2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一.选择题

1.如果集合

.A B

同时满足

{}1.2.3.4A B ={}

1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为

“好集对”。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，

()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有

（ ）个。

64

8

6

2

A

B

C

D

２.设函数()()lg 10

1x

f x -=+,

()()122x x f f --=方程的解

为( )

()()()()2222.log lg21

.lg log 101

.lg lg21

.log log 101

A B C D --++3.设100101102499500

A =是一个1203位的正整数,由从

100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )

4.在直角ABC

中,

90

C ∠=,C

D 为斜边上的高,D 为垂足.

,,1

AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k

u 的通项为

()1221,1,2,3,

,

k

k k k k k u a a b a b b k --=-+-

+-=则( )

2008200720062008200720062008200720082007

2007200820082007

.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺

78

36

6

A

B

C

D

序排成一个新的数列{}n

a ,易见

123451,3,7,9,13a a a a a =====那

么

2007

____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597

6.

设

A B ==1+cos871-cos87

则():A B =

..

.A B C D 2

2

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n

为使得n

n

a =取实数值的

最小正整数,则对应此n 的n

a 为

9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如

6,8,10

都是奇异数.那么在

27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1

1

1

1

ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条

棱1,

,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60

那么这个平行六面体的四条对角线1

1

1

1

,,,AC BD DB CA 的

长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数

()()

,f x g x 的迭代的函数定义为

()()()()()()()1

2

,,f x f x f x f f x ==

()()()()()

()()()()()()()()()()()

()

1121,,,

n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====

,ayz bzx cxy

p x y z

++=其中

p

为给定的正实数,试求

()()()222

s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s

取此最大值时, ,,x y z

的取值.

2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案

一、 选择题

1.C.

2.A.

3.C.

4.A.

5.B

6.D. 第1题解答过程

逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .

元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .

同理，元素3和4也有2种选择.

但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .

所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 第2题解答过程 令)

110

lg(+=-x

y ，则0>y ，且y

x

10110

=+-，1

1010

-=-y x

，