碎纸片拼接问题B

贪婪算法2：从右到左，依次选择距离最小的一片拼接。
贪婪算法3：每次选择所有邻接距离最小的两片拼接。
图论方法：以每个碎片为顶点，按照碎片两两之间的距离 定义一个有向权图。将拼接次序问题转化为求TSP问题。 再利用TSP问题的算法求解。
规划方法：将每一行的碎片依次编号为 1,2,, N . 定义两碎片之间的有向距离为 cij 。
1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸 片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针 对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据 进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干 预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格 形式表达 。
附
附
件
件
1
2
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文 各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需 要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原 结果表达要求同上。
方法2：聚类算法：主要方法，效果好。
• 计算 Ai 的行和，得到一个特征向量 ri 。定义适当的 向量相似度指标，对 ri 进行相似度计算，然后对所有 碎片进行聚类，得到分行结果。
几种相似度度量指标：
欧式距离倒数： dij
|| ri
1 rj
||
夹角余弦：
cos ij
||
ri
riT rj || || rj
（1）确定决策变量
令
xi, j
1, 0,
第 j 张纸片放在第 i 行 否则
（2）确定目标函数： 以碎片分组后的总相似度最大为目标。
max z
cij xij
ij
（3）确定约束条件
M
xij
1, j 1,2,, M (N 1)
•每张碎片必在某一行
s.t.
i 1 MN M
xijwenku.baidu.com
N
1, i
令
xi,k
1,
0,
第 i 块碎片在第 k 个位置上 否则
min
N 1 N N
z
cij xi,k x j,k1
k1 i1 j1, ji
s.t.
N i1
xi,k
1,k
1,2,, N
xi,k 0或1
计算结果：
第三步：行间排序
利用行距等信息，或利用内容排序。
3、总结
• 思路：是否有全局最优的思想。
i1 j1
MN
xi, j,k 1, i 1,2,, M; j 1,2,, N
k 1
缺点： • 整数规划问题不易求解；规模增大，
计算量指数增加。 • 整体效果依赖于差异度指标，容易出错。
方法二：分组确定碎纸片的位置。
基本思路： 三步走，分行，行内排序，行间排序。
第一步：分行
方法1：直接利用行距信息分组。 普遍做法，精度略差（尤其是英文）， 成功率80%左右，技术含量不足。
1,2,, M
•每行有N-1张碎片
j1
xij 0 或1
第二步：行内排序
距离定义：欧式距离、夹角余弦、相关系数、像素阵列 分布的距离
行内排序算法：
贪婪算法1：从左到右，依次选择距离最小的一片拼接。 步骤： 1）先确定左边第一张。 2）选择和当前已拼好的碎纸片中最右边的一张距离最小 的纸片，将其拼接上。 3）重复步骤2），直到这一行的所有碎片都拼好。
如何确定碎纸片的位置？
方法一：一次性确定所有碎纸片的位置。 方法二：分组确定碎纸片的位置。 方法三：逐一确定碎纸片的位置。
方法一：一次性确定所有碎纸片的位置。 目标函数：所有碎片的左右和上下差异度指标值 之和。
min
M N 1 MN MN
z
ck ,l xi, j,k xi, j1,l
3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出 发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要 解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的 碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算 法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达 要求同上。
附件3 附件4
二、建模分析
（1）审题：找出关键语句
k 1
数学模型：
min
M N 1 MN MN
z
ck ,l xi, j,k xi, j1,l
i1 j1 k1 l1,l k
M 1 N MN MN
dk ,l xi, j,k xi1, j,l
i1 j1 k1 l 1,lk
MN
s.t.
xi, j,k 1, k 1,2,, MN
目标：开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。
任务：1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破 碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法。如 果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间 节点。
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接 复原模型和算法。 3. 双面打印文件的碎纸片拼接复原问题。尝试设计相应 的碎纸片拼接复原模型与算法。
怎么利用这些信息？
1）只利用纸片的边缘信息。 2）利用整张纸片的信息。 分析：显然，能从图片中找到的信息越多，计算可能 就越准确。但是从中能找到哪些信息呢？ 例：行距、中心位置、文字所在行… …
差异度指标：
令 ci, j 表示碎片 i 和 j 左右拼接（ i 左 j 右）的差异度 指标值，令 di, j 表示碎片 i 和 j 上下拼接（ i 上 j 下） 的差异度指标值。
||
相关系数：
ij
cov(ri , rj ) 1
i j
分行结果统计：附件3，每页纸切成11×19张碎片
方法3：规划算法
• 假设每一行的最左边一块可以人工识别出来，依次记为 pi (i 1,2,,11) ,其它碎片记为 q j，每一个 q j 与 pi 的相似度记为 cij ，则可以求解如下规划问题来分组。
• 特征信息：分行时如何利用像素点信息？是否用 到文字结构信息？是否考虑多种信息，并通过比 较选取合适信息？
• 算法：算法与模型是否一致？算法描述是否清楚、 准确？
• 人工干预：干预方式和干预时间节点是否明确表 述？
存在问题：
i1 j1 k1 l1,l k
M 1 N MN MN
dk ,l xi, j,k xi1, j,l
i1 j1 k1 l 1,lk
约束条件： （1）每个碎片只能放在一个位置上。
MN
xi, j,k 1, k 1,2,, MN
i1 j1
（2）每个位置上也只能放置一张碎片。
MN
xi, j,k 1, i 1,2,, M; j 1,2,, N
• 将纸片依次编号为 1,2，……，MN，则可令
xi, j,k
10,,
第k张纸片放在第i 行第 j列 否则
i 1,2,, M; j 1,2,, N ; k 1,2,, MN
效果：如何衡量一个拼接方案的效果？
分析：如果所有纸片都正确拼接了，那么应该使得和 其有关的某些指标达到最优。
问题：构造什么样的指标？
可能的方案：
（1）整体的文字拼接正确度；
不易衡量。
（2）纸片两两之间的拼接正确度。
•如何计算纸片两两之间的拼接正确度？ 分析：假设纸片 i 和 j 拼接在一起，i 左 j 右，则 应该可以计算出一个相关的正确度指标。
怎么计算？
• 利用什么信息计算？ 利用Matlab 软件读取碎片，生成相对应的灰度值 数字矩阵 Ai 。
碎纸片的拼接复原
1、问题介绍 2、建模分析 3、总结
一、问题介绍： 碎纸片的拼接复原（ 2013B题） 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以
及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼 接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。 特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成 任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的 自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题：
（2）主要任务
•如何拼接复原一组碎纸片？ •怎样自动完成拼接？
（1）如何拼接完成一组碎纸片？
初步分析：将所有的纸片都放在正确的位置上。
位置： （1）如何描述一张纸片的位置？ （2）如何判断一张纸片应该在哪个位置？ 效果：如何衡量一个拼接方案的效果？
纸片位置的表示： 已知一张纸被切割成了M行、N 列，则每张纸片可 用其所在的行、列编号来表示其位置。