.010.1x ==，10010y ==，故答案为：0.1，10；（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．故答案为：右，1；（3）①已知5 2.24≈，则50022.4≈，②已知7.07m ≈，500070.7≈，则50m =，故答案为：22.4，50．一、单选题19．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若m 与2m -是同一个正数的两个平方根，则m 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可；【详解】∵m 与2m -是同一个正数的两个平方根，∴m 与2m -互为相反数，∴20m m +-=，∴1m =，故选：C ．20．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知54.037.35≈，则0.005403的值约为（）A ．0.735B ．0.0735C ．0.00735D ．0.000735【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，根据40.00540354.0310-=⨯即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解： 54.037.35≈，420.00540354.0310107.350.0735--∴=⨯≈⨯=，故选：B ．21．（23-24七年级上·浙江金华·期末）“a 的算数平方根”表示为（）A ．a±B ．a -C ．aD ．2a 【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可．【详解】解：“a 的算数平方根”表示为a ．故选C ．22．（23-24七年级下·全国·假期作业）给出下列各数：49，223⎛⎫- ⎪⎝⎭，0，4-，3--，(3)--，4(5)--．其中有平方根的数共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】略23．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知9404a b -+-=，则a b 的平方根是（）A ．32B ．32±C ．34±D ．34【答案】C【解析】略24．（23-24七年级上·浙江温州·期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成11个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为4，9和16，则这个大正方形的边长为（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为9的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为9的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键．【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为4，9和16，∴可得三个正方形的边长分别为2，3，4，∴最中间的小正方形的边长为321-=，∴面积为9的正方形左下角小正方形的边长为3241+-=，∴面积为9的正方形的左边两个小正方形的边长之和为314+=，∴大正方形中左下角的正方形的边长为413-=，∴大正方形中右下角的正方形的边长为246+=，∴大正方形的边长为34613++=，故选：C ．25．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如果正数m 的平方根为1x +和3x -,则x 的值是．【答案】1【分析】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出x 的值，然后根据平方根的定义即可求出结论．【详解】解： 正数m 的平方根为1x +和3x -，则130++-=x x ，1x =．26．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，()2210a b -++=，则a b 等于．【答案】1【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到2010a b -=+=，，据此求出a 、b 的值即可得到答案．【详解】解：∵()2210a b -++=，()22010a b -³+³，，∴()2210a b -==+，∴2010a b -=+=，，∴21a b ==-，，∴()211a b =-=，故答案为：1．27．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知：()2240x y y -+-=，求322344x y x y xy -+的值．【答案】4608【分析】本题考查了算术平方根的非负性及乘方、代数式求值，根据题意得20x y -=，40y -=，进而可得4y =，8x =，再将其代入即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：依题意得：20x y -=，40y -=，即：4y =，2248x y ==⨯=，322332234448448484x y x y xy ∴-+=⨯⨯-⨯⨯+⨯1651246416864⨯-⨯⨯+⨯=819225616512-⨯+=81924096512=-+4096512=+4608=．28．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知一个正数M 的两个平方根是3m +和215m -．(1)求代数式5m +的值；(2)求M 的值．【答案】(1)3(2)49【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义，利用一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，是解答本题的关键．（1）根据题意得到32150m m ++-=，进而得到4m =，由此得到答案．（2）根据题意，得到正数M 的一个平方根3437m +=+=，由此得到2749M ==．【详解】（1）解：根据题意得：32150m m ++-=，解得：4m =，∴453+=，∴代数式5m +的值为3．（2）由（1）得：4m =，∴3437m +=+=，∴2749M ==．一、单选题29．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若m x y =，则记(),x y m =，例如239=，于是()3,92=．若()2,2a -=，(),83b =，(),c a b =，则c 的值为（）A ．16B ．2-C ．2或2-D ．16或16-【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a ，b 的值，随之问题得解．【详解】解：∵()2,2a -=，(),83b =，(),c a b =，∴()22a -=，38b =，b c a =，∴4a =，2b =，∴24c =，∴2c =±，故选：C ．30．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知6a =，24b =，且a b <，则12a b -的值为（）A ．5-或1-B ．5-或5C ．1-或1D ．1或5【答案】A 【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据a b <确定a ，b 的值，再代入求解即可．【详解】解： 6a =，24b =，∴6a =±，42b =±=±，a b <，∴6a =-，2b =或2-，当6a =-，2b =时，()116232522a b -=⨯--=--=-，当6a =-，2b =-时，()()116232122a b -=⨯---=-+=-，∴12a b -的值为5-或1-，故选A ．31．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一个数运算工作流程图，根据该流程图输入值x 为16时，输出的y 值是（）A ．4B ．2C ．2D ．4-【答案】C 【分析】此题主要考查了程序流程图与有理数计算，算术平方根，根据运算规则即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：输入值x 为16时，164=，42=，即2y =，故选：C ．32．（23-24八年级上·广东深圳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若18ab =，大正方形的面积为100．则小正方形的边长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【分析】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键.根据小正方形的面积=大正方形的面积一4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可.【详解】解：因为小正方形的面积1100410036642ab =-⨯=-=，所以小正方形的边长为：648=.故选：B .二、填空题33．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若 5.217 2.284=，52.177.223=，则521.7=．【答案】22.84【分析】此题主要考查了算术平方根，依据被开方数小数点向左或向右移动2n 位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动 n 位求解即可，正确把握相关规律是解题关键．【详解】解：∵ 5.217 2.284=，∴521.7 5.21710010 5.21710 2.28422.84=⨯==⨯=，故答案为：22.84．34．（23-24七年级上·浙江金华·期末）若a 是最大的负整数，b 的算术平方根是3，m 与n 互为倒数，则2024a b mn -+-的值为【答案】2022-【分析】本题考查了代数式求值，本题关键是运用最大的负整数，算术平方根，m 与n 互为倒数倒数概念以及整体代入的思想．【详解】解：由题意可知()21,33,1a b mn =-===．20243120242022a b mn ∴-+-=+-=-，故答案为：2022-．35．（2024八年级·全国·竞赛）若a ，b 为实数，且210ab a -+-=，那么()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 的值是．【答案】49204或9899【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．先由非负性求得a ，b 的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解．【详解】∵20-≥ab ，10a -≥，且210ab a -+-=，∴20ab -=，10a -=，∴20-=ab ，10a -=，∴1a =，2b =或1a =-，2b =-，①当1a =，2b =时，()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 1114556101102=+++⨯⨯⨯ 1111114556101102=-+-++- 114102=-49204=；②当1a =-，2b =-时，()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 11121329998=+++⨯⨯⨯ 1111112239899=-+-++- 1199=-9899=；∴()()()()()()1113344100100a b a b a b +++++++++ 的值是49204或9899．故答案为：49204或9899．三、解答题36．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若29x =，则3x =或3x =-．(1)根据上述平方根的意义，试求方程()2149x -=的解．(2)自由下落物体的高度h （单位：米）与下落时间t （单位：秒）的关系是24.9h t =，若有一个物体从离地10米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．【答案】(1)8x =或6x =-(2)107秒【分析】本题考查平方根及应用，（1）由平方根的知识可得17x -=±，从而求出方程的解；（2）将10h =代入24.9h t =，得到24.910t =，再根据平方根的定义求出t 的值即可；熟练掌握平方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：()2149x -=，17x -=±，∴8x =或6x =-；（2）根据题意，得：10h =，∴210049t =，∴107t =或107t =-（负值不符合题意，舍去），答：这个物体到达地面所需的时间为107秒．37．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．解：（1）甲：面积=______；边长=______．（2）乙：边长=______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．【答案】（1）10；10；（2）5；2；52-【分析】本题考查了作图，无理数等知识．（1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可；（2）令正方形的边长为5即可，再根据算术平方根的估算即可求解．【详解】解：（1）面积为144413102⨯-⨯⨯⨯=，边长为：10；故答案为：10；10；（2）正方形如图所示，面积为13341252⨯-⨯⨯⨯=，边长为：5；253<<，该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为52-．故答案为：5；2；52-38．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上从左至右依次有C ，O ，A ，B 四个点，分别对应的数字为x ，0，1和3，且AB CO =．(1)求AB 的长，并求x 的值；(2)求()3x +的平方根．【答案】(1)31-(2)1±【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，求一个数的平方根，（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；（2）根据AB CO =得到031x -=-求出13x =-，然后代入()3x +求解即可．解题的关键是求出x 的值．【详解】（1）根据题意可得，31=-AB ；（2）∵AB CO=∴031x -=-，解得13x =-∴31331x +=-+=∴1的平方根为1±．39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子：11=；1342+==；13593++==；1357164+++==．根据阅读解决下列问题：(1)计算：13579++++＝；1357911+++++＝；(2)猜想规律：()1357911...21n +++++++-＝（n 为正整数）；(3)利用规律计算3915212733...603+++++++的值．【答案】(1)5，6(2)n(3)1013【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是：（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题．【详解】（1）解：由题知，13579255++++==，1357911366+++++==，故答案为：5，6．（2）由（1）知，从1开始连续n 个奇数的和等于n 的平方，又2112n n -+=，所以21357911(21)n n n ++++++⋯+-==．故答案为：n ．（3）原式3(1357201)=⨯++++⋯+3135201=⨯+++⋯+3101=⨯=．101321。
第三章 实数 考点1 平方根(解析版)
第三章实数（解析板）1、平方根知识点梳理平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根的性质平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．同步练习一．选择题（共12小题）1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．﹣3或1【考点】平方根．【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣5【考点】平方根．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．3．的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．【解答】解：＝4，±＝±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求算术平方根，再求平方根．4．的平方根是（）A．4B．±4C．2D．±2【考点】平方根；算术平方根．【分析】先化简＝4，然后求4的平方根．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：D．【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简．5．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【考点】平方根．【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．6．4的平方根是（）A．16B．2C．±2D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，则这个正数为（）A．5B．10C．25D．±25【考点】平方根．【分析】根据正数平方根互为相反数，可得一个平方根的和为0，根据解方程，可得x 的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解；一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，∴2x+1+x﹣7＝0x＝2，2x+1＝5（2x+1）2＝52＝25，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求出平方根，再求出被开方数．8．a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是（）A．4B．C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】先利用一个数两个平方根的和为0求解．【解答】解：∵a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，∴a﹣1+3﹣2a＝0，解得a＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的关系．9．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．16【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．11．（﹣0.7）2的平方根是（）A．﹣0.7B．±0.7C．0.7D．0.49【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．【解答】解：∵（﹣0.7）2＝0.49，又∵（±0.7）2＝0.49，∴0.49的平方根是±0.7．故选：B．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．9的平方根为（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．【解答】解：9的平方根有：＝±3．故选：C．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．二．填空题（共5小题）13．的平方根是±2．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵＝4∴的平方根是±2．故答案为：±2【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝2．【考点】平方根．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，解得：x＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．15．的平方根是±3．【考点】平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3．【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．16．如果的平方根等于±2，那么a＝16．【考点】平方根．【分析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴＝4，∴a＝（）2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．要注意在平方和开方之间的转化．17．4的平方根是±2．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．三．解答题（共10小题）18．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【考点】平方根；立方根．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．【解答】解：由题意，有，解得．∴±＝＝±3．故a+b的平方根为±3．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a 的立方根．19．若一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，求a的值．【考点】平方根．【分析】利用正数的两平方根和为0，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，∴2m﹣3+5﹣m＝0，解得：m＝﹣2，则2m﹣3＝﹣7，解得a＝49．【点评】此题主要考查了平方根的定义，得出m的值是解题关键．20．一个正数x的两个不同的平方根是3a﹣4和1﹣6a，求a及x的值．【考点】平方根．【分析】由于应该正数的两个平方根互为相反数，据此可列出关于a的方程，求出a的值，进而可求出x的值．【解答】解：由题意，得：3a﹣4+1﹣6a＝0，解得a＝﹣1；所以正数x的平方根是：7和﹣7，故正数x的值是49．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．21．求x的值（1）16x2﹣49＝0（2）24（x﹣1）2﹣6＝0【考点】平方根．【分析】（1）先移项，再两边都除以16，继而两边开平方即可得；（2）先移项，再两边都除以24，继而两边开平方，最后解方程即可得．【解答】解：（1）∵16x2﹣49＝0，∴16x2＝49，∴x2＝，则x＝±；（2）∵24（x﹣1）2﹣6＝0，∴24（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，解得：x＝或x＝．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．22．已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b﹣5立方根﹣3，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得a、b的值；接着估出的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，2a﹣b﹣5＝﹣27；故a＝16，b＝54；又有10＜＜11，可得c＝10；则a+b+c＝16+54+10＝80．则80的平方根为±4．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8；故a＝5，b＝2；又∵2＜＜3，∴c＝2，∴a+b+c＝5+2+2＝9，∴9的平方根为±3．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．24．求下列各式中x的值．（1）（x+1）2﹣4＝0．（2）3x2+4＝﹣20．【考点】平方根．【分析】（1）根据平方根，即可解答；（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）（x+1）2﹣4＝0，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x＝1或x＝﹣3．（2）3x2+4＝﹣20，3x2＝﹣24，x2＝﹣8，原方程无解．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．25．已知x＝1﹣a，y＝2a﹣5．（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．【考点】平方根；整式的加减．【分析】（1）先列式1﹣a＝4，可得a的值，根据y＝2a﹣5可得y的值，从而进行计算可得答案；（2）根据一个数的平方根互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：（1）∵x的值4，∴1﹣a＝4，a＝﹣3，∴y＝2a﹣5＝2×（﹣3）﹣5＝﹣11，∴x+y+16＝4﹣11+16＝9，即x+y+16的平方根是±3；（2）∵一个数的平方根是x和y，∴1﹣a+（2a﹣5）＝0，解得a＝4，当a＝4时，（1﹣a）2＝（1﹣4）2＝9，答：这个数是9．【点评】本题考查了平方根和整式的加减，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，以防漏掉．26．已知2m+3和4m+9是x的平方根，求x的值．【考点】平方根．【分析】①正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m 的值；②2m+3＝4m+9，可求得m的值．然后利用平方根的定义即可求得x的值．【解答】解：∵2m+3和4m+9是x的平方根，∴2m+3+4m+9＝0或2m+3＝4m+9，解得：m＝﹣2或﹣3，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1；当m＝﹣3时，2m+3＝﹣3．∴x＝（±1）2＝1或x＝（﹣3）2＝9．故x的值为1或9．【点评】本题考查了对平方根的定义和性质，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．27．已知2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，求m的值和这个正数的平方根．【考点】平方根．【分析】正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m的值，然后利用平方根的定义即可求得这个正数的平方根．【解答】解：∵2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，∴2m+3+4m+9＝0，解得：m＝﹣2，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1．故m的值为﹣2，这个正数的平方根是±1．【点评】本题考查了平方根，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键11。
(完整版)平方根习题集
平方根练习题一、填空题1.如果x的平方等于a，那么x就是a的 .2.非负数a的平方根表示为3.因为没有什么数的平方会等于，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是或者4的平方根是5.非负的平方根叫平方根二、选择题6． 9的算术平方根是（）A．-3 B．3 C．±3 D．81 7．下列计算正确的是（）A．=±2 B=636=± D.992-=-8．下列说法中正确的是（）A．9的平方根是3 B． 2C.4 D. 29． 64的平方根是（）A．±8 B．±4 C．±2 D10． 4的平方的倒数的算术平方根是（）A．4 B．18 C．-14 D．14三计算题11．计算：（1）-= （2）（3= （4）±=12．求下列各数的平方根．（1）100；（2）0；（3）925；（4）1；（5）11549；（6）0．0913_______；9的平方根是_______．四、能力训练14．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）A．x+1 B．x2+1 C+1 D15．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-116．已知x，y（y-3）2=0，则xy的值是（）A ．4B ．-4C ．94 D ．-9417．利用平方根、立方根来解下列方程．（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；（3）274x 3-2=0； （4）12（x+3）3=4．四、课后练习1、25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5± 2．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6± 3．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数4．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±=B ．43169±=±C ．43169=D ．43169-=-5．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 6．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 7．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 8. 若规定误差小于1, 那么60的估算值为（ ）A. 3B. 7C. 8D. 7或89. ）。
2024四川省广安市中考数学试题及答案(Word解析版)
四川省广安市2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2024•广安）4的算术平方根是（）A．±2 B．C．2D．﹣2考点：算术平方根．分析：依据算术平方根的定义即可得出答案．解答：解：4的算术平方根是2，故选C．点评：本题主要考查了算术平方根，留意算术平方根与平方根的区分．2．（3分）（2024•广安）将来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（）A．0.845×104亿元B．8.45×103亿元C．8.45×104亿元D．84.5×102亿元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．解答：解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2024•广安）下列运算正确的是（）A．a2•a4=a8B．2a2+a2=3a4C．a6÷a2=a3D．（ab2）3=a3b6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的推断得出即可．解答：解：A、a2•a4=a6，故此选项错误；B、2a2+a2=3a2，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（ab2）3=a3b6，故此选项正确．故选：D．点评：本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是驾驭相关运算的法则．4．（3分）（2024•广安）有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．考点：简洁组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，留意全部的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有3个正方形，其次层最左边有一个正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的学问，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．（3分）（2024•广安）数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18考点：众数；中位数．分析：依据众数和中位数的定义求解即可．解答：解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．故选A．点评：本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候肯定要先排好依次，然后再依据奇数和偶数个来确定中位数．假如数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；假如是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，留意众数可以不止一个．6．（3分）（2024•广安）假如a3x b y与﹣a2y b x+1是同类项，则（）A．B．C．D．考点：解二元一次方程组；同类项．专题：计算题分析：依据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可．解答：解：∵a3x b y与﹣a2y b x+1是同类项，∴，②代入①得，3x=2（x+1），解得x=2，把x=2代入②得，y=2+1=3，所以，方程组的解是．故选D．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简洁，依据同类项的“两同”列出方程组是解题的关键．7．（3分）（2024•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32 C．32 D．19考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种状况，须要分类探讨．解答：解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目肯定要想到两种状况，分类进行探讨，还应验证各种状况是否能构成三角形进行解答，这点特别重要，也是解题的关键．8．（3分）（2024•广安）下列命题中正确的是（）A．函数y=的自变量x的取值范围是x＞3B．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形C．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等考点：命题与定理．分析：依据菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质分别推断得出即可．解答：解：A、函数y=的自变量x的取值范围是x≥3，故此选项错误；B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；C、一组对边平行，另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形，故此选项错误；D、依据外心的性质，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质，娴熟驾驭相关定理和性质是解题关键．9．（3分）（2024•广安）如图，已知半径OD与弦AB相互垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）A．cm B．5cm C．4cm D．cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接AO，依据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，依据勾股定理即可求得x 的值．解答：解：连接AO，∵半径OD与弦AB相互垂直，∴AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=，故半径为cm．故选A．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的学问，解答本题的关键是娴熟驾驭垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．10．（3分）（2024•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）A．①③B．只有②C．②④D．③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向下，得到a小于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b大于0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac大于0，选项②错误；由x=﹣2时对应的函数值小于0，将x=﹣2代入抛物线解析式可得出4a﹣2b+c小于0，最终由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，∴4a+2b+c＞0，④正确；则其中正确的有②④．故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向确定；b的符号由对称轴的位置及a的符号确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；抛物线与x轴的交点个数，确定了b2﹣4ac的符号，此外还要留意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来推断其式子的正确与否．二、填空题：请将最简答案干脆填写在题目后的横线上（本大题共6个小题，每小题3分．共18分）11．（3分）（2024•广安）方程x2﹣3x+2=0的根是1或2．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：因式分解．分析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再依据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．解答：解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2．点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般状况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会敏捷运用．12．（3分）（2024•广安）将点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为（2，﹣2）．考点：坐标与图形变更-平移．分析：依据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可解的答案．解答：解：∵点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，∴A′的坐标是（﹣1+3，2﹣4），即：（2，﹣2）．故答案为：（2，﹣2）．点评：此题主要考查了点的平移规律，正确驾驭规律是解题的关键．13．（3分）（2024•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4=63°30′．考点：平行线的判定与性质．分析：依据∠1=∠2可以判定a∥b，再依据平行线的性质可得∠3=∠5，再依据邻补角互补可得答案．解答：解：∵∠1=40°，∠2=40°，∴a∥b，∴∠3=∠5=116°30′，∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′，故答案为：63°30′．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是驾驭同位角相等，两直线平行．14．（3分）（2024•广安）解方程：﹣1=，则方程的解是x=﹣．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣x+2=﹣3，解得：x=﹣，经检验是分式方程的解．故答案为：x=﹣点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程肯定留意要验根．15．（3分）（2024•广安）如图，假如从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是3cm．考点：圆锥的计算．分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可；解答：解：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长==8π，依据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r==4cm，∴圆锥的高为=3cm故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要依据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．16．（3分）（2024•广安）已知直线y=x+（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2024=．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S n，再利用拆项法整理求解即可．解答：解：令x=0，则y=，令y=0，则﹣x+=0，解得x=，所以，S n=••=（﹣），所以，S1+S2+S3+…+S2024=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．故答案为：．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S n，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）17．（6分）（2024•广安）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣﹣2sin60°．考点：实数的运算；负整数指数幂；特别角的三角函数值．分析：分别进行负整数指数幂、肯定值、开立方、特别角的三角函数值等运算，然后依据实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1+2﹣2×=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、肯定值、开立方、特别角的三角函数值等学问，属于基础题．18．（6分）（2024•广安）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=4．考点：分式的化简求值．分析：先依据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=（﹣）÷=×=﹣，当x=4时，原式=﹣=﹣．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（2024•广安）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先证明四边形AECF是平行四边形，即可得到AE=CF，AF=CF，再依据由三对边相等的两个三角形全等即可证明：△ABE≌△CDF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF，AF=CF，∴BE=DE，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS）．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定的理解和驾驭，难度不大，属于基础题．20．（6分）（2024•广安）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值．（2）当k满意什么条件时，两函数的图象没有交点？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）两个函数交点的坐标满意这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数；（2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解．解答：解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m），∴m=2﹣6，解得m=﹣4，即点P（2，﹣4），则k=2×（﹣4）=﹣8．∴m=﹣4，k=﹣8；（2）由联立方程y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6，有=x﹣6，即x2﹣6x﹣k=0．∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2﹣6x﹣k=0无解．∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0，解得k＜﹣9．∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．点评：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，留意先代入一次函数解析式，求得两个函数的交点坐标．四、实践应用：（本大题共4个小题，其中第21小题6分，地22、23、24小题各8分，共30分）21．（6分）（2024•广安）6月5日是“世界环境日”，广安市某校实行了“洁美家园”的演讲竞赛，赛后整理参赛同学的成果，将学生的成果分成A、B、C、D四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图（如图1、图2）．（1）补全条形统计图．（2）学校确定从本次竞赛中获得A和B的学生中各选出一名去参与市中学生环保演讲竞赛．已知A等中男生有2名，B等中女生有3 名，请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：计算题分析：（1）依据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（2）列表得出全部等可能的状况数，找出一男一女的状况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）依据题意得：3÷15%=20（人），故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），补全统计图，如图所示；（2）列表如下：男男女女女男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）（女，女）全部等可能的结果有15种，其中恰好是一名男生和一名女生的状况有8种，则P恰好是一名男生和一名女生=．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．22．（8分）（2024•广安）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．依据市场须要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．空调彩电进价（元/台）5400 3500售价（元/台）6100 3900设商场安排购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可供选择？（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？考点：一次函数的应用．分析：（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）；（2）依据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满意题意的x的正整数值即可；（3）利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．解答：解：（1）设商场安排购进空调x台，则安排购进彩电（30﹣x）台，由题意，得y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000；（2）依题意，有，解得10≤x≤12．∵x为整数，∴x=10，11，12．即商场有三种方案可供选择：方案1：购空调10台，购彩电20台；方案2：购空调11台，购彩电19台；方案3：购空调12台，购彩电18台；（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，∴y随x的增大而增大，即当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．点评：本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要留意自变量的取值范围还必需使实际问题有意义．23．（8分）（2024•广安）如图，广安市防洪指挥部发觉渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程须要土石多少立方米？考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，依据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．解答：解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），在Rt△FGE中，i=1：2=，∴FG=2EG=16（米），∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（2+10）×8×400=19200（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程须要土石19200立方米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．24．（8分）（2024•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生打算了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小挚友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出全部不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种状况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．解答：解：依据勾股定理，斜边AB==4，①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴=，解得r=4﹣4，②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴=，解得r=2，作出图形如图所示：点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相像三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．五、理论与论证（9分）25．（9分）（2024•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）假如⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，依据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后依据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC=∠DAB，依据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相像比可计算出BF．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；（2）解：∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE==，∴AE=，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴=，即=，∴BF=．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．六、拓展探究（10分）26．（9分）（2024•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之变更．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）①依据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再推断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，依据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，依据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，依据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，依据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=﹣，y=﹣+=，∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，∴∠APF=∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF=PQ，设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0，解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF=AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而推断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）依据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．。
4.1平方根(八大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第4章 实数》4.1 平 方 根◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.◆2、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a 正的平方根可以表示为a ，正数a 的负的平方根，可以表示为-a .正数a 的平方根可以用±a 表示，读作“正、负根号a ”．◆4、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.◆1、算术平方根的定义：我们把正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记作：a ，读作:“根号a ”.规定：0的算术平方根是0. 记作: 0=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a ≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a ≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【注意】a根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a也读作：“二次根号a”.◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3） 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.；（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为a，正数a的平方根表示为a【例题1】下列说法正确的是（ ）A ．25的平方根是5B ．（﹣3）2的平方根是﹣3C ．925的算术平方根是35D ．0.16的算术平方根是±0.4【分析】依据平方根、算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A 、25的平方根是±5，故A 错误；B 、（﹣3）2的平方根是±3，故B 错误；C 、925的算术平方根是35，故C 正确；D 、0.16的算术平方根是+0.4，故D 错误．故选：C ．【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式1-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（ ）A=12B =±12C ．12D ．12【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解答】解：144的平方根是±12的数学表达式是±±12，故选：C ．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．【变式1-2】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．一个数的平方根是它本身C ．只有正数才有平方根D ．负数没有平方根【分析】根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：A 、0的平方根是0，只有一个，故错误，不符合题意；B 、一个数的平方根不一定是它本身，故错误，不符合题意；C 、0也有平方根，故错误，不符合题意；D 、负数没有平方根，正确，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查的是平方根，熟知正数和0有平方根，负数没有平方根，且正数的平方根有两个，0的平方根还是0是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（ ）A ．14的平方根是±12B 3C ．−12是14的一个平方根D ．9的平方根是±3【分析】如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根，根据平方根的意义解题即可．【解答】解：A ．14的平方根是±12，该选项正确，故本选项不符合题意；B ±C ．−12是14的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意；D ．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．【变式1-4】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13的数是（ ）A．13B．16C．19D．±19【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±13）2=19，∴平方根是±13的数是19，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．【变式1-5】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（ ）A．6B．±6C．D．36【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：（﹣6）2＝36，36的平方根是±6，故选：B．【点评】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．【变式1-6】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（ ）A．﹣2B．﹣2或﹣6C．﹣3D．±2【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，∴x+4＝2或x+4＝﹣2，∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．故选：B．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式1-7】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）A．B．a﹣1C．a2﹣1D．【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，∴这个自然数是a2，∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，故选：D．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．【例题2】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36 （3）（﹣9）2 （4【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（4=7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果．【解答】解：（1）2549的平方根是±57；（2）0.36的平方根是±0.6；（3）∵（﹣9）2＝81，∴（﹣9）2的平方根是±9；（4）=7，【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．【变式2-1】1649的平方根是（ ）A．47B．±47C．−47D．27【分析】直接根据平方根的概念解答即可．【解答】解：∵（±47）2=1649，∴1649的平方根是±47，故选：B．【点评】此题考查的是平方根，掌握其概念是解决此题关键．【变式2-2】（2023•A．4B．±4C．±2D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．=4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【变式2-3】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（ ）A．﹣2B．C．4D．﹣4【分析】一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是2，∴它的另一个平方根是﹣2，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，117，23，1.44中，有平方根的数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平方根的性质即可求得答案．【解答】解：0，117，23，1.44都有平方根，﹣2没有平方根，则有平方根的数有4个，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式2-5】（﹣8）2的平方根是（ ）A．﹣8B．8C．±8D．±64【分析】根据平方根的概念即可求出答案．【解答】解：由于（﹣8）2＝64，∴64的平方根是±8，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．【变式2-6】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）(−38)2．【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，∴49的平方根是±7；（2）∵(±45)2=1625，∴1625的平方根是±45；（3）∵279=259，(±53)2=259∴279的平方根是±53；（4）∵（±0.6）2＝0.36∴0.36的平方根是±0.6；（5）∵(−38)2=964=(38)2，∴(−38)2的平方根是±38．【点评】本题考查的是平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，一个整数的平方根有2个，它们互为相反数．【变式2-7】求下列各式的值：（1）（2）（3 （4）【分析】（1）根据算术平方根定义计算；（2）根据平方根定义计算；（3）根据算术平方根定义计算；（4）根据平方根定义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣14；（2）原式＝±52；（3）原式＝0.5；（4）原式＝±8．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．【例题3】求下列各数的算术平方根：（1）144； （2）0.49； （3）614； （4）（−32）2．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：（112；（2==0.7；（3=5 2；（4|−32|=32．【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．【变式3-1】（2022秋•A．3B．﹣3C．±3D．5【分析】根据算术平方根定义解答．【解答】解：∵32＝9，3，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．【变式3-2】（2023春• ．=9，再根据平方根的定义求出9的平方根即可．9，9±3，故答案为：±3．【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式3-3】（2023春• ．【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．=4，4的算术平方根是2，2．故答案为：2．【点评】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．【变式3-4】（2022•=5，则a的值为（ ）A．10B C．25D．±25【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵52＝25，5，则a的值为25．故选：C．【点评】本题考查算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．【变式3-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y xy等于（ ）A．12B．﹣12C．6D．﹣6【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x＝﹣22，y∴x＝﹣4，y＝3，∴xy＝﹣4×3＝﹣12，故选：B．【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提．【变式3-6】求下列各式的值：（1（2（3（4|a|．【解答】解：（1）原式12；（2）原式==57；（3）原式==100；（4）原式==0.07．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．【例题4】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+0，则a+b的值是（ ）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．【解答】解：∵（a﹣1）2=0，（a﹣1）2≥00，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•(n−3)2=0，则m n的值是 ．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．+（n﹣3）2＝00，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴m n＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．【变式4-2】（2023•濠江区模拟）若a，b为实数，且|a−1|=0，则（a+b）2023＝ ．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a，b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式4-3】已知a，b0，则a2022﹣b2023＝ ．【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再利用有理数的运算法则进行计算即可．0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2022﹣b2023＝（﹣1）2018﹣12019＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，依据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．【变式4-4】（2023春•江源区期末）已知（a﹣1）2+|b+1|=0，则a+b+c＝ ．【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|=0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．【变式4-5】（2022春•|b a+b的绝对值为（ ）A．1B1C1D+|b+0，从而可得a﹣1＝0，b+=0，然后求出a，b的值，再根据绝对值的意义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：|b0，∴a﹣1＝0，b+=0，∴a＝1，b=∴|a+b|＝|11，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(x−5)2=0，则x y的算术平方根为 ．【分析】直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，再利用负整数指数幂的性质、算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵(x−5)2=0，∴x ﹣5＝0，y +2＝0，解得：x ＝5，y ＝﹣2，故x y ＝5﹣2=125，则x y 的算术平方根为：15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质，正确得出x ，y 的值是解题关键．【变式4-7】（2022秋•靖江市校级期中）已知a ，b ，c 都是实数，且满足（2﹣a ）2|c +8|＝0，且ax 2+bx +c ＝0，求代数式3x 2+6x +200的值．【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：∵（2﹣a ）2≥00，|c +8|≥0，∴当（2﹣a ）2++|c +8|＝0，则2﹣a ＝0，a 2+b +c ＝0，c +8＝0．∴a ＝2，c ＝﹣8，b ＝4．∵ax 2+bx +c ＝0，∴2x 2+4x ﹣8＝0．∴x 2+2x ＝4．∴3x 2+6x +200＝3（x 2+2x ）+200＝12+200＝212．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根、绝对值，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．【变式4-8】已知a ，b+b 2﹣6b +9＝0．（1）求a ，b 的值；（2）若a ，b 为△ABC 的两边，第三边c =ABC 的面积．【分析】（1）利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求解即可；（2）利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：（1（b﹣3）2＝0，所以，a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3；（2）∵a2+b2＝22+32＝13，c22＝13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面积=12ab=12×2×3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．【例题5】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式5-1】（2023春•长顺县期末）若2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，则m的值是（ ）A．73B．﹣1C．73或2D．2【分析】依据平方根的性质列出关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，∴2m﹣5＝4m﹣9或2m﹣5+4m﹣9＝0．解得：m＝2或m=7 3．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（ ）A．8B．﹣8C．±4D．±8【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．【解答】解：∵﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，∴﹣3x m y和5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．【变式5-3】（2022秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+=0，求a+3b+c的算术平方根．【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵|b﹣1|+=0，且|b﹣1|≥00，∴b﹣1＝0，c+4＝0，解得：b＝1，c＝﹣4，∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，=2，∴a+3b+c的算术平方根是2．【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．【变式5-4】（2021春•饶平县校级期中）若x，y+2y﹣1＝0的平方根．【分析】根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为0，据此可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．【解答】解：2y﹣1＝0，∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，∴2y﹣1＝0，∴y=1 2，==4，±2．【点评】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【变式5-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答．（2）根据平方根的定义计算即可．【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，∴3b+3＝9，解得b＝2，∵3a+b的算术平方根为5，∴3a+b＝25，∵b＝2，∴a=23 3，（2）∵a=233，b＝2，∴4a﹣6b=56 3，∴4a﹣6b的平方根为±【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．【变式5-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．【分析】先根据平方根和算术平方根的定义得出a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解出a和b的值，代入a+4b 值求值，再求平方根即可．【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解得a＝9，b＝10，∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∴a+4b的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【变式5-7】（2023春•恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b 的平方根；（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出a的值．【解答】解：（1）依题意，得2a﹣1＝9且3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2．∴a+2b＝5+4＝9．∴a+2b的平方根为±3，±3；（2）∵2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，∴2a﹣4+3a+1＝0或2a﹣4＝3a+1，∴解得：a=35或a＝﹣5．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．【例题6】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．【解答】解：（1）169x2＝100，x2=100 169，x∴x=±10 13；（2）（x+1）2＝81，x+1=±x+1＝±9，x＝8或﹣10．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x+1）2＝32．【分析】（1）根据平方根的概念解方程；（2）根据平方根的概念解方程．【解答】解：（1）25（x−35）2＝49，（x−35）2=4925，x−35=±75，x−35=75或x−35=−75，解得：x1＝2，x2=−4 5；（2）12（x+1）2＝32，（x+1）2＝32÷1 2，（x+1）2＝32×2，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x+1＝8或x+1＝﹣8，解得：x1＝7，x2＝﹣9．【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．【变式6-2】（2022秋•滕州市校级月考）求满足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0 （2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【分析】（1）先求出x2的值，然后根据平方根的定义解答；（2）先求出（2x﹣1）2的值，然后根据平方根的定义解答．【解答】解：（1）由169x2﹣100＝0，可得：x=±10 13；（2）由（2x﹣1）2＝（﹣5）2．可得：2x﹣1＝±5，解得：x＝3或x＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式6-3】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2＝8．【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，两边都除以9得，x2=25 9，由平方根的定义得，x ＝±53；（2）（x ﹣1）2+8＝72，移项得，（x ﹣1）2＝72﹣8，合并同类项得，（x ﹣1）2＝64，由平方根的定义得，x ﹣1＝±8，即x ＝9或x ＝﹣7；（3）移项得，3（x +2）2＝27，两边都除以3得，（x +2）2＝9，由平方根的定义得，x +2＝±3，即x ＝1或x ＝﹣5；（4）两边都乘以2得，（x ﹣5）2＝16，由平方根的定义得，x ﹣5＝±4，即x ＝9或x ＝1．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．【变式6-4】已知a ，b 满足|a ﹣4|+0，解关于x 的方程（a ﹣3）x 2﹣1＝5b ．【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a ，b 的值，进而代入解方程即可．【解答】解：由题意得：a ﹣4＝0，b ﹣7＝0，∴a ＝4，b ＝7，将a ＝4，b ＝7代入（a ﹣3）x 2﹣1＝5b ，得（4﹣3）x 2﹣1＝5×7∴x 2＝36，解得：x ＝±6．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a ，b 的值是解题关键．【变式6-5】（2023春•澄海区期末）已知|2a +b ﹣4|（1）求5a ﹣4b 的平方根；（2）解关于x 的方程ax 2+5b ﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a 、b 的值，然后再求得5a ﹣4b 的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得|2a+b−4|+=0，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：x=±5 2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．【例题7】（2022春•渝中区校级月考）≈7.149≈22.608，（ ）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8×100即可．==×100≈7.149×100＝714.9，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．【变式7-1】（2023•宁津县校级开学）若≈5.036，15.906，则≈ ．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．5.036，≈503.6．故答案为503.6：【点评】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式7-2】（2022春•13 130 ．×13，=×＝13×10＝130，故答案为：130．【点评】本题考查算术平方根，掌握“被开方数扩大100倍，其算术平方根就随着扩大10倍”是解决问题的关键．【变式7-3】（2021春•44.9614.22≈（ ）A．4.496B．1.422C．449.6D．142.2【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．44.96，≈4.496．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【变式7-4】（2022秋•≈2.0736≈6.5574，下列运算正确的是（ ）A≈0.65574B65.574C≈20.736D≈2073.6【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．【解答】解： 2.0736 6.5574，A≈≈× 6.5574×110≈0.65574，选项A符合题意；B× 2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意；C≈× 6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意；D=×≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．【变式7-5】（2022春•潍坊期中）（10.1732≈1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2≈2.236≈ ，≈ ；（3≈2.4497.746【分析】（1）观察规律即可得出答案；（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；（3==1）中的规律代入计算即可得答案．【解答】解：（1≈0.1732 1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2≈2.236≈0.2236≈22.36；故答案为：0.2236，22.36；（32×7.746≈15.492，=3×0.2449≈0.7347．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917 x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是 ，= ；（2） ，275.56的平方根是 ；（3 ， ；（4a（x＞0 （用含a的式子表示）．【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．【解答】解：（1）由表中的数据可得，289的算术平方根是1716.4，故答案为：17，16.4；（2）由表中的数据可得，±=±16，275.56的平方根是±16.6，故答案为：±16，±16.6；（3）由表中的数据可得，159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，=1.61=168，故答案为：1.61，168；（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，a（x＞0=10a（用含a的式子表示）．故答案为：10a．【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键．【例题8】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．【解答】解：不能，理由如下：设长方形标准篮球场的长为5xm．宽为3xm，由题意得：5x×3x＝540，解得：x＝﹣6（舍去）或6，即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，∵18m＞16m，∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．【变式8-1】（2023春•桥西区期末）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v= Array a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.9×103米/秒B．0.8×103米/秒C．8×102米/秒D．9×102米/秒【分析】首先根据题意求出速度，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．【解答】解：∵a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，∴v=900=9×102米/秒．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根和科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【变式8-2】（2023春•巩义市期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，则通过的电流I为（ ）A．2.4A B C．4.8A D．【分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解．【解答】解：由题意可得R＝5Ω，t＝1s，Q＝30J，∴30＝I2×5×1，∴I2＝6，∵I＞0，∴I=∴通过的电流I．故选：B．【点评】本题考查了算术平方根，解题关键在于能够分析题目列出方程式．【变式8-3】（2022秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：v＝v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？【分析】此题只需把d＝25米＝0.025千米，f＝1.44，代入v＝v的值后，再进一步和80千米比较，作出判断即可．【解答】解：v＝16×=×1.2＝80，答：肇事汽车当时的速度是/时，此车没有超速行驶．【点评】此题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．【变式8-4】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t=120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒【分析】将h＝120代入计算得到t的值，再利用无理数的估算即可得出结论．【解答】解：∵h＝120米，∴t=5最接近，∴球落地所用时间t与5秒最接近，故选：C．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，正确利用无理数的估算解答是解题的关键．【变式8-5】（2022秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）A．+2B C．D+2【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x﹣2，根据其面积为19得出（x﹣2）2＝19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由BC＝2x可得答案．【解答】解：设木块的长为x，根据题意，知：（x﹣2）2＝19，则x﹣2＝∴x＝2+x＝22（舍去），则BC＝2x＝4，故选：C．。
完整版)平方根与立方根典型题大全
完整版)平方根与立方根典型题大全平方根与立方根典型题大全一、填空题1.如果$x=9$，那么$x=$ 3；如果$x^2=9$，那么$x=$ 3 或$-3$。
2.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是1.3.算术平方根等于它本身的数有 1，立方根等于本身的数有 1.4.若$x=3\sqrt{x}$，则$x=0$ 或 $x=9$；若$x^2=-x$，则$x=0$ 或 $x=-1$。
5.当$m3$时，$3m-3$有意义。
6.若一个正数的平方根是$2a-1$和$-a+2$，则$a=2$，这个正数是 3.7.$a+1+2$的最小值是 2，此时$a$的取值是 $-1$。
二、选择题8.若$x^2=a$，则 $|x|\geq 0$，即$x$可以是正数或零，选项B。
8.$(-3)^2=9$，选项D。
9.$y=4+5-x+x-5=-1$，$x-y=x+1$，选项A。
10.当$3x-5>0$时，$x>\frac{5}{3}$，最小整数为2，选项C。
11.一个等腰三角形的周长是 $2\times 5+3\sqrt{2}$，选项D。
12.若$x-5$能开偶次方，则$x\geq 5$，选项C。
13.$2n+1-1=2n$，选项D。
14.正数$a$的算术平方根比它本身大，即$\sqrt{a}>a$，移项得$\sqrt{a}-a>0$，两边平方得$a>1$，选项D。
三、解方程12.$(2x-1)=-8$，解得$x=-\frac{7}{2}$。
13.$4(x+1)^2=8$，解得$x=\pm\sqrt{2}-1$。
14.$(2x-3)^2=25$，解得$x=2$ 或 $x=-\frac{1}{2}$。
四、解答题15.已知：实数$a$、$b$满足条件$a-1+(ab-2)^2=$试求$$\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{ab(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{ 1}{ab(a+2004)(b+2004)}$$解：将$a-1$移到等式右边，得$$(ab-2)^2=-a+1+(ab-2)^2$$两边同时除以$(ab-2)^2$，得$$1=\frac{-a+1}{(ab-2)^2}+1$$移项得$$\frac{1}{ab-2}=\frac{-a+1}{(ab-2)^2}$$两边同时乘以$\frac{1}{ab}$，得$$\frac{1}{ab(ab-2)}=\frac{-1}{ab-2}+\frac{1}{ab}$$移项得$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{ab-2}+\frac{1}{ab(ab-2)}$$将右边的式子通分，得$$\frac{1}{ab}=\frac{ab-2+1}{ab(ab-2)}+\frac{1}{ab(ab-2)}$$化简得$$\frac{1}{ab}=\frac{ab-1}{ab(ab-2)}$$两边同时乘以$\frac{1}{a+1}$，得$$\frac{1}{ab(a+1)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(ab-2)}$$将右边的式子通分，得$$\frac{1}{ab(a+1)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+2)(ab-2)}$$化简得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b(ab-1)}{ab(a+2)(ab-2)(a+1)}$$同理，将左边的式子乘以$\frac{1}{a+2}$，得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b}{a+2}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+1)(ab-2)}$$将两个式子相加，得$$\frac{2}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(ab-2)(a+2)}+\frac{b}{a+2}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+1)(ab-2)}$$通分并化简得$$\frac{2}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{ab(a+1)(a+2)(ab-2)}$$移项得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{2ab(a+1)(a+2)(ab-2)}$$所以$$\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{ab(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{ 1}{ab(a+2004)(b+2004)}=\frac{1}{ab}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{ 1}{a+2}+\cdots+\frac{1}{a+2004}\right)\left(\frac{1}{b+1}+\frac {1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+2004}\right)$$$$=\frac{1}{ab(a+1) (a+2)}\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+200 4}\right)$$$$=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{2ab(a+1)(a+2)(ab-2)}\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+2004}\r ight)$$。
专题6.1 平方根(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练
专题6.1平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根➽➼概念的理解➻➸平方根✬✬算术平方根1．下列说法：①0.25-的平方根是±0.5；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③算术平方根等于它本身的数是0，1；④平方根等于本身的数是0，其中正确的是（）A ．④B ．①②C ．②③④D ．③④【答案】D【分析】平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根；算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根；依此即可求解．解：①负数没有平方根，故错误；②正数和0才有平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，故错误；③1的算术平方根是1，0的算术平方根是0，故正确；④0的平方根是0，故正确；故选：D ．【点拨】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A ．4-的平方根为2±B ．4-的算术平方根为2-C ．0的平方根与算术平方根都是0D ．()24-的平方根为4-【答案】C【分析】根据平方根和算术平方根的概念即可得到答案．解：A 、负数没有平方根，不符合题意，选项错误；B 、负数没有算术平方根，不符合题意，选项错误；C 、0的平方根与算术平方根都是0，符合题意，选项正确；D 、()2146-=，16的平方根4=±，不符合题意，选项错误，故选C ．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根，解题关键是熟练掌握其定义，注意负数没有平方根和算术平方根，0的平方根与算术平方根都是0．【变式2】下列说法：（1）任何一个数都有两个平方根，它们互为相反数；（2）数a的平方根是3）4-的算术平方根是2；（4）负数不能开平方；（5）8=，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个类型二、平方根➽➼求一个数的平方根与算术平方根2．若x是256的算术平方根，则x的平方根是______．举一反三：【变式1】0.16的算术平方根是____________．【变式2】已知2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+2的平方根．类型三、平方根➽➼平方根✬✬算术平方根的非负性+b＋8，求a＋b的平方根．【答案】±3【分析】根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a，进而求出b，根据平方根的概念计算即可．解：由题意得：a﹣17≥0，17﹣a≥0，解得：a＝17，则b＝﹣8，∴a+b＝9，∵9的平方根是±3，∴a+b的平方根是±3．【点拨】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键．举一反三：【变式12|1|(1)0b c +++=，求a b c +-的平方根．【变式2|4|0b -=，求b 的平方根．类型四、平方根➽➼算术平方根估算✬✬算术平方根的整数部分与小数部分4．如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求a b+的值．举一反三：【变式1】＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c求a+b+2c 的平方根．【答案】±5平方根．类型五、平方根➽➼求代数式平方根5．已知11a b =⎧⎨=⎩是方程组()2121a mb na b ⎧+-=⎨+=⎩的解，求()2018m n +的平方根．【答案】±1【分析】将a 与b 代入值代入方程组计算求出m 与n 的值即可．解：将11a b =⎧⎨=⎩代入方程组()2121a mb na b ⎧+-=⎨+=⎩可得：()21211m n ⎧+-=⎨+=⎩解得：m 10n =⎧⎨=⎩,所以（m+n ）2018=1，所以（m+n ）2018的平方根是±1．【点拨】此题考查了解二元一次方程组和平方根的定义，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．举一反三：【变式1】已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4．(1)求a 、b 的值；(2)求5+ab 的平方根．【答案】(1)a ＝5，b ＝4；(2)5±．【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；（2）根据平方根定义，求解即可．(1)解：∵21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4．∴219a -=，3116a b +-=，解得a ＝5，b ＝4．(2)解：当a ＝5，b ＝4时，ab +5＝25，而25的平方根为255±=±，即ab +5的平方根是5±．【点拨】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．【变式2】已知x ﹣2和y ﹣2互为相反数，求x +y 的平方根．【答案】±2【分析】根据相反数的定义可求x +y ，再根据平方根的定义可得答案．解：∵x ﹣2和y ﹣2互为相反数，∴x ﹣2+y ﹣2＝0，∴x +y ＝4，4的平方根是±2．故x +y 的平方根是±2．【点拨】本题考查了相反数的性质和平方根的定义，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键．类型六、平方根➽➼利用平方根解方程6．求下列各式中的x ．(1)29250x -=；(2)24(2)90x --=．举一反三：【变式1】解方程：(1)225490x -=；(2)()221491x +-=．【变式2】求下列各式中的x 的值．(1)24250x -=；(2)22(38x =类型七、平方根➽➼算术平方根➻➸规律题，有些数则不能直接求得，请同学们观察下表：(1)表格中x＝；y＝；数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：(2)从表格中探究n≈；1.830.183，则x＝．举一反三：【变式1】你能找出规律吗？，=，=，(1)(2)(3)若a=b=a，b【点拨】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．【变式2】（1）先完成下列表格：（2）由上表你发现什么规律？（3）根据你发现的规律填空：=0.056（2）规律是：被开方数的小数点向左或向右每移动两位开方后所得的结果相应的也向左或向右移动1位；（3；；=0.056．故答案为①17.32；0.1732；②560．【点拨】此题主要考查了算术平方根，正确发现数据开平方后的变化规律是解题关键．类型八、平方根➽➼应用➽➼算术平方根✬✬平方根8．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．(1)图中拼成的正方形的面积是___________；边长是___________；(2)你能把十个小正方形组成的图形纸（图3），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图的形式把它重新拼成一个正方形．并求出这个正方形的边长是___________．∵拼成的正方形面积等于原∴拼成的正方形面积为：10由正方形的面积公式2(s a a =10s =举一反三：【变式1】的小正方形拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长：(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比cm？为4：3，且面积为48225cm的正方【变式2】如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为2180cm，求原正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是3形铁皮的边长．【答案】16cm【分析】设原来正方形的边长为xcm ，然后根据长方体容积公式列方程计算．解： 从四个顶点处分别剪掉一个面积为252cm 的正方形，∴剪掉的正方形边长为5cm ，设原来正方形的边长为x cm ，由题意可得：25(10)180x -=，2(10)36x ∴-=，106x -=±，解得：16x =或4x =（不合题意，舍去），∴原来正方形的边长为16cm ．【点拨】本题考查平方根的实际应用，理解平方根的概念并掌握求一个长方体容积的方法准确列方程求解是解题关键．中考真题专练1、（2021·四川凉山·()A ．3±B ．3C ．9±D ．92（2013·山东淄博·中考真题）实数9的算术平方根为（）A ．3BC ．D ．3±3（2020·甘肃金昌·中考真题）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A ．B ．3C ．D ．44（2020·湖北荆州·中考真题）若单项式32m x y 与3m n xy +的值是_______________．【点拨】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．5（2017·上海·的解是_______．。
中考数学真题解析平方根立方根(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编平方根、立方根一、选择题1.（2011江苏南京，1，2）点评：0．考点：算术平方根；有理数的乘方。
分析：首先求得（﹣2）2的值，然后由4的算术平方根为2，即可求得答案．解答：解：∵（﹣2）2=4，4的算术平方根为2，∴（﹣2）2的算术平方根是2．故选A．点评：此题考查了平方与算术平方根的定义．题目比较简单，解题要细心．4.（2011成都，1，3分）4的平方根是（）A．±16 B．16 C．±2 D．2考点：平方根。
专题：计算题。
分析：由于某数的两个平方根应该互为相反数，所以可用直接开平方法进行解答．解答：解：∵4＝（±2）2，∴4的平方根是±2．点评：0；5.（2011A.5正数xx叫做a在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．7.（2011?黔南，1，4分）9的平方根是（）A、3B、±3C、3D、±3考点：算术平方根；平方根。
分析：首先根据平方根概念求出9=3，然后求3的平方根即可．解答：解：∵9=3，∴9的平方根是±3．故选D．点评：本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．8.（22011?黔南，8，4分）有一个数值转换器，原理如下：2，2解答：解：∵32=9，∴9算术平方根为3．故选：A．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．10.（2011杭州，1，3分）下列各式中，正确的是（）解答：解：∵23=8，∴8的立方根是2．故选A．点评：本题考查的是立方根的定义，即如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．13.（2011?包头，2，3分）3的平方根是（）A、±3B、9C、3D、±9考点：平方根。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1. 2的算术平方根是．【答案】【解析】∵2的平方根是±，∴2的算术平方根是．故答案为：．【考点】算术平方根2.请写出一个比小的整数【答案】答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等【解析】首先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可判断出所求的整数的范围．试题解析：∵2＜＜3，∴所有小于或等于2的整数都可以，包括任意负整数答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等【考点】估算无理数的大小．3.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）A．14B．16C．8+5D．14+【答案】C．【解析】当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，则输出结果为8+5．故选C．【考点】实数的运算．4.在，0，3，这四个数中，最大的数是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小. 因此，∵，∴四个数中，最大的数是3.故选C.【考点】实数的大小比较.5.使二次根式有意义的x的取值范围是．【答案】x≥﹣3【解析】由二次根式的定义可知被开方数为非负数，则有x+3≥0所以x≥﹣3．【考点】二次根式有意义的条件6.计算：．【答案】-6【解析】先计算乘方和开方运算，再根据特殊角的三角函数值和平方差公式得到原式=，然后进行乘除运算后合并即可．原式==-6．【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．7.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方根与y的算术平方根之积为．【答案】±【解析】由于x﹣y的相对面是1，x+y的相对面是3，所以x﹣y=1，x+y=3，由此即可解得x和y的值，然后即可求出x的平方根与y的算术平方根之积．解：依题意得x﹣y的相对面是1，x+y的相对面是3，∴x﹣y=1，x+y=3，∴x=2，y=1，∴x的平方根与y的算术平方根之积为±．故答案为：±．8.若a、b均为正整数，且a＞，b＜，则a＋b的最小值是 ()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】a、b均为正整数，且a＞，b＜，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a＋b 的最小值是4.9.使有意义的x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜－2C．x≤2D．x≥2【答案】D.【解析】依题意，得x-2≥0，解得，x≥2．故选：D．考点: 二次根式有意义的条件.10.下列二次根式是最简二次根式的是A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、是最简二次根式，故本选项正确；D、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选C．考点: 最简二次根式.11.已知为等腰三角形的两条边长，且满足，求此三角形的周长.【答案】10或11【解析】解：由题意可得即所以，.当腰长为3时，三角形的三边长为，周长为10；当腰长为4时，三角形的三边长为，周长为11.12.下列计算中,正确的是（）A．B．C．＝±2D．【答案】D．【解析】试题分析:A.,故本选项错误;B.,故本选项错误;C.,故本选项错误;D.,故本选项正确．故选D．考点:二次根式的混合运算．13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1【答案】C.【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 故选C.【考点】二次根式有意义的条件.14.计算：（1）＋－2012＋()；（2）(1－)—【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据二次根式、绝对值、零次幂及负整数指数幂的意义进行计算即可求出答案；（2）根据完全平方公式及二次根式的除法进行计算即可.试题解析：(1)(2)考点: 实数的混合运算.15.计算：【答案】.【解析】根据二次根式及非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：原式=考点: 1.二次根式的混合运算；2.非零数的零次幂.16.计算：= 。
初一数学二次根式试题答案及解析
初一数学二次根式试题答案及解析1.一个数的算术平方根是，则这个数是_____ _____．【答案】2．【解析】∵一个数的算术平方根是，∴这个数为（）2=2．故答案是2．【考点】算术平方根．2.在实数4，，，，0.010 010 001 000 01中，无理数有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】无理数就是无限不循环小数．根据无理数定义可判断.【考点】无理数3. 49的算术平方根是．【答案】7【解析】根据算术平方根的意义可求.【考点】算术平方根4.下列说法正确的是（）A．－6是36的算术平方根B．±6是36的算术平方根C．是36的算术平方根D．是的算术平方根【答案】D.【解析】根据算术平方根的定义可知：6是36的算术平方根，是6的算术平方根.因此，A、B、C选项是错误的，故选D.【考点】算术平方根.5.已知,则= ，= .【答案】2，3.【解析】根据二次根式有意义的条件得到得，解得x=2，然后把x=2代入计算即可．试题解析：根据题意得，解得x=2，所以y=-3．【考点】二次根式有意义的条件．6.下列说法正确的是（）A．是无理数B．是有理数C．是无理数D．有无理数【答案】A．【解析】根据有理数，无理数的相关概念知：、是无理数，=2，=﹣2是有理数．故选A．【考点】1.有理数2.无理数．7.一个数的平方根与这个数的立方根相等，那么这个数是﹒【答案】0．【解析】根据平方根与立方根的定义知：0的平方根等于0的立方根．故答案是0．【考点】1.平方根2.立方根．8.下列各数中，3.14159，，0.131131113……，－π，，，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】根据无理数是无限不循环小数，可知0.131131113…，-π是无理数，故选B．考点:无理数.9.的值是（）A．5B．－5C．± 5D．【答案】A．【解析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x 就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．因此，∵52=25，∴．故选A．【考点】算术平方根．10.若一个正数的平方根是和，则这个正数是．【答案】64．【解析】∵一个正数的平方根是和，∴．∴这个正数是64。
专题05平方根综合题解析版
专题05 平方根（综合题）知识点01：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．细节剖析：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点02：平方根的性质知识点03：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..一．选择题1．（2022•黄冈开学）长方形ABCD 的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该长方形的宽为（ ）A ．1B ．C ．D ．解：设矩形的宽为x ，则长为3x ，根据题意得：3x 2＝15，0||000aa a a a a >ìï===íï-<î()20aa =³250=25= 2.5=0.25=易错点拨易错题专训所以x 2＝5．解得：x ＝±（负值舍去），∴长方形的宽为，故选：D ．2．（2021秋•通州区期末）已知m ＝20212+20222，则的值为（ ）A ．2021B ．2022C ．4043D ．4044解：∵2m ﹣1＝2（20212+20222）﹣1＝2[20212+（2021+1）2]﹣1＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1＝4×20212+4×2021+1＝（2×2021+1）2＝40432∴＝4043，故选：C ．3．（2021秋•威宁县校级期末）如果一个正数a 的两个不同平方根是2x ﹣2和6﹣3x ，则这个正数a 的值为（ ）A ．4B ．6C ．12D ．36解：由题意得：2x ﹣2+6﹣3x ＝0，解得：x ＝4．当x ＝4时，2x ﹣2＝6，6﹣3x ＝﹣6，a ＝（±6）2＝36．故选：D ．4．（2021秋•赫山区期末）设a 1＝1++，a 2＝1+，a 3＝1+，…，a n ＝1+，其中n 为正整数，则+…+的值是（ ）A ．2020B ．2020C．2021D．2021解：∵n为正整数，∴＝＝＝，∴+…+＝+…+＝2021+…＝2021+1﹣＝2021．故选：D．5．（2021春•饶平县校级期末）的算术平方根是（ ）A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．解：∵＝x2+4，∴的算术平方根是．故选：D．6．（2021春•依安县期末）若，则2a+b﹣c等于（ ）A．0B．1C．2D．3解：根据题意得：，解得：，则2a+b﹣c＝﹣4+1+3＝0．故选：A．7．（2018秋•惠山区校级月考）将一组数，2，，2，，…，2，…按下列方式进行排列：第一排，2，，2，；第二排2，，4，3，2；第三排，……若2的位置记为（1，2），2的位置记为（2，1），则这个数的位置记为（ ）A．（3，5）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）解：这组数据可表示为：、、、、；、、、、；…∵23×2＝46，∴为第5行，第3个数字，这个数的位置记为（5，3）．故选：C．二．填空题8．（2021秋•乌当区期末）正数a的平方根是5和m，则m＝ ﹣5 ．解：正数a的平方根是5和m，则m＝﹣5，故答案为：﹣5．9．（2022春•广阳区校级期末）一个数值转换器，如图所示：①当输入的x为2时，输出的y值是 ．②当输出的y值为时，请写出两个满足条件的x的值为 3 和 9 ．解：（1）当x＝2时，输出y＝．故答案为：；（2）当x＝3时，y＝，当x＝9时，＝3，3是有理数，不能输出，是无理数，y＝；故答案可为：3；9．10．（2021秋•岳阳县期末）如果＝3.873，＝1.225，那么＝ 122.5 ．解：∵1.5×10000＝15000，∴，故答案为：122.5．11．（2022•东明县三模）有一个数值转换器，原理如下：当输入的数是16时，则输出的数是 ．解：∵＝4，4是有理数，∴继续转换，∵＝2，2是有理数，∴继续转换，∵2的算术平方根是，是无理数，∴符合题意，故答案为：．12．（2022春•新兴县期末）若|x2﹣25|+＝0，则x＝ ±5 ，y＝ 3 ．解：根据题意得：，解得：．故答案是：±5，3．13．（2018秋•金牛区校级月考）若a、b均为整数，当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，则a b的算术平方根为 ．解：当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，∴（﹣1）2+a（﹣1）+b＝0，6﹣2+a﹣a+b＝0，∵a、b均为整数，∴6﹣a+b＝0，﹣2+a＝0，∴a＝2，b＝﹣4，∴a b＝2﹣4＝，∴则a b的算术平方根为：＝，故答案为：．三．解答题14．（2022秋•朝阳区校级月考）求下列各式中的x：（1）（x+1）2＝5；（2）（x﹣1）2﹣3＝0．解：（1）∵（x+1）2＝5，∴x+1＝±，∴x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1；（2）∵（x﹣1）2﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．15．（2022春•云阳县校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义；对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根“是6．（1）2，8，50这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最大算术平方根”；（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．解：（1）因为＝4，＝10，＝20，所以2，8，50这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；（2）当a＜16时，则2＝，解得a＝9，当16＜a＜36时，则2＝，解得a＝0，不合题意舍去；当a＞36时，则2＝，解得a＝64，综上所述，a＝9或a＝64．16．（2021秋•金台区期末）已知|a﹣2|+＝0．（1）求a，b的值．（2）求a﹣4b的平方根．解：（1）∵|a﹣2|+＝0，∴a﹣2＝0且a+b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣4；（2）∵a＝2，b＝﹣4，∴a﹣4b＝2﹣4×（﹣4）＝18，∴18的平方根是±3．17．（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．解：不能，因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2＝36cm2，所以大正方形的边长为6cm，设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，则6b2＝30，所以b＝（取正值），所以3b＝3＝＞，所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．18．（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．19．（2021秋•通川区校级期中）先计算下列各式：，，＝ 3 ，＝ 4 ，＝ 5 ．（1）通过观察并归纳，请写出＝ n ．（2）利用（1）中结论计算：．解：＝1，＝＝2，＝3，＝4，＝5．故答案为：3，4，5．（1）＝＝n．故答案为：n．（2）＝＝．20．（2021春•汉阴县期末）阅读下列解题过程：＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…（1）＝ ，＝ ．（2）观察上面的解题过程，则＝ （n为自然数）（3）利用这一规律计算：．解：（1）＝，＝，故答案为：，．（2）观察上面的解题过程，则＝＝，故答案为：；（3）原式＝＝＝。
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人教版七年级数学上册第六章6.1平方根3年一．选择题（共13小题）1．（2015•绵阳）±2是4的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根2．（2015•黄冈）9的平方根是（）A．±3 B．±C．3 D．﹣33．（2015•六盘水）下列说法正确的是（）A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是34．（2015•日照）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±5．（2015•湖州）4的算术平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．6．（2015•滨州）数5的算术平方根为（）A．B．25 C．±25 D．±7．（2015•天津）己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm8．（2015•齐齐哈尔）下列各式正确的是（）A．﹣22=4 B．20=0 C．=±2 D．|﹣|=9．（2015•内江）9的算术平方根是（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．10．（2015•通辽）的算术平方根是（）A．﹣2 B．±2 C．D．211．（2015•通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；②m是方程m2﹣12=0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根．A．①② B．①③ C．③ D．①②④12．（2015•大庆）a2的算术平方根一定是（）A．a B．|a| C．D．﹣a13．（2014•南京）8的平方根是（）A．4 B．±4 C．2D．二．填空题（共17小题）14．（2015•恩施州）4的平方根是．15．（2015•凉山州）的平方根是．16．（2015•徐州）4的算术平方根是．17．（2015•南京）4的平方根是；4的算术平方根是．18．（2015•资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为．19．（2015•安顺）的算术平方根是．20．（2014•恩施州）16的算术平方根是．21．（2014•沈阳）计算：=．22．（2014•泰州）=．23．（2014•鄂州）的算术平方根为．24．（2014•滨州）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=．25．（2014•咸宁）观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．26．（2014•菏泽）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）27．（2014•岳阳）计算：﹣=．28．（2014•本溪）一个数的算术平方根是2，则这个数是．29．（2014•大庆）若，则x y﹣3的值为．30．（2013•盐城）16的平方根是．人教版七年级数学上册第六章6.1平方根3年参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2015•绵阳）±2是4的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根考点：平方根．分析：根据平方根的定义解答即可．解答：解：±2是4的平方根．故选：A．点评：本题考查了平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（2015•黄冈）9的平方根是（）A．±3 B．±C．3 D．﹣3考点：平方根．分析：根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±=±3，据此解答即可．解答：解：9的平方根是：±=±3．故选：A．点评：此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．3．（2015•六盘水）下列说法正确的是（）A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3考点：平方根；相反数；绝对值；倒数．专题：计算题．分析：利用绝对值的代数意义，倒数的定义，平方根及相反数的定义判断即可．解答：解：A、|﹣2|=2，错误；B、0没有倒数，错误；C、4的平方根为±2，错误；D、﹣3的相反数为3，正确，故选D点评：此题考查了平方根，相反数，绝对值以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．（2015•日照）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±考点：算术平方根．专题：计算题．分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．解答：解：∵=2，而2的算术平方根是，∵的算术平方根是，故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．5．（2015•湖州）4的算术平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．考点：算术平方根．分析：根据开方运算，可得一个数的算术平方根．解答：解：4的算术平方根是2，故选：B．点评：本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．6．（2015•滨州）数5的算术平方根为（）A．B．25 C．±25 D．±考点：算术平方根．分析：根据算术平方根的含义和求法，可得：数5的算术平方根为，据此解答即可．解答：解：数5的算术平方根为．故选：A．点评：此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．7．（2015•天津）己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm考点：算术平方根．分析：根据正方体的表面积公式：s=6a2，解答即可．解答：解：因为正方体的表面积公式：s=6a2，可得：6a2=12，解得：a=．故选B．点评：此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．8．（2015•齐齐哈尔）下列各式正确的是（）A．﹣22=4 B．20=0 C．=±2 D．|﹣|=考点：算术平方根；有理数的乘方；实数的性质；零指数幂．分析：根据有理数的乘方，任何非零数的零次幂等于1，算术平方根的定义，绝对值的性质对各选项分析判断即可得解．解答：解：A、﹣22=﹣4，故本选项错误；B、20=1，故本选项错误；C、=2，故本选项错误；D、|﹣|=，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了算术平方根的定义，有理数的乘方，实数的性质，零指数幂的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．9．（2015•内江）9的算术平方根是（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．考点：算术平方根．分析：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．依此即可求解．解答：解：9的算术平方根是3．故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．10．（2015•通辽）的算术平方根是（）A．﹣2 B．±2 C．D．2考点：算术平方根．分析：首先求出的值是2；然后根据算术平方根的求法，求出2的算术平方根，即可求出的算术平方根是多少．解答：解：∵，2的算术平方根是，∵的算术平方根是．故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．11．（2015•通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；②m是方程m2﹣12=0的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根．A．①② B．①③ C．③ D．①②④考点：算术平方根；平方根；无理数；不等式的解集．分析：①根据边长为m的正方形面积为12，可得m2=12，所以m=2，然后根据是一个无理数，可得m是无理数，据此判断即可．②根据m2=12，可得m是方程m2﹣12=0的解，据此判断即可．③首先求出不等式组的解集是4＜m＜5，然后根据m=2＜2×2=4，可得m不满足不等式组，据此判断即可．④根据m2=12，而且m＞0，可得m是12的算术平方根，据此判断即可．解答：解：∵边长为m的正方形面积为12，∵m2=12，∵m=2，∵是一个无理数，∵m是无理数，∵结论①正确；∵m2=12，∵m是方程m2﹣12=0的解，∵结论②正确；∵不等式组的解集是4＜m＜5，m=2＜2×2=4，∵m不满足不等式组，∵结论③不正确；∵m2=12，而且m＞0，∵m是12的算术平方根，∵结论④正确．综上，可得关于m的说法中，错误的是③．故选：C．点评：（1）此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．（2）此题还考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．（3）此题还考查了不等式的解集的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．12．（2015•大庆）a2的算术平方根一定是（）A． a B．|a| C．D．﹣a考点：算术平方根．分析：根据算术平方根定义，即可解答．解答：解：=|a|．故选：B．点评：本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解定义并应用定义进行计算是解此题的关键，难度不是很大．13．（2014•南京）8的平方根是（）A．4 B．±4 C．2D．考点：平方根．分析：直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．解答：解：∵，∵8的平方根是．故选：D．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．二．填空题（共17小题）14．（2015•恩施州）4的平方根是±2．考点：平方根．专题：计算题．分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a 的平方根，由此即可解决问题．解答：解：∵（±2）2=4，∵4的平方根是±2．故答案为：±2．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．15．（2015•凉山州）的平方根是±3．考点：平方根；算术平方根．分析：首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．解答：解：=9，9的平方根是±3，故答案为：±3．点评：此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．16．（2015•徐州）4的算术平方根是2．考点：算术平方根．分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．解答：解：∵22=4，∵4算术平方根为2．故答案为：2．点评：此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．17．（2015•南京）4的平方根是±2；4的算术平方根是2．考点：算术平方根；平方根．分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．解答：解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2．故答案为：±2；2．点评：此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．18．（2015•资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为12．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．分析：首先根据非负数的性质可求出a的值，和2b2﹣2b=6，进而可求出2b2﹣4b﹣a的值．解答：解：∵（a+6）2+=0，∵a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，可得2b2﹣4b=6，则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．点评：本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．19．（2015•安顺）的算术平方根是．考点：算术平方根．分析：直接根据算术平方根的定义求解即可．解答：解：∵（）2=，∵的算术平方根是，即=．故答案为．点评：本题考查了算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．20．（2014•恩施州）16的算术平方根是4．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：根据算术平方根的定义即可求出结果．解答：解：∵42=16，∵=4．故答案为：4．点评：此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．21．（2014•沈阳）计算：=3．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：根据算术平方根的定义计算即可．解答：解：∵32=9，∵=3．故答案为：3．点评：本题较简单，主要考查了学生开平方的运算能力．22．（2014•泰州）=2．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．解答：解：∵22=4，∵=2．故答案为：2点评：此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．23．（2014•鄂州）的算术平方根为．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据算术平方根的定义计算先=2，再求2的算术平方根即可．解答：解：∵=2，∵的算术平方根为．故答案为：．点评：此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道=2，实际上这个题是求2的算术平方根．注意这里的双重概念．24．（2014•滨州）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=102014．考点：算术平方根；完全平方公式．专题：压轴题；规律型．分析：先计算得到=10=101，=100=102，=1000=103，=10000=104，计算的结果都是10的整数次幂，且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，即可得出规律．解答：解：∵=10=101，=100=102，=1000=103，=10000=104，∵=102014．故答案为：102014．点评：本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．25．（2014•咸宁）观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是﹣3（结果需化简）．考点：算术平方根．专题：规律型．分析：通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（﹣1）1+1×0，（﹣1）2+1，（﹣1）3+1…（﹣1）n+1），可以得到第16个的答案．解答：解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1）n+1），∵第16个答案为：．故答案为：．点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．26．（2014•菏泽）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）考点：算术平方根．专题：规律型．分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n﹣1行的数据的个数，再加上n﹣2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．解答：解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．故答案为：．点评：本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n﹣1）行的数据的个数是解题的关键．27．（2014•岳阳）计算：﹣=﹣3．考点：算术平方根．分析：根据算术平方根的定义计算即可得解．解答：解：﹣=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．28．（2014•本溪）一个数的算术平方根是2，则这个数是4．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：利用算术平方根的定义计算即可得到结果．解答：解：4的算术平方根为2，故答案为：4点评：此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．29．（2014•大庆）若，则x y﹣3的值为．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：∵，∵，解得，∵x y﹣3=22﹣3=．故答案为：．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．30．（2013•盐城）16的平方根是±4．考点：平方根．专题：计算题．分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a 的平方根，由此即可解决。