您的位置：360文档中心› 2016-2017学年高中数学 每日一题(5月1日-5月7日)新人教A版必修4

2016-2017学年高中数学 每日一题(5月1日-5月7日)新人教A版必修4

合集下载

2016～2017学年度高中数学人教A必修五同步训练题库章末综合测评1及解析

2016～2017学年度高中数学人教A必修五同步训练题库章末综合测评1及解析

章末综合测评(一)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中,若sin A ＋cos A ＝712,则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形【试题解析】 若A ≤90°,则sin A ＋cos A ≥1>712,∴A >90°. 【参考答案】 A2.在△ABC 中,内角A 满足sin A ＋cos A >0,且tan A －sin A <0,则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 【试题解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角,∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ,∴π2<A <π. ②由①②得,π2<A <3π4. 【参考答案】 C3.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a ,那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A.(8,10)B.(22,10)C.(22,10)D.(10,8) 【试题解析】 设1,3,a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ,由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10,32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2, ∴22<a <10. 【参考答案】 B4.已知圆的半径为4,a ,b ,c 为该圆的内接三角形的三边,若abc ＝162,则三角形的面积为( )A.2 2B.8 2C. 2D.22【试题解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8, ∴sin C ＝c 8,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【参考答案】 C5.△ABC 的三内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p ＝(a ＋c ,b ),q ＝(b －a ,c －a ),若p ∥q ,则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3【试题解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0, 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3.【参考答案】 B6.在△ABC 中,若sin B sin C ＝cos 2A2,则下面等式一定成立的是( ) A.A ＝B B.A ＝C C.B ＝CD.A ＝B ＝C【试题解析】 由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1,∴B －C ＝0,即B ＝C . 【参考答案】 C7.一角槽的横断面如图1所示,四边形ADEB 是矩形,且α＝50°,β＝70°,AC ＝90 mm,BC ＝150 mm,则DE 的长等于( )图1A.210 mmB.200 mmC.198 mmD.171 mm【试题解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°,在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长,即为DE 的长.【参考答案】 A8.(2014·江西高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332 D.3 3【试题解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6,∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3,∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0,即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【参考答案】 C9.(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中,sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B ),则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【试题解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ,即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3,∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2,∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2,∴a 2＋b 2＝c 2,∴△ABC 为直角三角形,故选D.【参考答案】 D10.在△ABC 中,sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ,则A ＝( )A.30°B.60°C.120°D.150°【试题解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2, ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ,∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12,又0°<A <180°,∴A ＝120°. 【参考答案】 C11.在△ABC 中,A ∶B ＝1∶2,∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分,则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D.0【试题解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线, ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等.∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等. ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2,∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32,又∵B ＝2A , ∴sin 2A sin A ＝32,即2sin A cos A sin A ＝32,∴cos A ＝34. 【参考答案】 C12.如图2,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B 后,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD ＝50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ( )图2A.23＋1B.23－1C.3－1D.3＋1 【试题解析】 在△ABC 中,BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2),在△BCD中,sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1,又∵cos θ＝sin∠BDC,∴cos θ＝3－1.【参考答案】 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形,且∠C为钝角,则a2＋b2与c2的大小关系为.【试题解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab,且∠C为钝角.∴cos C<0,∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【参考答案】a2＋b2<c214.(2013·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b＋c ＝2a,3sin A＝5sin B,则角C＝.【试题解析】由3sin A＝5sin B,得3a＝5b.又因为b＋c＝2a,所以a＝53b,c＝73b,所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝⎝⎛⎭⎪⎫53b2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0,π),所以C＝2π3.【参考答案】2π315.在锐角△ABC中,BC＝1,B＝2A,则ACcos A的值等于,AC的取值范围为.【试题解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ,∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32,∴AC＝2cos θ∈(2,3).【参考答案】2(2,3)16.(2014·全国卷Ⅰ)如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°;从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝m.图3【试题解析】根据图示,AC＝100 2 m.在△MAC中,∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中,MNAM＝sin 60°,∴MN＝1003×32＝150(m).【参考答案】150三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sinA sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a;(2)若c2＝b2＋3a2,求B.【解】(1)由正弦定理得,sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A,即sin B(sin2A＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ,所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2, 得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2,故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12,又cos B >0, 故cos B ＝22,所以B ＝45°.18.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a ＝2,cos B ＝35.(1)若b ＝4,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ,c 的值. 【解】 (1)∵cos B ＝35>0,且0<B <π, ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B , sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4, ∴12×2×c ×45＝4,∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17,∴b ＝17. 19.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中,∠A ＝3π4,AB ＝6,AC ＝32,点D 在BC 边上,AD ＝BD ,求AD 的长.【解】 设△ABC 的内角∠BAC ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90,所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010, 由题设知0<B <π4, 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中,因为AD ＝BD ,所以∠ABD ＝∠BAD ,所以∠ADB ＝π－2B ,故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20.(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处,由城A 出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去,走了20千米后到达D 处,此时C 、D 间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示,设∠ACD ＝α,∠CDB ＝β.在△CBD 中,由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17, ∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中,21sin 60°＝AD sin α, ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米).所以这人还要再走15千米可到达城A .21.(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小;(2)若b ＝2a ,△ABC 的面积为22sin A sin B ,求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0, ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0,即(2cos C ＋1)2＝0, ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0,π),∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2, ∴c ＝5a ,即sin C ＝5sin A , ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ,且S △ABC ＝22sin A sin B , ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ,∴absin A sin B sin C ＝2,由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2,解得c ＝1. 22.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间;(2)若△ABC 中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且C ＝60°,c ＝3,求△ABC 的面积.【解】 (1)由题意,f (x )的最大值为m 2＋2,所以m 2＋2＝2. 又m >0,所以m ＝2,f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z ), 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R , 由题意,得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ,得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理,得2R (a ＋b )＝26ab ,a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理,得a 2＋b 2－ab ＝9, 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②,得2(ab )2－3ab －9＝0, 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去), 故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

【可编辑全文】2017版普通高中数学新课标测试题及答案(两套试题)

【可编辑全文】2017版普通高中数学新课标测试题及答案(两套试题)

可编辑修改精选全文完整版最新课程标准考试数学试题(一)一、填空题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1、数学是研究（空间形式和数量关系）的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（基本技能）、基本思想。

3、高中数学课程应具有多样性和（选择性），使不同的学生在数学上得到不同的发展。

4、高中数学课程应注重提高学生的数学（思维）能力。

5、高中数学选修2-2的内容包括：导数及其应用、（推理与证明）、数系的扩充与复数的引入。

6、高中数学课程要求把数学探究、（数学建模）的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。

7、选修课程系列1是为希望在（人文、社会科学）等方面发展的学生设置的，系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。

8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（情感、态度、价值观）。

9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与（三角函数）的一种工具。

10、数学探究即数学（探究性课题）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。

二、判断题（本大题共5道小题，每小题2分，共10分）1、高中数学课程每个模块1学分，每个专题2学分。

（错）改：高中数学课程每个模块2学分，每个专题1学分。

2、函数关系和相关关系都是确定性关系。

（错）改：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。

3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。

（对）4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。

（对）5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。

（错）改：教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者和合作者。

三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分）1、高中数学课程的总目标是什么？使学生在九年制义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库第二章数列学业分层测评11及答案

课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库第二章数列学业分层测评11及答案

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.等差数列前n 项和为S n ,若a 3＝4,S 3＝9,则S 5－a 5＝( ) A.14 B.19 C.28 D.60【试题解析】 在等差数列{a n }中,a 3＝4,S 3＝3a 2＝9,∴a 2＝3,S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.【参考答案】 A2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15【试题解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×13(a 1＋a 13)2＝313S 13.于是可知S 13是常数. 【参考答案】 C3.已知等差数列的前n 项和为S n ,若S 13<0,S 12>0,则此数列中绝对值最小的项为( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【试题解析】 由⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6>－d2，故|a 6|>|a 7|.【参考答案】 C4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝9,S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27【试题解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6－S 3,S 9－S 6构成等差数列,所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3),即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【参考答案】 B5.含2n ＋1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD.n ＋12n【试题解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2,S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ,∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B.【参考答案】 B 二、填空题6.已知等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知S 3＝9,a 4＋a 5＋a 6＝7,则S 9－S 6＝ .【试题解析】 ∵S 3,S 6－S 3,S 9－S 6成等差数列,而S 3＝9,S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7,∴S 9－S 6＝5.【参考答案】 57.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ,第k 项满足5<a k <8,则k ＝ . 【试题解析】 ∵a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2)，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8, 得7.5<k <9,∴k ＝8. 【参考答案】 88.首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ,且S 3＝S 8,当n ＝ 时,S n 取到最大值.【试题解析】 ∵S 3＝S 8,∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0,∴a 6＝0,∵a 1>0,∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0,a 7<0. 故当n ＝5或6时,S n 最大. 【参考答案】 5或6 三、解答题9.已知等差数列{a n }中,a 1＝9,a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)当n 为何值时,数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 【解】 (1)由a 1＝9,a 4＋a 7＝0, 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0,解得d ＝－2, ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 a 1＝9,d ＝－2,S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25,∴当n ＝5时,S n 取得最大值.法二 由(1)知a 1＝9,d ＝－2<0,∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0,则11－2n ≥0,解得n ≤112. ∵n ∈N *,∴n ≤5时,a n >0,n ≥6时,a n <0. ∴当n ＝5时,S n 取得最大值.10.若等差数列{a n }的首项a 1＝13,d ＝－4,记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |,求T n . 【解】 ∵a 1＝13,d ＝－4,∴a n ＝17－4n .当n ≤4时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2;当n ≥5时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎨⎧15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5).[能力提升]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4＝40,S n ＝210,S n －4＝130,则n ＝( ) A.12 B.14 C.16D.18【试题解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80, S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40, 所以4(a 1＋a n )＝120,a 1＋a n ＝30, 由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210,得n ＝14.【参考答案】 B2.(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19,a n ＋1＝a n －3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9【试题解析】 因为a n ＋1－a n ＝－3,所以数列{a n }是以19为首项,－3为公差的等差数列,所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大,则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，所以193≤k ≤223. 因为k ∈N *,所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7. 【参考答案】 B3.(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 ,项数是 .【试题解析】 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1, S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1,S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1, 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433,解得n ＝3,所以项数2n ＋1＝7, S 奇－S 偶＝a n ＋1,即a 4＝44－33＝11为所求中间项. 【参考答案】 11 74.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1＝12,d ＝－2. 【导学号：05920069】(1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项;(3){S n }有多少项大于零？【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图.(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694,n ∈N *,∴当n ＝6或7时,S n 最大;当1≤n ≤6时,{S n }单调递增;当n ≥7时,{S n }单调递减. {S n }有最大值,最大项是S 6,S 7,S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零.。

试题君之每日一题君2016-2017学年高一数学人教A版必修33月6日-3月12日 含解析 精品

试题君之每日一题君2016-2017学年高一数学人教A版必修33月6日-3月12日 含解析 精品

3月6日事件类型的判断高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆给出下列五个事件：①某地明年3月6日下雨；②函数y＝a x（a>0且a≠1）在定义域上是增函数；③实数的绝对值小于0；④a，b∈R，则ab＝ba；⑤某人射击8次恰有4次中靶．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．【参考答案】④③①②⑤【试题解析】①是随机事件，某地明年3月6日可能下雨，也可能不下雨；②是随机事件，函数y＝a x（a>1且a≠0）在a>1时为增函数，在0<a<1时为减函数，未给出a值之前很难确定给的a值是大于1还是小于1；③是不可能事件，任意实数a，总有|a|≥0，故|a|<0不可能发生；④是必然事件，当a，b∈R时，ab＝ba恒成立；⑤是随机事件，某人射击8次恰有4次中靶可能发生，也可能不发生．【解题必备】要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．1．下列事件中，为随机事件的是A．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形B．长度为2，3，4的三条线段可以构成一个直角三角形C．方程x2＋2x＋3=0有两个不相等的实根D．函数y＝log a x（a>0且a≠1）在定义域上为增函数2．下列事件中，不可能事件为A．三角形内角和为180°B．三角形中大边对大角，大角对大边C．锐角三角形中两个内角和小于90°D．三角形中任意两边的和大于第三边3．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确1．D 【解析】A为必然事件，B、C为不可能事件.2．C 【解析】若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．3．C 【解析】从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件．3月7日随机试验结果的判断高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆指出下列试验的条件和结果：（1）某人射击一次，命中的环数；（2）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取1个球；（3）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取2个球．【参考答案】详见试题解析【试题解析】（1）条件为射击一次；结果为命中的环数：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种可能结果．（2）条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能结果．（3）条件为从袋中任取2个球；若记（a，b）表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种可能结果．【解题必备】准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件．根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．1．先后抛掷1元、5角的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，则下列事件包含三个基本事件的是A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”2．写出下列试验的结果：（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；（2）从1，3，6，10四个数中任取两个数（不重复）作差．1．A 【解析】“至少一枚硬币正面向上”包括“1元正面向上，5角正面向下”“1元正面向下，5角正面向上”“1元、5角都正面向上”三个基本事件．2．【解析】（1）结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．（2）分别作差：1－3＝－2，3－1＝2；1－6＝－5，6－1＝5；1－10＝－9，10－1＝9；3－6＝－3，6－3＝3；3－10＝－7，10－3＝7；6－10＝－4，10－6＝4.即试验的结果为－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4.3月8日概率含义的正确理解高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆有以下一些说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为3 10；④某厂产品的次品率为2%，则该厂的50件产品中可能有2件次品．其中说法错误的序号是________．【参考答案】①②③【试题解析】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；③中正面朝上的频率为310，概率仍为12，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的说法正确．【解题必备】利用概率的意义解题的三个关键点1．概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．1．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是A．概率为110B．频率为110C．概率接近110D．每抽10台电视机，必有1台次品2．天气预报中预报某地降水概率为10%，则下列解释正确的是A．有10%的区域降水B．10%太小，不可能降水C．降水的可能性为10%D．是否降水不确定，10%没有意义1．B 【解析】事件C发生的频率为110，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近110的结论．2．C 【解析】A、B、D三个选项错误地理解了概率的意义，只有C项正确．3月9日游戏公平性的判断高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球的三种游戏规则如下表所示．若从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是 A ．游戏1 B ．游戏1和游戏3 C ．游戏2D ．游戏3【参考答案】D【试题解析】游戏1中，取两球的所有可能情况是（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3）（黑1，白）（黑2，白）（黑3，白），∴甲胜的概率为12，游戏是公平的． 游戏2中，显然甲胜的概率为12，游戏是公平的．游戏3中，取两球的所有可能情况是（黑1，黑2）（黑1，白1）（黑2，白1）（黑1，白2）（黑2，白2）（白1，白2），∴甲胜的概率为13，游戏是不公平的． 【解题必备】判断游戏是否公平的思路无论是什么游戏，游戏的公平性都是看参与游戏的每个个体获胜的概率是否相同，相同则公平，不相同则不公平.1．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是A ．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜D ．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜2．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗？3．某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜． 该方案对双方是否公平？为什么？1．B 【解析】B 中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都正面向上的概率为14，所以对乙不公平.2．【解析】如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38.所以不公平.3．【解析】该方案是公平的，理由如下：两次转动转盘所得的数字相加的和的各种情况如下表所示．由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1＝612＝12，（2）班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．3月10日概率的应用高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为双.【参考答案】60【试题解析】∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9,∴第1,2,4组的频率分别为=0.15,=0.175,=0.225.∵第3组的频率为0.25,∴第5组的频率是10.250.150.1750.2250.2----=,∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2×300=60（双）.【解题必备】此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力.解题的关键是假定每个个体被抽取的可能性是相等的,可用样本的频率近似估计总体的概率,或由此列出方程,求出较难得到的数据.1．如果袋中装有数量差别很大的白球和红球（只是颜色不同）,从中无放回地任取1个球,取了100次,得到80个白球,估计袋中数量较多的是.2．为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.3．随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:（1）在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.1．白球【解析】取了100次,得到80个白球,则取出白球的频率是=0.8,估计其概率是0.8,那么取出红球的概率约是0.2,取出白球的概率大于取出红球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.2．【解析】设水库中鱼的尾数是n（n∈N*）.现在要估计n的值,假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任捕1尾鱼,设事件A={捕到带记号的鱼},则P（A）=.第二次从水库中捕出500尾鱼,其中带记号的有40尾,即事件A发生的频数为40,由概率的统计定义知P（A）≈,即≈,解得n≈25000,所以估计水库中的鱼有25000尾.3．【解析】（1）在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为.（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如,1日与2日,2日与3日等）.这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.【名师点睛】本题主要考查随机事件的概率,考查用频率估计概率的概念及数据处理能力.3月11日 周六培优特训高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．下列5个事件中,随机事件的个数是 ①如果a b >,则0a b ->;②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点; ③某次考试的及格率是95%;④从100个灯泡中取出5个,这5个灯泡都是次品（这100个灯泡中有95个正品,5个次品）; ⑤实数,a b 不都为0,但220a b +=. A ．0B ．1C ．2D ．32．以下结论错误的有①如果一事件发生的概率只有十万分之一,那么它就不可能发生; ②如果一事件发生的概率达到99.999%,那么它就必然发生; ③如果一事件不是不可能发生的,那么它就必然发生; ④如果一事件不是必然发生的,那么它就不可能发生. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是 A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.374．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．5．（1）从甲、乙、丙、丁四名同学中选2名代表学校参加一项活动，可能的选法有哪些？（2）试写出从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素构成的集合．6．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两个部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）,绘制茎叶图如图:分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率.7．已知5张票中有1张为奖票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的结果），对每个人来说公平吗？1．D 【解析】①是必然事件;②③④是随机事件,⑤是不可能事件.2．D 【解析】事件发生的概率只有十万分之一,说明事件发生的概率很小,但是也有可能发生,所以①错误;事件发生的概率达到99.999%,说明事件发生的概率很大,但是也有可能不发生,所以②错误;如果一事件不是不可能发生的,那么该事件是随机事件或必然事件,所以③错误;如果一事件不是必然发生的,那么该事件是随机事件或不可能事件,所以④错误.故选D. 3．A 【解析】由图知，取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11=53（次），所以取到号码为奇数的频率为= 0.53.4．500 【解析】设进行了n次试验，则有10n=0.02，得n=500，故进行了500次试验．5．【解析】（1）可能的选法为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）．（2）可能的集合为{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．6．【解析】市民对甲、乙两部门的评分各有50个,对甲部门评分高于90的分数有5个,对乙部门评分高于90的分数有8个,故对甲部门评分高于90的频率为=0.1,对乙部门评分高于90的频率为=0.16.从而,估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率分别为0.1,0.16.7．【解析】公平，即每个人抽到奖票的概率相等.说明如下：不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置1，2，3，4，5上，对于这张奖票来说，由于是随机排列，因此它的位置有5种可能，故它排在任一位置上的概率都是1 5.5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为15，因此，不管排在第几个位置上去抽，在不知前面的人抽出的结果的前提下，得到奖票的概率都是1 5.3月12日周日培优特训高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆1．下列说法正确的是A．任何事件的概率总是在（0，1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定2．下列关于概率的理解中正确的命题的个数是①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0．4；1000张这种彩票一定能中奖；③某市气象台预报明天该市降雨的概率为70%是指明天该市有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．A．0 B．1 C．2 D．33．下列事件：①在空间内取三个点，可以确定一个平面；②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；③某电影院某天的上座率会超过50%；④函数y=log a x（0<a<1）在定义域内为增函数；⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．（填写序号）4．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）．（1）写出这个试验的所有结果；（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件的所有结果．5．为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干粒进行发芽试验，其结果如下表：（1）计算各批种子的发芽频率；（保留三位小数）（2）怎样合理地估计这类种子的发芽率？（保留两位小数）6．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”．B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．请回答下列问题：（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．1．C 【解析】由概率与频率的有关概念知，C 正确．2．A 【解析】掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0.4，故①错；某种体育彩票的中奖概率为10001，则买1000张这种彩票相当于做了1000次试验，每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此1000张彩票可能没有1张中奖，也可能多张中奖，②错；某市气象台预报明天该市降雨的概率为70%是指该市明天有70%的可能下雨，③错，故答案为A ． 3．①③⑤；②；④ 【解析】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件；②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件； ③是随机事件；④当0<a<1时，函数y ＝log a x 在定义域内为减函数，故④为不可能事件；⑤是随机事件．4．【解析】（1）当x ＝1时，y ＝2,3,4；当x ＝2时，y ＝1,3,4；当x ＝3时，y ＝1,2,4； 当x ＝4时，y ＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）．（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A ，则A ＝{（2,1），（2,3），（2,4）}．5．【解析】（1）各批种子的发芽频率分别为0.960，0.857，0.892，0.913，0.903，0.904，0.903. （2）在这7组种子发芽试验中，前两组试验次数较少，其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，而后五组试验次数较多，且其种子的发芽频率趋向0.90，即近似地认为这类种子的发芽率为0.90.6．【解析】（1）可以选择B ，猜“不是4的整数倍数”．或选择C ，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，“是大于4的数”的概率为610＝0.6，它们都超过了0.5，故乙获胜希望较大．（2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A 猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．（3）可以设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．。

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)

（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。

高中数学 每日一题(3月6日-3月12日)文 新人教A版选修1-2(2021年整理)

高中数学 每日一题(3月6日-3月12日)文 新人教A版选修1-2(2021年整理)

2016-2017学年高中数学每日一题（3月6日-3月12日）文新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学每日一题（3月6日-3月12日）文新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学每日一题（3月6日-3月12日）文新人教A版选修1-2的全部内容。

3月6日 复数代数形式的加减运算及其几何意义高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b ∈R ,若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第二象限，则b a -的取值范围为____________． 【参考答案】(,1)-∞-【试题解析】因为13i z b =-,22i z a =-+,所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第二象限，所以2030b a -<⎧⎨->⎩，所以2b <且3a -<-,所以1b a -<-，所以b a -的取值范围为(,1)-∞-．【解题必备】（1）把复数的代数形式看成关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项"就可以了．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形:各复数的实部分别相加,虚部分别相加．实数加法、减法的运算性质对复数的加法、减法仍然成立．但应注意：两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数,例如(34i)4i 3+-=，3为实数．(2）在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减"的方法确定．（3)设复数1z ,2z 在复平面内对应的点之间的距离为d ，则由复数的几何意义，可得复平面内两点间的距离公式为12||d z z =-．1．在复平面内，复数1z 对应的点为(2,3)，复数212i z =-+,若复数12z z z =-，则复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(25i)(3i)-+-+=____________;(4i)(23i)---=____________．3．如图所示,平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0，32i +，24i -+，则向量AO ,CA ，OB 对应的复数分别为____________、____________、____________．1．A 【解析】因为复数1z 对应的点为(2,3),所以123i z =+,又复数12z z z =-，所以23i (12i)z =+--+3i =+，所以复数z 对应的点为(3,1)，其在第一象限．故选A ．2．14i -- 22i + 【解析】(25i)(3i)14i -+-+=--，(4i)(23i)22i ---=+．3．32i -- 52i - 16i + 【解析】向量AO 对应的复数为0(32i)32i -+=--；因为CA OA OC =-,所以向量CA 对应的复数为32i 24i ()()52i +--+=-;因为OB OA OC =+，所以向量OB 对应的复数为32i 24i ()()16i ++-+=+．【名师点睛】向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB 对应的复数是B A z z -（终点对应的复数减去起点对应的复数）．3月7日 复数代数形式的乘法运算高考频度：★★★☆☆ 难易程度:★★☆☆☆若复数(2i)(1i)z a =-+的实部为1,则实数a 的值为 A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【参考答案】B【试题解析】因为(2i)(1i)2(2)i z a a a =-+=++-的实部为1，所以21a +=，解得1a =-．故选B ．【解题必备】（1）两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把2i 换成1-,并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．（2）在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立．即对于任意复数z ,1z ，2z 和正整数m ，n ，有m n m n z z z +=，)(m n mn z z =,1212()n n n z z z z =．（3)i 具有周期性，且最小正周期为4,有如下性质： ①41i i n +=，42i 1n +=-,43i i n +=-，4i 1()n n =∈*N ; ②4414243i i i i 0()n n n n n ++++++=∈*N ．（3）120z z =的充要条件是10z =或20z =,依据复数的乘法运算可得121212||||||00z z z z z z =⋅⇔=⇔0=⇔10z =或20z =．1．在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数12i z =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z = A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．已知(i)(1i)2i a b +-=，其中a,b 均为实数，i 为虚数单位，则|i |a b +等于 A ．2 B ．2 C ．1D ．1或21．A 【解析】因为复数2i(2i)i 2i 12i -=-+=+，所以复数i(2i)-对应的点是(1,2)，位于第一象限，故选A ．2．A 【解析】由题意可知22i z =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选A ．3．B 【解析】因为(i)(1i)(1)i 2i a b a b ab +-=++-=，所以012a b ab +=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以|i |2a b +=．故选B ．3月8日 共轭复数高考频度:★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆已知复数(1i)i z =-,给出下列四个结论:①||2z =;②22i z =；③z 的共轭复数1i z =-+;④z 的虚部为i ．其中正确结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3【参考答案】B【试题解析】复数(1i)i 1i z =-=+,故22||112z =+=，①不正确；2(1i)(1i)2i z =++=，②正确；1i z =-，③不正确；1i z =+的虚部为1，④不正确,故只有②正确．故选B ．【解题必备】（1）若复数z 的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出z ,再进行复数的四则运算．必要时,需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式,再根据共轭复数的定义求z ． （1）实数的共轭复数是它本身,即z z z =⇔∈R ,利用这个性质可证明一个复数为实数． （2)若0z ≠且0z z +=,则z 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数．（3）若i z a b =+，它的共轭复数(i ,)z a b a b =-∈R ,则222(i)(i)||z z a b a b a b z ⋅=+-=+=． （4）互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称（如下图所示）．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上．1．已知复数(1i)(1i)5i z =+-+,i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数43i z =+，i 为虚数单位,则||zz = A ．1B ．—1C ．43i 55+D ．43i 55-3．已知复数201711(i)i 22z =+，i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数是A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--1．D 【解析】复数(1i)(1i)5i 25i z =+-+=+，其共轭复数为25i -，在复平面内对应的点为(2,5)-,位于第四象限，故选D ．【易错提醒】本题考查的是复数的代数运算和几何意义，互为共轭复数的两个复数的关系是它们的实部相等、虚部互为相反数，本题中的复数(1i)(1i)5i 25i z =+-+=+的虚部为5，所以共轭复数的虚部为5-．本是容易题，但容易忽略“共轭”二字，对题目表述认识不清就匆匆答题，属于非智力因素导致的错误,因此准确审题是正确答题的前提． 2．D 【解析】43i 43i ||555z z -==-，故选D ． 3．D 【解析】因为20172016i i i i =⋅=，所以2017111111(i)i (i)i i 222222z =+=+=-+，所以11i 22z =--，所以复数z 的共轭复数是11i 22--．故选D ．3月9日 复数代数形式的除法运算高考频度：★★★★★ 难易程度：★★☆☆☆-1，则复数z b -在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【参考答案】B因为复数z 的实部为—1，所6b =,z b -在复平面内对应的点为(7,5)-，位于第二象限．故选B ．的共轭复数i c d -,化简后就可得到上面的结果．复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时,分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化";复数的除法是分子、1．已知复数1iz =-，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数4i17z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 A ．4i + B ．4i - C ．4i -+D ．4i --3．25i 3i -=-+____________；3i2i+=-____________．1．B 【解析】因为()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z +===-+--+，所以复数z 所对应的点位于第二象限，故选B ． 2．B 【解析】因为1717(4i)4i 4(4i)(4i i )z +===+--+，所以4i z =-，故复数z 的共轭复数为4i -，故选B ．3．1113i 1010-+ 1i + 【解析】25i (25i)(3i)1113i 1113i 3i (3i)(3i)101010-----+===-+-+-+--；3i (3i)(2i)2i (2i)(2i)+++==--+ 55i1i 5+=+．3月10日复数范围内的解方程问题高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆已知关于x的方程2()2i2i0x k x k++++=有实数根,求实数k的值．【参考答案】22-或22【试题解析】设x是方程2()2i2i0x k x k++++=的实数根，将x代入方程并整理得20002()(20)ix kx x k++++=,由复数相等的充要条件可得2002020x kxx k⎧++=+=⎪⎨⎪⎩，解得0222xk⎧==-⎪⎨⎪⎩或0222xk⎧=-=⎪⎨⎪⎩，所以实数k的值为22-或22．【解题必备】复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．注意：由于虚数单位i的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．1．已知z∈C，解方程3i13iz z z⋅-=+．2．已知1iz=-+是方程20z az b++=的一个根，a，b∈R．（1）求实数a，b的值；（2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．1．11z=-，213iz=--．【解析】原方程可化为3i3i1z z z--=-⋅，因为2||z z z ⋅=∈R ，所以3i 3i 3i 3i 3i 3i z z z --=--=+， 所以()3i 6i z z +=-，所以2z z +=-， 令i(,)a b z a b =∈+R ，则1a =-，把1i z b =-+代入原方程可得0b =或3b =-， 所以原方程的解为11z =-，213i z =--． 2．(1）2a =，2b =；（2）1i --．【解析】（1）把1i z =-+代入方程20z az b ++=,得()(20)i a b a -++-=, 所以020a b a -+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，2b =．（2)由(1）知方程为2220z z ++=．设另一个根为2z , 由根与系数的关系,得21i 2z -++=-，所以21i z =--．把21i z =--代入方程2220z z ++=，则左边2()(1i 21i)20=--+--+==右边， 所以21i z =--是方程2220z z ++=的另一个根．3月11日 精编月考卷（1） 测试时间：30分钟 满分：100分一、选择题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2i)1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =A ．13i 55+B ．13i 55-C ．13i 55-+D ．13i 55--2．下表是某工厂69～月份电量（单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是ˆ 1.4yx m =-+，则实数m 等于 A ．12.5 B ．7.25C ．14.5D ．16.53．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对H7N9亚型禽流感病毒的预防作用，把500名注射了疫苗的人与另外500名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种疫苗不能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用”，并计算出2( 4.225)0.05P K ≥≈，则下列说法正确的是A ．这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的有效率为5%B ．若某人未使用该疫苗,则他在半年中有95%的可能性得H7N9亚型禽流感病毒C ．有5%的把握认为“这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用”D ．有95%的把握认为“这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用” 4．已知下列等式:=== …则推测=+b a A ．109 B ．1033 C ．199D ．29二、填空题：本大题共2小题,每小题10分，共20分．将正确的答案填在题中的横线上． 5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是_____________． 6．如图是一个三角形数阵：111351117911111113151719……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第3个数为_____________．三、解答题：本大题共2小题，每小题20分,共40分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本．（1）根据所给样本数据完成下面的22⨯列联表； （2）请问能有多大把握认为药物有效?参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++．8．若实数x 、y 、m 满足||||x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．(1）若21x-比1远离0,求实数x的取值范围；(2）对任意两个不相等的正数a，b,证明：33+a b ab+比22a b1．A 【解析】方法一：由已知221i (1i)(2i)(21)3i 13i 2i (2i)(2i)2i 55z +++-+====+--+-,故选A ． 方法二：设i(,)a b z a b =∈+R ,则由已知可得(2i)(i)1i a b -+=+，即(2)(2)i 1i a b b a ++-=+，所以2121a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得1535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以13i 55z =+，故选A ． 2．D 【解析】由题意知7.5x =，6y =，线性回归直线过点(7.5,6),代入方程解得16.5m =，故选D ．3．D 【解析】由于2( 4.225)0.05P K ≥≈,这说明假设不合理的程度约为95%，即这种疫苗不能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用不合理的程度约为95%，所以有95%的把握认为“这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用”．故选D ． 4．A 【解析】分析所给的等式，可归纳出等式22(2,)11n n n n n n n n +=≥∈--*N ,在1010a ab b+=中，10a =,210199b =-=，于是a+b=109．故选A ． 5．乙 【解析】这四人的供词中，都提到乙，我们假设乙是犯罪，那么，甲和丙的供词是真话，乙和丁的供词是假话，符合题意，假设成立．如果我们假设其他人为罪犯，如丙，那么说真话的就有甲、乙、丁三人；如果丁是罪犯，那么说真话的只有甲；如果罪犯是甲，说真话的只有丙；后面三个假设都与题目要求不符合，假设不成立．故罪犯是乙．6．1245 【解析】前1515(151)1202⨯+=16行从左到右的第3个数为1121231245=⨯-．7．（1）列联表见解析；（2）大概有90％的把握认为药物有效． 【解析】(1）补充完整的22⨯列联表如下：（2)2K的观测值所以有90％的把握认为药物有效． 8．（1）(,(2,)-∞+∞；(2)见解析．【解析】（1）由题意可得2|||1|010x -->-，即2||11x ->， 即211x ->或211x -<-，解得x >x < 故实数x的取值范围为(,(2,)-∞+∞．(2）对任意两个不相等的正数a ,b因为3322222||()()0a b a b ab a a b b +--+-+->=， 所以3322||22a b a b ab +->+-， 故33a b +比22a b ab +3月12日 精编月考卷(2） 测试时间：30分钟 满分：100分一、选择题：本大题共3小题,每小题10分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知回归直线方程中斜率的估计值为 2.5-,样本点的中心为(4,6),则回归直线方程为 A ．ˆ 2.519yx =-+ B ．ˆ 2.54yx =- C ．ˆ 2.56yx =-+D ．ˆ 2.516yx =-+ 3．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人,还会说英语；乙是法国人,还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为 A ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 C ．甲乙丙丁戊D ．甲丙戊乙丁二、填空题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．将正确的答案填在题中的横线上． 4．已知i 是虚数单位，复数z 满足zz-+i 2=12i +,则复数z 的共轭复数为_____________． 5．观察下列各式：2251233++<；222111712344+++<；……照此规律，当n∈*N 时，222111123(1)n ++++<+_____________． 6．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从“5”这点起跳，跳2017次后它停在的点对应的数字是_____________．三、解答题:本大题共2小题，每小题20分，共40分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．已知数列{}n a 满足112a =,且21()n n n a a n a +=-∈*N ．（1）证明：112()nn a n a +≤≤∈*N ； （2)设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明:11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ．8．某手机厂商推出一款6英寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性,300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1)画出男性用户评分的频率分布直方图，并求男性用户评分的中位数；（2)如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22⨯列联表，并回答是否有97.5%的把握认为性别和对手机的“认可"有关．参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++．1．D 【解析】方法一：因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+,所以位于第四象限，故选D ． 方法二：因为232i 2i (32i)i 2i 1i 23i 113i i 12i i 12iz +++-=+=+=--=---，所以位于第四象限，故选D ． 2．D 【解析】由回归直线方程中斜率的估计值为 2.5-和回归直线方程过样本点的中心(4,6)，可得ˆ 2.516yx =-+．故选D ． 3．D 【解析】首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此我们从甲开始推理． 方法一:正常的思路,根据题干来作答．甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案．故选D ．方法二：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决．首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流,因此,B 、C 不成立,乙不能和甲交流，A 错误，因此D 正确．4．i 4543-- 【解析】因为212i i z z =++-，所以4i 35i 22i 44z -+==-++，所以复数z 的共轭复数为i 4543--． 5．211n n ++ 【解析】观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是21n +的形式，分母是1n +的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是211n n ++．故填211n n ++．6．1 【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点,落在1上； 由1起跳，1是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点,落在2上； 由2起跳，2是偶数，沿顺时针跳两个点，落在4上; 由4起跳，4是偶数,沿顺时针跳两个点，落在1上； 1，2，4，1，2，…,周期为3．又201736721=⨯+,所以跳2017次后它停在的点所对应的数字为1． 7．【思路分析】(1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证;(2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤，从而可得111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ,即可得证11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ．【解析】(1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-可得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤，得211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--， 故112()nn a n a +≤≤∈*N ． (2）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=- ①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤， 所以11112n n n a a +<-≤，因此111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ②, 由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++，所以11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ． 8．（1）频率分布直方图见解析，中位数为2203；（2)有97.5%把握认为性别和对手机的“认可”有关．【解析】(1）男性用户评分的频率分布直方图如下：在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等,设中位数为x ，则7080x <<， 于是100.015100.025(70)0.030.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得2203x =． （2）22⨯列联表如下:女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 140180320“不认可”手机 60120 180合计200300 500故2K 的观测值2500(14012018060) 5.208 5.024200300320180k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有97.5%的把握认为性别和对手机的“认可"有关．。

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册第一章综合测试试卷(含答案)01

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册第一章综合测试试卷(含答案)01

第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（ ） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（ ）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（ ） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（ ） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（ ）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（） 等于（ ）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（ ）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（ ）①U U A C A B ⊆ （）（） ； ②U U U U A C A B ⊇ （）（） ；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （） ；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （） ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜ ，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞ ，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞ 或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（） ，∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（） ，即U U U U A C A B ⊇ （）（） ，∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分） （2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分） （3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2016-2017学年高中数学 每日一题(5月1日-5月7日)文 新人教A版选修1-1

2016-2017学年高中数学 每日一题(5月1日-5月7日)文 新人教A版选修1-1

5月1日 椭圆的方程及几何性质高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆（1）已知直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34（2）设1F ，2F 是椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 是椭圆上的点，12:||:||21PF PF =，且12PF F △为直角三角形，则椭圆的离心率为 A或 BCD【参考答案】（1）B ；（2）C ．【试题解析】（1）设椭圆的左焦点为F ，上顶点为B ，过原点O 作OD ⊥BF 于点D ，由题意得，OF c =，OB b =，11242OD b b =⨯=，在Rt OFB △中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆得离心率得12e =，故选B ． （2）由1212||||2||:||2:1PF PF aPF PF +=⎧⎨=⎩可得124||32||3a PF aPF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①若12F PF ∠为直角，则222212124||||||()3a PF PF F F +=⇒222()(2)33a c e +=⇒=；②若21PF F ∠为直角，则2222212212||||||(2)()3a F F PF PF c +=⇒+24()3a e =⇒=C ．1．直线y =与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为 A ．2B ．12C 1D ．4-2．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：22221(0)x ya b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左、右顶点．P为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C．23D ．343．已知椭圆C 经过，两点，则椭圆C 的标准方程为______________．1．C 【解析】设椭圆22221x y ab +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意可得21OF OA OB OF c ====，由y =得∠AOF 2=2π3，∠AOF 1=π3，∴2AF =，1AF c =．由椭圆定义知，122AF AF a +=，∴2c a +=，∴1ce a==．故选C ．2．A 【解析】由题意设直线l 的方程为()(0)y k x a k =+>，分别令x c =-与0x =得点||()FM k a c =-，||OE ka =，由//OE MF ，可得1||||2||||OE OB FM BF =，即2()ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆C的离心率13e =．故选A ． 3．22184x y += 【解析】方法1：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知条件得2222421231a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以所求椭圆的标准方程为22184x y +=．若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y xa b a b +=>>．由已知条件得2222241321a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2248a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于22a b <，与a b >矛盾，故舍去．综上，所求椭圆的标准方程为22184x y +=．方法2：设椭圆的一般方程为22001()Ax By A B A B >>+=≠,,．将点，代入一般方程，得421231A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得18A =，14B =，所以所求椭圆的标准方程为22184x y +=．5月2日 双曲线的方程及几何性质高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆（1）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A ．1422=-y xB ．1422=-y xC ．15320322=-y xD ．12035322=-y x（2）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为AB ．32CD ．2【参考答案】（1）B ；（2）A ．【试题解析】（1）由题意得2212,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，故选B ．（2）因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b bMF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即22121(2)3MF b b a MF a a =÷+=，化简得b a =，故双曲线离心率e ==A ．1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为221x y a b +=，双曲线2C 的方程为221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之2C 的渐近线方程为 A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=2．过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为A ．221412x y -=B ．22179x y-=C ．22188x y -=D ．221124x y -=3．（1）已知双曲线E：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率为______________；（2）已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为______________．1．C 【解析】由题意得1c =，2c =121224c c e e a a a =⨯==，整理得12b a =，所以2C 的渐近线方程为b y x a =±，即12y x =±，即20x y ±=．故选C ．2．A 【解析】设双曲线的右焦点为F ，则F (c ，0)(其中c =，且4c OF r ===． 不妨将直线x a =代入双曲线的一条渐近线方程by x a=，得y b =，则A (a ，b )．由4FA r ==4=，即2281616a a b -++=，所以280c a -=，由4c =解得2a =，所以22216412b c a =-=-=，故所求双曲线的方程为221412x y -=．故选A ．3．2 [2)+∞，【解析】（1）依题意，不妨设6,4AB AD ==，则24c =，故2c =，12|||a DF =-1|||532DF =-=，1a =，故离心率221c a ==． （2）当渐近线by x a=与直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，所以b a ≥22224c a b a=+≥，所以2c e a =≥．故双曲线离心率的取值范围为[2)+∞，．5月3日 抛物线的方程及几何性质高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆（1）过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，若122x x +=，4PQ =，则抛物线的方程是A ．24x y =B ．28y x =C ．22y x =D ．24y x =（2）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于点A ，B ，交抛物线的准线于点C ，若5BF BC=，则AB =A ．4B ．5C ．6D ．7【参考答案】（1）D ；（2）B ．【试题解析】（1）易知抛物线开口向右．过点P 作准线l 的垂线，垂足为A ，垂线交y 轴于点B ，再过点Q 作准线l 的垂线，垂足为C ，垂线交y 轴于点D ．由抛物线定义可知，4PA QC +=，2PB QD +=，故2AB CD +=，故2p AB CD =+=，故抛物线的方程为24y x =．故选D ．（2）设直线AB 的倾斜角为α，11(,)A x y ，22(,)B x y ，过点B 作准线的垂线，垂足为D ，则||BD BF =，那么cos BD BF BCBCα===，易得tan 2α=，于是直线AB 的方程为)21(y x =-，代入24y x =，得2310x x -+=，故123x x +=，所以1225AB x x =++=．故选B ．【解题必备】（1）求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是确定焦点位置，从而确定方程的类型．由于标准方程中只有一个参数p ，所以只需要一个条件就可以确定抛物线的标准方程． （2）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线的两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．（3）解决与抛物线的几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、准线、范围等抛物线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 1．如果12,,,n P P P 是抛物线24C y x =：上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=A ．10n +B ．20n +C ．210n +D ．220n +2．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =0()kxk >与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．23．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |=|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 A ．2B ．4C ．6D ．81．A 【解析】抛物线24C y x =：的焦点为(10)F ,，准线为1x =-，根据抛物线的定义，1,2()i P n i =,,到焦点F 的距离等于i P 到准线的距离，即(11,2)i i i PF x n =+=,,，所以12n PF P F P F +++=1212()(1)(1)1()10n n x x x x x x n n ++++++=++++=+．故选A ．2．D 【解析】因为F 抛物线24y x =的焦点，所以(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k=，所以2k =，选D ．3．B 【解析】设抛物线方程为22y px =，,AB DE 分别交x 轴于点,M N ，则AM =A 点纵坐标为A 横坐标为4p ，即4OM p =，DN =，=2pON ，由勾股定理知22AM OM +=22AO r =，2222DN ON DO r +==，即22224()(2()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．5月4日 抛物线中的最值问题高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆（1）抛物线24y x =上的动点到准线的距离与到直线23y x =+的距离之和的最小值为A ．1BCD （2）已知点P 在抛物线28x y =上，点(2,4)A -，F 是焦点，则||||PF PA +的最小值为_____________． 【参考答案】（1）D ；（2）6．【试题解析】（1）由抛物线24y x =知，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，设抛物线上的动点P 到准线的距离为1d ，点P 到直线23y x =+的距离为2d ，点F 到直线23y x =+的距离为d ，则1||PF d =，d ==2423y x y x ⎧=⎨=+⎩无解，所以122||d d PF d d +=+≥=D ．（2）因为2(2)84-<⨯，所以点A 在抛物线内部．如图，过点P ，A 分别作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，B ，则||||PF PQ =，易知当A ，P ，Q 三点共线时，||||PF PA +最小，即||AB ．易得点A 到准线l 的距离为4()4(2)62p--=--=．【解题必备】（1）与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数的思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题往往感到束手无策．一般有以下几种方法：①定义转换法：与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取最值时所满足的条件，这样就能避免繁琐的代数运算．②平移直线法：若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离． ③函数法：解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．（2）有关抛物线上一点P 到抛物线焦点F 与到已知点M （M 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，只要点P 到抛物线准线l 的距离与到点M 的距离之和最小即可．由抛物线的图形可知，过点M 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 与到已知点M 的距离之和最小．解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线上的点的连线中垂线段最短等．1．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值为_____________．2．若点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆2231()x y -+=上，则||PQ 的最小值为_____________．1．43【解析】方法1：如下图所示，设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x =-相切的直线为430x y b ++=，切线方程与抛物线方程联立得2430x x y b y ++==⎧-⎨⎩，消去y 整理得2340x x b --=，则16120b ∆=+=，解得43b =-，所以切线方程为44303x y +-=，抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是这两条平行线间的距离4|8|4353d -==．方法2：对2y x =-求导，得2y x '=-，如图上图所示，设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x=-相切的直线与抛物线的切点是2(),T m m -，则切线斜率|423x m k y m =='=-=-，所以23m =，即切点24,39()T -，点T 到直线4380x y +-=的距离84|8|43353d --==，由图知抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是43．方法3：设2(),P x x -，则点P 到直线4380x y +-=的距离22|438|1220|3()|5533x x d x --==-+=2324()533x -+，在抛物线2y x =-中，x ∈R ，所以当23x =时，d 取得最小值43，即抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是43．21- 【解析】由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为(3,0)A ，则1P Q P A A Q P A ≥-=-，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当PA 取得最小值时，PQ 最小．设00(,)P x y ，则200y x =，PA ===，当且仅当052x =时，PA 取得最小值2，此时PQ 取得最小值12-．5月5日 直线与圆锥曲线的弦长问题高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★★☆已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当AM AN =时，求AMN △的面积；（2）当AM AN =2k <<． 【参考答案】（1）14449；（2）证明见试题解析． 【试题解析】（1）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =．因此AMN △的面积11212144227749AMN S =⨯⨯⨯=△． （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=．由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1||2|AM x =+=．由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得||AN =．由2||||AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=． 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f't t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<． 【解题必备】对于直线与圆锥曲线的弦长问题，有以下几种求解方法：（1）定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．1．斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，则直线l 的方程为__________．2．设1F ，2F 分别是椭圆2222:()10E a bx y a b +=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点1(0,)P -满足PA PB =，求E 的方程．3．如图，已知11(,)P x y ，22(,)Q x y 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且0OP OQ ⋅=．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．1．2y x =±【解析】设直线l 的方程为2y x m =+，代入双曲线方程得221012360x mx m +++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1265m x x +=-，2123610m x x +=．因为4AB ==，4=，解得3m =±，所以直线l 的方程为23y x =±．2．（1）2；（2【解析】（1，l 的方程为y x c =+，其中 设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B消去y ，化简得()()222222220a bxa cx a c b+++-=，则 因为直线AB 的斜率为1故222ab =，所以E （2）设AB的中点为()00,N x y ，由（1，得1PN k =-，即，得3c =，从而 故椭圆E3．（1）22y x =；（2）24．【解析】（1）∵0OP OQ ⋅=，则12120x x y y +=，又P 、Q 在抛物线上，故2112y px =，2222y px =，故得221212022y y y y p p⋅+=，即2124y y p =-， 124x x =，故得244p =，1p =，∴抛物线的方程为22y x =．（2）连接PQ ，设直线PQ 过点0(,)E a 且方程为x my a =+， 联立方程组⎩⎨⎧=+=x y a my x 22，消去x 得2220y my a -=-，∴121222y y m y y a+=⎧⎨=-⎩ ①， 设直线PR 与x 轴交于点0(),M b ，则可设直线PR 方程为x ny b =+，并设33(),R x y ，同理可知131322y y ny y b+=⎧⎨=-⎩ ②，由①②可得32y b y a =， 由题意，Q 为线段RT 的中点，∴322y y =，∴2b a =，又由（1）知，124y y =-，代入①，可得2 4a =，∴2a =，故4b =，∴831-=y y ，2481222≥+⋅+n n ， 当0n =，即直线PR 垂直于x 轴时PR 取最小值为24．5月6日 设而不求思想及点差法的应用高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆过点Q (4，1)作抛物线28y x =的弦AB ，该弦恰被Q 平分，则直线AB 的方程为_____________． 【参考答案】4150x y --=【试题解析】由题意可知，当AB 垂直于x 轴时，不符合题意，故直线AB 的斜率存在．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2118y x = ①，2228y x = ②，且128x x +=，122y y +=，①－②得121212()()8()y y y y x x +-=-，即12122()8()y y x x -=-，即12124y y x x -=-，故直线AB 的斜率4k =，故直线AB 的方程为4(4)1y x =-+，即4150x y --=．【解题必备】（1）在解析几何的运算中，有时我们为了解题方便，常设一些中间变量而并不解出这些变量，利用这些中间变量架起连接已知量和未知量的桥梁，从而使问题得以解决，这种方法称为设而不求法．而点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时地运用点差法，可以有效地减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．（2）当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．（3）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式∆是否大于零．1．如果椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．280x y +-=C ．23140x y +-=D ．240x y +-=2．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与椭圆2211814x y +=有共同的焦点，点A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）以(1,2)P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．1．B 【解析】设弦的端点为11()A x y ,，22()B x y ,，代入椭圆方程，得2211936369x y +=⨯ ①，2222936369x y +=⨯ ②，①-②得12121212936()()()()0x x x x y y y y +--++= ③．由中点坐标公式得1242x x +=，1222y y +=，代入③式，得1212367()0)2(x x y y --+=，所以直线AB 的斜率121212y y k x x -==--，直线AB 的方程为1242()y x -=--，即280x y +-=．故选B ．2．（1）22122x y -=；（2）230x y -+=．【解析】（1）由已知双曲线C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 由双曲线定义122AF AF a -=2a =，所以a =2422b =-=，所以所求双曲线的标准方程为22122x y -=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为A ，B 在双曲线上，所以2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②， ①－②得12121212()()(()0)x x x x y y y y -+--+=，所以121212122142y y x x x x y y -+===-+，12AB k =， 故弦AB 所在直线的方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=．5月7日 圆锥曲线中的定点、定值问题高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>1:0l x y -=有且只有一个公共点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点(1,0)C 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，若2AC CB =，求直线2l 的方程； （3）点,M N 为椭圆E 上不同的两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：△OMN 的面积为定值．【参考答案】（1）2214x y +=；（2）550x ±-=；（3）证明见试题解析．【试题解析】（1）由2c a =，即22234a b a -=，解得224a b =， 故椭圆E 的方程为222214x y b b+=，即222440x y b +-=，把y x =+2252040x b ++-=．因为椭圆E 与直线1l 有且只有一个公共点，所以2245(204)0b ∆=-⨯-=，解得21b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）当直线2l 的斜率为0时，取(2,0),(2,0)A B -，不符合2AC CB =，故直线2l 的斜率不为0， 设直线2l 的方程为1x ty =+，代入椭圆E 的方程，整理得22(4)230t y ty ++-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12224t y y t +=-+ ①，12234y y t =-+ ②． 1122(1,),(1,)AC x y CB x y =--=-，由2AC CB =，得122y y -= ③，由①③，得122242,44t t y y t t -==++，代入②，得222283(4)4t t t --=++，解得t =．所以直线2l 的方程为1x y =+，即550x ±-=． （3）设3344(,),(,)M x y N x y ，因为224,1a b ==，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即343414y y x x ⋅=-，即34344x x y y =-．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+（0m ≠）， 代入椭圆E 的方程并整理，得222(14)8440k x kmx m +++-=．则22222(8)4(14)(44)16(14)km k m k m ∆=-+-=+- ④，2343422844,1414km m x x x x k k-+=-=++， 22223434343424()()()14k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+． 所以2222244441414m k m k k--+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入④，得0∆>．MN ==，点O 到直线MN的距离d =，所以12△OMNS MN d m =⋅==21m m m m==⋅=，即△OMN 的面积为定值1． 当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12，且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆E的方程，解得)2M ，由对称性知此时△OMN的面积为1(2122⨯=． 综上可知，△OMN 的面积为定值1．【解题必备】（1）圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，解题思维性较强．解决这类问题一般有两种方法：①根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点坐标；②先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证． （2）解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．（3）解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 为椭圆上关于原点对称的两点，且M ，N 异于椭圆C 的顶点，直线AM ，AN 与y轴的交点分别为P ，Q ．试探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．2．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过原点O ． （1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线上的定点M (1)作两条关于直线1x =对称的直线，分别交抛物线于C ，D 两点，连接CD ，试判断：直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F ，P 为短轴的一个端点，12PF F △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点．①若14OA OB k k ⋅=-，求证：2212x x +为定值． ②若以AB 为直径的圆经过点O ，求OAB △面积的最大值．1．（1）22184x y +=；（2）以PQ 为直径的圆经过定点，定点的坐标为(2,0)或(2,0)-． 【解析】（1）由题意可得22421a b +=，2c a =，结合222a b c =+可解得28a =，24b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由（1）可知，(A -．设点00(,)M x y (不妨设00x >)，则点00(,)N x y--．设直线:MNy kx =，由22184y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得22812x k =+，所以0x =，则0y =； 所以直线AM 的方程为y x =+，因为直线AM 与y 轴交于点P ，令0x =，可得y =，故点P ．同理可得点Q，所以||PQ ==； 设PQ 的中点为S ，则点S的坐标为(0,k-， 则以PQ为直径的圆的方程为222(x y +=，即224x y y k ++=． 令0y =，可得24x =，即2x =或2x =-．故以PQ 为直径的圆经过定点，定点的坐标为(2,0)或(2,0)-． 2．（1）24y x =；（2）直线CD 的斜率恒为定值，该定值为1-．【解析】（1）当直线l的斜率不存在时，4=，2p =，24y x =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4()(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立242()y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去y 得222282)60(1k x k p x k -++=，则1216x x =，所以22221212464y y p x x p ==，128y y p =-，由0QA QB ⋅=，得12120x x y y +=，即1680p -=，所以2p =， 故抛物线的标准方程为24y x =．（2）由（1）知，M (1，2)，设直线CD 的方程是x my n =+，33(,)C x y ，44(,)D x y ．显然直线CD 不过点M ，联立24y x x my n ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my n --=，则344y y m +=，344y y n =-，由题意MC ，MD 两直线关于直线1x =对称等价于直线MC ，MD 的倾斜角互补， 所以0MC MDk k +=，即343422011y y x x --+=--， 整理得3443()()()()21210y x y x --+--=，即344334342()()40x y x y x x y y +-+-++=， 将3344x my n x my n =+⎧⎨=+⎩和343444y y my y n +=⎧⎨=-⎩代入上式化简得()110()2m n m ++-= ①，要使①式恒成立，当且仅当10m +=或210n m +-=．当10m +=，即1m =-时，直线CD 的方程为x y n =-+，故直线CD 的斜率为1-．当210n m +-=时，将12n m =-代入直线CD 的方程得12x my m =+-，即(12)x m y -=-， 此时直线CD 过点M (1，2)，与题意矛盾，所以直线CD 的斜率恒为定值，该定值为1-．3．（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，②1． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意2c e a ==，所以12b a ==，即12b a =．（2）①由于12124OA OB k k x x ⋅=⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y =，而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -=，所以22221212(1)(1)44x x y y--=，则22221212(4)(4)16x x y y --=，所以22221212(4)(4)x x x x --=，整理得22124x x +=，为定值．②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，||5AB =． 而原点O 到直线AB ，所以OAB △面积1425S ==． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=，其中22222(8)4(41)(44)16(14)0km k m k m ∆=-+-=+->，2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++， 由以AB为直径的圆经过点O得1212OA OB x x y y ⋅=+2121212()()(1)x x kx m kx m k x x =++⋅+=++212()km x x m ++22222448(1)1414m km k km mk k --=+⨯+⨯+++222544014m k k--==+，即224(1)5m k =+， 所以原点O 到直线AB的距离d ===， 12AB x =-=当0k ≠时，AB =≤12k =±时等号成立； 当0k =时，AB =，所以||AB此时OAB △面积的最大值为112S ==． 显然415>，所以OAB △面积的最大值为1．。

2016-2017学年高中数学每日一题(2月27日-3月5日)新人教A版必修3

2016-2017学年高中数学每日一题(2月27日-3月5日)新人教A版必修3

变量之间的相关关系高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线(1) __________________________________ 下列关系中，属于相关关系的是•①人的身高与视力的关系；②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系;③降雪量与交通事故的发生率之间的关系.(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下:年龄/岁123456身高/cm788798108115120画出散点图，并判断它们是否有相关关系•如果有相关关系，是正相关还是负相关？【参考答案】(1)③；(2)详见试题解析【试题解析】(1)①身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有相关关系；②自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具有相关关系；③降雪量越大，交通事故发生率越高，具有不确定性的相关关系.(2)散点图是分析变量相关关系的重要工具•作出散点图如下图所示.12申（身高）110100- 9070由图可见，男孩年龄与身高具有线性相关关系，且是正相关.【解题必备】1.两个变量x和y相关关系的确定方法：(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断.(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断.(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断.2 •判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.学霸推荐1对变量X, y有观测数据（X i, y i）（i= 1, 2,…，10）,得散点图①；对变量u, v有观测数据（u , v ）（i=1, 2，…，10）,得散点图②.由这两个散点图可以判断A. 变量x与y正相关，u与v正相关B. 变量x与y正相关，u与v负相关C. 变量x与y负相关，u与v正相关D. 变量x与y负相关，u与v负相关2. 下列变量是线性相关的是A. 人的体重与视力B. 圆心角的大小与所对的圆弧长C. 收入水平与购买能力D. 人的年龄与体重3. 某公司2011〜2016年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出所示:年份201120122013201420152016利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.891 1.11A.利润中位数是16, x与y有正相关关系B.利润中位数是18, x与y有负相关关系C.利润中位数是17, x与y有正相关关系D.利润中位数是17, x与y有负相关关系3025201510560 U50403020101 2 3 4 5 6 7 x(D11 ■■ I ■ I I I ■0 12 3 4 5 6 71/y （单位：百万元）的统计资料如下表1. C【解析】由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系.2. C【解析】B为确定性关系；A, D不具有线性关系，故选C.1C.3. C【解析】由表知，利润中位数是一(16 18) =17,且y随x的增大而增大，故选2£/学霸之路2月28日回归直线方程（1）高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线（1）与是否具有线性相关关系?（2）如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程.【参考答案】详见试题解析【试题解析】（1 ）画散点图如下：7 加工时间120 '110 ,"100 * ■90 ■ *80 •70 . *60 J *°10 20 30 40 5（｝ 60 70 80 90 100 零件数由上图可知y与x具有线性相关关系.（2）列表、计算:A. 直线I 过点（乂, y ）B. 回归直线必通过散点图中的多个点C. 直线l 的斜率必在（0,1 ）内D. 当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同2•根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y4.02.5-0.5 0.5-2.0 -3.0得到的回归方程为 W = bx • a ，则10、xy i -iox yi 4102 2、、x i -10x55950 -10 55 91.738500 -10 552:0.668 , 召_伎=91.7 _0.668 55 =54.96.即所求的回归直线方程为： ? = 0.668x 54.96 . 【解题必备】 用公式求回归方程的一般步骤:(1)列表 x i , y i , x i y i ；nn（2） 计算x,y^ xi v x i y i ；i 4 i 4（3）代入公式计算b? a 的值;（4）写出回归方程.学霸推荐1.设（X 1, y 1）,（ X 2, y 2）,…，（X n , y n ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线 小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是l 是由这些样本点通过最B. a . 0,b ：：： 0D. a 0,b ::: 03.某5名学生的总成绩和数学成绩 （单位：分）如下表:学生 A B C D E总成绩（X ） 482 383 421 364 362 数学成绩（y ）7865716461（1）画出散点图;（2）求数学成绩对总成绩的回归方程1.A 【解析】A 是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B 错误；回归直线的斜率不确定,故C 错误；分布在I 两侧的样本点的个数不一定相同，故 D 错误.2. B 【解析】作出散点图如下：0 二 bx a 的斜率 b 0，当 x = 0 时，0 = a 0 .故 a • 0,b ：：： 0 .3. 【解析】（1）散点图八卩/敎宇成绩80 -75 -箋° 400 4牝4S0奴总减绩A . a . 0,b . 0C. a ::: 0,b . 0观察图象可知，回归直线_ 2y =67.8, v X i =819794, X i y i =137760,i 」7送 X j y i -5xy 而4\ X i 2 -5x 2所以?-0.132x 14.68 .请看我 漂亮的坚持，学霸之路(2)依据题意，得X =402.4,= 0.132, 召= 67.8-0.132 402.4 =14.68,3月1日回归直线万程（2）高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对照数据：（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程 y = bx+a ；（3）已知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测 生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 【参考答案】详见试题解析【试题解析】（1）散点图，如图所示：y+能耗0 2 4 64(2)由题意，得 a x i y i =3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 =66.,i 丑47 x 2 二32 4 2 52 6 2 = 86 ,i =155453.52.515 4 生2 r ax =4^4.5,42.5 3 4 4.5 4-3.5 ,66.5-4 4.5 3.586-4 4.52,86—81召=y _政=3.5 —0.7 4.5=0.35 ,故线性回归方程为? =0.7x 0.35 .(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7 100 • 0.35 = 70.35 (吨)，故耗能减少了90-70.35=19.65 (吨)标准煤.【解题必备】回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；(2)求线性回归方程，注意运算的正确性；(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差._ 二± _ 一•二U "学霸推荐1. 已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y (万元)，有如下统计资料：设y对x呈线性相关关系，试求：(1) 线性回归方程0 = b?，a的回归系数a,b ；(2) 估计使用年限为10年时，维修费用是多少？2. 某公司的广告费支出x与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据n ___' XX - nxy回归方程为？ = bx+o?其中b?=气------------ ,? = y —bx.n2 -2为x i -nx(1)画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；(2)根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程? = bx a ；(3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费.2016年已举办了六届，旅游部门3•中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表:(1) 求y关于x的线性回归方程y = bx a；(2) 旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用(1)中的线性回归方程，预测2017年第七届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多少？n为(X i -x)(y i - y) - 参考公式：b = v-n,a = y-迟(X i —x)2i吕参考蓉臺1. 【解析】(1)根据y对x呈线性相关关系，相关信息列表知x =(2 3 4 5 6)亠5 =4, y -(2.2 38 5.5 6.5 7.0)亠5 =5.c 112 3 -5^4 汇5 12 3代入公式计算得：t?-1123 5 425= — 1.23 ;90—5^4 10a = y-bx =5 -123 4 -0.08,(2)根据(1)的结果，写出回归直线方程为y =1.23x 0.08 ,当x=10年时，y =123 10 0.08=12.3 0.08 =12.38 (万元)•即估计使用10年时，维修费用是12.38万元.2. 【解析】(1)散点图如图由图可判断：广告费与销售额具有相关关系 •-1 - 1(2) x (24 5 6 8) = 5, y (30 40 60 50 70) = 50 ,555二 X i y i = 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 = 1380,5 _____________________________'、x" - 22 42 52 62 82三 145,i 去5___v S_ nxy 彳 i 土1380 -5 5 50b? —5=…_ _2=6.5,2 2' X i - nxi 吕<?= y -t?< =50—6.5 5=17.5,•••线性回归方程为=6.5x 17.5.(3)由题意，得 y=115，6.5 x ，17.5 =115，得 x=15. 3 •【解析】(1)由所给数据计算得：一 11x =沁(12・3・4 5)=3, y =決(0.60.8 0.9 1.2 1.5) =1 ,555' (x i -x)2 =4 1 0 1 4 =10,i ± 5' (X i -x)(y i -y) =(-2) (-0.4) (-1) (-0.2) 0 1 0.2 2 0.5 = 2.2,i 吒b = 22=0.22 , a = y-bx =1-0.22^3 = 0.34,10 '所以所求的回归方程为 ? = 0.22x - 0.34 • (2)由(1 )知，当 x =7时，? = 0.22 7, 0.34 = 1.88,2 145—5 5于是预测2017年第七届中国柳州国际水上狂欢节到柳州的外地游客可达由188000 100 =18800000 （元），预测2017年第七届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达学霸之路18万8千人,1880万元.3月2日回归直线方程（3）高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线已知X 与y 之间的几组数据如下表:X 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 ? = b?X ? •若某同学根据上表中的前两组数据（1, 0）和（2,2）求得的直线方程为 y =b X a ，则以下结论正确的是学霸推荐A. \b b', c? a' C. I? ：： b', ? a'【参考答案】C【试题解析】根据所给数据求出直线方程 由（1, 0）,（ 2, 2）求 b,a .B. I? b', C? ：： a' D. I? ：： b', ? a'y = bx•a 和回归直线方程的系数，并比较大小2 —0b' = 3 =2 , a ” =0_2 1 - -2.2 -16XW =0 4 3 12 15 24 =58,i =1 x =3.5,y』66、X 2 =1 4 9 16 25 36 =91 ,i 吕58-6 3.5 13 ••• ? 613二 I? < b', a? a'.故选 C.【解题必备】 线性回归直线方程中y 的上方加记号“ A ”是与实际值 y 相区别，因为线性回归方程中的“？”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而91 一6 3.52=5 ,召二13—5 3.5=匹 57 6 7 6言，y 的值只是比较接近，但存在一定的误差，即 的接近程度由随机变量 e 的标准差决定.y = ? ■ e （其中e 为随机变量），预测值？与实际值y1对具有线性相关关系的变量x , y ，有一组观测数据（x i , y i ）（i =1,2川|,8），其回归直线方程是:1二一 x +a ,y= 且为+屜+幻专）+禺=3, y 1 + y2 + y 3料丨+ y $ = 6，则实数a 的值是11111A.B.-C.D. 一16 84 162 •根据如下的样本数据:x1 2 3 4 5 6 7y7.35.14.83.12.00.3-1.7得到的回归方程为 y^3x ?,则 A . a 0,b? 0B. ? 0, b? ：： 0C. <? ：：：0,b? 0D. ? ::: 0,b? ：：03. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐 标轴单位长度相同），用回归直线方程y? = b?（ •召近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可 能成立的是期语文成册A. 线性相关关系较强，I?的值为3.25B. 线性相关关系较强，0的值为0.83C.线性相关关系较强，*的值为-0.87D. 线性相关关系太弱，无研究价值4.高三某班学生每周用于物理学习的时间 x （单位：小时）与物理成绩 y（单位：分）之间的关系如下表，根据下表可得回归方程的斜率为3.53，则回归直线在y 轴上的截距为 __________ .（答案保留到0.1 ） x24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y927997896447836871591 - D 【解析】由为+%2十％3十川+沧=3, y i + y 2+y 3+il （+y 8=6可知回归中心为（亠，一），代入回归8 81ii 方程y x a 中得a .6162. B 【解析】由图表可知回归直线方程单调递减b ： 0，由于x = 7时，y ：：： 0 ,所以x = 0, y =刃.0 ,故选B.3. B 【解析】题图中的相关的点均集中在某条直线的附近， 所以线性相关性较强， 且该直线的斜率小于 1，结合各选项知，选 B.92 79 97 89 64 47 83 68 7159=74910设回归直线方程为 ？ = 3.53x •召，则74.9 = 3.53 17.4 ?，解得? 13.5.3月3日第二章章节复习高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆4. 13.5 【解析】由已知可得x/4 1523 19 16 11 20 16 17 13十4,10学霸冬路学霸推荐1某班的60名同学已编号1,2,3，…，60,为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 抽签法2. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是A. 甲的极差是29B. 乙的众数是21C. 甲罚球命中率比乙高D. 甲的中位数是243. 下列各选项中的两个变量具有相关关系的是A. 长方体的体积与边长B. 大气压强与水的沸点C. 人们着装越鲜艳，经济越景气D. 球的半径与表面积4. 根据如下样本数据得到的回归方程为？= bix -召，若？ =5.4，则x每增加1个单位，？就x34567y4 2.5-0.50.5-2A. 增加0.9个单位B.减少0.9个单位C.增加1个单位D.减少1个单位5. 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160 , 180) , [180 , 200) , [200 , 220) , [220 ,240), [240, 260), [260, 280), [280, 300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220 , 240), [240 , 260), [260 , 280), [280 , 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220 , 240)的用户中应抽取多少户？1. B【解析】抽出的号码是5,10,15，…，60,符合系统抽样的特点“等距抽样”，故选B.2. D【解析】甲的极差是37 -8 =29 ;乙的众数显然是21;甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数是23.3. C【解析】A、B D均为函数关系，C是相关关系.4. B【解析】••• x= 5, y = 0.9且在回归直线上，将(X,y)代入方程0.^51?5.4 ,.•.-0.9，则回归直线方程为：?--0.9x 5.4，所以x每增加1个单位，？就减少0.9个单位，故选B.5. 【解析】(1)由(0.002 0.009 5 0.011 0.012 5 x 0.005 0.002 5) 20=1 得x = 0.007 5 ,所以直方图中x的值为0.007 5.220 +240(2)月平均用电量的众数是220 240二230 .2因为(0.002 0.009 5 0.011) 20 二0.45 ：： 0.5 ,所以月平均用电量的中位数在[220 , 240)内，设中位数为&,则(0.002 0.009 5 0.011) 20 0.012 5 ( a-220) =0.5，解得a = 224，即中位数为224.（3）月平均用电量在[220, 240）的用户有0.012 5 20 100 = 25 （户），同理可求月平均用电量为[240 , 260）, [260 , 280）, [280 ,300）的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为11 1 1-，所以从月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25 - =5 （户）.学霸之路—— ---------- -------------- ik莫粧曲萍一无时笔记25 15 10 5 5 5如果不快点说F眼泪的话就不能笑杵面对明夭了3月4日月考复习（1）高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆学霸推荐1运行下面的程序，执行后输出的s的值是i = 1WHILE i<6i = i + 2 s = 2*i+1 WEND PRINT s ENDA. 11B. 15C. 17D. 192 .把38化为二进制数为A. 101010 (2)B. 101010(2)C. 110010 (2)D. 110100(2)3•为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k为A. 50B. 60C. 30D. 404. 已知数据X1, x2, X3，…，X n是某县普通职工n（n-3 , n，N * ）个人的年收入，设n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n 1，则这n ■ 1个数据中，下列说法正确的是A. 年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变B. 年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变5. —个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程y = Sx a^，已知回归直线在轴上的截距为56.5，根据回归方程，预测加工102分钟的零件个数约为_______________ .6•对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图分组频数频率[10,15 ) 100.25[15,20 ) 24n[20,25 ) m P[25,30]20.05合计M1(1 )求出表中M,p及图中a的值；(2)若该校高三学生有600人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15 )内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数.多考答步1. B【解析】当i=3时，S=7,当i=5时，s=11，此时仍满足条件“ i<6”，因此再循环一次，即i=7时，S=15，此时不满足“ i <6”，所以执行“ PRINT S”，即卩S=15.2. A【解析】可以验证所给的四个选项，在 A 中，2+8+32=42,在B中，2 4 3^38经过验证知道，B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38.3. D【解析】由于800“ 20 =40，即分段的间隔k=40,故选D.4. B【解析】•••数据X1 , X2, X3，…，X n是某县普通职工n( n-3, n，N * )个人的年收入，而X n d为世界首富的年收入，则x n 1会远大于x1, x2, x3，…，x n，故这n • 1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度也受到 离散，则方差变大•故选B.5. 70【解析】因为回归直线在 y 轴上的截距为56.5，所以召=56.5，所以线性回归方程为x J0 20 30 40 5° = 30 64 69 75 82 90= 76，则有557^ 30x 56.5，解得！？ = 0.65，所以回归直线方程为 7 = 0.65x 56.5，当?=102 时，x = 70 ,故预测加工102分钟的零件个数约为 70.106.［解析】（1）由分组［10,15 ）内的频数是10,频率是0.25，知=0.25，所以M =40.因为频数之Mm 4和为40,所以10 24 m ^40，解得m =4, p0.10.因为a 是对应分组［15,20）的M 4024频率与组距的商，所以 a 240.12.40^5（2）因为该校高三学生有 600人，在［10,15 ）内的频率是0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为150.15+2024（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数是17.5.因为n0.6，所以样本的中位数 240口 0.5—0.25 是15，17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1 .样本平均人数是a12.5 0.25 17.5 0.6 22.5 0.1 • 27.5 0.05=17.25,估计这次学生参加社区服务人数的平均数是X n1比较大的影响，而更加y=bX 56.5，又由表知17.25./学霸之路3月5日月考复习（2）高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆学霸推荐1.用秦九韶算法求多项式 f (x)二 208 - 9x 2 6x 4 x 6在 x = 4 时，v 2 的值为A . -4B. 1C. 17D. 222.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为n ,则记为N = n(mod m)，例如10 =2(mod4).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》•执行该程序框图，则输出的 i 二•开始A . 4B . 83.下图是2017年某市举办青少年运动会上, 十位数字，右边数字表示个位数字 •7 9 845889则这些数据的中位数和去掉一个最低分和最高分后所剩数据的平均数分别是 A . 86.5 ; 86.7 B. 88; 86.7C. 88; 86.8D. 86.5; 86.84.为了调查学生携带手机的情况，学校对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层抽样调查，已知高 一有学生1200人，高二有1140人；三个年级总共抽取了 64人，其中高一抽取了 20人，则高三年级的全部学生数为 A . 1500 B . 1200 C. 1600D. 13005.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图,n=ltP=lC. 16D. 327位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示 若在这m 名学生中，数学成绩不低于100 M 二川七 ..|■ I. __平 |二^=2他匚一㈢分的人数为33,则m等于A . 45 B. 48 C. 50D. 556.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注:参考数据: 77'、y i =9.32 ,、• ti% =40.17 ,i -1' (% -y)2 =0.55，‘、7 〜2.646.id注:牟梅找码！ “ T 命劉苛丘年檢20用-20".玉审矇玄军«*践SY封hr参考公式: 相关系数n' (t i -F)(y i -y)i £n n ' ' (t i -t)J (y i -y)2i =1 i =1回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:n' (ti -£)2 -V), a=y - b t.' (tT)2i好v°=1 , w 二1( )4 二却2, =4 ( 4) . 6^2 21 . D 【解析】由题意知，f(x) =((((( x 0)x 6)x 0)x 9)x 0)x 208 当x=—4 时,n =11,i =1；i =2,n =13 , 不满足条件“n =2(mod3)i =4,n =17，满足条件“ n =2(mod3) ”，不满足条件“ n =1(mod5) ”， i = 8,n = 25，不满足条件“ n =2(mod3) ”，i =16 ,n =41，满足条件“ n = 2(mod3) ”，满足条件“ n =1(mod5) ”， 退出循环，输出i 的值为16，故选C.【名师点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于基础题；由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 •的值,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 3. C 【解析】中位数为由小到大排列后位于中间的数，即为88,平均数为84 85 88 88旳=86.8.54.A 【解析】设高三年级的全部学生数为 n , 2° =64，”•” n=1500 .1200 1200 +1140 + n5. D 【解析】P =1 -(0.0150.025) 10 =0.6，由 0.6m =33，得 m 二 55，故选 D.【方法点晴】 本题考查了频率分布直方图的应用问题， 解题时应根据频率分布直方图求出频率， 是基础题；频率分布直方图的特征： ①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1;②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；③从频率分布直方图得不出原始的数 据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉 6. ［解析】(1 )由折线图中数据和附注中参考数据得_7_t =4 , - (t i -t)^28 ,i d7__7_ 7' (t i —t)(y i - y)二' t i y i —t' y i =40.17 —4 9.32 =2.89 ,i Ai =1i d2.89 cccr0.99.0.55 2 2.646因为y 与t 的相关系数近似为 0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系•2 . C 【解析】模拟程序的运行，可得：(% -y)2 "55,i d(2)9.32 迟(t i -t)(y i-y):1.331 及(|)得|?="弓7迟(t i T)2 i d 2.89280.103,? = y -？ 1.331 -0.103 4 0.92.所以，y关于t的回归方程为：?-0.92 0.10t .将2016年对应的t=9代入回归方程得：7 =0.92 0.10 9 =1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82亿吨./学霸之路Q睿智生活，是-种空应“面对惊涛骇浪$泰然处之n >。

高中数学 每日一题(5月29日-6月4日)文 新人教A版选修1-2(2021年整理)

高中数学 每日一题(5月29日-6月4日)文 新人教A版选修1-2(2021年整理)
5月30日 合情推理（2）
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆
（1）如图,在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 ， ， Байду номын сангаас ， ， ，…，则点 的坐标是
A． B． C． D．
(2)把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为（1），(3，5),（7,9，11），(13）,(15，17)，(19，21，23），（25)，…，则第100个括号内的数为____________．
于是 ， ．
因为 ，
所以 ．故真命题的序号为②④,一般结论是 ．
【解题必备】合情推理包括归纳推理和类比推理，二者区别如下：
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
（2）由题知 、 的预测截然相反，必一对一错,因为只有一个对，不论 、 谁对， 必是一对一错,假设 的预测是对的,则丙是冠军，那么 说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错"相矛盾,即假设不成立,所以 的预测是错误的,则 的预测是对的，所以甲是冠军．故填甲．
（3）在直角三角形 中， , ， ，所以 ．
3．已知 , ,观察下列运算： ； ；……定义使 为整数的 叫做“希望数”，则区间 内所有的“希望数”的和为________________．
1．A 【解析】通过观察可知，末尾数字周期为 ， ，故 的末位数字是 ．故选A．

试题君之每日一题君2016-2017学年高一数学人教A版必修

试题君之每日一题君2016-2017学年高一数学人教A版必修

4月3日任意角的概念高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆下列说法正确的有________．（填序号）①零角的始边与终边重合;②始边与终边重合的角是零角;③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°;④绝对值最小的角是零角．【参考答案】①③④【试题解析】根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．【解题必备】求解任意角问题的步骤（1）定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．（2）定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小1．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所形成的角是0°；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________（错误说法的序号都填上）．2．如果一个挂钟慢了20分钟，或快了75分钟，应该将分针分别旋转多少度才能将时间校准？1．①③④【解析】①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为-60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°＜α＜180°，锐角θ的取值范围为0°＜θ＜90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针方向旋转一周所形成的角是360°，所以③不正确．④锐角θ的取值范围是0°＜θ＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．2．【解析】我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，如图可知需要将分针分别调整-120°，450°才能将时间校准.4月4日象限角的确定高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为A．1B．2C．3 D．4【参考答案】D【试题解析】①－15°角终边在第四象限；故－15°是第四象限角；②因为180°＜185°＜270°，所以185°角终边在第三象限，故185°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°＜115°＜180°，115°角终边在第二象限，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°，10°角终边在第一象限，所以－350°是第一象限角．所以四个结论都是正确的．故选D.【解题必备】判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β（k∈Z，0≤β＜360°）的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α是第几象限角.1．下列是第三象限角的是A．-110°B．-210°C．80°D．-13°2．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是A．①②B．①③C．②③D．②④3．若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是A．90°-αB．90°＋αC．360°-αD．180°＋α1．A 【解析】-110°是第三象限角，-210°是第二象限角，80°是第一象限角，-13°是第四象限角．故选A．2．D 【解析】-120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．3．C 【解析】因为α是第一象限角，所以-α为第四象限角，所以360°-α为第四象限角．4月5日终边相同的角高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆如图，终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是A ．{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }B ．{α|k ·180°＋150°<α<k ·180°＋225°，k ∈Z }C ．{α|k ·360°＋150°<α<k ·360°＋225°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋30°<α<k ·180°＋45°，k ∈Z }【参考答案】C【试题解析】在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{α|k ·360°＋150°<α<k ·360°＋225°，k ∈Z }．【解题必备】（1）与角α终边相同的角的集合为{|360,}S k k ββα==⋅+∈Z . （2）求某一范围内的终边相同的角，常用赋值法.1．终边与坐标轴重合的角α的集合是A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }2．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.3．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.1．D 【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．故选D ．2．120°，300° 【解析】根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k ·360°（k ∈Z ），当k ＝1时，β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.故填120°，300°.3．【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为130{|}180,S k k αα==︒+⋅︒∈Z ，终边在18075105︒-︒=︒角的终边所在直线上的角的集合为2105{180,|}S k k αα==︒+⋅︒∈Z ，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为301801{05180,|}k k k αα︒+⋅︒≤<︒+⋅︒∈Z .4月6日 角度与弧度的换算高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆把下列角度化成弧度或弧度化成角度： （1）72°；（2）－300°；（3）2；（4）－2π9.【参考答案】详见试题解析【试题解析】（1）72°＝72×π180＝2π5； （2）－300°＝－300×π180＝－5π3； （3）2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°； （4）－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.【解题必备】在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数.1．将－150°化为弧度数为A ．23-πB ．56-πC ．712-π D ．78-π2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是A ．2k π＋45°B ．k ·360°＋9π4 C ．k ·360°－315°（k ∈Z ）D ．k π＋5π4（k ∈Z ）3．（1）将1500-︒表示成2(02,)k k ααπ+≤<π∈Z 的形式，并指出它是第几象限角；（2）在0°~720°范围内，找出与25π角终边相同的角.1．B 【解析】5150=150=1806π--⨯-π，故选B.2．C 【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．3．【解析】（1）255 150015001018033πππ-︒=-⨯=-=-π+.∵53π是第四象限角，∴1500-︒是第四象限角.（2）∵221807255π=⨯=,∴终边与25π角相同的角为72360()k kθ=︒+⋅︒∈Z,当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°，∴在0°~720°范围内，与25π角终边相同的角为72°,432°.4月7日 扇形弧长公式和面积公式的应用高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）若圆的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则A ．扇形的圆心角变为原来的2倍B ．扇形的圆心角变为原来的4倍C ．扇形的面积变为原来的2倍D ．扇形的面积变为原来的4倍（2）已知扇形的周长为40 cm ，当扇形的面积最大时，圆心角为________； （3）如图所示，扇形AOB 的面积是4 cm 2，它的周长是10 cm ，求扇形的圆心角α的弧度数．【参考答案】（1）D;（2）2;（3）α＝12（弧度）.【试题解析】（1）由公式|α|＝l r ，可知圆的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍时，圆心角大小不变；但扇形面积212S r α=，故面积变为原来的4倍．（2）设扇形的弧长为l ，半径为r ，则l ＋2r ＝40，则S ＝12lr ＝12（40－2r ）r ＝20r －r 2，所以r ＝10时，扇形面积最大，此时l ＝40－2r ＝20，圆心角的弧度数α＝lr ＝2010＝2.（3）设弧AB 的长为l （cm ），扇形半径为r （cm ），由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2或⎩⎨⎧r ＝1，l ＝8（舍）， 故α＝24＝12（弧度）．【解题必备】（1）弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题优势及注意点 ①解题优势：弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到简化，所以在解决这些问题时通常采用弧度制．一般地说，在几何图形中研究的角，其范围是（0，2π）． ②注意点：（ⅰ）在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负； （ⅱ）看清角的度量制，选用相应的公式； （ⅲ）扇形的周长等于弧长加两个半径长. （2）扇形周长及面积的最值①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πr . ②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长L 转化为关于r 的函数，但要注意r 的取值范围.1．一扇形的面积是3π8，半径为1，则该扇形的圆心角是A ．3π16B ．3π8C ．3π4D ．3π22．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.1．C 【解析】∵l ＝θR ，S ＝12lR ，∴S ＝θ2×R 2＝38π，∴θ＝3π4.故选C.2．π－2 2（π－2） 【解析】由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝（π－2）r ，∴圆心角α＝l r ＝（π－2）r r ＝π－2（rad ），扇形面积S ＝12lr ＝12×（π－2）·r ·r ＝2（π－2）．4月8日 周六培优特训高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是A ．A ＝B ＝C B ．A ⊆C C ．A ∩C ＝BD ．B ∪C ⊆C2．与角23π终边相同的角是A ．113πB ．2k π－23π（k ∈Z ）C ．2k π－103π（k ∈Z ）D ．（2k ＋1）π＋23π（k ∈Z ） 3．终边在第二象限的角的集合可以表示为 A ．{α|90°＜α＜180°}B ．{α|90°＋k ·180°＜α＜180°＋k ·180°，k ∈Z }C ．{α|－270°＋k ·180°＜α＜－180°＋k ·180°，k ∈Z }D ．{α|－270°＋k ·360°＜α＜－180°＋k ·360°，k ∈Z } 4.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围（阴影部分）是5．α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________．6．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角．7．已知一个扇形的周长是40，（1）若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； （2）求扇形面积S 的最大值．1．D 【解析】第一象限角可表示为k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D ． 2．C 【解析】选项A 中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；2k π－23π，k∈Z ，当k ＝1时，得[0，2π）之间的角为43π，故与角43π有相同的终边，B 错；2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0，2π）之间的角为 23π，与角23π有相同的终边，故C 对；（2k ＋1）π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0，2π）之间的角为53π，故与角53π有相同的终边，D 错．3．D 【解析】终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z }，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确． 4. C 【解析】k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分（包含边界），k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分（包含边界）．故选C ．5．270° 【解析】5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z .，又∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.6．【解析】由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z .若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角；若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同，是第四象限角．所以，α2是第二象限角或第四象限角． 7．【解析】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎨⎧l ＝20，r ＝10，则α＝lr ＝2（rad ）．故扇形的圆心角为2rad.（2）由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12（40－2r ）·r ＝20r －r 2＝－（r －10）2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.4月9日 周日培优特训高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．－25π6的角是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．终边与坐标轴重合的角α的集合是A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }3. 设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是A ．1B ．2C ．3D ．44．若角α＝2016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．5．已知，如图所示．（1）分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．6．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．1．D 【解析】因为-25π6＝-π6-4π，所以-25π6与-π6的终边相同，为第四象限角． 2．D 【解析】 终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．故选D ．3. B 【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎨⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr ＝2 rad.故选B4．216° －144° 【解析】∵2016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是216°，最大负角是－144°. 5．【解析】（1）终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．（2）由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }．6．【解析】∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过O 作OD ⊥AB ，则有OAB S △＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.。

2016_2017学年高中数学每日一题(6月5日_6月11日)新人教A版必修3

2016_2017学年高中数学每日一题(6月5日_6月11日)新人教A版必修3

6月5日 算法与程序框图高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．执行下面的程序框图，若输出2y =，则输入的x 为A ．1-或．1±C ．1．1-2．执行如图所示的程序框图，则输出的a =A ．1B ．1-C ．4-D ．52-3．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，那么判断框内应填入的条件是A ．8?k ≤B ．9?k ≤C ．10?k ≤D ．11?k ≤4．20世纪70年代，流行一种游戏---角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的421--循环，而且永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或321．D 【解析】程序框图的功能是计算分段函数22,0,0x x y x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的值，若2y =，则1x =-或选D.2．C 【解析】第一次循环，得1,1,2b a i =-=-=；第二次循环，得55,,322b a i =-=-=；第三次循环，得4,4,4b a i =-=-=，…，又知当40i =时退出循环，此时共循环了39次，所以输出4a =-，故选C. 3．B【解析】由题意，得该程序框图的功能是计算()()()()lg1lg2lg2lg3lg3lg4[lg lg(+1)]lg 1S k k k =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+，令()lg 11k -+=-，得9k =，即判断框内应填入的条件是9?k ≤.故选B.4．C 【解析】若5n =，执行程序框图，16,2;8,3;4n i n i n =====，4;2,5;1,6i n i n i =====，结束循环，输出6i =.若32n =，执行程序框图，16,2;8,3;4,n i n i n =====4;2,5;1,6i n i n i =====，结束循环，输出6i =，故5n =或32n =，故选C.【方法点睛】本题主要考查循环结构的程序框图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6月6日 随机抽样高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法最有可能是A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上答案都不对2．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 A ．20 B ．40 C ．60 D ．803．将参加夏令营的100名学生编号为：001，002，…，100，采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，且随机抽得的号码为003.这100名学生分住在三个营区，从001到015在第I 营区，从016到055住在第II 营区，从056到100在第III 营区，则第II 个营区被抽中的人数应为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 74811．B 【解析】相当于对个体编号，然后按一定规律抽取样本，此方法为系统抽样．故选B ． 2．B 【解析】依题意,三年级的人数为25000=100043+2+1⨯+，设三年级应抽取n 人，则有200=50001000n，解得40n =，所以三年级应抽取40人，选B. 3．C 【解析】样本容量是20,则样本组距是100520=，又抽到的首个号码是003，则抽到的编号为()35019,k k k +≤≤∈Z ，令163555k ≤+≤，解得135255k ≤≤.故在第II 个营区抽到的号码为18，23,28,33,38,43,48，53，即第II 个营区被抽中的人数为8.故选C.4．01 【解析】选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字分别为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01.6月7日 用样本估计总体高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆1．中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．如图是2016年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0~9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a ，2a ，则一定有A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．1a ，2a 的大小与m 的值有关2．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30]. 根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为A ．26.25B ．26.5C ．26.75D ．273．若1，2，3，4，这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为__________．4．某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)2000,2500.（1）求毕业大学生月收入在[)4000,4500的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)3500,4000的这段应抽取多少人？1．B 【解析】由茎叶图知，11554580845a ++++=+=，24+4+6+4+780=855a =+，则21a a >.故选B ．2． B 【解析】结合题意和频率分布直方图可得2527.5m <<,则()()0.020.100.16 2.525m ++⨯+-1640.08200⨯=,解得26.5m =.故选B.【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.3． 【解析】由平均数的公式可得，所以数据的方差为.4．【解析】（1）月收入在[)4000,4500的频率为：()10.000520.00040.00020.0001500-⨯+++⨯0.15=； （2）由频率分布直方图知，中位数在[)3000,3500，设中位数为x ， 则()0.00025000.00045000.000530000.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得3400x =， 故估计样本数据的中位数为3400.（3）居民月收入在[)3500,4000的频率为0.00055000.25⨯=， 所以10000人中月收入在[)3500,4000的人数为0.25100002500⨯=， 再从10000人中用分层抽样方法抽出100人， 则月收入在[)3500,4000的这段应抽取25001002510000⨯=人.6月8日 变量间的相关关系高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆1．设有一个回归方程665ˆ.y x =-，则变量x 每增加一个单位时，变量ˆy平均 A ．增加6.5个单位 B ．增加6个单位 C ．减少6.5个单位 D ．减少6个单位2．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ0.65b =15万元时支出为A ．9.05万元B ．9.25万元C ．9.75万元D ．10.25万元3．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y （单位：万件）之间的关系如下表：（1）在图中画出表中数据的散点图；（2）根据散点图选择合适的回归模型拟合y 与x 的关系（不必说明理由）； （3）根据（2）中y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量．ˆˆay bx =-． 4．第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量t （袋），得到如下数据：（1）请根据所给五组数据，求出t 关于x 的线性回归方程ˆˆˆtbx a =+； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为()30020(035,)29035,t t t C t t t +<<∈⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩N N ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还.若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）（参考公式：ˆˆay bx =-）1．C 【解析】因为回归直线方程为665ˆ.y x =-， 所以变量x 每增加一个单位时，变量ˆy要平均增加 6.5-个单位，即减少6.5个单位，故选C.2．B 【解析】由表格中数据计算得10x =，6y =，又回归直线方程过点(),x y ，所以，则0.65.5ˆ0y x =-，当15x =时，ˆ9.25y =，故选B ． 3．【解析】（1）作出散点图如图：（2）根据散点图，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：可得52x =，692y =．ˆˆa y bx =-697352252=-⨯=-． 故y 关于x 的回归直线方程为7325ˆy x =-． （3）当5x =时，7352715ˆy=⨯-=．故第5年的销售量大约为71万件．【名师点睛】（1）准确地计算是求线性回归方程的关键．（2）回归直线方程ˆˆˆybx a =+必过点(,)x y ． （3）在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测． 4．【解析】（1）由数据，求得91112108105x ++++==，2328292520255t ++++==，511128+923820i ii x t==⨯⨯+⨯+∑102512291273⨯+⨯=，5222211198ii x==+++∑221012510+=，2.3=，ˆa t =-ˆ2b x ⋅=， 所以t 关于x 的线性回归方程为 2.32ˆtx =+. （2）由（1）中求出的线性回归方程，当14x =时，ˆ34.2t=，即预计需要原材料34.2袋， 因为()30020(035,)29035,t t t C t t t +<<∈⎧⎪=⎨≥∈⎪⎩N N ，所以，若035,t t <<∈N ，则利润()60030020L t t =-+30020t =-， 当34t =时，利润max 30034L =⨯-2010180=元；若35t ≥，t ∈N ，则利润60034.2290L t =⨯-20520290t =-， 当35t =时，利润max 20520290L =-3510370⨯=元.综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元.6月9日 古典概型高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆1．现有,A B 两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，则甲、乙两人都选A 选修课的概率是 A ．14 B ．13C ．12 D ．232．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是A ．13 B ．310 C ．25 D ．343．在学校体育节中，某班全体40名同学参加跳绳、踢毽子两项比赛的人数统计如下：（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一项活动的概率；（2）已知既参加跳绳又参加踢毽的9名同学中，有男生5名，女生4名，现从这5名男生，4名女生中各随机挑选1人，求男同学甲未被选中且女同学乙被选中的概率. 4．在一次期末数学测试中，唐老师任教班级学生的成绩情况如下所示：（1）根据上述表格，试估计唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩；（2）现从成绩在[)70,110中按照分数段，采取分层抽样随机抽取5人，再在这5人中随机抽取2人作小题得分分析，求恰有1人的成绩在[)70,90的概率.1．A 【解析】,A B 两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，则基本事件有：(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A A A A A B A B A B A A A B B B A B B B A B B B ,共8种方法，甲、乙两人都选A 选修课共有2种方法，所以甲、乙两人都选A 选修课的概率是2184=，故选A. 2．C 【解析】设乙、丙、丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(),,x y z ,则基本事件有：()()()1,1,4,1,4,1,4,1,1,()()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1,2,2,2,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有：()()()()1,4,1,1,3,2,2,3,1,2,2,2,共4个, 故所求概率为42105=,应选C. 3．【解析】（1）由表可知，既参加跳绳又参加踢毽的同学有9人，只参加踢毽的同学有4人， 只参加跳绳的同学有7人，所以至少参加一项活动的同学有20人. 设“该同学至少参加上述一项活动”为事件A ，则()201402P A ==． （2）设5名男同学为甲，1，2，3，4；4名女同学为乙，5，6，7.所有可能的结果有：（甲,乙），（甲,5），（甲,6），（甲,7），（1,乙），（1,5），（1,6），（1,7），（2,乙），（2,5），（2,6），（2,7），（3,乙），（3,5），（3,6），（3,7），（4,乙），（4,5），（4,6），（4,7），共计20种． 记“男同学甲未被选中且女同学乙被选中”为事件B ， 则B 包含（1,乙），（2,乙），（3,乙），（4,乙），共4个结果，4．【解析】（1）依据题意，所求平均成绩为260880321003812014020113.2100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（2）依题意，由分层抽样方法可知，[)70,90的抽取1人，记为[),90,110a 的抽取4人，记为,,,A B C D .则抽取2人，所有情况为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A a B C B D B a C D C a D a ，其中满足条件的为()()()(),,,,,,,A a B a C a D a ， 故所求概率为42105P ==. 【名师点睛】具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率为P (A )＝m n．6月10日 几何概型高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆1．在半径为1的圆O 内任取一点M ，过M 且垂直于OM 的直线l 与圆O 相交于,A B 两点，则AB 的长度A ．14 B ．13 C．3D ．122．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.因曰：‘我亦无他，唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为的圆，中间有边长为的正方形孔.你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为A ．B ．C ．D ．3．在区间()0,6上随机取一个实数x ，则满足2log x 的值介于1到2的概率为_________． 4．下图的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为_________．1．A 【解析】由题意知，M 为弦AB的中点，由AB >12OM <，即M 在以O 为圆心，12为半径的圆内，根据几何概型的概率计算公式可得，ABA.2．B 【解析】由几何概型可得油正好落入孔中的概率为.故选B.3．13【解析】由21log 2x <<可得24x <<，由几何概型的概率计算公式可得满足2log x 的值介于1到24．【解析】由随机模拟可得.6月11日概率与统计的结合高考频度：★★★★★难易程度：★★★☆☆1．某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：（1）计算上线考生中抽取的男生成绩的方差2s；（结果精确到小数点后一位）（2）从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.2．某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试的成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：（1）若第一段抽取的学生编号是006，试写出第5段抽取的学生编号；（2）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率.3．某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B 餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）从对B 餐厅评分在[)0,20范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[)0,10范围内的概率；（3）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.4．某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：该院确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率； （2）已知选取的是1月与6月的两组数据.①请根据2到5月份的数据，求出就诊人数y 关于昼夜温差x 的线性回归方程；②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想?(ˆˆay bx =-； 参考数据：22221125132912268161092,1113128498⨯+⨯+⨯+⨯=+++=)1．【解析】（1）依题意，样本中男生共6人，成绩分别为164、165、172、178、185、186. 则他们的总分为1050，平均分为175.()2223310-++211)]76.7+≈. （2）样本中180分以上的考生有男生2人，记为A 、B ，女生4人，记为a 、b 、c 、d ，从中任选2人，有AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ad 、Ba 、Bb 、Bc 、Bd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ，共15种，符合条件的有Aa 、Ab 、Ac 、Ad 、Ba 、Bb 、Bc 、Bd ，共8种， 故所求概率为815P =. 2．【解析】（1）组距是20，因此第5段抽取的编号为642086+⨯=，即086.（2）记：“2人成绩均是语文成绩高于英语成绩”为事件A ，这两科成绩差超过20分的学生共5人，其中语文成绩高于英语成绩的共3人，记为a ，b ，c ，另2人记为1，2.在5人中随机抽取2人共有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，1），（b ，2），（c ，1），（c ，2），（1，2），共10种取法，其中2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的共3种.所以2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率为310. 3．【解析】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为()0.0030.0050.012100.2++⨯=，所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=. （2）对B 餐厅评分在[)0,10范围内的有2人，设为12,M M ； 对B 餐厅评分在[)10,20范围内的有3人，设为123,,N N N .从这5人中随机选出2人的选法为：()12,M M ，()11,M N ，()12,M N ，()13,M N ，()21,M N ，()22,M N ，()23,M N ，()12,N N ，()13,N N ，()23,N N ，共10种.其中，恰有1人评分在[)0,10范围内的有：()11,M N ，()12,M N ，()13,M N ，()21,M N ，()22,M N ，()23,M N ，共6种.故2人中恰有1人评分在[)0,10范围内的概率为63105P ==. （3）从两个餐厅得分低于30分的数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%.B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%.所以会选择B 餐厅用餐.4．【解析】（1）设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为：()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,()()()()()()2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,()()4,6,5,6，每种情况都是等可能出现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51153P A ==，则选取的2（2）①由数据求得11x =,24y =，由公式求得ˆ187b=，y 关于x 的线性回归方程为18307ˆ7y x =-.②当10x =时，ˆ1507y=，1502227-<； 同样，当6x =时，ˆ787y=，781227-<. 所以，该协会所得线性回归方程是理想的.。

2016-2017学年高中数学 每日一题(2月13日-2月19日)新人教A版必修3

2016-2017学年高中数学 每日一题(2月13日-2月19日)新人教A版必修3

2月13日简单随机抽样高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）从无数个个体中抽取20个个体作为样本；（2）从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检查；（3）某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.【参考答案】详见试题解析【试题解析】（1）不是简单随机抽样.因为总体的个数是无限的，而不是有限的.（2）不是简单随机抽样.简单随机抽样的定义要求的是“逐个抽取”.（3）不是简单随机抽样.因为是指定5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽样.（4）是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能地进行抽样.【解题必备】要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：（1）总体的个数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回的抽取；（4）保证每个个体被抽到的可能性是相同的.1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验2．从30名留守儿童中抽取8人进行安全教育问卷调查，请写出抽取样本的过程.3．现有120台机器，请用随机数表法抽取10台机器，写出抽样过程．1．D 【解析】对每个选项逐条落实简单随机抽样的特点.A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.2．【解析】第一步，先将30名儿童进行编号，从1到30.第二步，将编号写在形状、大小相同号签上.第三步，将号签放到一个不透明的盒子中搅拌均匀，然后从盒子中逐个抽取8个号签.第四步，将与号签上的编号对应的儿童抽出，即得样本.【名师点睛】能否用抽签法，关键看两点：（1）制作号签是否方便；（2）号签是否容易被搅拌均匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.3．【解析】第一步，先将120台机器编号，可以编为000，001，002， (119)第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第9行第7列的数3，向右读；第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在000～119中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080, 003，105，107，083，092；第四步，这10个号码074，100，094，052，080，003，105，107，083，092所对应的10台机器就是要抽取的对象．【名师点睛】1．在利用随机数法抽样的过程中应注意（1）编号要求数位相同；（2）第一个数字的抽取是随机的；（3）读数的方向是任意的，且事先定好的．2．随机数法的特点优点：简单易操作．它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签法制签难的问题．缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本容易重号．2月14日 系统抽样高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．以上都不对 【参考答案】C【试题解析】上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽1550n +（*n ∈N ）号，符合系统抽样的特点．【解题必备】一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：（1）先将总体的N 个个体编号.有时可以直接利用个体自身所带的号码，如学号，准考证号、门牌号等；（2）确定分段间隔k ，对编号进行分段.当N n （n 是样本容量）是整数时，取N k n=； （3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k ≤；（4）按照一定的规则抽取样本.通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +，再加k 得到第3个个体编号(2)l k +，依次进行下去，直到获取整个样本.1．为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为A ．50B ．40C ．25D ．20 2．某校高三年级的295名学生已经随机编号为1,2,,295,为了了解学生的学习情况,要按1∶5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.1．C 【解析】由1000=2540,可得分段的间隔为25.故选C.【方法技巧】系统抽样的操作步骤:第一步将总体编号;第二步确定间隔;第三步在第一段中随机抽取;第四步在以后各段中按一定规则进行抽取.2．【解析】（1）因为按照1∶5的比例抽取,所以样本容量为295÷5=59,分段间隔为5.（2）我们把295名同学分成59组,每组5人,第1组是编号为1~5的5名学生,第2组是编号为6~10的5名学生,依次类推,第59组是编号为291~295的5名学生.（3）采用简单随机抽样的方法,从第1组的5名学生中抽一名学生,不妨设编号为(15)k k ≤≤,则编号为5(0,1,2,,58)k L L +=的这59个个体就是所抽取的样本,如当k =3时的样本编号为3,8,13,… ,288,293.2月15日分层抽样高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为A．50 B．60 C．70 D．80【参考答案】C=，解得【试题解析】依题意，设样品中B,C产品有x，y件，由分层抽样，得3:4:715::x yn=++=.故选C.，，故15203570==2035x y【解题必备】1．使用分层抽样的前提:分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．2．使用分层抽样应遵循的原则（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．1．某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组（1~5号,6~10号,…,196~200号）.若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取人.2．一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量（单位:辆）如下表:按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A 类轿车有10辆.（1）求z 的值;（2）用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,则舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆?1．37,20 【解析】由系统抽样知识可知,将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,这时间隔为[]N k n=.在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.由题意,第5组抽出的号码为22,因为2(51)522+-⨯=,则第1组抽出的号码应该为2,第8组的号码应该为()281537+-⨯=.由分层抽样知识可知,40岁以下年龄段的职工占50%,按比例应抽取4050%20⨯=人.2．【解析】（1）设该厂本月生产轿车n 辆,由题意得5010100300n =+，所以2000n =,则400z =. （2）设所抽取的样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以由（1）知40010005m =,解得2m =,则在C 类轿车中抽取2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆高考结束后，某市教育局为了了解该市20000名考生的有关情况，决定从这20000名考生中抽取200名考生的成绩进行分析，根据从1到20000的编号，从1到100号考生中随机确定39号考生，然后依次取出139号，239号，339号，…，19939号考生组成样本.这种抽样方法是A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．简单随机抽样法【参考答案】C【试题解析】根据抽样过程可以发现，从20000名考生中抽取200名考生的成绩时，先从前100号考生中随机确定39号考生，然后直接等距离确定其余的199名考生，这种抽样方法是系统抽样.【解题必备】系统抽样与简单随机抽样的关系及优缺点①系统抽样与简单随机抽样的关系：（ⅰ）系统抽样在将总体中的个体均分后的第一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样.（ⅱ）两种抽样，每个个体被抽到的可能性都是一样的.②系统抽样与简单随机抽样的优缺点：（ⅰ）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本.（ⅱ）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广.1．给出下列说法：①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②在系统抽样中总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抽奖活动是抽签法；④在整个系统抽样过程中，每个个体被抽取的机会相等.其中正确的说法是.2．某学校高一年级有1003名学生，为了解他们的视力情况，准备按1∶100的比例抽取一个样本，试用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程.3．某中学举行了为期3天的新世纪教职工体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校教职工中产生的影响,对全校500名教职工进行了问卷调查.如果要在所有答卷中抽出10份用于评估.应该如何抽样？请详细叙述抽样过程.1．①③④【解析】①③④是正确的，②不正确.系统抽样分组后，在第一组中采用简单随机抽样，其他组加分组间隔，不再用简单随机抽样.2．【解析】①将每位同学编1个号由0001至1003.②利用随机数法剔除3名学生.③将剩余的1000名学生重新编号1至1000.④分段，取间隔100010010k==，将总体均分为10段，每段含有100名学生.⑤从第一段即001到100号中随机抽取一个号l.⑥按编号将l，100l+，200l+，…，900l+共10个号选出.这10个号所对应的学生组成所需样本.3．【解析】方法一：随机数表法，其步骤是:①编号:将500份答卷分别编上号码: 000,001,002,,499.②在随机数表中随机选取一个起始位置.③规定读数方向:向右连续读取数字,以3个数为一组,如果读取的三位数大于499,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满10个号码为止.方法二：系统抽样法，其步骤是:①将这500名教职工的答卷分别编号: 1,2,3,,500.②按1~50,51~100,101~150,…,451~500分成10组,每组50个编号.③在第一组中运用抽签法随机选择一个编号（步骤略）,比如所选号码为17,则其他各组应取出的号码分别为67,117,167,217,267,317,367,417,467.④获取样本:将上述10个号码代表的答卷取出作为样本.2月17日三种抽样方法的比较与选择高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高一年级的部分学生的本学年考试成绩.为了全面反映实际情况，采用以下三种方式进行抽查：（已知该学校高一年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已按随机方式编好了学号，假定该学校每个班学生人数都相同）.①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20个学生的学习成绩；③把学生按学习成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察.（已知若按成绩分，该校高一学生中优秀生共有150人，良好生共有600人，普通生共有250人）根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽样方式中，其总体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？（2）上面三种抽样方式中各自采用何种抽取样本的方法？（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.【参考答案】详解试题解析【试题解析】（1）这三种抽取方式中，其总体都是指该学校高一年级全体学生本学年的考试成绩.其中第①种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第②种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第③种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.（2）上面三种抽样方式中，第①种方式采用的方法是简单随机抽样法；第②种方式采用的方法是系统抽样和简单随机抽样法；第③种方式采用的方法是分层抽样和简单随机抽样法.（3）第①种方式抽样的步骤如下：第一步：首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.第②种方式抽样的步骤如下：第一步：首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a；第二步：在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人.考察这20名学生的考试成绩.第③种方式抽样的步骤如下：第一步：分层；因为按成绩分，其中优秀生共有150人，良好生共有600人，普通生共有250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.第二步：确定各个层次抽取的人数；因为样本容量与总体容量的比为100∶1000=1∶10，所以在每一层次抽取的个体数依次为150600250,,101010，即15，60，25.第三步：按层次分别抽取.在优秀生中采用随机数法抽取15人；在良好生中采用随机数法抽取60人；在普通生中采用随机数法抽取25人.【解题必备】弄清三种抽样方法的实质和适用范围，是灵活选用抽样方法的前提和基础.若用分层抽样，应先确定各层的抽取个数，然后在各层中用系统抽样或简单随机抽样进行抽取.1．某学生社团中,有高一学生20名,高二学生30名,高三学生50名,从中选取20名作为样本,有三种方法:①采用简单随机抽样,抽签取出20个样本;②采用系统抽样,将学生编号为00,01,…,99,然后平均分组,抽取20个样本;③采用分层抽样,从高一学生、高二学生、高三学生中共抽取20个样本.下列说法中正确的是A ．无论采用哪种方法,每名学生被抽到的机会都相等B ．①②两种抽样方法,每名学生被抽到的机会都相等,③并非如此C ．①③两种抽样方法,每名学生被抽到的机会都相等,②并非如此D ．采用不同的抽样方法,每名学生被抽到的机会是各不相同的2．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .1．A 【解析】三种抽样方法中,每名学生被抽到的机会都相等,故选A.2．【解析】总体容量为6121836++= （人）.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是36n，抽取工程师人数为6366n n ⨯=，技术人员人数为12363n n ⨯=，技工人数为18362n n⨯=，所以n 应是6的倍数，36的约数，即6,12,18n =.当样本容量为（n ＋1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为351n +，因为351n +必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量6n =.高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法2．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是A．某市的4个区共有2000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中抽取50个入样C．从某厂生产的10个电子元件中抽取2个入样D．从某厂生产的20个电子元件中抽取5个入样3．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷数依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为A．60 B．80C．120 D．1804．用系统抽样的方法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160编号,按编号顺序平均分成20组（1~8号,9~16号,…,153~160号）.若第16组抽出的号码为126,则第1组中抽取的号码是.5．某地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3,现从3万人中抽取一个容量为300的样本分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法？并写出具体过程.1．C 【解析】根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．2．B 【解析】A项中总体中个体间有差异，不适用系统抽样；C项和D项中总体中个体无差异，但个体数目不多，不适宜用系统抽样；B项中总体中个体间无差异，且个体数目较多，适宜用系统抽样．3．C 【解析】11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为13.∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，∴从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为30090013=（份），则15～16岁回收问卷份数为：900120180240360x =---=（份）． ∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为13601203⨯=（份），故选C. 4．6 【解析】方法一：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x ,则在第16组中应抽出的号码为8×15+x =126,解得x =6.方法二：由系统抽样可知,若第16组抽出的号码为126,则第15组抽出的号码应为12616()158--⨯,第14组抽出的号码应为1261618,(4)--⨯,依次类推,第1组抽出的号码应为1261(6186)--⨯=.5．【解析】因为疾病与地理位置及水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而应采用分层抽样的方法,具体过程如下:第一步,将3万人分为5层,其中1个乡镇为1层.第二步,按照样本容量的比例得到各乡镇应抽取的样本个数.3252330060,30040,300100,30040,300601515151515⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=,因此各乡镇应抽取人数分别为60,40,100,40,60（各乡镇利用随机数表法抽取相应的人数）. 第三步,将抽取的300人合在一起,即得到一个样本.2月19日 周日培优特训高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．①教育局督学组到学校检查工作，临时在每个班各抽调2人参加座谈；②某班期中考试数学成绩有15人在85分以上，40人在60～84分，1人不及格．现欲从中抽出8人研讨进一步改进教和学；③某班元旦聚会，要产生两名“幸运者”．对这三件事，合适的抽样方法为A．①分层抽样；②分层抽样；③简单随机抽样B．①系统抽样；②系统抽样；③简单随机抽样C．①分层抽样；②简单随机抽样；③简单随机抽样D．①系统抽样；②分层抽样；③简单随机抽样2．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的604辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样B．①分层抽样；②简单随机抽样；③系统抽样C．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样3．某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．4．某单位有2000名职工，按年龄将职工分为老年、中年、青年且分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中的人数如下表所示．（单位：名）（1（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？（3）若要抽20人调查对某运动会筹备情况的了解，则应怎样抽样？1．D 【解析】由三种抽样方法的定义及步骤可知，选D．2．B 【解析】对于①，总体由差异明显的高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，样本中的个体数也较少，而且所调查内容对于12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．3．【解析】其抽样过程如下：（1）由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．（2）确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是220040235⨯=++；320060235⨯=++；5200100235⨯=++.（3）在各层分别按系统抽样法抽取样本．（4）综合每层抽样，组成容量为200的样本．4．【解析】（1）用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取．（2）用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取．（3）用系统抽样，对2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100，200，…，1900，得到容量为20的样本．。

2016-2017学年高中数学 每日一题(4月10日-4月16日)新人教A版必修4

2016-2017学年高中数学 每日一题(4月10日-4月16日)新人教A版必修4

4月10日 任意角的三角函数值高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆（1）若角α的终边经过点P （5，－12），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________；（2）已知角α0y +=上，求sin α，cos α，tan α的值．【参考答案】（1）－1213，513，－125；（2）sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3或sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.【试题解析】（1）∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋（－12）2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125.（2）直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，3），则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点（1，－3），则r ＝12＋（－3）2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.【解题必备】（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标（a ，b ），则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ba. （2）当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角α的终边经过点P （－1，2），则cos α的值为A ．－55B ．－ 5 C.255D.522．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 坐标为A ．P （sin α，cos α）B ．P （cos α，sin α）C ．P （r sin α，r cos α）D ．P （r cos α，r sin α）3．若角α终边经过点P （－3，y ），且sin α＝34y （y ≠0），则cosα＝________.1．A 【解析】∵P （－1，2），∴r ==cos α＝－1（－1）2＋22＝－55. 2．D 【解析】设P （x ，y ），则sin α＝yr ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，x ＝r cos α，∴P （r cos α，r sin α），故选D ．3．－34 【解析】∵过点P （－3，y ），∴sin α＝y 3＋y 2＝34y .又y ≠0，∴13＋y2＝34， ∴|OP |＝3＋y 2＝43＝433＝r ，∴cos α＝x r ＝－3433＝－34.4月11日 三角函数值的符号高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆判断下列各式的符号．（1）sin 2015°cos 2016°tan 2017°； （2）tan 191°－cos 190°； （3）sin 2cos 3tan 4. 【参考答案】见试题解析【试题解析】（1）∵2015°＝1800°＋215°＝5×360°＋215°，2016°＝5×360°＋216°，2017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2015°<0，cos 2016°<0，tan 2017°>0，∴sin 2015°cos 2016°tan 2017°>0. （2）∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，∴tan 191°－cos 191°>0. （3）∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0. 【解题必备】判断三角函数值在各象限的符号的方法： （1）依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”判断． （2）记住正弦、余弦函数值的正负规律：1．下列三角函数判断错误的是A ．sin 165°>0B ．cos 280°>0C ．tan 170°>0D ．tan 310°<02．若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角1．C 【解析】∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0；又270°<280°<360°，∴cos 280°>0； 又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C ．2．C 【解析】由sin tan 0αα<可知sin ,tanαα异号，故α为第二或第三象限角.由cos 0tan αα<可知cos ,tan αα异号，故α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，所以选C.4月12日 诱导公式一高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆计算下列各式的值：（1）sin （－1395°）cos 1110°＋cos （－1020°）sin 750°；（2）sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.【参考答案】（1；（2）12. 【试题解析】（1）原式＝sin （－4×360°＋45°）cos （3×360°＋30°）＋cos （－3×360°＋60°）sin （2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. （2）原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan（4π＋0）＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.【解题必备】1．利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0，2π）内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归（转化）思想．2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．1．化简：222sin(1350)tan 405()tan 7652cos(1080)a b a b ab -+----.2．化简求值：（1）sin （－1320°）cos （1110°）＋cos （－1020°）·sin 750°； （2）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.1．【解析】原式=222sin(436090)tan(36045)()tan(236045)2cos(3360)a b a b ab -⨯+++--⨯+--⨯ 222sin 90tan 45()tan 452cos 0a b a b ab =+--- 222()20a b a b ab =+---=.2．【解析】（1）原式＝sin （－4×360°＋120°）cos （3×360°＋30°）＋cos （－3×360°＋60°）sin （2×360°＋30°）＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. （2）原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★★☆☆的终边与单位圆交于P 点,作PM ⊥的反向延长线交于T 点,则2sin 3π=的正弦线、余弦线和正切线,4sin 5M'P'π=，4sin 5π；OM OM'>，则2.1．使sin cos x x ≤成立的交单位圆于,A B 两点，连接OA 的取值范围为{|23k ααππ+≤≤4月14日 同角三角函数的基本关系高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）若sin α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝____________；（2）已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．【试题解析】（1）因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，sin α＝－35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.（2）∵cos α＝－35<0，∴α是第二、三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43；若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45， tan α＝sin αcos α＝43.【解题必备】由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类（1）依据：cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝sin αcos α时，不存在符号的选取问题．（2）分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.1．若tan α＝3，则2sin αcos α＝A ．±35B ．－35C ．35D ．452．已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．1．C 【解析】由于tan α＝3，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝35.故选C. 2．【解析】由sin α＋cos α＝15（1）得sin αcos α＝－1225<0，又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝75，（2）由（1）（2）解得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.【名师点睛】1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α. 2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．4月15日 诱导公式二~六高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆求下列三角函数值： （1）sin （－1200°）； （2）tan 945°； （3）cos 119π6.【试题解析】（1）sin （－1200°）＝－sin1200°＝－sin （3×360°＋120°）＝－sin 120°＝－sin （180°－60°）＝－sin 60°＝－32； （2）tan 945°＝tan （2×360°＋225°）＝tan 225° ＝tan （180°＋45°）＝tan 45°＝1； （3）cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝cos π6＝32.【解题必备】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤1．已知cos （π＋α）＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 2．求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）＝－tan α.1．∵cos （π＋α）＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.【名师点睛】1．已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2．原式左边＝sin （2π－α）cos （2π－α）·sin（－α）·cos（－α）cos （π－α）sin （π－α）＝－sin α·（－sin α）·cos αcos α·（－cos α）·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．原式得证．【名师点睛】关于三角恒等式的证明，常用方法： （1）从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异．4月16日 周日培优特训高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．已知角α的终边经过点P （2，1 ），则cos α的值为 A ．－55B ．－ 5C ．255D ．522．化简：1－2sin 10°·cos 10°＝ A ．cos 10°－sin 10°B ．sin 10°－cos 10°C ．sin 10°＋cos 10°D ．不确定3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 A ．－15B ．－35C ．15D ．354．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM5．如果α的终边过点P （2sin 60°，－2cos 60°），则sin α＝________．6．已知tan （3π＋α）＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝______.7．已知f （α）＝tan （π－α）·cos（2π－α）·s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos （－α－π）.（1）化简f （α）； （2）若3()25f απ-=-，且α是第二象限角，求tan α.1．C 【解析】因为P （2，1-），所以cos 5α==C. 2．A 【解析】原式＝sin 210°－2sin 10°·cos 10°＋cos 210°＝（sin 10°－cos 10°）2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°.故选A. 3．B 【解析】sin 4α－cos 4α＝（sin 2α＋cos 2α）（sin 2α－cos 2α）＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.4．D 【解析】∵78π是第二象限角，∴sin 78π＞0，cos 78 π＜0，∴MP ＞0，OM ＜0，∴MP ＞0＞OM .5．12-【解析】∵2sin 60°＝3，－2cos 60°＝－1，∴P （3，－1），∴sin α＝－1（3）2＋（－1）2＝－12.6．【解析】由tan （3π＋α）＝2，得tan α＝2，则原式＝sin （α－π）－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α ＝－sin α＋2sin αsin α－cos α ＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 7．【解析】（1）f （α）＝tan （π－α）·cos（2π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos （－α－π）＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.（2）由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.。

高中数学 每日一题(5月1日-5月7日)新人教A版必修4(2021年整理)

高中数学 每日一题(5月1日-5月7日)新人教A版必修4(2021年整理)

2016-2017学年高中数学每日一题（5月1日-5月7日）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学每日一题（5月1日-5月7日）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学每日一题（5月1日-5月7日）新人教A版必修4的全部内容。

5月1日向量的有关概念高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆下列说法正确的是①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上；②向量a与b平行，且｜a｜=｜b|≠0，则a+b=0或a−b=0；③向量的长度与向量的长度相等；④单位向量都相等。

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【参考答案】D【试题解析】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线可以是重合的，故①错；对于②，∵|a|=|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b的方向相同或相反，则a+b=0或a−b=0；对于③，向量AB与向量BA方向相反，但长度相等；对于④，单位向量不仅仅长度为1,还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同.故选D。

【解题必备】与向量概念有关的题目，求解时注意向量的方向和长度，即共线向量的方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的方向相同且长度相等;单位向量的方向没有限制,但长度都是一个单位长度；零向量的方向没有限制，长度是0;规定零向量与任意向量共线.1．下列说法中错误的是A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的2．两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，则下列说法中错误的是A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量C．a与b为共线向量 D．a与b为相等的向量1．A 【解析】本题主要考查零向量的概念，零向量的方向是任意的,故A错误，D正确；易知选项B，C正确。

2016_2017学年高中数学每日一题6月26日_7月2日新人教A版必修3

2016_2017学年高中数学每日一题6月26日_7月2日新人教A版必修3

6月26日 程序框图 高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A ．1B ．C ． D．2 2．如图是计算3331210+++的程序框图，则图中的①，②处分别为A ．,1s s i i i =+=+B ．3,1s s i i i =+=+ C ．1,i i s s i =+=+ D ．31,i i s s i =+=+3．《九章算术》有如下问题：“今有上禾三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾一秉各几何？”，依上文，设上、中、下禾一秉分别为x斗、y斗、z斗，设计如图所示的程序框图，则输出的x y z、、的值分别是A．371711444、、 B．113717444、、C．35179444、、 D．35917444、、4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x的值分别为3，3，则输出v的值为A ．16B ．18C ．48D ．1431．A 【解析】执行程序框图，可得43240,2,3,,log 3S n n M S =====，不满足条件5,4,4S n M ∈==Q 453422log log S =+；不满足条件4653542226,5,,log log log 15S n M S ∈===++=Q ，满足条件S ∈Q ，退出循环，输出S 的值为1，故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构，属于中档题. 解决程序框图问题时，一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数.2．B 【解析】选项A 中为计算012310+++++; 选项B 中为计算3333012310+++++; 选项C 中为计算02311++++;选项D 中为计算33302311++++.故选B. 3．A 【解析】第一次循环：93515,,,1444z x y i ====；第二次循环：5,9,4,22z x y i ====；第三次循环：113717,,,3444z x y i ====，结束循环，输出371711,,444x y z ===，选A. 【名师点睛】对于算法的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.4．C 【解析】初始值3,3n x ==，程序运行过程如下：1,=2v i =，满足条件0i ≥，执行循环体，1325,1v i =⨯+==，满足条件0i ≥，执行循环体，53116,0v i =⨯+==，满足条件0i ≥，执行循环体，163048,1v i =⨯+==-，不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为48，故选C.6月27日 统计（1）高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30 名，高二年级有40 名，从这70人中用分层抽样的方法抽取容量为14的样本，则在高二年级学生中应该抽取的人数为A ．6B ．8C ．10D ．122．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：质量指标值分组[)10,30 [)30,50 []50,70 频率 0.1 0.6 0.3则可估计这种产品质量指标值的方差为A ．140B ．142C ．143D ．1443．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[)20,40， [)40,60， [)60,80， [80,100]，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为________.4．某校高二年级张三同学到某制药总厂进行研究性学习，收集到该制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：月份x 1 2 3 4 5 y （万盒）4 456 6 张三同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据收集到的表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，请你根据上述数据估计该厂6月份生产的甲胶囊为___________万盒．1．B 【解析】设高二年级抽取学生x 名,根据分层抽样的定义有141413040705x x -===,解得8x =,故选B. 2．D 【解析】由表中数据计算得200.1400.6600.344x =⨯+⨯+⨯=，所以方差为()()()222120441404466044314410⎡⎤⨯-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，选D. 3．900 【解析】由题设中提供的频率分布直方图可知，成绩不超过60分的学生人数大约为()30000.010.00520900n =⨯+⨯=，故填900.4．6.8 【解析】由表中数据计算得3,5x y ==，所以0.650.63.2ˆ3a y x =-=-⨯=，因此0.6.2ˆ3yx =+，当6x =时，0.663 6.8ˆ.2y=⨯+=，故估计该厂6月份生产的甲胶囊为6.8万盒．6月28日 统计（2）高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．某超市计划销售某种产品，先试销该产品n 天，对这n 天日销售量进行统计，得到频率分布直方图如图．（1）若已知销售量低于50件的天数为23，求n ；（2）厂家对该超市销售这种产品的日返利方案为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品，返利3元，用频率估计概率，依此方案，估计日返利额的平均值．2．2016年年底以来，国内共享单车突然就火爆了起来，由于其符合低碳出行理念，共享单车已经越来越多地引起人们的注意.某市调查市民共享单车的使用情况，随机采访10位经常使用共享单车的市民，收集到他们每周使用的时间如下（单位：小时）：（1）根据以上数据，画出使用时间的茎叶图；（2）求出其中位数，平均数，方差.3．某市黄河滩区某村2010年至2016年人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2010年至2016年该村人均纯收入的变化情况，并预测该村2017年人均纯收入．（参考公式：回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中121()()(ˆ)ni ii n ii x x y y b x x ===---∑∑，ˆˆa y bx =-） 4．2017年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[)50,60，[)60,70，…，[]90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求[)[]80,90,90,100两组中至少有1人被抽到的概率.1．【解析】（1）由频率分布直方图可知，销售量低于50件的为前两组，∵前两组的频率和为（0.016+0.030）×10=0.46，销售量低于50件的天数为23，∴230.46n=，得50n =. （2）根据频率分布直方图计算该组数据的平均数，为0.16×35+0.30×45+0.40×55+0.10×65+0.04×75=50.6，所以日平均销售量为50.6件，故日返利额的平均值为45+50.6×3=196.8（元）.2．【解析】（1）如图所示，茎表示时间的个位数，叶表示小数点后的数字.（2）中位数为7.07.37.152+=. 平均数为()1 6.27.07.6 5.9 6.77.3 6.58.17.87.97.110x =⨯+++++++++=. 方差为()()()()()()22222221[6.27.17.07.17.67.1 5.97.1 6.77.17.37.110s =⨯-+-+-+-+-+-+()()()()22226.57.18.17.17.87.17.97.1-+-+-+-］＝0.52. 3．【解析】（1）由所给数据计算得()1123456747t =⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.87y =⨯+++++ 5.2 5.9) 4.3+=，()721941014928i i t t=-=++++++=∑，()()()()713 1.4i i i t t y y =--=-⨯-+∑ ()()()()2110.700.110.520.93 1.614-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=，故71721()()140.528(ˆ)i ii ii t t y y b t t ==--===-∑∑， 4.3ˆˆ0.54 2.3a y bt =-=-⨯=．则所求的回归方程为ˆ0.5 2.3yt =+． （2）由（1）可知，ˆ0.50b=>，故2010年至2016年该村居民人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2017年的年份代号8t =代入（1）中的回归方程，得0.582 6.3ˆ.3y=⨯+=， 故预测该村2017年居民人均纯收入为6.3千元．4．【解析】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.3---0.10.2-=，故0.02x =.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均分为(550.01650.03⨯+⨯750.03850.02+⨯+⨯+ 950.01)1074⨯⨯=（分）.由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=，故中位数在第3组中.设中位数为t 分，则有()700.030.1t -⨯=，所以1733t =，即所求的中位数为1733分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=，由样本的频率可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200⨯=.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在[)70,80这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[)80,90这组的2名学生分别为d ，e ，成绩在[]90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为(),,a b c ， (),,a b d ， (),,a b e ， (),,a b f ，(),,a c d ， (),,a c e ， (),,a c f ， (),,a d e ， (),,a d f ， (),,a e f ， (),,b c d ， (),,b c e ， (),,b c f ，(),,b d e ， (),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f ，共20种.其中[)[]80,90,90,100两组中没有人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种，故[)[]80,90,90,100两组中至少有1人被抽到的概率为11912020P =-=.6月29日 概 率高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是A ．对立事件B ．必然事件C．不可能事件 D．互斥但不对立事件2．某个路口的交通指示灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为40秒，当你到达路口时，看见红灯的概率是A ．12B ．18C．38D．583．规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在 8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A． B． C． D．4．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数(]0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,250(]250,300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（2）用分层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在（0，50]，(50，100]，(100，150]的天数中各应抽取几天？（3）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元．若在（2）的条件下，从空气质量指数在(]0,150的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为4000元的概率．1．D 【解析】对于事件“甲分得黑牌”与事件“乙分得黑牌”，两者不可能同时发生，因此它们是互斥事件.但除“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”之外，还有可能“丙分得黑牌”，因此两者不是对立事件.故事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件.故选D.【名师点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．2．C 【解析】由几何概型，可得看见红灯的概率是3033010408P==++．故选C．3．D 【解析】由所给数据可知，20组数据中有3组：191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为1720，故选D.4．【解析】（1）由频率分布直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为()0.10.23650.3365109.5110+⨯=⨯=≈．（2）空气质量指数在（0，50]，(50，100]，(100，150]的天数中各应抽取1，2，3天．（3）设空气质量指数在（0，50]的一天为A，空气质量指数在（50，100]的两天分别为b、c，空气质量指数在（100，150]的三天分别为1、2、3，则从六天中随机抽取两天的所有可能结果为：（A，b），（A，c），（A，1），（A，2），（A，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3），共15种.其中这两天的净化空气总费用为4000元的可能结果为（A，1），（A，2），（A，3），（b，c），共4种.故这两天的净化空气总费用为4000元的概率为415.6月30日三角函数的图象与性质高考频度：★★★★★难易程度：★★★☆☆1．已知角α的终边在射线3y x =-（0x ≥）上，则sin cos αα等于A ．310-B ．1010-C ．310D ．10102．已知()23sin cos sin f x x x x =-，把()f x 的图象向右平移π6个单位，再向上平移12个单位，得到()y g x =的图象，则A ．()g x 为奇函数B ．()g x 为偶函数C ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()g x 的一个对称中心为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知函数()sin cos f x x x =+.（1）若()()2f x f x =-，求22cos sin cos 1sin x x xx-+的值； （2）求函数()()()()2F x f x f x fx =-+的最大值和单调增区间.4．已知函数()443cos 2sin cos 3sin f x x x x x =+-.（1）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值、最小值以及取得最值时的x 值；（2）设()π32cos 2(0)6g x m m x m ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，若对于任意1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.1． A 【解析】由题意可得，角α终边上的一点为()1,3-，则()22sin 1013α==+-()22333cos ,sin cos 101013ααα--===-+-.故选A. 2．C 【解析】由已知()31cos2π1sin 2262x f x x x -⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向右平移π6个单位，再向上平移12个单位，得到()ππ1π1sin 2sin 266262g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，易知该函数为非奇非偶函数，即ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()g x 的一个单调递增区间，则函数()g xC ． 【名师点睛】函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换的技巧及注意事项：（1）函数图象的平移变换规则是“左加右减”,“上加下减”;（2）在变换过程中务必分清先相位变换,还是先周期变换,并注意二者的区别;（3）变换只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.3．【解析】（1）∵()sin cos f x x x =+，∴()sin cos f x x x -=-+.又()()2f x f x =-，∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-，∴3sin cos x x =，即sin 1tan cos 3x x x ==， ∴222222cos sin cos cos sin cos 1tan 1sin cos 2sin 2tan 1x x x x x x x x x x x -⋅-⋅-==+++=21163111213-=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭. （2）由题意知，()()()()2sin cos cos sin sin cos F x x x x x x x =+-++22cos sin 12sin cos x x xx =-++cos2sin2x x =++()max1F x =.，k ∈Z ，得，k ∈Z ，故()F x 的单调增区间，k ∈Z ．【名师点睛】解答本题的关键是熟练掌握同角三角函数之间的关系及灵活运用，同时还要掌握二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式、正弦函数的图象与性质等知识的综合运用.求解第一问的关键是借助题设建立方程，求出sin 1tan cos 3x x x ==，进而求出分式的值，使得问题获解；解答第二问时，先运用倍角公式进行化简，再运用两角和的正弦公式将其化为正弦函数的形式，借助正弦曲线进行求解. 4．【解析】（1π0,2x ⎡∈⎢⎣()max 2f x =；()min f x =)max 2x =()min f x =（2）1π0,4x ⎡∈⎢⎣()[]11,2f x ∈.2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又0m>，(g ∴∵对于任意1x()()12f x g x =成立，331232mm ⎧-≤⎪∴⎨⎪-≥⎩，解得m ∈∅.7月1日 平面向量高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60A ．1 C D ．42．在ABC △中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，AO AB BC λμ=+，则λμ+=A ．23 B ．12 C ．43D ．1 3．在平面直角坐标平面内，已知()()()0,5,1,3,3,A B C t -. （1）若1t =，求证：ABC △为直角三角形； （2）求实数t 的值，使AB AC +最小；（3）若存在实数λ，使AB AC λ=⋅，求实数λ、t 的值. 4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+.（1）求证：,,A B C 三点共线，并求||BC BA的值；（2）已知()1,sin A x ，()1sin ,sin B x x +，()0,πx ∈，且函数()223f x OA OC m AB ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭的最小值为12，求实数m 的值.1．C 【解析】由题意1cos602⋅=︒=a b ， ()2221323291249124192+=+=+⋅+=+⨯+=a b a b a a b b ，所以3219+=a b ，故选C ．【名师点睛】向量的数量积的性质之一：22=a a ，由此公式求向量模的运算常常转化为向量的平方（数量积）计算．2．A 【解析】由题知cos1203AB BC AB BC ⋅==-，又O 为AD 的中点，AO AB BC λμ=+，则222AD AO AB BC λμ==+，可得()222226AD BC AB BC BC AB BC BC λμλμλ⋅=+⋅=⋅+=-18μ+．又AD 为BC 边上的高， AD 与BC 互相垂直，则0AD BC ⋅=，即6180λμ-+=，可得3λμ=，又22,AD AB BC BD AD AB λμ=+=-，则()212BD AB BC λμ=-+，而,BD BC 共线，则1210,2λλ-==，所以16μ=，则23λμ+=．故选A ． 3．【解析】（1）当1t =时，()3,1C ，则()()1,2,4,2AB BC =--=-，()()14220AB BC ∴⋅=-⨯+-⨯-=.AB BC ∴⊥，即ABC △为直角三角形.（2）()()1,2,3,5AB AC t =--=-，()()()1,23,52,7AB AC t t ∴+=--+-=-，AB AC ∴+= ()247t +-当7t =时, AB AC +的最小值为2.（3）由AB AC λ=⋅得()()()131,23,525t t λλλ-=⎧--=⋅-⇒⎨-=-⎩, 1311t λ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩.4．【解析】（1）()121,333OC OA OB OC OB OA OB =+∴-=-，13BC BA ∴=,又因为,BC BA 有公共点B ，∴A ,B ,C 三点共线.11,33BC BC BA BA =∴=. （2）()()1,sin ,1sin ,sin A x B x x +，1221sin ,sin 333OC OA OB x x ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭2·13OA OC ∴=+2sin x +，()22sin ,2sin 3AB x f x OA OC m AB x ⎛⎫=∴=⋅+-⋅= ⎪又设()(]sin ,0,π,0,1t x x t =∈∴∈，()222211y t mt t m m ∴=++=++-，①当20,021m m y t mt -≤≥=++即时，无最小值，不合题意；2m ∴=-；314m =->-，不合题意. 综上可知，2m =-.7月2日 三角恒等变换高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆1．已知αtan α的值为 A ．12-B．13 C ．43- D ．3- 2A ．3365 B ．3365- C ．1665- D ．16653()4sin 5αβ+=． （1）求sin2β的值；（2）求πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 4．已知函数()()223sin cos 2cos 1f x x x x x =+-∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()006ππ,,542f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求0cos2x 的值.1．C 【解析】由题意可得2πsin ππ72π14cos 1sin ,tan π441047cos 4ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=--+=-∴+==- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，故11ππ47tan tan 144317αα--⎡⎤⎛⎫=+-==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-.故选C.【名师点睛】重视三角函数的“三变”，“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 2．B 3π,,π4αβ⎛⎫∈⎪⎝⎭3π,2π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,424β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()3sin 5αβ+=-，π12sin 413β⎛⎫-=⎪⎝⎭，故()()()πππsin sin sin cos cos 444ααββαββαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π3541233sin 451351365β⎛⎫⎛⎫-=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ．【名师点睛】应用两角和与差的三角函数公式时，要注意“单角”和“复角”相互转化，注意角的一般变化规律，如()()2ααβαβ=++-，()βααβ=--等角的变换．3．【解析】（1）πsin2cos 22ββ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2π72cos 149β⎛⎫--=- ⎪⎝⎭．（2）因为π0π2αβ<<<<，所以π3π22αβ<+<，所以πsin 04β⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<， 因为π1cos 43β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，所以π22sin 43β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-， 所以()ππcos cos 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()πcos cos 4αββ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭()πsin sin 4αββ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ 31422823535315-⎛⎫=-⨯+⨯=⎪⎝⎭． 【名师点睛】在三角化简、求值类题目中，常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为配凑角，即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和与差的公式展开求值即可.4．【解析】（1）()2π23sin cos 2cos 13sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x =+-=+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为πT =. 又π0,2x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2[,]666x +∈，由函数图象知.（2）由题意知0π3sin(2)65x +=，又0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0π2π7π2[,]636x +∈. 所以200ππ4cos(2)1sin (2)665x x +=--+=-， 所以00ππ4331343cos 2cos[(2)]66552x x -=+-=-+⨯=。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

5月1日向量的有关概念高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆下列说法正确的是①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上；②向量a与b平行，且|a|=|b|≠0，则a+b=0或a−b=0；③向量的长度与向量的长度相等；④单位向量都相等.A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【参考答案】D【试题解析】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线可以是重合的，故①错；对于②，∵|a|=|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b的方向相同或相反，则a+b=0或a−b=0；对于③，向量AB与向量BA方向相反，但长度相等；对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同.故选D.【解题必备】与向量概念有关的题目，求解时注意向量的方向和长度，即共线向量的方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的方向相同且长度相等；单位向量的方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线.1．下列说法中错误的是A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的2．两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a和b,则下列说法中错误的是A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量C．a与b为共线向量 D．a与b为相等的向量1．A 【解析】本题主要考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，故A错误，D正确；易知选项B,C正确.2．D 【解析】由题意知,a与b方向相反,长度相等,所以a∥b且|a|=|b|,故A,B,C正确.对于D,由a和b 方向不同可知错误.5月2日 向量的表示高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1400 km 到达B 地,再从B 地按南偏东75°的方向飞行1400 km 到达C 地,那么C 地在A 地什么方向上?C 地距A 地多远?【参考答案】C 地在A 地北偏东45°方向上,距离A 地1400 km. 【试题解析】如图所示,表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移,则||=1400(km).表示飞机从B 地按南偏东75°方向飞行到C 地的位移,则||=1400(km).所以为飞机从A 地到C 地的位移.在ABC △中,AB =BC =1400(km),且∠ABC =75°-15°=60°,故ABC △为等边三角形,所以∠BAC =60°,AC = 1400(km).所以C 地在A 地北偏东60°-15°=45°方向上,距离A 地1400 km.【解题必备】1.用有向线段表示向量时,先确定起点和方向,再根据向量模的大小确定向量的终点.有时需要依据直角三角形的知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模).2.物理中，位移表示物体位置的变化，即表示起点和终点间的位置关系，而与物体实际运动的路线没有关系，可以用数学中的向量表示.1．如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.2．一辆货车从A地出发向西行驶200 km到达B地,然后又从B地向北偏西40°行驶400 km到达C地,最后从C地向东行驶200 km到达D地.（1）作出向量,,;（2）求.1．【解析】画出所有的向量，如图所示.2．【解析】（1）向量,,如图所示.（2）由题意知与方向相反,故与共线.又||=||,∴在四边形ABCD中,AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形,∴||=||=400 km,且AD∥BC,∴与同向,则的方向也为北偏西40°.即=“北偏西40°,400 km”.5月3日相等向量或共线向量高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:（1）写出与相等的向量;（2）写出与共线的向量;（3）写出与的模相等的向量;（4）向量与是否相等?【参考答案】见试题解析.【试题解析】（1）.（2）与共线的向量为,,.（3）与的模相等的向量为,,,,,,.（4）向量与不相等.因为它们的方向不相同.【解题必备】1.寻找共线向量：找出与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,即可得到同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量.2.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向且共线的.△的外心,则,,是1．设O是ABCA．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量2．如图,四边形ABCD与ABDE是平行四边形.（1）找出与向量共线的向量(自身除外);（2）找出与向量相等的向量(自身除外).1．B 【解析】∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心,∴点O到三个顶点A,B,C的距离相等,∴,,是模相等的向量.2．【解析】（1）依据图形可知,,与的方向相同,,,,与的方向相反,所以与向量共线的向量(自身除外)为,,,,,,.（2）由四边形ABCD与ABDE是平行四边形,知,与的长度相等且方向相同,所以与向量相等的向量(自身除外)为和.5月4日向量的加减法运算及几何意义（1）高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆如图,用a,b,c表示下列向量：（1）e-g;（2）f-d;（3）d -g .【参考答案】（1）-b -c ；（2）a +b ；（3）-a -b -c . 【试题解析】（1）e -g ==-=-(b +c )=-b -c .（2）f -d ==a +b . （3）d -g ==-=-(a +b +c )=-a -b -c .【解题必备】1.需熟练掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.2.在解决用已知向量表示其他向量的问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.1．AC 可以写成：①AO OC +；②AO OC -；③OA OC -；④OC OA -.其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 2．化简:（1）;（2）;（3）.1．D 【解析】根据平面向量的加法与减法运算法则，可知AC =AO OC +，同时AC =OC OA -，故选D. 2．【解析】（1）====0. （2）.（3）=0.5月5日向量的加减法运算及几何意义（2）高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆某人在静水中游泳,速度为4千米/小时,现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳.（1）若他以垂直于岸边的速度游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度大小为多少? （2）他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?【参考答案】（1）沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时；（2）沿向量的方向(逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为)游,实际前进的速度大小为4千米/小时. 【试题解析】（1）如图（1）,设此人游泳的速度为,水流的速度为,以,为邻边作平行四边形OACB ,则此人的实际速度为.由勾股定理知||=8,且在Rt ACO △中,∠COA =60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时.（2）如图（2）,设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为-.在Rt AOD △中,||=4,||=4,则||=4,cos ∠DAO =3.故此人沿向量的方向（逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为3）游,实际前进的速度大小为4 千米/小时.【解题必备】向量的实际问题的本质是用向量的加法解决物理问题，注意向量表示相应问题中既有大小又有方向的量.另外，对于平面几何中的向量问题，既可以是以平面几何为背景的向量计算或证明问题，也可以是利用向量运算证明平面几何问题.求解时，只需掌握向量加减法的几何意义,对相关向量进行合理转化.1．已知向量a ,b 满足|a |=6,|b |=8,且|a +b |=|a -b |,求|a -b |. 2．已知任意四边形ABCD ,E 为AD 的中点,F 为BC 的中点,求证:++.1．【解析】如图,作=a,=b,作平行四边形ABCD,∴=a+b,=a-b.∵|a+b|=|a-b|,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.∴|a-b|=||==10.2．【解析】如图所示,在四边形CDEF中,+++=0,所以=---++.在四边形ABFE中,+++=0.所以++.所以++++++=(+)+(+)+(+).因为E、F分别是AD、BC的中点,所以+=0,+=0.所以++.5月6日向量数乘运算及其几何意义高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆△中,在AC上取点N,使得AN=AC,在AB上取点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使如图,在ABC得NP=BN,延长PA,与CM的延长线交于点Q,若,=λ,试确定λ的值.【参考答案】.【试题解析】()=,+λ,∵,∴+λ,即λ()=.∴λ=.【解题必备】1.对于含有参数的向量的线性运算问题,只需把参数当作已知条件,列出向量方程,根据向量的运算化简方程为已知形式，对比系数就可以求出参数的值.2.证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.注意向量共线定理的应用.△中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若=a,=b,用a,b表示,,. 1．如图,已知ABC2．设两个非零向量a与b不共线,若向量=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.1．【解析】()=a+b.()=a+(b-a)=a+b.=a+(b-a)=a+b.2．【解析】∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,∴,共线.又,有公共点B,∴A,B,D三点共线.5月7日 周日培优特训高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆1．若=a ,=b ,=λ(λ≠-1),则等于A ．a +λbB ．λa +(1-λ)bC ．λa +bD ．11λ+a +1λλ+b 2．点是ABC △所在平面内任一点,()13PG PA PB PC =++uu u r uu r uu r uu u r,则点G 的轨迹一定通过ABC △的A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心 3．如图,在平行四边形中,和分别在边和上,且,若,其中,则.4．计算：（1）6(3a -2b )+9(-2a +b ); （2）12(3a +2b -23a -b )-76[12a +37(b +76a )]; （3）6(a -b +c )-4(a -2b +c )-2(-2a +c ).5．如图,M ,N 是平行四边形ABCD 的边AD ,CD 的中点,E ,F 是对角线AC 的三等分点,求证:B ,E ,M 三点共线,且B ,F ,N 三点共线.1．D 【解析】∵=λ,∴=λ(),∴(1+λ)+λ,∴a+b.2．A 【解析】取AB的中点D，则，因为，所以3同理：取的中点E,可得,为△的重心，故选A.ABC3．【解析】因为，又，所以，解得.故填.4．【解析】（1）6(3a-2b)+9(-2a+b)=18a-12b-18a+9b=-3b.（2）(3a+2b-a-b)-[a+(b+a)]=a+b-a-b=0.（3）6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.5．【解析】设=a,=b,则b,(a+b),∴(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).由,得B,E,M三点共线,同理可得,所以B,F,N三点共线.。

相关文档
最新文档