§3.3条件分布与独立性

§3.3 条件分布与独立性
一、条件分布
定义3.5 设(X , Y ) 是二维离散型随机变量，对
于固定 j ，若 P{Y y j} 0 ，则称
P X xi Y y 为在 Y
j
yj
P(X xi , Y y j ) pi j i
条P件{Y 下y j随} 机p变 j 量
成面积为零的区域．）（证明从略）
定理3.3 若 X,Y~ N(1,
立的充要条件是
2,
2 1
,

2 2
,
)
，
=来自百度文库．
则X与Y相互独
更一般地，二维随机变量的有关概念 也可以推广到n维随机变量
以推广到n维随机变量的情形．比如，n维 随机变量 X1, X 2 , , X n 的分布函数定义为
（2）若h、g是连续函数，则hX1, X 2, , X m
和 Y1, Y2 , , Yn 也 相互独立．
1, 2,
X
, （3—21） 的条件分布
律（Conditional Probability Distribution），
简称条件分布．
当 (X , Y )是连续型随机变量时，由于对 任意实数X和Y，有 P{X x} 0 , P{Y y} 0
因此，不能直接用条件概率公式，此时我
们用极限的方法引入“条件分布函数”的 概念：
f (x, y)dy]dx fY ( y)dy
上式给出了在条件下的条件分布函数．为
此我们引入以下定义
定义3.7 给定y，对于任意给定的 >0，P{y Y y } 0
，若对任意的实数x，极限 lim P{X x y Y y }
lim
PX x,
y

Y

y



设 (X , Y) 的联合概率密度函数为 f (x, y) ，(X , Y)
关于Y的边缘概率密度函数为 fY (y) ，给定y，
对于任意给定的 >0，当 x时 R，考虑条件
概率
x y
P{X x
y

Y

y
}

PX x,
P{y
y Y
Y y
y }


[ y y y
lim

FY
0
y Fx, y


y Fy


Fx, y
x

y
FY y
f (x, y)dx
fY (y)
x f (x, y)
亦即
FX Y ( x y )
dx fY (y)
（3—22）
这样，若记 f X Y ( x y )为在 Y y 的条件下X的
Fx1, x2 , , xn PX1 x1, X 2 x2 , , X n xn , ，
其中 x1, x2 , , xn 为任意实数．
若n维随机变量X1, X2,, Xn 的分布函数
Fx1, x2, , xn 已知，则的X1, X2,, Xn k（1 k n） 维边缘分布函数随之而定，如X1, X 2, , X n
P{X x, Y y} P{X x} P{Y y} ， 即
F(x, y) FX (x) FY ( y) （3—24）
则称X与Y是相互独立的．
随机变量的独立性是概率论中的一个
重要概念，在大多数情形下，概率论和数 理统计是以独立随机变量作为其主要研究 对象的．对于离散型和连续型随机变量， 我们分别有下列的定理．
FX Y ( x
y ) lim P{X 0
x
y Y y } lim PX x, y Y y
0 P{y Y y }

lim
0
F x,
FY
y
y



Fx, y FY y

lim

F
x,
0
则称 X1, X 2 , , X n 是相互独立的． 进一步，若对任意的实数x1, x2, , xm, y1, y2, , yn 有
Fx1, x2, , xm, y1, y2,, yn FX x1, x2, , xm FY y1, y2,, yn ， 其中F、FX、 FY 依次为X1, X 2, , X m, Y1, Y2, , Yn 、X1, X 2, , X m
定理3.2 设 (X ,Y) 是二维连续型随机变量， 其联合概率密度函数为 f (x, y) ，则X与Y相 互独立的充要条件是对平面上任意点(x, y) , 几乎处处有 *
f (x, y) f X (x) fY ( y) （3—26）
（* 这里的“几乎处处”可理解为平面上使
（3－26）不成立的点 x, y的全体只能形
条件概率密度函数，则由上式知 f （3—23）类似地, 我们可以定义FY
X X
Y
(
(x y
y)
x )和
f x, y fY y
f (x, y) fY X ( y x ) f X (x)
二、独立性
由§1.5知，若P( AB) P(A) P(B) ，则称A与 B是相互独立的．类似可引出随机变量的独 立性概念． 定义3.8 设 (X , Y ) 是二维随机变量，若对任 意实数x和y, 有
0
存在，则称此极限为在
0 P{y Y y }
条件 Y y 下的条件分布函数，记为FX Y ( x y)．
设 (X , Y) 的联合分布函数为F(x, y) ，概率密 度函数为 f (x, y) ，若在点 (x, y) 处 f (x, y)连续， Y的边缘概率密度函数为 连fY (续y) ， 且 fY (y) 0，则有
关于 X1、关于 X1, X 2 , 的边缘分布函数就
分别为FX1 x1 F x1, , ,
FX1,X2 x1, x2 F x1, x2 , ,,
若对任意的实数 x1, x2 , , xn 有
Fx1, x2 , , xn FX1 x1 FX2 x2 FXn xn ，
定理3.1 设 (X , Y ) 为二维离散型随机变量，其
联合分布律为 P{X xi , Y y j} pi j
i, j 1, 2,
则Y与X相互独立的充要条件是对于任意的
(xi , y j ), i, j 1, 2, , 有 P{X xi , Y y j } P{X xi } P{Y y j } （3—25） 即有 pi j pi p j , i, j 1, 2, 成立．
、Y1, Y2 , , Yn 的分布函数，则称随机变量X1, X2,, Xm
和 Y1, Y2 , , Yn 是相互独立的．
现在，我们不加证明地给出一个有用结论．
定理3.4 若X1, X 2 , , X m 和Y1, Y2, , Yn 相互独立，
则
（1）X i 与 Y j 相互独立，i=1，2，…，m； j=1，2，…，n；