推理与证明练习题
逻辑推理练习题进行逻辑推理与证明

逻辑推理练习题进行逻辑推理与证明逻辑推理练习题:进行逻辑推理与证明1. 现有三个箱子,分别标记为“A”,“B”和“C”。
已知以下三个命题:P1:如果箱子“A”是空的,则箱子“B”不是空的。
P2:如果箱子“B”是空的,则箱子“C”也是空的。
P3:箱子“C”不是空的。
问题:哪些箱子是空的?请用推理与证明进行回答。
解答:首先,根据命题P3,我们得知箱子“C”不是空的。
根据P2,如果箱子“B”是空的,那么箱子“C”也是空的。
但是我们已经知道箱子“C”不是空的,所以箱子“B”也不可能是空的。
根据P1,如果箱子“A”是空的,那么箱子“B”不是空的。
但是我们已经得出结论,箱子“B”不是空的。
所以我们可以推断箱子“A”也不是空的。
综上,根据推理与证明,我们可以得出结论:箱子“C”是非空的,箱子“B”是非空的,箱子“A”是非空的。
2. 在一个小酒吧里,有三个顾客,分别是“A”,“B”和“C”。
已知以下三个命题:P1:如果“A”在酒吧,那么“B”也在酒吧。
P2:如果“B”在酒吧,那么“C”也在酒吧。
P3:如果“C”不在酒吧,那么“A”也不在酒吧。
问题:哪些顾客在酒吧?请用推理与证明进行回答。
解答:首先,根据命题P3,如果“C”不在酒吧,那么“A”也不在酒吧。
但是我们无法确定“C”是否在酒吧。
根据P2,如果“B”在酒吧,那么“C”也在酒吧。
但是我们无法确定“B”是否在酒吧。
根据P1,如果“A”在酒吧,那么“B”也在酒吧。
但是我们无法确定“A”是否在酒吧。
综上所述,由于我们无法获知任何一个顾客是否在酒吧,无法通过推理与证明得出结论。
3. 已知以下三个命题:P1:如果明天下雨,那么我会带雨伞。
P2:明天我没有带雨伞。
P3:我今天没有湿身。
问题:明天会下雨吗?请用推理与证明进行回答。
解答:首先,根据P2,明天我没有带雨伞。
根据P1,如果明天下雨,那么我会带雨伞。
但是我们已经得出结论,明天我没有带雨伞,所以我们可以推断明天不会下雨。
八年级数学上册综合算式专项练习题逻辑推理与证明

八年级数学上册综合算式专项练习题逻辑推理与证明本文将为八年级数学上册综合算式专项练习题中涉及到的逻辑推理与证明问题提供详细的解答和讲解。
通过这些题目的训练,旨在帮助同学们提高逻辑思维和解题能力。
1. 题目一:已知甲、乙两个正整数的和是10,差是6,求甲、乙两个数分别是多少?解析:设甲为x,乙为y,则根据题目可得以下等式:x + y = 10x - y = 6通过联立这两个方程,可以解得甲乙两数分别为8和2。
2. 题目二:证明下列命题。
若a^2 - b^2 = (a+b)(a-b),则a+b = a - b。
证明:根据等式a^2 - b^2 = (a+b)(a-b),我们需要证明a+b = a - b。
首先,我们可以展开(a+b)(a-b)得到等式a^2 - b^2。
因此,根据题设,a^2 - b^2 = a^2 - b^2。
移项化简后,得到0 = 0。
由此可见,等式恒成立。
因此,根据数学证明方法,我们可以得出结论,即若a^2 - b^2 = (a+b)(a-b),则a+b = a - b。
3. 题目三:已知矩形ABCD中,AE的长度是5cm,角B和角C的度数之和为180°,求CD的长度。
解析:根据题目可知矩形ABCD中,AE的长度是5cm,并且角B 和角C的度数之和为180°。
根据矩形的性质,可以推断角B和角C都是90°。
由此可知,矩形ABCD为正方形,边长为5cm。
因此,CD的长度也为5cm。
通过以上题目的解答和证明,我们可以看到数学中逻辑推理与证明的重要性。
通过训练和实践,同学们可以更好地掌握这些技巧,提高数学解题的能力。
以上是八年级数学上册综合算式专项练习题逻辑推理与证明相关内容的讨论。
希望同学们通过学习,能够更好地理解和应用这些知识,取得优异的成绩。
祝愿大家在数学学习中不断进步!。
高二文科推理与证明练习题

推理与证明练习题命题人:赵红艳 审核:高二数学组 日期:2012-3-23一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1、下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A .①②③; B .②③④; C .②④⑤; D .①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ (c ≠0)” D.“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n(b )” 3、有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊆/平面α,直线a ⊂平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。
(A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度; (C) 假设三内角至多有一个大于60度;(D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、已知数列的前n 项和,且,通过计算猜 想( )A 、B 、C 、D 、6、设条件甲:x =0,条件乙:x +yi (x ,y ∈R )是纯虚数,则( )A 、甲是乙的充分非必要条件B 、甲是乙的必要非充分条件C 、甲是乙的充分必要条件D 、甲是乙的既不充分,又不必要条件 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案,则第五个图案中有白色地面砖( )块.A.21B.22C.20D.23 8、用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A .62n -B .82n -C .62n +D .82n +… ① ② ③9、下面几种推理是合情推理的是( ) (1)由正三角形的性质,推测正四面体的性质;(2)由平行四边形、梯形内角和是360︒,归纳出所有四边形的内角和都是360︒; (3)某次考试金卫同学成绩是90分,由此推出全班同学成绩都是90分;(4)三角形内角和是180︒,四边形内角和是360︒,五边形内角和是540︒,由此得凸多边形内角和是()2180n -︒A .(1)(2)B .(1)(3)C .(1)(2)(4)D .(2)(4)10、数列{}n a 中,a 1=1,S n 表示前n 项和,且S n ,S n+1,2S 1成等差数列,通过计算S 1,S 2,S 3,猜想当n ≥1时,S n =( )A .1212-+n nB .1212--n n C .n n n 2)1(+ D .1-121-n11、二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.12、“开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数,现给出一组数:12 ,-12 ,38 ,-14 ,532,它的第8个数可以是 。
2023届高考复习数学专项(复数及推理与证明)好题练习(附答案)

2023届高考复习数学专项(复数及推理与证明)好题练习1.若复数:::满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位),则()A.二的实部是2B.=的虚部是2iC.乞=1-2i2.已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为()A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD.z在复平而上对应点在第四象限3.下面四个命题中的真命题为()1A.若复数z满足-ER,则zERB.若复数z满足/ER,则zERC.若复数Z1,Z2满足z亿2ER,则z1=D.若复数zE R,则豆ER Z2D.lzl=✓S4.已知复数二满足i2k+1z=2+i,-(kE z), 则z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设z是复数,则下列命题中的真命题是()A.若z2�o.则z是实数B.若z2<o,则z是虚数C.若z是虚数,则z2�oo.若z是纯虚数,则z2<o6.已知Z1与Z-2是共枙虚数,以下四个命题一定正确的是()2 2A. Z l <i z2B. zi z2=z Z2C.z1+z2E Rz+l.7设复数z满足——=i,则下列说法错误的是()A.z为纯虚数B.z的虚部为一-i2C.在复平而内,z对应的点位千第二象限D.z=-—ZtD .• —ERZ28.某大学进行自主招生测试,盂要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示,下列叙述正确的是( )A .甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B .乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C .甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前D .甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 9.在0,0a b >>的条件下,下列四个结论正确的是( ) A .22a b aba b+≥+B .2a b +≤C .22a b a b b a+≤+D .设,,a b c 都是正数,则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 10.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论正确的是( )A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快参考答案1.若复数:::满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位),则()D.lzl=✓S A. 二的实部是2 B.=的虚部是2i C.乞=1-2i【参考答案】CD3 +i(3 +i)(l +i) 2 + 4i—= = = 1+2i,【答宋解析】z=l—1 2 2即二的实部是1,虚部是2'故A错误,B铅误,又亏=1—2i,121 =✓1三了-= Js'故C,D均正确故选CD2. 已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为()A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD. z在复平面上对应点在第四象限【参考答案】ABD【答案解析】:;=3-4i, 则仁l=F五二正=5.故A正确;�=3+4i, 故B正确;二的虚部为4,故C铅误;二在复平面上对应点的坐标为(3,-4), 在第四象限,故D正确.:.命题中正确的个数为3.故选ABD.3.下而四个命题中的真命题为()1A. 若复数z满足-E R,则zE RB.若复数z满足/E R,则zE RC. 若复数Z1,Z2满足z亿2R,则z=22D.若复数zE R,则�E R【参考答案】AD1【答案解析】若复数二满足-E R,则二E R,故命题A为真命题;复数z =i 满足z 2=﹣1∈R ,则z ∉R ,故命题B 为假命题; 若复数z 1=i ,z 2=2i 满足z 1z 2∈R ,但z 1≠,故命题C 为假命题;若复数z ∈R ,则=z ∈R ,故命题D 为真命题. 故选:AD .4.已知复数z 满足212k i z i +=+,()k z ∈,则z 在复平面内对应的点可能位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【参考答案】BD【答案解析】212k i z i +=+ ,212k iz i ++∴=15i i i === ,37i i i ===-当k 为奇数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-+--⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第二象限; 当k 为偶数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第四象限;故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限. 故选BD5.设z 是复数,则下列命题中的真命题是( ) A .若z 2≥0,则z 是实数 B .若z 2<0,则z 是虚数C .若z 是虚数,则z 2≥0 D .若z 是纯虚数,则z 2<0 【参考答案】ABD【答案解析】设z =a +bi ,a ,b ∈R ,z 2=a 2﹣b 2+2abi , 对于A ,z 2≥0,则b =0,所以z 是实数,真命题;对于B ,z 2<0,则a =0,且b ≠0,⇒z 是虚数;所以B 为真命题; 对于C ,z 是虚数,则b ≠0,所以z 2≥0是假命题.对于D ,z 是纯虚数,则a =0,b ≠0,所以z 2<0是真命题;故选ABD.6.已知z1与z2是共轭虚数,以下四个命题一定正确的是( )A.z12<|z2|2B.z1z2=|z1z2| C.z1+z2∈R D.∈R【参考答案】BC【答案解析】解:z1与z2是共轭虚数,设z1=a+bi,z2=a﹣bi(a,b∈R).z12<|z2|2;=a2﹣b2+2abi,复数不能比较大小,因此A不正确;z1z2=|z1z2|=a2+b2,B正确;z1+z2=2a∈R,C正确;===+i不一定是实数,因此D不一定正确.故选:BC.7.设复数z满足,则下列说法错误的是( )A.z为纯虚数B.z的虚部为C.在复平面内,z对应的点位于第二象限D.|z|=【参考答案】ABC【答案解析】∵z+1=zi,设z=a+bi,则(a+1)+bi=﹣b+ai,∴,解得.∴z=.∴|z|=,复数z的虚部为,8.某大学进行自主招生测试,需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示,下列叙述正确的是()A .甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B .乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C .甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前D .甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【参考答案】AC【答案解析】根据图示,可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前, 他的阅读表达成绩排名靠后.故选AC.9.在0,0a b >>的条件下,下列四个结论正确的是( )A .22a b aba b+≥+ B .2a b +≤C .22a b a b b a +≤+D .设,,a b c 都是正数,则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 【参考答案】ABD 【答案解析】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+ ,故本选项是正确的;选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的; 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab +---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的;选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()(()6a b c a b cb c a a b c+++++=+++++≥++=(当且仅当1a b c===时取等号),显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b cb c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的.故选:ABD10.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论正确的是()A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【参考答案】ABD【答案解析】对于选项A,从图可以看出同比涨跌幅均为正数,故A正确;对于选项B,从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数,故B正确;对于选项C,从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份,故C错误;对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快,故D正确.故选ABD.。
自然演绎推理证明例题

自然演绎推理证明例题一、以下哪个选项正确地描述了自然演绎推理的一个基本步骤?A. 从一般到特殊的推理过程B. 仅仅基于个人经验的判断C. 无视前提直接得出结论D. 通过重复实验验证假设(答案)A二、在自然演绎推理中,以下哪项是构建有效论证的关键?A. 情感诉求B. 权威论证C. 前提的真实性D. 语言的华丽程度(答案)C三、下列哪一项不是自然演绎推理中常用的推理规则?A. 假言推理(如果P则Q,P,因此Q)B. 拒取式(如果P则Q,非Q,因此非P)C. 肯定后件(如果P则Q,Q,因此P)D. 合取引入(P且Q,因此P)(答案)C四、在自然演绎系统中,以下哪个步骤是确保推理有效性的必要条件?A. 每个推理步骤都必须基于已知的前提B. 推理过程中可以引入新的未证实假设C. 结论的正确性依赖于推理者的主观判断D. 推理过程可以跳过某些中间步骤直接得出结论(答案)A五、以下哪个选项描述了自然演绎推理中的一个典型错误?A. 从特殊到一般的归纳B. 前提与结论之间的逻辑断裂C. 使用已知事实作为推理起点D. 正确应用推理规则得出结论(答案)B六、在自然演绎推理中,以下哪项是确保结论可靠性的重要因素?A. 推理过程的复杂性B. 推理者的个人魅力C. 前提之间的逻辑一致性D. 结论的新颖性(答案)C七、以下哪个选项不是自然演绎推理中常用的逻辑连接词?A. 如果...那么...B. 或者...或者...C. 因为...所以...D. 尽管...但是...(答案)D八、在自然演绎推理中,以下哪项是构建有效论证时必须避免的情况?A. 前提之间的矛盾B. 结论的简洁性C. 推理规则的正确应用D. 前提与结论的逻辑关联(答案)A。
四年级数学上册综合算式专项练习题数学推理与证明

四年级数学上册综合算式专项练习题数学推理与证明课本中有许多综合算式专项练习题,其中有一部分是数学推理与证明的题目,需要我们用逻辑思维和数学知识进行推理和证明。
在这篇文章中,我将为大家详细介绍一些四年级数学上册综合算式专项练习题中的数学推理与证明题目。
首先,我们来看一道典型的推理题目:题目:已知一个算式的结果是8,且这个算式中有一个数是6。
请问,这个算式中另一个数是多少?解析:根据题目描述,我们可以设算式中的另一个数为x,则根据题目所给的条件得出:6 + x = 8通过简单的计算,我们可以得到:x = 8 - 6x = 2因此,这个算式中的另一个数是2。
上述题目是一个简单的推理题,需要根据已知条件进行逻辑推理,得出正确的结论。
在解答这类题目时,我们需要仔细阅读题目内容,理清思路,利用已有的数学知识进行运算和推理。
接下来,我将给出另外一道数学推理与证明的题目:题目:小明有一些苹果,小华有一些橙子。
已知小明比小华多两个水果,而两人加起来一共有10个水果。
请问,小明有几个苹果,小华有几个橙子?解析:根据题目描述,我们可以设小明的苹果数量为x个,小华的橙子数量为y个。
根据题目所给的条件,我们可以列出以下两个方程:1. x = y + 22. x + y = 10通过解方程,我们可以得到:由方程1可得:y = x - 2代入方程2可得:x + (x - 2) = 10化简方程得:2x - 2 = 10继续化简方程得:2x = 12解得:x = 6代入方程1可得:y = 6 - 2解得:y = 4因此,小明有6个苹果,小华有4个橙子。
在解答数学推理与证明题目时,我们需要注意仔细思考,运用数学知识解决问题。
推理题目常常需要我们列方程、解方程,要善于运用代数方法进行推理和证明。
综上所述,四年级数学上册综合算式专项练习题中的数学推理与证明题目是需要我们运用逻辑思维和数学知识进行推理和证明的题目。
在解答这类题目时,我们需要仔细阅读题目内容,理清思路,利用已有的数学知识进行运算和推理。
推理证明方法(证明)

例题(不完全归纳)
例2 例3 把一个正方形分成互不重叠的n 个小正方形,n可以是哪些数?
例4 用12根火柴棍摆2*2的4宫格,用24 根火柴摆3*3的九宫格,小敏用了1300根 火柴摆了m m 的 m2宫格,问m 是多少?
例5 同一平面内的n条直线最多能将平面 分成多少个部分?
练习
一个等边三角形能分割成没有重叠部分
利用每句话所提供的信息引出矛盾进而问题可得到解决例题例19若干个同样的盒子排成一排小明把50多个同样的棋子分装在盒子中其中有一个盒子没有装棋子然后他外出了
推理证明方法
归纳推理 类比推理 演绎推理
归纳推理
导例 1、有一段楼梯有10级台阶,规定每一
步只能跨一级或两级,问:要登上第10 级台阶有多少种不同的走法? 2、同一平面内的n条直线最多有多少个 交点?
1、A,B,C,D,E五人参加乒乓球单打比赛, 每人都要赛一盘,并且只赛一盘,规定得胜者 得2分,负者得0分。现在知道比赛结果是:A 和B并列第一名,C是第三名,D和E并列第四名, 那么C得多少分?
2、甲在星期一、二、三说假话,在其他日子说 真话;乙在星期四、五、六说假话,其他日子 说真话,甲说:“昨天是我说假话的日子”。 乙说:“昨天是我说假话的日子”。那么,两 人对话的这一天是星期几?
例题
百米赛跑决赛一开始,看台上有三个观众就争 论起来。
甲说:“没问题,小李第一,小王第二。”
乙说:“不见得,我看小张第一,小赵第二。”
丙说:“说不定小赵得第一,小李只能得第 三。”
最后,李、王、张、赵四人获得了前四名,但 三个观众都只猜对了一半,请你分析一下,这 四个选手的决赛名次。
练习
例17 已知解不等式:x a x 2
高中数学人教A版选修22第二章推理与证明练习题含答案详解

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推理与证明习题(1)

能被分成多少块?
设平面内有n个圆两两相交,且没有 三个或三个以上的圆相交于同一点, 它们把平面分成的区域数为f(n),如 果该平面内再增加一个符合上述条件 的圆,把平面分成的区域数为f(n+1) 则f(n)与f(n+1)的递推关系是______
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面的距离的和为__________.
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【探究2】已知平面上有8个点,其中 任意三点不共线。 (1)若任意两点之间连线 ,
可以连接多少条线段?
可以构成多少个三角形?
(2)若连接25条线段,可以
构成多少个三角形?
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【探究1】已知正三角形的边长为a,面积为S 则正三角形内任意一点P到各边的距 离的和为__________. 【类比】已知正多边形的边长为a,面积为S 则正多边形内任意一点P到各边的距
离的和为__________.
【类比】已知正四面体的各面面积为a,体积 为V ,则正四面体内任意一点P到各
【作业】 《同步导学》 P25 11 、12 P51 24、25
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2、已知一个两位数S,它的个位数字 与十位数字的和为 a , S 与 3、5、 7、9相乘得到的积的个位数字的 和也是 a,求符合条件的两位数 S 的个数。
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3、一个平面用 n 条直线去划分,最多
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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析

【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案一、选择题1.已知2a b c ++=,则ab bc ca ++的值( )A .大于2B .小于2C .不小于2D .不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-,a c b +=-,b c a +=-,把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-,a c b +=-,b c a +=-,则可判断2()ab bc ac ++的符号,从而得到ab bc ac ++的值的符号. 【详解】解:2a b c ++=Q ,2a b c ∴+=-,2a c b +=-,2b c a +=-.则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++,2a b c ++=Q ,()2220a b c ∴++>,即()2220a b c -++<,2()4ab bc ac ++<Q ,()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2. 故选:B . 【点睛】本题考查不等式的应用,考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力.2.我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数a ,则a 的值为( )A .100820182⨯B .100920182⨯C .100820202⨯D .100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解:第一行第一个数为:0112=⨯; 第二行第一个数为:1422=⨯; 第三行第一个数为:21232=⨯; 第四行第一个数为:33242=⨯;L L ,第n 行第一个数为:1n 2n n a -=⨯;一共有1010行,∴第1010行仅有一个数:10091008a 1010220202=⨯=⨯; 故选C . 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.3.已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上,则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为( )A .13311x y +=B .111099x y += C .11133x y += D .199110x y += 【答案】C【解析】 【分析】先根据点在椭圆上,求得2a ,再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上,故可得21009199a +=,解得2110a =; 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为:103111099x y +=,整理可得11133x y+=. 故选:C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程,以及类比法的应用,属综合基础题.4.已知函数()f x 的导函数为()f x ',记()()1f x f x '=,()()21f x f x '=,…,()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =,则()()20192021f x f x += ( )A .2cos x -B .2sin x -C .2cos xD .2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ,可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---,最后计算可得结果.【详解】由题可知:()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知:()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选:D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用,选择题、填空题可以使用取特殊值,归纳猜想等方法的使用,属中档题.5.观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= A .()f x B .()f x -C .()g xD .()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数,因为()f x 是偶函数,则()()g x f x '=是奇函数,所以()()g x g x -=-,应选答案D .6.平面上有n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成()f n 块区域,有(1)2f =,(2)4f =,(3)8f =,则() f n =( ).A .2nB .22n n -+C .2(1)(2)(3)n n n n ----D .325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选:B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.7.在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上,由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐.将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁,且比赛结果只有一支队伍获得冠军,现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得冠军”;小王说:“丁团队获得冠军”;小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”;小赵说:“甲团队获得冠军”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得冠军的团队是( ) A .甲 B .乙C .丙D .丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论,结合四人的说法进行推理,进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符; 若乙获得冠军,则小王、小李、小赵的预测不正确,与题意不符; 若丙获得冠军,则四个人的预测都不正确,与题意不符;若丁获得冠军,则小王、小李的预测都正确,小张和小赵预测的都不正确,与题意相符. 故选:D . 【点睛】本题考查合情推理,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.8.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是( ) A .甲 B .乙C .丙D .丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理,即可得到结论. 【详解】由题意,假设甲:我没有抓到是真的,乙:丙抓到了,则丙:丁抓到了是假的, 丁:我没有抓到就是真的,与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的; 假设甲:我没有抓到是假的,那么丁:我没有抓到就是真的, 乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立, 所以可以断定值班人是甲. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用,其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键,着重考查了推理与分析判断能力,属于基础题.9.二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=,二维测度(面积)2S r π=;三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=,三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=,猜想其四维测度W =( )A .42r πB .43r πC .44r πD .46r π【答案】A 【解析】分析:由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解:结合所给的测度定义可得:在同维空间中,1n +维测度关于r 求导可得n 维测度, 结合“超球”的三维测度38V r π=,可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛:本题主要考查类比推理,导数的简单应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在等差数列{}n a 中,若0n a >,公差0d ≠,则有4637a a a a >.类比上述性质,在等比数列{}n b 中,若0n b >,公比1q ≠,则关于5b ,7b ,4b ,8b 的一个不等关系正确的是( ) A .5748b b b b > B .7845b b b b > C .5748b b b b +<+ D .7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数,等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算,即可得到答案. 【详解】在等差数列{}n a 中,由4637+=+时,有4637a a a a >, 类比到等比数列{}n b 中,由5748+=+时,有4857b b b b +>+,因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>,所以4857b b b b +>+成立. 故选:C 【点睛】本题主要考查类比推理,同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力,属于中档题.11.用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+,n ∈N*”,则当n=k+1时,应当在n=k 时对应的等式左边加上( ) A .k 3+1B .(k 3+1)+(k 3+2)+…+(k+1)3C .(k+1)3D .63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析:当项数从n k =到1n k =+时,等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
相似三角形推理证明复习题(含答案)

相似三角形推理证明1.(顺义18期末19)如图,E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点,AE 交CD 于点F ,FG ∥AD 交AB 于点G .(1)填空:图中与△CEF 相似的三角形有 ; (写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形,并证明它与△CEF 相似.19.(1)△ADF ,△EBA ,△FGA ;………………………….3分(每个一分) (2)证明:△ADF ∽△ECF∵四边形ABCD 为平行四边形∴BE ∥AD …………………………………………………….4分 ∴∠1=∠E ,∠2=∠D∴△ADF ∽△ECF …………………………………………….5分(其它证明过程酌情给分)2.(大兴18期末19)已知:如图,在△ABC 中,D ,E 分别为AB 、 AC 边上的点,且AE AD 53=,连接DE . 若AC =4,AB =5. 求证:△ADE ∽△ACB.19.证明:∵ AC =3,AB =5,35AD AE =,∴AC ABAD AE=.……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ,……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB .……………………… 5分3.(丰台18期末18)如图,△ABC 中,DE ∥BC ,如果AD = 2,DB = 3,AE = 4,求AC 的长.18. 解:∵DE ∥BC , ∴AD AE DBEC=.……2分即243EC=. ∴EC =6.……4分∴AC =AE + EC =10. ……5分 其他证法相应给分.4.(怀柔18期末18)如图,在△ABC 中,D 为AC 边上一点,BC =4,AC =8,CD=2.求证:△BCD ∽△ACB .18.证明:∵BC =4,AC =8,CD =2.…………………………1分∴………………………………………3分又∵∠C =∠C …………………………………………………………………………4分 ∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分DB5.(西城18期末18)如图,AB ∥CD ,AC 与BD 的交点为E ,∠ABE=∠ACB .(1)求证:△ABE ∽△ACB ;(2)如果AB=6,AE=4,求AC ,CD 的长.6.(密云18期末19)如图,BO 是ABC ∆的角平分线,延长BO 至D 使得BC=CD.(1)求证:AOB COD ∆∆∽.(2)若AB=2,BC=4,OA=1,求OC 长.19.(1)证明:BO 是ABC ∆的角平分线∴ ABO OBC ∠=∠…………………………………………………………………………..1分 BC=CD∴ OBC ODC ∠=∠∴ABO ODC ∠=∠…………………………………………………………………………..2分 又AOB COD ∠=∠∴AOB ∆∽COD ∆…………………………………………………………………………….3分(2)解:AOB∆∽COD∆∴AB OACD OC=…………………………………………………………………………..4分又AB=2,BC=4,OA=1,BC=CD∴OC=2 …………………………………………………………………………….5分7.(东城18期末19)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E在AB上,∠DEC=90°.(1)求证:△ADE∽△BEC.(2)若AD=1,BC=3,AE=2, 求AB的长.8.(海淀18期末21)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,以AC为边作△ACE,∠ACE=90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD=5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.21.证明:∵ ∠B =90°,AB =4,BC =2,∴ AC == ∵ CE =AC ,∴ CE = ∵ CD =5, ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°,∠ACE =90°,∴ ∠BAC +∠BCA =90°,∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分9.(朝阳18期末23)如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是CD 中点,点P 在射线AB上,过点P 作线段AE 的垂线段,垂足为F . (1)求证:△P AF ∽△AED ;(2)连接PE ,若存在点P 使△PEF 与△AED 相似,直接写出P A 的长10.(石景山18期末23)如图,四边形ABCD 是平行四边形,CE ⊥AD 于点E ,DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F . (1)求证:△ADF ∽△DCE ;(2)当AF =2,AD =6,且点E 恰为AD 中点时,求AB 的长.23.(本小题满分5分)(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC ,∴∠D A F =∠C D E , ……………………………………………… 1分 ∵ DF ⊥BA ,CE ⊥AD ,∴∠F =∠C E D =90°,……………………………………………… 2分 ∴△A D F ∽△D C E ; ………………………………………………3分(2)解:∵△ADF ∽△DCE ,∴DE AFDC AD = ∴326=DC , ∴DC =9.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB =DC∴A B =9.…………………………………………………………5分11.(平谷18期末19)如图,∠ABC =∠BCD =90°,∠A =45°,∠D =30°,BC =1,AC ,BD 交于点O .求BODO的值.19.解:∵∠ABC =∠BCD =90°,∴AB ∥CD . .................................................................................................................. 1 ∴∠A =∠ACD . ............................................................................................................ 2 ∴△ABO ∽△CDO . .. (3)∴BO ABCO CD=. ··········································································································· 4 在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠A =45°,BC =1, ∴AB =1.在Rt △BCD 中,∠BCD =90°,∠D =30°,BC =1,∴CD∴BO CO ==. (5)12.(顺义18期末22)已知:如图,在△ABC的中,AD是角平分线,E是AD上一点,且AB:AC = AE :AD.求证:BE=BD.22.证明:∵AD是角平分线,∴∠1=∠2,……………………………………….1分又∵AB AD = AE AC,……………………….2分∴△ABE∽△ACD,………………………………………..…….3分∴∠3=∠4,……………………………………………………….4分∴∠BED=∠BDE,∴BE=BD.………………………………………………………..5分13.(门头沟18期末18)如图,在△ABC 中,AB =AC ,BD =CD ,CE ⊥AB 于E .求证:△ABD ∽△CBE .18.(本小题满分5分)证明:∵ AB =AC ,BD =CD∴ AD BC ⊥, ……………………………………2分∵ CE ⊥AB∴90ADB BEC ∠=∠=︒……………………………………4分∵B B ∠=∠ABD CBE ∴△∽△ ……………………………………5分14.(平谷18期末23)如图,在□ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,过点O 作EO ⊥BD ,交BA 延长线于点E ,交AD 于点F ,若EF=OF ,∠CBD =30°,BD =63AF 的长.23.解:方法一:∵□ABCD ,∴AD ∥BC ,OD =12BD =33 ··················································································· 1 ∵∠CBD =30°, ∴∠ADB =30°. ∵EO ⊥BD 于O , ∴∠DOF =90°.在Rt △ODF 中,tan30°=OF OD =, ∴OF=3. (2)∴FD =6.过O 作OG ∥AB ,交AD 于点G . ∴△AEF ∽△GOF . ∴AF EFGF OF=. ∵EF=OF , ∴AF=GF .∵O 是BD 中点, ∴G 是AD 中点. ········································································································· 3 设AF=GF=x ,则AD =6+x . ∴AG =62xx x ++=. ................................................................................................ 4 解得x =2. ∴AF =2. (5)方法二:延长EF 交BC 于H .由△ODF ≌△OHB 可知, OH =OF . ············································3 ∵AD ∥BC ,∴△EAF ∽△EBH .∴EF AFEH BH=. ∵EF=OF , ∴13AF BH =. ··············································································································· 4 由方法一的方法,可求BH =6. ∴AF =2.15.(怀柔18期末23)数学课上老师提出了下面的问题:在正方形ABCD 对角线BD 上取一点F ,使15DF BD =. 小明的做法如下:如图①应用尺规作图作出边AD 的中点M ; ②应用尺规作图作出MD 的中点E ; ③连接EC ,交BD 于点F . 所以F 点就是所求作的点.请你判断小明的做法是否正确,并说明理由.23.解:正确. ………………………………………………………………………………………1分理由如下: 由做法可知M 为AD 的中点,E 为MD 的中点, ∴AD DE =41. …………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=BC ,ED ∥BC . ………………………………………………3分 ∴△DEF ∽△BFC ∴BC DE =BFDF ………………………………………………………..4分 ∵AD =BC∴BF DF =BC DE =41∴BD DF =51………………………………………………………………………………………5分。
数学逻辑练习题进行数学逻辑的推理与证明

数学逻辑练习题进行数学逻辑的推理与证明数学逻辑是数学的一个重要分支,它研究的是数学命题的合理性、推理的方法和结论的正确性。
通过数学逻辑的推理和证明,我们可以深入理解和应用数学知识,提高自己的思维能力和解决问题的能力。
在学习数学逻辑时,经常会遇到各种练习题,这些题目旨在让我们锻炼逻辑思维和分析问题的能力。
下面我将通过几个数学逻辑练习题,进行推理和证明的演示,帮助大家更好地理解数学逻辑推理的过程。
1. 题目一:证明直角三角形的斜边最长。
解析:假设有一个直角三角形ABC,其中∠ABC=90°。
我们需要证明斜边AC最长。
首先,根据勾股定理得知直角三角形中的两个直角边的平方和等于斜边的平方,即AC² = AB² + BC²。
我们知道,平方值大于零,所以AB²和BC²都大于等于零。
假设AB² > 0 且 BC² > 0,则有 AC² > 0。
由于AC²> 0,那么AC也大于零,即AC > 0。
再次根据勾股定理,如果一个直角三角形的两个直角边都大于零,则斜边最长。
因此,我们可以得出结论:直角三角形的斜边最长。
2. 题目二:证明若a、b为正整数,且a² + b²为偶数,则a和b必须同时为偶数或者同时为奇数。
解析:根据题目的条件,a² + b²为偶数。
我们要证明当a、b为正整数时,a和b必须同时为偶数或者同时为奇数。
首先,我们观察到一个规律:任意正整数 n 的平方模4的余数只可能是0或1。
证明如下:当 n 为偶数时,n=2k (k为正整数),则 n² = (2k)² = 4k²,余数为0。
当 n 为奇数时,n=2k+1 (k为正整数),则 n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1,余数为1。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)

高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)一、单选题1.记凸k 边形的内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+( ) A .2π B .πC .32π D .2π2.用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ,在验证1n =时,左边的代数式为( ) A .111234++ B .1123+C .12D .13.两个正方体1M 、2M ,棱长分别a 、b ,则对于正方体1M 、2M 有:棱长的比为a:b ,表面积的比为22:a b ,体积比为33:a b .我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”,下列给出的几何体中是“相似体”的是( ) A .两个球B .两个长方体C .两个圆柱D .两个圆锥4.用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时,从n k =到1n k =+,不等式左边需添加的项是( ) A .111313233k k k +++++ B .11113132331k k k k ++-++++ C .131k + D .133k + 5.现有下列四个命题: 甲:直线l 经过点(0,1)-; 乙:直线l 经过点(1,0); 丙:直线l 经过点(1,1)-; 丁:直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题,则假命题是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁6.用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈,则当1n k =+时,等式左边应该在n k =的基础上加上( ) A .21k +B .2(1)k +C .2(2)k +D .222(1)(2)(1)k k k ++++++7.已知数列{}n a 中,11a =,()*111nn na a n a +=+∈+N ,用数学归纳法证明:1n n a a +<,在验证1n =成立时,不等式右边计算所得结果是( )A .12B .1C .32D .28.设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为()f k ,则()1f k +与()f k 的关系是( ) A .()()11f k f k k +=++ B .()()11f k f k k +=+- C .()()1f k f k k +=+D .()()12f k f k k +=++9.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 ( ) A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲D .甲、丙、乙10.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数列中第2 020个数是( ) A .3976 B .3974 C .3978D .3973二、填空题11.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++(n 为正整数)时,第一步应验证的等式是______.12.用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +,且n ≥2)”时,第一步要证明的结论是________.13.用反证法证明“自然数a ,b ,c 中至多有一个偶数”时,假设应为_______.14.已知等差数列{}()*n a n N ∈中,若10100a =,则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立;运用类比思想方法,可知在等比数列{}()*n b n N ∈中,若1001b =,则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15.(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理;(2)把(1)中的定理写成“已知:...,求证:...”的形式,并用反证法证明.16.把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应,类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中,有没有错误?如果有错误,错在哪里? (1)求证:当N*n ∈时,1=+n n .证明:假设当(*)n k k N =∈时,等式成立,即1k k =+. 则当1n k =+时,左边1(11)k k =+=++=右边. 所以当1n k =+时,等式也成立.由此得出,对任何N*n ∈,等式1=+n n 都成立. (2)用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=. 证明,∈当1n =时,左边=11S a =,右边1a =,等式成立. ∈假设当(*)n k k N =∈时,等式成立,即1()2k k k a a S +=.则当1n k =+时, 11231k k k S a a a x a a ++=+++++, 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++.上面两式相加并除以2,可得 111(1)()2k k k a a S ++++=,即当1n k =+时,等式也成立.由∈∈可知,等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18.一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+? 其中问号处由于年代久远,只能看出它是关于n 的二次三项式,具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式,并用数学归纳法证明.参考答案与解析:1.B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形,从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k +1边形时, 增加了一个三角形,故f (k +1)=f (k )+π. 故选:B 2.A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解:1111231n n n ++++++代入1n =为:111234++. 故选:A 3.A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ,r . 这两个球的半径比为::R r , 表面积比为:22224:4:R r R r ππ=, 体积比为:333344::33R r R r ππ=, 所以,两个球是相似体. 故选:A . 4.B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项,从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时,所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++, 当1n k =+时,要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++, 故需添加的项为:11113132331k k k k ++-++++, 故选:B.【点睛】本题考查数学归纳法,应用数学归纳法时,要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系,必要时和式的开端和结尾处需多写几项,便于寻找差异.本题属于基础题. 5.C【分析】设(0,1)A -,(1,0)B ,(1,1)C -,计算AB k 和BC k ,可判断三点共线,可知假命题是甲、乙、丙中的一个,再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -,(1,0)B ,(1,1)C -则10101AB k --==-,101112BC k -==---,因为AB BC k k ≠,所以,,A B C 三点不共线,所以假命题必是甲、乙、丙中的一个,丁是真命题,即直线l 的斜率大于0, 而0AB k >,0BC k <,0AC k <,故丙是假命题. 故选:C. 6.D【分析】由n =k+1时,等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时,等式左端2123k =++++,当n =k+1时,等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++,增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++.故选:D . 7.C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时,不等式右边为1211311122a a a =+=+=+. 故选:C. 8.C【分析】考虑当1n k =+时,任取其中1条直线,记为l ,由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行,任何三条不共点,所以要多出k 个交点,从而得出结果. 【详解】当1n k =+时,任取其中1条直线,记为l , 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k , 因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点); 又因为任何三条直线不过同一点, 所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同, 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+, 故选:C 9.A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A .【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查. 10.A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数,前n 次共取(1)2n n +个数,且第n 次取的最后一个数为n 2,然后算出前63次共取了2016个数,从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得,奇数次取奇数个数,偶数次取偶数个数,前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数,且第n 次取的最后一个数为n 2, 当63n =时,()6363120162⨯+=, 即前63次共取了2016个数,第63次取的数都为奇数,并且最后一个数为2633969=, 即第2 016个数为3 969,所以当n =64时,依次取3 970,3 972,3 974,3 976,…,所以第2 020个数是3 976. 故选:A. 11.11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤,令1n =即可得出结论. 【详解】依题意,当1n =时, 1112121-=⨯⨯, 即11122-=, 故答案为:11122-=.12.1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2,所以第一步要证的是当n=2时结论成立,即1+111222342+++>. 故答案为:1112212342++++> 13.a ,b ,c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是,应先假设命题的否定成立,所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是,应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ,b ,c 中至多有一个偶数”的否定是:“a ,b ,c 中至少有两个偶数”,所以用反证法证明“自然数a ,b ,c 中至多有一个偶数”时,假设应为“a ,b ,c 中至少有两个偶数”, 故答案为:a ,b ,c 中至少有两个偶数. 14.()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==,等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=,类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中,12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得, 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈,且1001b =,有等比数列的性质得,211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈,可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为:()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质,结合类比的规则,和类比积,加类比乘,得出结论,属于中档题.15.(1)见解析; (2)见解析.【分析】(1)将判定定理用文字表述即可;(2)根据(1)中的前提和结论可得定理的形式,利用反证法可证该结论.【详解】(1)异面直线的判定定理:平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. (2)(1)中的定理写成“已知:...,求证:...”的形式如下: ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉,求证:,PQ l 为异面直线.证明:若,PQ l 不为异面直线,则,PQ l 共面于β,故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉,故,αβ为同一平面,而P β∈,故P α∈, 这与P α∉矛盾,故,PQ l 为异面直线.16.正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面,从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应,类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为:正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17.(1)有错误,理由见解析;(2)有错误,理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步,∈证明当1n =时,结论成立,∈假设当n k =时,结论成立,当1n k =+时,应用归纳假设,证明1n k =+时,命题也成立,根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】(1)有错误,错误在于没有证明第(1)步,即没有证明1n =时等式成立;(2)有错误,错误在于证明1n k =+时,没有应用n k =时的假设,而是应用了倒序相加法,这不符合数学归纳法的证明过程. 18.222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++,证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f (1),f (2),f (3);假设存在常数a ,b ,c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立,由f (1),f (2),f (3)的值可求得a ,b ,c ;再用数学归纳法证明即可.【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++, f ∴(1)2124=⋅=,f (2)22122322=⋅+⋅=, f (3)22212233470⋅+⋅+⋅=; 假设存在常数a ,b ,c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立, 则f (1)12()412a b c ⨯=++=, 24a b c ∴++=∈,同理,由f (2)22=得4244a b c ++=∈, 由f (3)70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈,解得3a =,11b =,10c =.2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++. 证明:1︒当1n =时,显然成立;2︒假设n k =时,2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=, 则1n k =+时,2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=,即1n k =+时,结论也成立.综合1︒,2︒知,存在常数3a =,11b =,10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析

高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1.幻方最早起源于我国,由正整数1,2,3,……,2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫n 阶幻方.定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和,如(3)15f =,则(10)f =( )A .55B .500C .505D .5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等,可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=,即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等,所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行(或每列)的数的和,又n 阶幻方有n 行(或n 列),因此,2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=,于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==.故选:C 【点睛】本题考查了数阵问题,考查了学生逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.2.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说:“是丙或丁打碎的.”乙说:“是丁打碎的.”丙说:“我没有打碎玻璃.”丁说:“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎,请问是( )打碎了玻璃. A .甲 B .乙C .丙D .丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎,针对其他的回答逐个判断对错即可,正确答案为丁. 【详解】假设甲打碎玻璃,甲、乙说了谎,矛盾,假设乙打碎了玻璃,甲、乙说了谎,矛盾, 假设丙打碎了玻璃,丙、乙说了谎,矛盾, 假设丁打碎了玻璃,只有丁说了谎,符合题意, 所以是丁打碎了玻璃; 故选:D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理,采用逐一检验的方法解题,属基础题.3.观察下图:12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017( ) A .2017 B .1009C .1010D .1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得:第n 行的第一个数为n ,有21n -个数,且这21n -个数成公差为1的等差数列,利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得:第n 行的第一个数为n ,有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为:()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=,得1009n = 故选:B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识,较简单.4.设a ,b ,c 都大于0,则三个数1a b +,1b c +,1c a+的值( ) A .至少有一个不小于2 B .至少有一个不大于2 C .至多有一个不小于2 D .至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式,利用反证法思想,即可得出答案【详解】因为a ,b ,c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<,12b c+<,12c a +<则1116a b c b c a+++++<,与前面矛盾所以三个数1a b +,1b c +,1c a+的值至少有一个不小于2 故选:A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目,掌握基本不等式是解题的关键.5.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一,计数形式有纵式和横式两种,如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载:用“天元术”列方程,就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”,即是一种用数学符号列方程的方法,“立天元一为某某”,意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=,其中0a ,1a ,…,1n a -,n a 表示方程各项的系数,均为筹算数码,在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字,“太”或“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料,判断图3天元式表示的方程是( ) A .228617430x x ++= B .4227841630x x x +++= C .2174328610x x ++= D .43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1,286,1743,结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得,题图3中从上至下三个数字分别为1,286,1743, 由“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选:C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景,考查数学阅读及理解能力,充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键,属于中档题.6.已知0x >,不等式12x x +≥,243x x +≥,3274x x+≥,…,可推广为1n ax n x+≥+ ,则a 的值为( ) A .2n B .n nC .2nD .222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意,当分母的指数为1时,分子为111=; 当分母的指数为2时,分子为224=; 当分母的指数为3时,分子为3327=; 据此归纳可得:1n ax n x+≥+中,a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.7.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A .丙被录用了 B .乙被录用了C .甲被录用了D .无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可. 【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意, 若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意, 若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意, 综上可得甲被录用了, 故选:C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.8.已知2a b c ++=,则ab bc ca ++的值( ) A .大于2 B .小于2C .不小于2D .不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-,a c b +=-,b c a +=-,把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-,a c b +=-,b c a +=-,则可判断2()ab bc ac ++的符号,从而得到ab bc ac ++的值的符号. 【详解】解:2a b c ++=Q ,2a b c ∴+=-,2a c b +=-,2b c a +=-.则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++,2a b c ++=Q ,()2220a b c ∴++>,即()2220a b c -++<,2()4ab bc ac ++<Q ,()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2. 故选:B . 【点睛】本题考查不等式的应用,考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力.9.观察下列等式:332123+=,33321236++=,33332123410+++=,记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律,若()225f n =,则正整数n 的值为( )A .8B .7C .6D .5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=,当()225f n =时,可得5n =. 故选:D 【点睛】本题考查归纳推理,熟记等差数列求和公式是关键,考查观察转化能力,是基础题10.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为A 的学生有5人,这两科中仅有一科等级为A 的学生,其另外一科等级为B ,则该班( )A.物理化学等级都是B的学生至多有12人B.物理化学等级都是B的学生至少有5人C.这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D.这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为B的学生人数以及物理等级为B,化学等级为A的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知,36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858(其中物理A化学B的有5人,物理B化学A的有3人),表格变为:对于A选项,物理化学等级都是B的学生至多有13人,A选项错误;对于B选项,当物理C和D,化学都是B时,或化学C和D,物理都是B时,物理、化--=(人),B选项错误;学都是B的人数最少,至少为13724对于C选项,在表格中,除去物理化学都是B的学生,剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生,因为都是B的学生最少4人,所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是B的最多13人,所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=(人),D选项正确.的学生最少14131故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.11.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩公布前作出如下预测:甲预测说:获奖者在乙、丙、丁三人中;乙预测说:我不会获奖,丙获奖丙预测说:甲和丁中有一人获奖;丁预测说:乙的猜测是对的成绩公布后表明,四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符,已知有两人获奖,则获奖的是() A .甲和丁 B .乙和丁 C .乙和丙 D .甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出,乙、丁的表述要么同时与结果相符,要么同时与结果不符,再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立,则甲、丙的预测不成立,推出矛盾.故乙、丙预测不成立时,推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况,作出合理假设,才可进行有效论证12.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈( )A .30010B .40010C .50010D .60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征,我们可将每层数字表示成2的指数的形式,观察可知,每层指数的和成等比数列分布,结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图,将数字塔中的数写成指数形式,可发现其指数恰好构成“杨辉三角”,前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=,所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选:A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题,逻辑推理,等比数列前n 项和公式应用,属于中档题13.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”,则n =( ) A .35 B .48C .63D .80【答案】C 【解析】 【分析】通过观察四个等式,发现存在相同性质,从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+,5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选:C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).14.三角形面积为()12S a b c r =++,a ,b ,c 为三角形三边长,r 为三角形内切圆半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为( ) A .13V abc =B .13V Sh = C .()13V ab bc ac h =++⋅(h 为四面体的高) D .()123413V s s s s r =+++⋅(其中1s ,2s ,3s ,4s 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内切球的半径,设四面体的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是r ) 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理,由点类比直线,由直线类比平面,由内切圆类比内切球,由平面图形的面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法,即可求解. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是r , 根据三角形的面积的求解方法:利用分割法,将O 与四个顶点连起来,可得四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和, 即()123413V s s s s r =+++⋅,故选D . 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用,其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去,通常一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质取推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题,本题属于基础题.15.观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是( ) A .379 B .383C .381D .377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数,进而可得20a 从左到右第一个数. 【详解】由题意可知,n a 可表示为n 个连续的奇数相加,从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数, 所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数,第n 个奇数为21n -,所以第191个奇数为21911381⨯-=.故选:C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.16.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支,其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示),按上述操作7次后,“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为( )A .53B .63C .73D .83【答案】C【解析】【分析】 根据题意分别求出第1,2,3次操作后,图形中的小正三角形的个数,然后可归纳出一般结论,得到答案.【详解】如图,根据题意第1次操作后,图形中有3个小正三角.第2次操作后,图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后,图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后,图形中有73 个小正三角.故选:C【点睛】本题考查归纳推理,属于中档题.17.为了调节高三学生学习压力,某校高三年级举行了拔河比赛,在赛前三位老师对前三名进行了预测,于是有了以下对话:老师甲:“7班男生比较壮,7班肯定得第一名”.老师乙:“我觉得14班比15班强,14班名次会比15班靠前”.老师丙:“我觉得7班能赢15班”.最后老师丁去观看完了比赛,回来后说:“确实是这三个班得了前三名,且无并列,但是你们三人中只有一人预测准确”.那么,获得一、二、三名的班级依次为( )A.7班、14班、15班B.14班、7班、15班C.14班、15班、7班D.15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确,分析三个人的预测结果,由此能求出一、二、三名的班级.【详解】假设甲预测准确,则乙和丙都预测错误,14∴班名次比15班靠后,7班没能赢15班,故甲预测错误;假设乙预测准确,则甲和乙都预测错误,7∴班不是第一名,14班名次比15班靠前,7班没能赢15班,则获得一、二、三名的班级依次为14班,15班,7班;假设丙预测准确,则甲和乙都预测错误,7∴班不是第一名,14班名次比15班靠后,7班能赢15班,不合题意.综上,得一、二、三名的班级依次为14班,15班,7班.故选:C.【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断,考查合情推理等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.18.三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅,其中,,a b c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,则利用类比推理,可得出四面体的体积为()A.13V abc =B.13V Sh =C.1()3V ab bc ca h=++,(h为四面体的高)D .()123413V S S S S r =+++,(1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积,r 为四面体内切球的半径)【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是r ,根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是r ,将O 与四顶点连起来, 可得四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和, ∴V 13=(S 1+S 2+S 3+S 4)r . 故选:D .【点睛】本题考查了类比推理,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19.设x 、y 、0z >,1a x y =+,1b y z =+,1c z x =+,则a 、b 、c 三数( ) A .都小于2B .至少有一个不大于2C .都大于2D .至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥,于此可得出结论.【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=, 当且仅当1x y z ===时,等号成立,因此,若a 、b 、c 三数都小于2,则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾,即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2,故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查反证法的基本概念,解题的关键就是利用基本不等式求最值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.20.设x ,y ,z >0,则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ ( )A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又yx+yz+zx+zy+xz+xy=(yx+xy)+(yz+zy)+(zx+xz)≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.。
推理证明练习题范文

推理证明练习题范文推理证明练习题一、选择题1数列…中的等于()ABCD2设则()A都不大于B都不小于C至少有一个不大于D至少有一个不小于3已知正六边形,在下列表达式①;②;③;④中,与等价的有()A个B个C个D个4函数内()A只有最大值B只有最小值C只有最大值或只有最小值D既有最大值又有最小值 5如果为各项都大于零的等差数列,公差,则() ABCD6若,则()ABCD7函数在点处的导数是()ABCD二、填空题1从中得出的一般性结论是_____________2已知实数,且函数有最小值,则=__________3已知是不相等的正数,,则的大小关系是_________4若正整数满足,则5若数列中,则三、解答题1观察(1)(2)由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论 2设函数中,均为整数,且均为奇数求证:无整数根3的三个内角成等差数列,求证:4设图像的一条对称轴是(1)求的值;(2)求的增区间;(3)证明直线与函数的图象不相切(数学选修2-2)第二章推理与证明参考答案[基础训练A组]一、选择题1B推出2D,三者不能都小于3D①;②③;④,都是对的4D,已经历一个完整的周期,所以有最大、小值5B由知道C不对,举例6C7D二、填空题1注意左边共有项2有最小值,则,对称轴,即345前项共使用了个奇数,由第个到第个奇数的和组成,即三、解答题1若都不是,且,则2证明:假设有整数根,则而均为奇数,即为奇数,为偶数,则同时为奇数‘或同时为偶数,为奇数,当为奇数时,为偶数;当为偶数时,也为偶数,即为奇数,与矛盾无整数根3证明:要证原式,只要证即只要证而4解:(1)由对称轴是,得,而,所以(2),增区间为(3),即曲线的切线的斜率不大于,而直线的斜率,即直线不是函数的切线【扩展阅读篇】用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。
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推理与论证解答题专项练习30题(有答案)ok

推理和论证解答题专项练习30题1.推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列,丙可以看见甲、乙,乙可以看见甲但看不见丙,甲看不见乙、丙.现有5顶帽子,3顶白色,2顶黑色.老师分别给每人戴上一顶帽子(在各自不知道的情况下).老师先问丙是否知道头上的帽子颜色,丙回答说不知道;老师再问乙是否知道头上的帽子颜色,乙也回答说不知道;老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色,甲回答说知道.请你说出甲戴了什么颜色的帽子,并写出推理过程.2.暑假期间,小丽、小杰决定定期到敬老院打扫卫生,小丽每4天去一次,小杰每6天去一次,如果8月1日他们俩都在敬老院打扫卫生,那么,他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日?3.某校开校运会时,某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳和田径的有3人,同时参加游泳和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?4.用1,2,3三个数字组成六位数,若每个数字用两次,相邻位不允许用相同的数字.(1)试写出四个符合上述条件的六位数;(2)请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个?5.10位小运动员,他们着装的运动服号码分别是1﹣10,能否将这10位运动员按某种顺序站成一排,使得每相邻3名运动员号码数之和都不大于15?6.现有质量分别为5克和23克的砝码若干只,在天平上要称出质量为4克的物体,问至少要用多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论.7.10名棋手参加比赛,规定:每两名棋手间都要比赛一次,胜者得2分,下和各得1分,输者得0分.比赛结果表明:棋手们所得分数各不相同,前两名棋手没输过,前两名的总分之和比第三名多20分,第四名得分与后四名得分总和相等,那么前六名得分分别是多少?8.世界预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组,进行主客场比赛.规定每场比赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级.由于4支队伍均为强队,每支队伍至少得3分.于是甲专家预测:中国队只要得11分就能确保出线.问:(1)这四支队的总得分之和最多有几分?(2)甲专家的预测正确吗?为什么?9.请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考.(1)亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张,改变它们的朝向.他发现无论经过多少次这样的操作都不能使3张扑克牌的正面全部朝下.他的结论对吗?(2)把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张,改变它们朝向,经过若干次操作,能否使4张扑克牌的正面都朝下呢?(3)把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张,改变它们朝向,经过若干次操作,能否使4张扑克牌的正面都朝下呢?若能,至少要经过几次这样的操作?若不能,请说明理由.10.某车间新调来三名青年工人,车间赵主任问他们三人的年龄:①小刘说:“我比小陈小2岁.”②小陈说:“小李和我差三岁.”③小李说:“我比小刘年岁小,小刘23岁.”请你帮助赵主任分析出他们三人各是多少岁?11.A,B,C,D,E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强. A说:“如果我进入,那么B也进入.”B说:“如果我进入,那么C也进入.”C说:“如果我进入,那么D也进入.”D说:“如果我进入,那么E也进入.”大家都没有说错,请问:进入前三强的是哪三个人?12.某校初中一年(6)班有44人,老师给同学布置这样一个作业题:请你为班级设计一个联络网,并提出如下问题供同学研究:①借助电话传递一条信息,对于不同的方案打电话次数是否相同?②如果打一次电话需要1分钟,那么从开始到结束,不超过9分钟传递一条信息,请你设计一种方案.13.我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”,现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏.游戏规则是:甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数,然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数,甲、乙反复轮流说,每次每人说一个或两个数都可以,但不能连续说三个数,也不能一个数也不说.谁先抢到20,谁就获胜.因为甲先说,你认为谁会获胜?请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理.14.有一座三层楼房不幸起火,一个消防员搭梯子爬往三楼去救一个小孩子,当他爬到梯子正中1级时,二楼窗口喷出了火,他就往下退了3级,等到火过了,他又爬了7级,这时屋顶有两块杂物掉下来,他又往下退了2级,幸好没有打中他.他又向上爬了8级,这时他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有几级?15.用一个平底锅烙饼,每次只能烙两块饼,烙熟一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟).问烙熟3张饼至少需要几分钟怎样烙?16.有红、黄、蓝三个箱子,一个苹果放入其中某个箱子内,并且(1)红箱子盖上写着:“苹果在这个箱子里”(2)黄箱子盖上写着:“苹果不在这个箱子里”(3)蓝箱子盖上写着:“苹果不在红箱子里”已知(1)、(2)、(3)中只有一句是真的,问苹果在哪个箱子里?17.老师与学生小王、小张、小李玩帽子游戏,老师先给三位学生看了四顶帽子,其中二顶是红色的,一顶蓝色的,还有一顶是黄色的.然后让他们先闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子后,睁开眼睛看其他学生帽子的颜色,然后说出自己所戴帽子的颜色,小李看到的颜色是:小王的帽子是红色的,小张的帽子是黄色的,同时看到小王,小张无法马上说出自己帽子的颜色,这时小李立刻猜出自己所戴帽子的颜色,小李帽子的颜色是什么?为什么?18.有一个人用装10斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖,正好来了两个买油的,每人要买5斤,但是没有秤,只有二只空瓶,一个能装7斤油,另一个能装3斤油.试用这3个瓶把10斤油分成两份各为5斤的油.你有什么好方法呢?19.一个老大爷要过河,随身携带的有一只羊、一篮子青草和一只狼.他发现系在河边的小船一次只能载他和一样物体过河,他不能让狼和羊留在一起,因为狼会吃掉羊;他也不能把羊和青草留在一起,因为羊会吃掉青草,怎么办呢?请你帮助老大爷过河.20.某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车,第一辆出租车出发后,每隔4分钟就有一辆出租汽车开出,在第一辆汽车开出2分钟后,有一辆出租汽车进站,以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站,回站的出租汽车,在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆,问:第一辆出租汽车开出后,经过最少多少时间,车站不能正点发车?21.11个学生到书店去买书,每人都买了若干本.其中买书最多的人买了100本书.证明:这11个学生中必有2人,他们买的书相差不到10本.22.某次初二数学竞赛,共有99所学校中学报名参加,每校参赛者中既有男选手,也有女选手,证明:存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半,且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半.23.三个口袋里,一个口袋装有两个红球,一个口袋装有两个白球,一个口袋装一红一白两个球,但口袋外面贴的标签都是错的.现在请你从其中一个口袋里取出一个球,使你能根据这个球的颜色判断出这三个口袋里球的颜色.写出你的过程和结论.24.某夏令营共8名营员,其中3人来自甲校,3人来自乙校,2人来自丙校.在一项游乐活动中,他们分乘4辆2座位的游乐车.为加强校际间交流,要求同一学校的营员必须分开乘车,每一辆车上的营员必须来自不同的学校.问这能够做到吗?若能,请设计一个乘车方案;若不能,请说明理由.25.国际象棋比赛中,胜一局得1分,平一局得0.5分,负一局得0分,今有8名选手进行单循环比赛(每两人均赛一局),赛完后,发现各选手的得分均不相同,当按得分由大到小排列好名次手,第四名选手得4.5分,第二名的得分等于最后四名得分总和,问前三名选手各得多少分?说明理由.26.在一次数学竞赛中,a1,a2,a3,a44位学生分别获得了前4名的某一名次,赛前甲、乙、丙3位老师作了预测.甲说:a3第一,a1第三;乙说:a2第一,a4第四;丙说:a4第二,a3第三.比赛结果公布后发现每位老师各猜中一个学生的名次,你能得出四个学生的准确名次吗?27.一种玩具,其中有一个红色的按钮,一个黄色的按钮和100个能站能坐的小木偶.按一次红色的按钮就会有一个站着的小木偶坐下;按一次黄色的按钮就可以使站着的木偶增加一倍;现在只有三个小木偶站着,要使站着的小木偶变为21个,最少需按几次按钮就够了?每次按哪个按钮?28.退休工人张师傅家里有一只老式挂钟,每隔一小时打一次钟,两点整打两下,八点整打八下,总之,几点整就打几下.一天,张师傅在家看书,10分钟后,听到打了一次钟,他又继续看书,看完书,抬头看钟,时针和分针恰好重合在一起,张师傅把这个过程告诉儿子,并且说:“我看书时,记得总共打了12下,但不知分几次打的,你给我算一算,我看了多少时间的书?”29.某商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油,其重量如图,其中麻油一桶,豆油的公斤数恰好是菜油的两倍,五只桶分别装的是哪种油?并请说明推理过程.30.开动脑筋,巧移硬币;在一个水平桌面上,如图放着6枚硬币.若把左图的形状改成如下图的摆放形状,即围成一圈,中间还有一个能放1枚硬币的空间,但是每次只能移动1枚硬币,同时不能移其他的硬币,并且硬币也不能离开桌面.请问:我们怎样才能使移动的次数最少呢?参考答案:1.解:甲戴的是白帽子.理由如下:因为丙说不知道,说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子(如果甲、乙都戴黑帽子,丙马上知道自己戴的是白帽子).因为乙也说不知道,说明甲戴的是白帽子(如果甲戴黑帽子,甲、乙中至少有一个人戴白帽子,则乙马上知道自己戴的是白帽子)2.解:4、6的最小公倍数是12,所以他们应在12天以后,即第13日再相遇.答:他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是8月13日3.解:只参加游泳比赛的人数:15﹣3﹣3=9(人);同时参加田径和球类比赛的人数:8+14﹣(28﹣9)=3(人)4.解:(1)以1开头的数有121323 131232 123123 123132 132123 132132 123213 132312 132321 123231 等10个数;(2)121323,131232,123123,123132,121323,121332,132123,132132,123213,132312,213123,213132,312123,312132,212313,213213,312312,313212,213231,312321,231213,231312,321213,321312,231231,231321,321231,321321,232131,323121则共30个符合条件的六位数5.解:不能.理由如下:因为所有号码的总和为55,如果每相连的3个号码数都不大于15,则前9个号码数的和不大于3×15=45,故第10个号码数不小于10,即只能为10.同理,后9个号码数的和不大于45,故第1个号码数不小于10,因此,也必须为10,显然这是不可能的6.证明:易知只用一种砝码是不行的,所以要两种都用,先考虑23克砝码的个数,设为x,设5克砝码是y个,则23x=5y加减4,所以23x的尾数必然是1,4,6,9中的一个,所以x的尾数必然是2,3,7,8的一个,从小往大依次试验,x=2,y=10,x=3,y=13,x=7,…可知随着x的增大,y值也是增大的,所以最少用10+2=12个砝码7.解:设第k名选手的得分为a k(1≤k≤10),依题意得:a1>a2>a3>…a9>a10a1≤1+2×(9﹣1)=17,a2≤a1﹣1=16,a3+20=a1+a2,∴a3≤13 ①,又后四名棋手相互之间要比赛=6场,每场比赛双方的得分总和为2分,∴a7+a8+a9+a10≥12,∴a4≥12而a3≥a4+1≥13,②∴由①②得:a3=13,∴a1+a2=33,∴a1=17,a2=16,又∵a1≤a3﹣1=12,∴a4=12,∵a1+a2+a3+…a8+a9+a10=×2=90,∴17+16+13+12+a5+a6+12=90,而a5+a6≤a5+a5﹣1,即:a5≥10\frac{1}{2},又a5<a4=12,∴a5=11,a6=9,故前六名得分分别是:17,16,13,12,11,98.解:(1)∵每场比赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分∴每场比赛最多得3分,又四个队之间需要打比赛12场,∴这四支队的总得分之和最多有3×12=36分;(2)甲专家的预测正确.若得11分不出线,则必为第三名,故前两名至少也得11分,而最后一名至少得3分,故各队之和至少有36分,由(1)可知比赛中没有平局,而中国队已经得了11分,所以必有平局,3个奇数的和是奇数,所以翻动的总张数为奇数时,才能使3张牌的牌面都向下,而每次翻动2张,不管翻多少次,翻动的总张数都是偶数,所以无论他翻动多少次,都不能使3张牌画面都向下,故他的结论正确;(2)能.因为把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张,最少两次即可做到将4张牌全部正面都朝下;(3)能,至少4次.理由:利用4个奇数的和是偶数,所以翻动的总张数为偶数时,才能使4张牌的牌面都向下;而每次翻动3张,至少要经过4次这样的操作使4张扑克牌的正面都朝下10.解:根据③知小刘23岁,结合①知小陈25岁,结合②和③知小李22岁11.解:若A进入前三强,那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人,显然不合题意,同理,当B进行前三强时,也不合题意,所以应从C开始进入前三强.即进入前三强的是C,D,E12.解:①相同;②可以让老师先告诉9个同学,这样第一个同学还有8分钟时间,可以告诉8个人,第二个得到电话的同学有7分钟时间,可以告诉7个人,以此类推到第八个得到电话的再告诉一个人,那么通知的总人数就是9+8+7+6+…+2=44人13.解:第一个人必胜;因为是第一个人先说,所以主动权在第一个人,他肯定按2,5,8,11,17,20,报数,故第一个人必胜14.解:设消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负,并设这个楼梯共有x级.根据题意,我们知道这个楼梯的级数是奇数(因为只有奇数级的楼梯正中间才可以站人),列得:﹣3+7﹣2+8=x﹣1,整理得:x+1+20=2x﹣2,解得:x=23,则梯子共有23级15.解:至少需要3分钟.方法:先取两张饼烙1分钟,取出其中一张,另一张的反面和新放入的第三张饼烙1分钟,把烙好的第一张饼取出,剩下两张饼烙反面1分钟16.解:若苹果在红箱子里⇒(1)(2)正确(3)错误若苹果在黄箱子里⇒(1)(2)错误(3)正确若苹果在蓝箱子里⇒(1)错(2)(3)正确故苹果在黄箱子里17.解:红色.理由如下:小李看到小王、小张戴红色和黄色帽子,则小李可能戴蓝色或红色帽子,若小李戴蓝色帽子,则小王必能说出自己帽子颜色为红色,但小王、小张都无法马上说出自己帽子颜色,所以小李的帽子颜色为红色18.解:先倒满7斤瓶,再分两次从7斤瓶倒满3斤瓶,3斤瓶每次都倒回10斤瓶,再将7斤瓶中的1斤倒入3斤瓶中,再将7斤瓶倒满,再将7斤瓶中多余的2斤倒入3斤瓶中,此时7斤瓶中刚好5斤,最后将3斤中的油倒回10斤瓶中就实现了19.解:先把羊带过河,再把狼带过河,然后把羊带回去,把青草带过河,最后再回去把羊带过河20.解:∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×(6﹣1)=20分钟.此时站内又有出租车(20﹣2)÷6+1=4(辆)设再经过x分钟站内无车.+4=x=4848+20=68(分钟)答:经过至少68分钟站内无车.就不能正点发车而题中说买书最多的人买了100本书,所以假设不成立,即这11个学生中必有2人,他们买的书相差不到10本22.解:(1)如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半,那就无需证明成立了,(2)如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半,那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半,因此,这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数,其总数也必超过男选手总数的一半,同样道理,可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半23.解:从贴有一红一白标签的口袋里取出一球,如果是白球,则由题设可推出这个口袋里的球是两个白球,贴红标签的口袋里必是一红一白,否则,若是两红,就与标签贴错矛盾,而贴两白标签的口袋里必是两个红球.如果取出的是红球,类似可以判断24.解:能.乘车方案如下:25.解:设第i个运动员为A i,得分为a i(i=1,2,7,8),则a1>a2>…>a7>a8,由于8名选手每人参加7局比赛,胜的最多者得(7分),即a1≤7,共赛局,总积分为2(8分)所以a1+a2+…+a7+a8=28①因为每局得分为0,,1三种,所以只能在{0,,1,1.5,2,2.5,6,6.5,7}中取值,又知a 4=4.5,a2=a5+a6+a7+a8②若a3≥5.5,则a2≥6,a1≥6.5⇒a1+a2+a3≥6.5+6+5.5=18由①,a4+a5+a6+a7+a8≤10,但a4=4.5,所以a5+a6+a7+a8≤10﹣4.5=5.5这与a2≥6矛盾,故a3<5.5但a3>a4=4.5,所以a3=5这时a1+a2+a5+a6+a7+a8=28﹣5﹣4.5=18.5也就是a1+2a2=18.5若a2=5.5⇒a1=18.5﹣11=7.5>7≥a1,这不可能若a2≥6.5⇒a1=18.5﹣2a1≤18.5﹣13>5.5<a2,矛盾.所以,只能a2=626.解:把题目所述列成下表:a1a2a3a4甲③①乙①④丙③②若a3第一(对应①),则a2不能在对应①,从而a4对应④,那么丙的预测就没有猜中,矛盾;于是a2对应①,a3不能对应①,知a1对应③,a4对应②,从而a3只能是第四.故四个学生的名次依次为a2,a4,a1,a3.27.解:最少可以按5次按钮.首先按黄色按钮,3个小木偶变成6个小木偶,再按黄色按钮,6个小木偶变成12个小木偶,再次按红色按钮,12木偶变成11个小木偶,接下来按黄色按钮,11小木偶变成22个小木偶,最后按红色按钮,22个木偶变为21个按钮.如图所示:28.解:∵2:50﹣5:00中间3、4、5点各打3+4+5=12下钟,看书时间就是2:50,当5点后大约5:27分时钟与分钟重合,∴看完书时是5:27分,∴看了一共看书时间为:2:50﹣5:27,一共是2小时37分钟.∴张师傅看了2小时37分钟的书29.解:∵商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油,其中麻油一桶,∴豆油、菜油各两桶,且麻油重量一定不是60kg,又∵豆油的公斤数恰好是菜油的两倍,∴豆油的公斤数至少是(60+60)的2倍,∴豆油公斤数是:90+150=240,菜油的公斤数是:120,∴五只桶分别装的是:60kg菜油,60kg菜油,80kg麻油,90kg豆油,150kg豆油30.解:如图所示:只需3步就可以达到目的。
初二数学几何证明与推理练习题及答案20题

初二数学几何证明与推理练习题及答案20题1. 题目:已知ABCD是一个平行四边形,证明AC=BD。
证明:由平行四边形的定义,可知AB∥CD和AD∥BC。
在ABCD中,我们连接AC和BD,假设它们的交点为E。
因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°(内错角性质)。
又由于AD∥BC,所以∠BCD+∠CDE=180°(内错角性质)。
综上,∠ABC+∠CDE=180°,即△ABC与△CDE互补。
根据互补角的性质,△ABC与△CDE全等,因此AC=BD得证。
2. 题目:已知ABCD是一个矩形,证明BD是直径。
证明:由矩形的定义,可知AB∥CD和AD∥BC。
在矩形ABCD中,我们连接角BAD的角平分线BE和角BCD的角平分线CF,它们相交于点O。
因为角BAD和角BCD都是直角(矩形的性质),所以∠BAE=∠CFO=90°。
由于角平分线的性质,∠BAE=∠CAE,∠CFO=∠CDO。
因此,在△BAE和△CFO中,∠CAE=∠CDO,且∠BAE=∠CFO。
根据AA相似三角形的性质,△BAE与△CFO相似。
因此,AE/CF=BA/CO=1/2(相似三角形的对应边比例相等)。
由此可得,CO=2AE,即CO=2BO。
由于OC=OC(公共边),所以△BOC为等腰三角形,即BO=BC。
综上所述,BD=2BO=2BC,即BD是直径。
3. 题目:已知△ABC中,AB=AC,垂直平分线BM过点B交AC于点M,证明∠ABM=∠ACM。
证明:由题意可得AB=AC,BM⊥AC,且BM平分∠ABC。
连接AM和CM。
在△ABC中,由于AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。
由垂直平分线的性质,BM平分了∠ABC,所以∠ABM=∠CBM。
同理,在△ACB中,由于AB=AC,所以∠ACB=∠ABC。
由垂直平分线的性质,BM平分了∠ACB,所以∠CBM=∠ACM。
综上所述,∠ABM=∠CBM=∠ACM得证。
高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

第二章 推理与证明(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.证明:n +22<1+12+13+14+…+12n<n +1(n >1),当n =2时,中间式子等于( ) A.1 B.1+12C.1+12+13D.1+12+13+14解析:选D.n =2时中间式子的最后一项为14,所以中间式子为1+12+13+14.2.用反证法证明命题:“若函数f (x )=x 2+px +q ,那么|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|中至少有一个不小于12”时,反设正确的是( )A.假设|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|都不小于12B.假设|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|都小于12C.假设|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|至多有两个小于12D.假设|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|至多有一个小于12解析:选B.“|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|都小于12”.3.设x >0,则不等式x +1x ≥2,x +4x 2≥3,x +27x 3≥4,…,推广到x +axn ≥n +1,则a=( )A.2nB.2nC.n 2D.n n解析:选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方,可得a =n n.4.下面是一段“三段论”推理过程:若函数f (x )在(a ,b )内可导且单调递增,则在(a ,b )内,f ′(x )>0恒成立.因为f (x )=x 3在(-1,1)内可导且单调递增,所以在(-1,1)内,f ′(x )=3x 2>0恒成立.以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析:选A.f (x )在(a ,b )内可导且单调递增,则在(a ,b )内,f ′(x )≥0恒成立,故大前提错误,故选A.5.用数学归纳法证明:1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n =2nn +1时,由n =k 到n =k +1左边需要添加的项是( )A.2k (k +2)B.1k (k +1)C.1(k +1)(k +2)D.2(k +1)(k +2)解析:选D.由n =k 到n =k +1时,左边需要添加的项是11+2+3+…+(k +1)=2(k +1)(k +2).故选D.6.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a >b >c ,且a +b +c =0,求证 b 2-ac <3a ”索的因应是( )A.a -b >0B.a -c <0C.(a -b )(a -c )>0D.(a -b )(a -c )<0解析:选C.要证明 b 2-ac <3a ,只需证b 2-ac <3a 2,只需证(a +c )2-ac <3a 2,只需证-2a 2+ac +c 2<0,即证2a 2-ac -c 2>0,即证(a -c )(2a +c )>0,即证(a -c )(a -b )>0.7.若sin A a =cos B b =cos C c,则△ABC 是( )A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析:选C.因为sin A a =cos B b =cos C c,由正弦定理得,sin A a =sin B b =sin Cc,所以sin B b =cos B b =cos C c =sin C c.所以sin B =cos B ,sin C =cos C , 所以∠B =∠C =45°,所以△ABC 是等腰直角三角形.8.已知f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R ,且a +b >0,a +c >0,b +c >0,则f (a )+f (b )+f (c )的值一定( )A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析:选A.f (x )为奇函数,也是增函数,因此由a +b >0可得a >-b ,所以f (a )>f (-b ),即f (a )>-f (b ),于是f (a )+f (b )>0,同理,f (a )+f (c )>0,f (b )+f (c )>0,所以f (a )+f (b )+f (c )>0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”,类似可得:已知A (-1,0,0),B (1,0,0),则点集{P (x ,y ,z )||PA |-|PB |=1}在空间中的轨迹描述正确的是( )A.以A ,B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A ,B 为焦点的椭球体C.以A ,B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析:选C.在平面中,点集{P (x ,y )||PA |-|PB |=1}是以A ,B 为焦点的双曲线的一支,点集{P (x ,y ,z )||PA |-|PB |=1}在空间中的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面,故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是高,“幂”是截面积.意思是:如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,区域①是一个形状不规则的封闭图形,区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形,且当实数t 取[0,3]上的任意值时,直线y =t 被区域①和区域②所截得的两线段长总相等,则区域①的面积为( )A.4B.92 C.5D.112解析:选B.根据题意,由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积,又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形,所以①的面积为(1+2)×32=92.11.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( )A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,2)解析:选B.依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n +1,且第n 组共有n 个“整数对”,这样的前n 组一共有n (n +1)2个“整数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).12.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形解析:选D.因为三角形内角的正弦值是正值,所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形,并设cos A 1=sin A 2,则cos A 1=cos (90°-∠A 2), 所以∠A 1=90°-∠A 2.同理设cos B 1=sin B 2,cos C 1=sin C 2, 则有∠B 1=90°-∠B 2,∠C 1=90°-∠C 2. 又∠A 1+∠B 1+∠C 1=180°,所以(90°-∠A 2)+(90°-∠B 2)+(90°-∠C 2)=180°, 即∠A 2+∠B 2+∠C 2=90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾,所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形,不妨设A 2=π2,则sin A 2=1=cos A 1,而A 1在(0,π)内无解.故选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.补充下列证明过程: 要证a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac (a ,b ,c ∈R ),即证,即证W. 因为a ,b ,c 为实数,上式显然成立,故命题结论成立. 答案:2(a 2+b 2+c 2)≥2ab +2bc +2ac (a -b )2+(b -c )2+(a -c )2≥014.已知a =5-12,函数f (x )=a x,若实数m ,n 满足f (m )>f (n ),则m ,n 的大小关系为W.解析:因为当0<a <1时,函数f (x )=a x为减函数,a =5-12∈(0,1),所以函数f (x )=(5-12)x为减函数.故由f (m )>f (n )得m <n .答案:m <n15.有三X 卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一X 卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是W.解析:为方便说明,不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A ,B ,C .从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片A 或B ,无论是哪一X ,均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知,乙所拿的卡片必然是C ,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为B ,此时丙所拿的卡片为A .答案:1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,…,则第7行第4个数(从左往右数)为W. 11 1212 131613 14112112141512013012015…解析:由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知,第7行第1个数为17,由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第7行第2个数为16-17=142.同理易知,第7行第3个数为130-142=1105,第7行第4个数为160-1105=1140.答案:1140三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)定义在[-1,1]上的奇函数f (x ),当a ,b ∈[-1,1],a +b ≠0时,有f (a )+f (b )a +b>0.证明:函数f (x )的图象上不存在两个不同的点A ,B ,使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明:假设函数f (x )的图象上存在两个不同的点A ,B ,使直线AB 恰好与y 轴垂直,则A ,B 两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x 1和x 2,x 1<x 2,且x 1,x 2∈[-1,1],则f (x 1)=f (x 2). 又f (x )是奇函数,所以f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1)+f (-x 2)x 1+(-x 2)[x 1+(-x 2)].又由题意,得f (x 1)+f (-x 2)x 1+(-x 2)>0,且x 1+(-x 2)<0,所以f (x 1)+f (-x 2)<0,即f (x 1)-f (x 2)<0, 这与f (x 1)=f (x 2)矛盾,故假设不成立,即函数f (x )的图象上不存在两个不同的点A ,B ,使直线AB 恰好与y 轴垂直. 18.(本小题满分12分)已知:A ,B 都是锐角,且A +B ≠90°,(1+tan A )(1+tan B )=2.求证:A +B =45°.证明:因为(1+tan A )(1+tan B )=2, 展开化简为tan A +tan B =1-tan A tan B . 因为A +B ≠90°,tan (A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =1.又因为A ,B 都是锐角,所以0°<A +B <180°.所以A +B =45°.19.(本小题满分12分)已知a >0,b >0,2c >a +b ,求证:c -c 2-ab <a <c +c 2-ab . 证明:要证c -c 2-ab <a <c +c 2-ab . 只需证-c 2-ab <a -c <c 2-ab , 即证|a -c |<c 2-ab ,只需证(a -c )2<(c 2-ab )2, 只需证a 2-2ac +c 2<c 2-ab ,即证2ac >a 2+ab ,因为a >0,所以只需证2c >a +b .因为2c >a +b 已知, 所以原不等式成立.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,A 1B 1=A 1C 1,D ,E 分别是棱BC ,CC 1上的点(点D 不同于点C ),且AD ⊥DE ,F为B 1C 1的中点.求证:(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1; (2)直线A 1F ∥平面ADE .证明:(1)因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱, 所以CC 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥AD .因为AD ⊥DE ,CC 1,DE ⊂平面BCC 1B 1,CC 1∩DE =E , 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADE , 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1=A 1C 1,F 为B 1C 1的中点, 所以A 1F ⊥B 1C 1,因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1,且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1, 所以CC 1⊥A 1F .因为CC 1,B 1C 1⊂平面BCC 1B 1,CC 1∩B 1C 1=C 1, 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1, 所以A 1F ∥AD .因为AD ⊂平面ADE ,A 1F ⊄平面ADE , 所以A 1F ∥平面ADE .21.(本小题满分12分)设函数f (x )=x 3+11+x ,x ∈[0,1].证明:(1)f (x )≥1-x +x 2;(2)34<f (x )≤32.证明:(1)因为1-x +x 2-x 3=1-(-x )41-(-x )=1-x 41+x,由于x ∈[0,1],有1-x 41+x ≤1x +1,即1-x +x 2-x 3≤1x +1,所以f (x )≥1-x +x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故f (x )=x 3+1x +1≤x +1x +1=x +1x +1-32+32=(x -1)(2x +1)2(x +1)+32≤32,所以f (x )≤32.由第一问得f (x )≥1-x +x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34≥34,又因为f (12)=1924>34,所以f (x )>34.综上,34<f (x )≤32.22.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中,数列的前n 项和S n 满足S n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +1a n .(1)求a 1,a 2,a 3;(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 解:(1)易求得a 1=1,a 2=2-1,a 3=3- 2. (2)猜想a n =n -n -1(n ∈N *)证明:①当n =1时,a 1=1-0=1,命题成立. ②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,a k =k -k -1成立, 则n =k +1时,a k +1=S k +1-S k =12⎝⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-12⎝⎛⎭⎪⎫a k +1ak=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-12⎝ ⎛⎭⎪⎫k -k -1+1k -k -1 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-k ,所以,a 2k +1+2ka k +1-1=0,所以a k +1=k +1-k .即n =k +1时,命题成立. 由①②知,n ∈N *时,a n =n -n -1.。
数学北师大版高中选修2-2第一章 推理与证明练习题

第一章 推理与证明练习题1.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是: ;2.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为: ;3.证明n +22<1+12+13+14+…+12n<n +1(n >1),当n =2时,中间式等于: ;4.否定结论“至多有两个解”的说法是: ;5.三角形的面积为S =12(a +b +c )r ,a ,b ,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为: ;6.某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于: ;7.已知f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R ,且a +b >0,a +c >0,b +c >0,则f (a )+f (b )+f (c )的值一定: ;8.数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1-1a n,则a 2 013等于: ;9.一个数列{a n }的前n 项为35,12,511,37,717,….则猜想它的一个通项公式为a n =________.10.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有________个小正方形,第n 个图中有________个小正方形.图111.用反证法证明命题“若x 2-(a +b )x +ab ≠0,则x ≠a 且x ≠b ”时,应假设为________.12.已知等差数列{a n }中,有a 11+a 12+…+a 2010=a 1+a 2+…+a 3030,则在等比数列{b n }中,会有类似的结论:________________.13.已知a +b +c =0,比较ab +bc +ca 的大值与0的大小;14.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,….根据上述规律,第五个等式为________________________.15.(本小题满分12分)若a 1>0,a 1≠1,a n +1=2a n1+a n(n =1,2,…).(1)求证:a n +1≠a n ;(2)令a 1=12,写出a 2,a 3,a 4,a 5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16.(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n能被x +y 整除”的第二步是( )A .假设n =2k +1时正确,再推n =2k +3时正确(k ∈N +)B .假设n =2k -1时正确,再推n =2k +1时正确(k ∈N +)C .假设n =k 时正确,再推n =k +1时正确(k ∈N +)D .假设n ≤k (k ≥1)时正确,再推n =k +2时正确(k ∈N +)17.f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),经计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72.推测:当n ≥2时,有____________.18.(2014·陕西文,14)已知f (x )=x1+x,x ≥0,若f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x )),n ∈N +, 则f 2014(x )的表达式为________.19.(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图2为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.图2(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n +1)与f (n )之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式;(3)求1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1的值.20.(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )=x1+x2(x >0),f n +1(x )=f 1[f n (x )].(1)求f 2(x ),f 3(x );(2)猜想f n (x )的表达式,并证明.21.已知数列{a n },a 1=5且S n -1=a n (n ≥2,n ∈N +). (1)求a 2,a 3,a 4,并由此猜想a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式.22.(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图像上.(1)求r 的值;(2)当b =2时,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N +),证明:对任意的n ∈N +,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n>n +1成立.[解析] (1)解:因为对任意n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r均为常数)的图像上,所以S n =b n+r .当n =1时,a 1=S 1=b +r ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r )=b n -b n -1=(b -1)b n -1,又因为{a n }为等比数列,所以r =-1,公比为b ,a n =(b -1)b n -1.(2)证明:当b =2时,a n =(b -1)b n -1=2n -1, b n =2(log 2a n +1)=2(log 22n -1+1)=2n , 则b n +1b n =2n +12n ,所以b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n =32·54·76·…·2n +12n.下面用数学归纳法证明不等式:32·54·76…·2n +12n>n +1.①当n =1时,左边=32,右边=2,因为32>2,所以不等式成立.②假设当n =k (k ∈N +)时,不等式成立, 即32·54·76·…·2k +12k>k +1.则当n =k +1时, 左边=32·54·76·…·2k +12k ·2k +32k +2>k +1·2k +32k +2=k +2k +=k +2+k ++1k +=k ++1+1k +>k ++1, 所以当n =k +1时,不等式也成立.由①②可得,不等式对任何n ∈N +都成立, 即b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n >n +1恒成立.【解】 (1)f (5)=41.(2)因为f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4,…由以上规律,可得出f (n +1)-f (n )=4n ,因为f (n +1)-f (n )=4n ,所以f (n +1)=f (n )+4n ,所以f (n )=f (n -1)+4(n -1)=f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)=…=f [n -(n -1)]+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4[n -(n -1)]=2n 2-2n +1.(3)当n ≥2时,1f n -1=12n n -=12(1n -1-1n),所以1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1=1+12(1-12+12-13+13-14+…+1n -1-1n )=1+12(1-1n )=32-12n.18.(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )=x1+x2(x >0),f n +1(x )=f 1[f n (x )].(1)求f 2(x ),f 3(x );(2)猜想f n (x )的表达式,并证明. 解:(1)f 1(x )=x1+x2(x >0),f 2(x )=x1+x21+x 21+x 2=x1+2x 2,f 3(x )=x1+2x 21+x 21+2x2=x 1+2x 2+x 2=x1+3x 2. (2)猜想f n (x )=x1+nx2,下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,命题显然成立.②假设当n =k 时,f k (x )=x1+kx2,那么f k +1(x )=x1+kx 21+x21+kx2=x1+kx 2+x2=x 1+k +x 2.这就是说,当n =k +1时命题成立.由①②,可知f n (x )=x1+nx2对所有n ∈N +均成立.20.已知数列{a n },a 1=5且S n -1=a n (n ≥2,n ∈N +). (1)求a 2,a 3,a 4,并由此猜想a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式.[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ,然后用数学归纳法证明.解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k +1和S k 与S k +1之间的关系.[解析] (1)由已知,得a 2=S 1=a 1=5,a 3=S 2=a 1+a 2=10,a 4=S 3=a 1+a 2+a3=5+5+10=20,a n =⎩⎪⎨⎪⎧n =5×2n -2n .(2)①当n =2时,a 2=5×22-2=5,表达式成立.当n =1时显然成立,下面用数学归纳法证明n ≥2时结硫化亦成立.②假设n =k (k ≥2,k ∈N +)时表达式成立,即a k =5×2k -2, 则当n =k +1时,由已知条件和假设有 a k +1=S k =a 1+a 2+…+a k=5+5+10+…+5×2k -2=5+-2k -11-2=5×2k -1=5×2(k +1)-2.故当n =k +1时,表达式也成立.由①②可知,对一切n (n ≥2,n ∈N +)都有a n =5×2n -2.[点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项,然后用数学归纳法证明,考查了由特殊到一般的数学思想,也考查了数列知识,在高考中这类题往往是压轴题.解决方法是观察与分析法,也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系,归纳出构成数列的规律,同时还要注意第一项与其他各项的差异,从而发现其中的规律.21.(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图像上.(1)求r 的值;(2)当b =2时,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N +),证明:对任意的n ∈N +,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n>n +1成立.[解析] (1)解:因为对任意n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r均为常数)的图像上,所以S n =b n+r .当n =1时,a 1=S 1=b +r ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r )=b n -b n -1=(b -1)b n -1,又因为{a n }为等比数列,所以r =-1,公比为b ,a n =(b -1)b n -1.(2)证明:当b =2时,a n =(b -1)b n -1=2n -1, b n =2(log 2a n +1)=2(log 22n -1+1)=2n , 则b n +1b n =2n +12n ,所以b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n =32·54·76·…·2n +12n.下面用数学归纳法证明不等式:32·54·76…·2n +12n>n +1.①当n =1时,左边=32,右边=2,因为32>2,所以不等式成立.②假设当n =k (k ∈N +)时,不等式成立, 即32·54·76·…·2k +12k>k +1.则当n =k +1时, 左边=32·54·76·…·2k +12k ·2k +32k +2>k +1·2k +32k +2=k +2k +=k +2+k ++1k +=k ++1+1k +>k ++1, 所以当n =k +1时,不等式也成立.由①②可得,不等式对任何n ∈N +都成立, 即b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n>n +1恒成立.第一章 推理与证明 (时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是( )A .演绎推理B .归纳推理C .类比推理D .以上都不对【解析】 由部分推断全体,是归纳推理. 【答案】 B2.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( ) A .25 B .6 C .7 D .8【解析】 将数列分组得(1),(2,2),(3,3,3),(4,4,4,4),…,这样每一组的个数为1,2,3,4,…;其和为n n +2,令n =6,则有6×72=21,所以第25项在第7组,因此第25项是7.【答案】 C3.证明n +22<1+12+13+14+…+12n<n +1(n >1),当n =2时,中间式等于( )A .1B .1+12C .1+12+13D .1+12+13+14【解析】 中间的式子共有2n 项,故n =2时,中间的式子等于1+12+13+14.【答案】 D4.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A .有一个解 B .有两个解C .至少有三个解D .至少有两个解【解析】 “至多有两个解”包含有两解,仅有一解,和无解,故其否定为至少有三个解.【答案】 C5.已知c >1,a =c +1-c ,b =c -c -1,则正确的结论是( ) A .a >b B .a <bC .a =bD .a ,b 大小不定【解析】 a =1c +1+c ,b =1c +c -1,显然a <b .【答案】 B6.三角形的面积为S =12(a +b +c )r ,a ,b ,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A .V =13abcB .V =13ShC .V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r (S 1,S 2,S 3,S 4为四个面的面积,r 为内切球的半径)D .V =13(ab +bc +ac )h (h 为四面体的高)【解析】 设△ABC 的内心为O ,连接OA ,OB ,OC ,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r ,底边长分别为a ,b ,c ;类比:设四面体A -BCD 的内切球的球心为O ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,将四面体分割为四个以O 为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为r ,所以有V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r .【答案】 C 7.某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )A .f (n -1)+1B .f (n -2)+2C .f (n -2)+1D .f (n -1)+f (n -2)【解析】 要到达第n 级台阶有两种走法:(1)在第n -2级的基础上到达;(2)在第n -1级的基础上到达.【答案】 D8.已知f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R ,且a +b >0,a +c >0,b +c >0,则f (a )+f (b )+f (c )的值一定( )A .大于零B .等于零C .小于零D .正负都可能【解析】 f (x )=x 3+x 是奇函数且在R 上是增函数,由a +b >0,得a >-b ,故f (a )>f (-b ),可得f (a )+f (b )>0.同理f (a )+f (c )>0,f (b )+f (c )>0.所以f (a )+f (b )+f (c )>0.【答案】 A9.(2012·江西高考)观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( )A .28B .76C .123D .199【解析】 记a n +b n=f (n ),则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=3+4=7;f (5)=f (3)+f (4)=11.通过观察不难发现f (n )=f (n -1)+f (n -2)(n ∈N *,n ≥3),则f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76;f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.【答案】 C10.数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1-1a n,则a 2 013等于( )A.12B .-1C .2D .3【解析】 ∵a 1=12,a n +1=1-1a n,∴a 2=1-1a 1=-1,a 3=1-1a 2=2,a 4=1-1a 3=12,a 5=1-1a 4=-1,a 6=1-1a 5=2,∴a n +3k =a n (n ∈N *,k ∈N *)∴a 2 013=a 3+3×670=a 3=2. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上)11.一个数列{a n }的前n 项为35,12,511,37,717,….则猜想它的一个通项公式为a n =________.【解析】 数列可写成35,48,511,614,717,….猜想通项公式a n =n +23n +2.【答案】 n +23n +212.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有________个小正方形,第n 个图中有________个小正方形.图1【解析】根据规律和第6个图形中有1+2+3+4+5+6+7=28.第n 个图形中有1+2+…+(n +1)=n +n +2.【答案】 28 n +n +213.用反证法证明命题“若x 2-(a +b )x +ab ≠0,则x ≠a 且x ≠b ”时,应假设为________.【解析】 就x 是否等于a ,b 而言有四种情形:①x =a ,x ≠b ;②x ≠a ,x =b ;③x =a ,x =b ;④x ≠a ,x ≠b .故应假设x =a 或x =b . 【答案】 x =a 或x =b14.已知等差数列{a n }中,有a 11+a 12+…+a 2010=a 1+a 2+…+a 3030,则在等比数列{b n }中,会有类似的结论:________________.【解析】 根据等差、等比数列中运算的性质知: 在等比数列{b n }中会有10a 11·a 12·…·a 20=30a 1·a 2·…·a 30.【答案】 10a 11·a 12·…·a 20=30a 1·a 2·…·a 30三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)用反证法证明:如果x >12,那么x 2+2x -1≠0.【证明】 假设x 2+2x -1=0, 则解得x 1=2-1,x 2=-2-1.又x 1<12,x 2<12,这与已知x >12矛盾.故假设不成立,x 2+2x -1≠0成立.16.(本小题满分12分)试比较2n 与n 2(n ∈N *)的大小关系,并用数学归纳法证明.【证明】 当n =1时,21>12,即2n >n 2,当n =2时,22=22,即2n =n 2,当n =3时,23<32,即2n <n 2,当n =4时,24=42,即2n =n 2,当n =5时,25>52,即2n >n 2,当n =6时,26>62,即2n >n 2, …猜测,当n ≥5时,2n >n 2.下面用数学归纳法证明猜测成立. ①当n =5时,由上可知猜测成立.②设n =k (k ≥5)时,命题成立,即2k >k 2. ∴2k +1=2·2k >2k 2=k 2+k 2>k 2+(2k +1)=(k +1)2,即n =k +1时命题也成立.由①和②可得,n ≥5时,2n >n 2(n ∈N *).17.(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图2为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.图2(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n +1)与f (n )之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式;(3)求1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1的值.【解】 (1)f (5)=41.(2)因为f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4, …由以上规律,可得出f (n +1)-f (n )=4n ,因为f (n +1)-f (n )=4n ,所以f (n +1)=f (n )+4n ,所以f (n )=f (n -1)+4(n -1)=f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)=…=f [n -(n -1)]+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4[n -(n -1)]=2n 2-2n +1.(3)当n ≥2时,1f n -1=12n n -=12(1n -1-1n),所以1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1=1+12(1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n)=1+12(1-1n)=32-12n.18.(本小题满分14分)已知a、b、c>0,求证:a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).【证明】∵a、b、c>0,∴a2+b2≥2ab,∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b),∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2,∴a3+b3≥a2b+ab2.同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2,将三式相加得,2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a2+b2+c2)(a+b+c).∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).。
选修2-2第一章推理与证明练习题

推理与证明过关检测试题1.考察下列一组不等式: ,5252522233⋅+⋅>+ ,5252523344⋅+⋅>+,525252322355⋅+⋅>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 . 2.已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅ 的值为 . 3. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈(),猜想(f x )的表达式为( ) A.4()22xf x =+; B.2()1f x x =+; C.1()1f x x =+; D.2()21f x x =+.4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m 名(m N *∈),编号分别为1、2、3、……、m ,有n 台(n N *∈)织布机,编号分别为1、2、3、……、n ,定义记号i j a :若第i 名工人操作了第j 号织布机,规定1i j a =,否则0i j a =,则等式41424343n a a a a ++++= 的实际意义是( ) A 、第4名工人操作了3台织布机; B 、第4名工人操作了n 台织布机; C 、第3名工人操作了4台织布机; D 、第3名工人操作了n 台织布机. 5. 已知*111()1()23f n n N n=++++∈ ,计算得3(2)2f =,(4)2f >,5(8)2f >,(16)3f >,7(32)2f >,由此推测:当2n ≥时,有6. 观察下图中各正方形图案,每条边上有(2)n n ≥个圆圈,每个图案中圆圈的总数是n S ,按此规律推出:当2n ≥时,n S 与n 的关系式24n S == 38n S == 412n S ==7.观察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,则可得出一般结论: . 8.函数()f x 由下表定义:若05a =,1()n n a f a +=,0,1,2,n = ,则2007a = .9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n 表示)……10.那么2003应该在第 行,第 列。
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第一章 推理与证明练习题1.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是: ;2.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为: ;3.证明n +22<1+12+13+14+…+12n<n +1(n >1),当n =2时,中间式等于: ;4.否定结论“至多有两个解”的说法是: ;5.三角形的面积为S =12(a +b +c )r ,a ,b ,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为: ;6.某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于: ;7.已知f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R ,且a +b >0,a +c >0,b +c >0,则f (a )+f (b )+f (c )的值一定: ;8.数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1-1a n,则a 2 013等于: ;9.一个数列{a n }的前n 项为35,12,511,37,717,….则猜想它的一个通项公式为a n =________.10.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有________个小正方形,第n 个图中有________个小正方形.图111.用反证法证明命题“若x 2-(a +b )x +ab ≠0,则x ≠a 且x ≠b ”时,应假设为________.12.已知等差数列{a n }中,有a 11+a 12+…+a 2010=a 1+a 2+…+a 3030,则在等比数列{b n }中,会有类似的结论:________________.13.已知a +b +c =0,比较ab +bc +ca 的大值与0的大小;14.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,….根据上述规律,第五个等式为________________________.15.(本小题满分12分)若a 1>0,a 1≠1,a n +1=2a n1+a n(n =1,2,…).(1)求证:a n +1≠a n ;(2)令a 1=12,写出a 2,a 3,a 4,a 5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16.(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n能被x +y 整除”的第二步是( )A .假设n =2k +1时正确,再推n =2k +3时正确(k ∈N +)B .假设n =2k -1时正确,再推n =2k +1时正确(k ∈N +)C .假设n =k 时正确,再推n =k +1时正确(k ∈N +)D .假设n ≤k (k ≥1)时正确,再推n =k +2时正确(k ∈N +)17.f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),经计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72.推测:当n ≥2时,有____________.18.(2014·陕西文,14)已知f (x )=x1+x,x ≥0,若f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x )),n ∈N +, 则f 2014(x )的表达式为________.19.(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图2为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.图2(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n +1)与f (n )之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式;(3)求1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1的值.20.(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )=x1+x2(x >0),f n +1(x )=f 1[f n (x )].(1)求f 2(x ),f 3(x );(2)猜想f n (x )的表达式,并证明.21.已知数列{a n },a 1=5且S n -1=a n (n ≥2,n ∈N +). (1)求a 2,a 3,a 4,并由此猜想a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式.22.(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图像上.(1)求r 的值;(2)当b =2时,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N +),证明:对任意的n ∈N +,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n>n +1成立.[解析] (1)解:因为对任意n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r均为常数)的图像上,所以S n =b n+r .当n =1时,a 1=S 1=b +r ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r )=b n -b n -1=(b -1)b n -1,又因为{a n }为等比数列,所以r =-1,公比为b ,a n =(b -1)b n -1.(2)证明:当b =2时,a n =(b -1)b n -1=2n -1, b n =2(log 2a n +1)=2(log 22n -1+1)=2n , 则b n +1b n =2n +12n ,所以b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n =32·54·76·…·2n +12n.下面用数学归纳法证明不等式:32·54·76…·2n +12n>n +1.①当n =1时,左边=32,右边=2,因为32>2,所以不等式成立.②假设当n =k (k ∈N +)时,不等式成立, 即32·54·76·…·2k +12k>k +1.则当n =k +1时, 左边=32·54·76·…·2k +12k ·2k +32k +2>k +1·2k +32k +2=k +2k +=k +2+k ++1k +=k ++1+1k +>k ++1, 所以当n =k +1时,不等式也成立.由①②可得,不等式对任何n ∈N +都成立, 即b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n >n +1恒成立.【解】 (1)f (5)=41.(2)因为f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4,…由以上规律,可得出f (n +1)-f (n )=4n ,因为f (n +1)-f (n )=4n ,所以f (n +1)=f (n )+4n ,所以f (n )=f (n -1)+4(n -1)=f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)=…=f [n -(n -1)]+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4[n -(n -1)]=2n 2-2n +1.(3)当n ≥2时,1f n -1=12n n -=12(1n -1-1n),所以1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1=1+12(1-12+12-13+13-14+…+1n -1-1n )=1+12(1-1n )=32-12n.18.(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )=x1+x2(x >0),f n +1(x )=f 1[f n (x )].(1)求f 2(x ),f 3(x );(2)猜想f n (x )的表达式,并证明. 解:(1)f 1(x )=x1+x2(x >0),f 2(x )=x1+x21+x 21+x 2=x1+2x 2,f 3(x )=x1+2x 21+x 21+2x2=x 1+2x 2+x 2=x1+3x 2. (2)猜想f n (x )=x1+nx2,下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,命题显然成立.②假设当n =k 时,f k (x )=x1+kx2,那么f k +1(x )=x1+kx 21+x21+kx2=x1+kx 2+x2=x 1+k +x 2.这就是说,当n =k +1时命题成立.由①②,可知f n (x )=x1+nx2对所有n ∈N +均成立.20.已知数列{a n },a 1=5且S n -1=a n (n ≥2,n ∈N +). (1)求a 2,a 3,a 4,并由此猜想a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式.[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ,然后用数学归纳法证明.解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k +1和S k 与S k +1之间的关系.[解析] (1)由已知,得a 2=S 1=a 1=5,a 3=S 2=a 1+a 2=10,a 4=S 3=a 1+a 2+a3=5+5+10=20,a n =⎩⎪⎨⎪⎧n =5×2n -2n .(2)①当n =2时,a 2=5×22-2=5,表达式成立.当n =1时显然成立,下面用数学归纳法证明n ≥2时结硫化亦成立.②假设n =k (k ≥2,k ∈N +)时表达式成立,即a k =5×2k -2, 则当n =k +1时,由已知条件和假设有 a k +1=S k =a 1+a 2+…+a k=5+5+10+…+5×2k -2=5+-2k -11-2=5×2k -1=5×2(k +1)-2.故当n =k +1时,表达式也成立.由①②可知,对一切n (n ≥2,n ∈N +)都有a n =5×2n -2.[点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项,然后用数学归纳法证明,考查了由特殊到一般的数学思想,也考查了数列知识,在高考中这类题往往是压轴题.解决方法是观察与分析法,也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系,归纳出构成数列的规律,同时还要注意第一项与其他各项的差异,从而发现其中的规律.21.(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图像上.(1)求r 的值;(2)当b =2时,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N +),证明:对任意的n ∈N +,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n>n +1成立.[解析] (1)解:因为对任意n ∈N +,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ≠1,b ,r均为常数)的图像上,所以S n =b n+r .当n =1时,a 1=S 1=b +r ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r )=b n -b n -1=(b -1)b n -1,又因为{a n }为等比数列,所以r =-1,公比为b ,a n =(b -1)b n -1.(2)证明:当b =2时,a n =(b -1)b n -1=2n -1, b n =2(log 2a n +1)=2(log 22n -1+1)=2n , 则b n +1b n =2n +12n ,所以b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n =32·54·76·…·2n +12n.下面用数学归纳法证明不等式:32·54·76…·2n +12n>n +1.①当n =1时,左边=32,右边=2,因为32>2,所以不等式成立.②假设当n =k (k ∈N +)时,不等式成立, 即32·54·76·…·2k +12k>k +1.则当n =k +1时, 左边=32·54·76·…·2k +12k ·2k +32k +2>k +1·2k +32k +2=k +2k +=k +2+k ++1k +=k ++1+1k +>k ++1, 所以当n =k +1时,不等式也成立.由①②可得,不等式对任何n ∈N +都成立, 即b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n>n +1恒成立.第一章 推理与证明 (时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是( )A .演绎推理B .归纳推理C .类比推理D .以上都不对【解析】 由部分推断全体,是归纳推理. 【答案】 B2.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( ) A .25 B .6 C .7 D .8【解析】 将数列分组得(1),(2,2),(3,3,3),(4,4,4,4),…,这样每一组的个数为1,2,3,4,…;其和为n n +2,令n =6,则有6×72=21,所以第25项在第7组,因此第25项是7.【答案】 C3.证明n +22<1+12+13+14+…+12n<n +1(n >1),当n =2时,中间式等于( )A .1B .1+12C .1+12+13D .1+12+13+14【解析】 中间的式子共有2n 项,故n =2时,中间的式子等于1+12+13+14.【答案】 D4.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A .有一个解 B .有两个解C .至少有三个解D .至少有两个解【解析】 “至多有两个解”包含有两解,仅有一解,和无解,故其否定为至少有三个解.【答案】 C5.已知c >1,a =c +1-c ,b =c -c -1,则正确的结论是( ) A .a >b B .a <bC .a =bD .a ,b 大小不定【解析】 a =1c +1+c ,b =1c +c -1,显然a <b .【答案】 B6.三角形的面积为S =12(a +b +c )r ,a ,b ,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A .V =13abcB .V =13ShC .V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r (S 1,S 2,S 3,S 4为四个面的面积,r 为内切球的半径)D .V =13(ab +bc +ac )h (h 为四面体的高)【解析】 设△ABC 的内心为O ,连接OA ,OB ,OC ,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r ,底边长分别为a ,b ,c ;类比:设四面体A -BCD 的内切球的球心为O ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,将四面体分割为四个以O 为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为r ,所以有V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r .【答案】 C 7.某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )A .f (n -1)+1B .f (n -2)+2C .f (n -2)+1D .f (n -1)+f (n -2)【解析】 要到达第n 级台阶有两种走法:(1)在第n -2级的基础上到达;(2)在第n -1级的基础上到达.【答案】 D8.已知f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R ,且a +b >0,a +c >0,b +c >0,则f (a )+f (b )+f (c )的值一定( )A .大于零B .等于零C .小于零D .正负都可能【解析】 f (x )=x 3+x 是奇函数且在R 上是增函数,由a +b >0,得a >-b ,故f (a )>f (-b ),可得f (a )+f (b )>0.同理f (a )+f (c )>0,f (b )+f (c )>0.所以f (a )+f (b )+f (c )>0.【答案】 A9.(2012·江西高考)观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( )A .28B .76C .123D .199【解析】 记a n +b n=f (n ),则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=3+4=7;f (5)=f (3)+f (4)=11.通过观察不难发现f (n )=f (n -1)+f (n -2)(n ∈N *,n ≥3),则f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76;f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.【答案】 C10.数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1-1a n,则a 2 013等于( )A.12B .-1C .2D .3【解析】 ∵a 1=12,a n +1=1-1a n,∴a 2=1-1a 1=-1,a 3=1-1a 2=2,a 4=1-1a 3=12,a 5=1-1a 4=-1,a 6=1-1a 5=2,∴a n +3k =a n (n ∈N *,k ∈N *)∴a 2 013=a 3+3×670=a 3=2. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上)11.一个数列{a n }的前n 项为35,12,511,37,717,….则猜想它的一个通项公式为a n =________.【解析】 数列可写成35,48,511,614,717,….猜想通项公式a n =n +23n +2.【答案】 n +23n +212.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有________个小正方形,第n 个图中有________个小正方形.图1【解析】根据规律和第6个图形中有1+2+3+4+5+6+7=28.第n 个图形中有1+2+…+(n +1)=n +n +2.【答案】 28 n +n +213.用反证法证明命题“若x 2-(a +b )x +ab ≠0,则x ≠a 且x ≠b ”时,应假设为________.【解析】 就x 是否等于a ,b 而言有四种情形:①x =a ,x ≠b ;②x ≠a ,x =b ;③x =a ,x =b ;④x ≠a ,x ≠b .故应假设x =a 或x =b . 【答案】 x =a 或x =b14.已知等差数列{a n }中,有a 11+a 12+…+a 2010=a 1+a 2+…+a 3030,则在等比数列{b n }中,会有类似的结论:________________.【解析】 根据等差、等比数列中运算的性质知: 在等比数列{b n }中会有10a 11·a 12·…·a 20=30a 1·a 2·…·a 30.【答案】 10a 11·a 12·…·a 20=30a 1·a 2·…·a 30三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)用反证法证明:如果x >12,那么x 2+2x -1≠0.【证明】 假设x 2+2x -1=0, 则解得x 1=2-1,x 2=-2-1.又x 1<12,x 2<12,这与已知x >12矛盾.故假设不成立,x 2+2x -1≠0成立.16.(本小题满分12分)试比较2n 与n 2(n ∈N *)的大小关系,并用数学归纳法证明.【证明】 当n =1时,21>12,即2n >n 2,当n =2时,22=22,即2n =n 2,当n =3时,23<32,即2n <n 2,当n =4时,24=42,即2n =n 2,当n =5时,25>52,即2n >n 2,当n =6时,26>62,即2n >n 2, …猜测,当n ≥5时,2n >n 2.下面用数学归纳法证明猜测成立. ①当n =5时,由上可知猜测成立.②设n =k (k ≥5)时,命题成立,即2k >k 2. ∴2k +1=2·2k >2k 2=k 2+k 2>k 2+(2k +1)=(k +1)2,即n =k +1时命题也成立.由①和②可得,n ≥5时,2n >n 2(n ∈N *).17.(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图2为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.图2(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n +1)与f (n )之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式;(3)求1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1的值.【解】 (1)f (5)=41.(2)因为f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4, …由以上规律,可得出f (n +1)-f (n )=4n ,因为f (n +1)-f (n )=4n ,所以f (n +1)=f (n )+4n ,所以f (n )=f (n -1)+4(n -1)=f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)=…=f [n -(n -1)]+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4[n -(n -1)]=2n 2-2n +1.(3)当n ≥2时,1f n -1=12n n -=12(1n -1-1n),所以1f +1f -1+1f -1+…+1f n -1=1+12(1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n)=1+12(1-1n)=32-12n.18.(本小题满分14分)已知a、b、c>0,求证:a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).【证明】∵a、b、c>0,∴a2+b2≥2ab,∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b),∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2,∴a3+b3≥a2b+ab2.同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2,将三式相加得,2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a2+b2+c2)(a+b+c).∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).。