推理与证明练习题

第一章 推理与证明练习题

1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是： ；

2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为： ；

3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋1

2n

1)，当n ＝2时，中间式等于： ；

4．否定结论“至多有两个解”的说法是： ；

5．三角形的面积为S ＝1

2

(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的

半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为： ；

6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于： ；

7．已知f (x )＝x 3

＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定： ；

8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1

a n

，则a 2 013等于： ；

9．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，7

17

，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝

________.

10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．

图1

11．用反证法证明命题“若x 2

－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．

12．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 30

30

，则在等比数列{b n }中，

会有类似的结论：________________.

13．已知a ＋b ＋c ＝0，比较ab ＋bc ＋ca 的大值与0的大小；

14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102

，….根据上述规律，第五个等式为________________________．

15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n

1＋a n

(n ＝1,2，…)．

(1)求证：a n ＋1≠a n ；

(2)令a 1＝1

2

，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .

16．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n

能被x ＋y 整除”的第二步是( )

A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)

B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)

C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)

D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)

17．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *

)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52

，f (16)＞

3，f (32)＞7

2.推测：当n ≥2时，有____________．

18．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝

x

1＋x

，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x )的表达式为________．

19．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．

图2

(1)求出f (5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；

(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1

f n －1的值．

20．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝

x

1＋x

2

(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．

(1)求f 2(x )，f 3(x )；

(2)猜想f n (x )的表达式，并证明．

21．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．

22．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x

＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．

(1)求r 的值；

(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1

b n

>n ＋1成立．

[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x

＋r (b >0且b ≠1，b ，r

均为常数)的图像上，所以S n ＝b n

＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1

，

又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1

.

(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1

， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n

.

下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋1

2n

>n ＋1.

①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为3

2

>2，所以不等式成立．

②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立， 即32·54·76·…·2k ＋12k

>k ＋1.则当n ＝k ＋1时， 左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋3

2k ＋2

>k ＋1·2k ＋3

2k ＋2＝

k ＋2

k ＋

＝k ＋2

＋k ＋＋1k ＋

＝

k ＋

＋1＋

1

k ＋

>k ＋＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立， 即b 1＋1b 1

·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1恒成立．

【解】 (1)f (5)＝41.

(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，

…

由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，