二次函数与面积

二次函数与面积专题

仔细观察下列常见图形，说出如何求出各图中阴影部分图形的面积.

在以上问题的分析中研究思路为：

（1）分析图形的成因

（2）识别图形的形状

（3）找出图形的计算方法

注意：

（ 1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边.

（ 2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用割或补的方法把它分解成易于求出面积的图形）

2

（12 分）（2013?玉林）如图，抛物线 y= ﹣（ x﹣ 1） +c 与 x 轴交于 A ， B （A ， B

分别在 y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A （﹣ 1， 0）．

（1）求点 B 、 C 的坐标；

（2）判断△ CDB 的形状并说明理由；

（3）求四边形 ABCD 的面积。

2

解：（ 1）∵点 A （﹣ 1， 0）在抛物线y= ﹣（ x﹣ 1） +c 上，

2

∴0= ﹣（﹣ 1﹣ 1） +c，得 c=4，

2

∴抛物线解析式为：y=﹣（ x﹣1） +4，

令x=0 ，得 y=3 ，∴ C（ 0， 3）；

令y=0 ，得 x= ﹣ 1 或 x=3，∴ B（ 3，0）．

（2）△ CDB 为直角三角形．理由如下：

由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为（ 1， 4）．

如答图 1 所示，过点 D 作 DM ⊥ x 轴于点 M ，则 OM=1 ， DM=4 ， BM=OB ﹣ OM=2 ．

过点 C 作 CN ⊥ DM 于点 N，则 CN=1 ， DN=DM ﹣ MN=DM ﹣ OC=1 ．

在 Rt△ OBC 中，由勾股定理得：BC===；

在 Rt△ CND 中，由勾股定理得：CD===；

在 Rt△ BMD 中，由勾股定理得： BD===．

222

∵BC +CD =BD

，

∴△ CDB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）

(3)略

(2009 年牡丹江市 )如图二次函数 y x 2 bx c 的图象经过 A

1，0 和 B 3，0 两点，且

交 y 轴于点 C ．

（1）试确定 b 、 c 的值；

D ， M

△MCD

（2）过点 C

作 CD ∥ x

轴交抛物线于点 为此抛物线的顶点，试确定 的形

点

状．

y

A 0

B x

C

2

（ 2013 牡丹江）如图，抛物线y=x +bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣ 3，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式．

（2）若和 x 轴平行的直线与抛物线交于C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD=8 ，求△BCD

的面积．

2

注：抛物线y=ax +bx+c （ a≠0）的对称轴是x= ﹣．

2

22．解：（ 1）把点 A （﹣ 4，﹣ 3）代入 y=x +bx+c 得：

16﹣ 4b+c= ﹣3，

c﹣4b= ﹣ 19，

∵对称轴是x= ﹣ 3，

∴﹣=﹣ 3，

∴b=6 ，

∴c=5，

∴抛物线的解析式是（2）∵ CD ∥x 轴，∴点 C与点 D关于

2

y=x +6x+5 ；x= ﹣ 3 对称，

∵点 C 在对称轴左侧，且CD=8 ，

∴点 C 的横坐标为﹣ 7，

2

∴点 C 的纵坐标为（﹣7） +6×（﹣ 7） +5=12 ，∵点 B 的坐标为（ 0， 5），

∴△ BCD 中 CD 边上的高为12﹣ 5=7 ，

∴△ BCD 的面积 =×8×7=28．

23、（ 2009 仙桃）如图，已知抛物线y＝ x 2＋ bx＋c 经过矩形 ABCD的两个顶点 A、B，AB平行

于 x 轴，对角线 BD与抛物线交于点P，点 A 的坐标为 (0 ，2) ， AB＝4．(1)求抛物线的解析式；

(2)若 S△APO＝3

，求矩形 ABCD的面积．

2

（2013 哈尔滨， 24， 6 分）

某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB ( 单位：米 ) ，现以AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知 AB =8 米，设抛物线解析式为y=ax2-4．

( 1)求 a 的值；

( 2)点 C( -1,m) 是抛物线上一点，点 C 关于原点 O 的对称点为点D，连接 CD、BC、BD，求△BCD 的面积．

1【答案】解： ( 1) ∵ AB=8 ，由抛物线的对称性可知OB=4，∴ B( 4,0) ， 0=16a-4，∴ a=4．

112

( 2) 过点 C 作 CE⊥ AB 于 E，过点 D 作 DF ⊥ AB 于 F，∵ a= ，∴ y= x -4.

44

令 x=-1，∴ m= 1 ×( -1) 2 -4=- 15 ,∴ C( -1, -

15

) .∵点 C 关于原点对称点为

D ，∴ D( 1， 15) ，

4 4 4

4

∴CE =DF = 15

，S △ △ △

1 1 1 15 1 15

4 BCD =S

BOD +S BOC = OB ·DF + OB ·CE= ×4×

+ ×4×

=15．∴ △ BCD 的面

2 2

2

4 2

4

积为 15 平方米．

24．（ 2013?佛山）如图①，已知抛物线 2

y=ax +bx+c 经过点 A （ 0，3），B （3，0），C （ 4，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和

y 轴围成

的图形的面积 S （图②中阴影部分） ．

考点 ： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．

分析： （ 1）把点 A 、 B 、C 代入抛物线解析式 y=ax 2

+bx+c 利用待定系数法求解即可；

（ 2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；

（ 3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，

列式进行计算即可得解．

解答： 解：（ 1）∵抛物线 y=ax 2

+bx+c 经过点 A （0， 3）， B （ 3， 0）， C （4， 3），

∴

，

解得 ，