实变函数论文

题目：勒贝格积分对比黎曼积分的优越性摘要：黎曼积分与勒贝格积分之间有许多的相同之处，而勒贝格积分比黎曼积分要优越许多，不仅是从它们的定义上看，本文从多种角度论述了黎曼积分与勒贝格积分的不同点与相似点，举出了很多的题目和例子，根据形象的对比得出了勒贝格积分比之黎曼积分的优越性。

关键词：定义联系区别可积性正文：一、定义的区分：1.黎曼积分的定义：（1）区间的分割一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<...<xn=b。

每个闭区间[xi,xi + 1]叫做一个子区间。

定义λ 为这些子区间长度的最大值：λ = max(xi + 1 −xi)，其中0≤i≤n-1。

再定义取样分割。

一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x0<x1<x2<...<xn=b后，于每一个子区间中[xi,xi + 1]取出一点xi≤ti≤xi+1。

λ的定义同上。

精细化分割：设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。

如果对于任意0≤i≤n，都存在r(i)使得xi = yr(i)，并存在使得ti = sj，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。

简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。

如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

（2）黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割x0,...,xn-1 、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式：和式中的每一项是子区间长度xi + 1 −xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。

直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

2.勒贝格积分的定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使S(D,f) -s(D,f) = ΣωimEi；这里S(D,f) 及s(D,f）分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei 上的振幅。

由上述定义可以看出，勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。

对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：“假如我欠人家一笔钱，要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想。

”从理论实际上来说，黎曼积分定义下的函数类太小，而勒贝格积分就完美的解决了这一问题。

二、勒贝格积分与黎曼积分的联系：而根据上述的定义可以看出，对于定义在某以特定区间[a,b]内的函数f（x），如果它是黎曼可积的，则它必然也是勒贝格可积的，而且在这种情况下，它有相同的积分值。

所以我们在平时的解题中，为方便起见，先考虑函数是否黎曼可积，因为我们在数学分析中所学的都为黎曼积分，对黎曼积分较为熟悉。

如下：例1设f(x)是区间[a,b]上的有界单调函数，f的不连续点至多是可列集，因此f在[a,b]上几乎为处处连续的，又因为f在[a,b]上是有界的，故f在[a,b]上是黎曼可积的，所以也是勒贝格可积的。

但是必须指出，具有广义黎曼积分的函数并不一定勒贝格可积。

如下：，在数学分析中，f在[0,∞]上的广义黎曼积分是收敛的，但例2设f(x)=sin xx不是绝对收敛的；而f在[0,∞]上不是勒贝格可积的。

还有一些函数虽然黎曼不可积，但勒贝格可积。

如下：例3简单函数，如下：狄利克雷函数：但是我们平时在求解勒贝格积分的过程中还是有很多可以转化为黎曼积分的。

如下： 例4 计算f (x )=√x−13在[1,2]上的积分解：用分段函数求解，f(x)是[1,2]上的非负函数，则有下:[f (x )]n {n,1≤x <√x−13√x−13√x−13≤x <2，显然，对每个[f (x )]n 均黎曼可积，故也勒贝格可积 ∫[f (x )]n [1,2]dx =(R )∫ndx1+1n 31+(R)∫2 =[n (1+1n3)−n]+(32−32n 2)=32−12n 2 于是∫f (x )dx =lim n→∞[f (x )]n dx [1,2]=lim n→∞(32−32n 2)=32 例5 设E =(0,∞),E 上函数f (x )={x 12,x ∈(0,1]x −2,x ∈(1,∞)求∫f(x)dx E .解：同上题理，作分段函数，[f (x )]n ={n 0<x ≤1n 2x 12 1n2<x ≤1 x −2 1<x <∞取E n =[1n 2,n],n =1,2,3,… 由于[f (x )]n 在E n 上黎曼可积，故∫[f (x )]n dx =(R)∫x 12dx+∫x −2 dx n111n 2E n=2x 12|11n 2−1x |n 1=3−3n (L)∫f (x )dx =lim n→∞[f (x )]n dx E=limn→∞(3−3n)=3而还有一些勒贝格可积的函数，可利用勒贝格控制收敛定理求解。

如下：、例6证明：limn ∫dt(1+tn)n t1n=1 (0,∞).证明当t∈(0,1)时，1(1+tn )n t1n≤1t1n≤√tn>2)；当 t∈[t,∞)及n>2时，1(1+tn )n t1n=1(1+t+n−12nt2+⋯)t1n<2nt2(n−1)<4t2.令 F(t)=√t t∈(0,1),4t2,t∈[1,∞),则∫F(x)(0,∞)dx=∫√t∫4dtt2∞1=6，因此F(x)在(0,∞)上可积，于是勒贝格控制收敛定理，lim n ∫dt(1+tn)n t1n(0,∞)=∫limndt(1+tn)n t1n(0,∞)=∫dte t(0,∞)=1.证毕。

三、勒贝格积分与黎曼积分的区别：众所周知，黎曼积分比之勒贝格积分有着明显的局限性。

如上部分中例3所举的狄利克雷函数，它虽然黎曼不可积，但勒贝格可积。

故可知勒贝格可积范围比黎曼积分广泛，它将可积函数类拓广为有界可测函数。

在数学分析中经常遇到的一个问题也在勒贝格积分中得到了较好的解决。

这个问题就是两种极限过程的交换次序问题，尤其是积分与函数列的极限的交换问题。

根据我们之前在数学分析中所学的知识，一般都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算和积分运算的次序是可以交换的，但是“一致收敛”这个条件过于严苛，暴露出了黎曼积分定义的缺陷。

而勒贝格积分中不必再使用复杂的“一致收敛”，转而引进新的概念“几乎处处收敛”，利用测度的概念，重新定义了交换积分与极限次序的条件，从而使一些黎曼积分无法或难以解决的问题简单化。

所以我们经常利用勒贝格积分解决黎曼积分中较为复杂的问题。

如下：例7 已知f(x){x2 x∈[0,1]大于13无理点x3 x∈[0,1]小于13无理点0 x∈[0,1]有理点求∫f(x)dx[0,1]解：令g(x){x2 x∈[13,1]x3 x∈[0,13]f(x)=g(x)a.e.于[0,1],则有下：∫f(x)dx [0,1]=∫g(x)dx=∫g(x)dx1[0,1]=∫x3dx+∫x211313dx=x44|13+x33|113=103324综上所述，勒贝格积分比之黎曼积分的优越性清晰可见。

首先，勒贝格积分与黎曼积分相互依存，相互补充；第二，勒贝格积分拓展了黎曼积分的定义，将可积的范围大大扩大，降低了可积性条件的要求，放松了黎曼积分的条件；第三，勒贝格积分并没有完全地取代黎曼积分，而是在黎曼积分的基础上的发展。

勒贝格积分不仅是积分发展史上的一次革命，还渗透进了其他学科，如概率论，泛函分析等，也受到了它积极的影响。

而它作为数学的产物，也在热学、统计学等方面有着重大的意义及应用。

参考文献：1. 程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石《实变函数与泛函分析基础》高等教育出版社 20032. 孙清华孙昊《实变函数内容、方法与技巧》华中科技大学出版社 20043. 沈凤英《浅谈勒贝格积分与黎曼积分》苏州教育学院学刊 1987第一期。