全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案解析

∵ ∠ AOB=120°，∴ ∠ BOD=60°，∴ BD=OBsin∠ BOD=24× =12 ，∵ O′C⊥OA，
∠ CAO′=30°， ∴ ∠ AO′C=60°，∵ ∠ AO′B′=120°，∴ ∠ AO′B′+∠ AO′C=180°， ∴ O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12 =36﹣12 ， ∴ 显示屏的顶部 B′比原来升高了（36﹣12 ）cm；
x
13
【解析】
【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件， OP DQ ，联结
OD 后还有 OA DO ，再结合要证明的结论 AP OQ ，则可肯定需证明三角形全等，寻 找已知对应边的夹角，即 POA QDO 即可；
（2）根据 PFC ∽ PAO ，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分
∴ BC=10x，
∴ cos∠ ABC= BC 10x 5 . AB 14x 7
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与
判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综
合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
AC
CE BE 1 ，求得 AE＝4BE，通过△ OPG∽ △ EDG，得到 OG OP ，然后根据勾股定
AE CE 2
GE ED
理即可得到结果．
【详解】
（1）证明：连接 AD， ∵ AB⊥CD，AB 是⊙O 的直径，
∴ AD AC ，
∴ ∠ ACD＝∠ B＝∠ ADC， ∵ ∠ FPC＝∠ B， ∴ ∠ ACD＝∠ FPC， ∴ ∠ APC＝∠ ACF， ∵ ∠ FAC＝∠ CAF， ∴ △ PAC∽ △ CAF；
x
13
（3）①当 OPE 90 时， OPA 90 ，
∴ OP OA cos AOC 10 4 8； 5
②当 POE
90
时， CQ
OC cos QCO
10 cos AOC
10 4
25 2
，
5
∴ OP DQ CD CQ CD 25 16 25 7 ，
2
22
∵ 50 OP 10 ， 13
OP DQ {POA QDO ， OA DO
∴ AOP ≌ ODQ ，
∴ AP OQ ；
（2）作 PH OA，交 OA 于 H ，
∵ cos AOC 4 ， 5
∴ OH 4 OP 4 x ， PH 3 x ，
55
5
∴
SAOP
1 2
AO PH
3x ．
∵ CD / / AB ，
∴ PFC ∽ PAO ，
MD MD AMD CMD ， AM CM
∴ △ AMD≌ △ CMD（SAS）； （3）∵ MD=CM， ∴ AM=MC=MD=MB， ∴ MD=2AB， 由（1）可知：△ MED∽ △ BCA，
∴
S1 S ACB
MD AB
2
1， 4
∴ S△ ACB=4S1，
∵ CM 是△ ACB 的中线，
【答案】塔高 AB 约为 32.99 米. 【解析】 【分析】 过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，设 AB＝x，则 AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H．
由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC，∠ ABC =∠ AHD = 90°， ∠ ADH = 32°． 设 AB = x，则 AH = x – 3．
（3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°， 理由：∵ 显示屏 O′B 与水平线的夹角仍保持 120°， ∴ ∠ EO′F=120°， ∴ ∠ FO′A=∠ CAO′=30°， ∵ ∠ AO′B′=120°， ∴ ∠ EO′B′=∠ FO′A=30°， ∴ 显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°．
∴ OP 7 （舍去）； 2
③当 PEO 90 时，∵ CD / / AB ，
∴ AOQ DQO ，
∵ AOP ≌ ODQ ，
∴ DQO APO ，
∴ AOQ APO ，
∴ AEO AOP 90 ，此时弦 CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段 OP 的长为 8 ．
4．如图，某公园内有一座古塔 AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 9 时太阳光线与 水平面的夹角为 32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高 3 米的影子 CD．中午 12 时太阳光线 与地面的夹角为 45°，此时塔尖 A 在地面上的影子 E 与墙角 C 的距离为 15 米（B、E、C 在 一条直线上），求塔 AB 的高度．（结果精确到 0.01 米） 参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249， 2 1.4142 ．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120° 时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热 架 ACO＇后，电脑转到 AO＇B＇位置（如图 3），侧面示意图为图 4．已知 OA=OB=24cm， O＇C⊥OA 于点 C，O＇C=12cm． （1）求∠ CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部 B＇比原来升高了多少？ （3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏 O＇B＇与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏 O＇B＇应绕点 O＇按顺时针方向旋转多少度？
BCMD
的面积为
S2，当
17
S2=
S1
时，求
cos∠
ABC
的
5
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ ABC= 5 . 7
【解析】
【分析】
（1）易证∠ DME=∠ CBA，∠ ACB=∠ MED=90°，从而可证明△ MED∽ △ BCA；
（2）由∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，可知 MB=MC=AM，从而可证明
S1
EBD
ME EB
，从而可
知 ME 5 ，设 ME=5x，EB=2x，从而可求出 AB=14x，BC= 7 ，最后根据锐角三角函数的
EB 2
2
定义即可求出答案．
【详解】 （1）∵ MD∥ BC， ∴ ∠ DME=∠ CBA， ∵ ∠ ACB=∠ MED=90°， ∴ △ MED∽ △ BCA； （2）∵ ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点， ∴ MB=MC=AM， ∴ ∠ MCB=∠ MBC， ∵ ∠ DMB=∠ MBC， ∴ ∠ MCB=∠ DMB=∠ MBC， ∵ ∠ AMD=180°﹣∠ DMB， ∠ CMD=180°﹣∠ MCB﹣∠ MBC+∠ DMB=180°﹣∠ MBC， ∴ ∠ AMD=∠ CMD， 在△ AMD 与△ CMD 中，
3．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5
分）
已知：如图， AB 是半圆 O 的直径，弦 CD / / AB ，动点 P 、 Q 分别在线段 OC 、 CD
上，且 DQ OP ， AP 的延长线与射线 OQ 相交于点 E 、与弦 CD 相交于点 F （点 F 与
解得 x 15 tan32 3 32.99 ． 1 tan32
∴ 塔高 AB 约为 32.99 米． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键．
5．如图，在⊙O 的内接三角形 ABC 中，∠ ACB＝90°，AC＝2BC，过 C 作 AB 的垂线 l 交⊙O
（3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°，求得∠ EO′B′=∠ FO′A=30°，既是显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°． 试题解析：（1）∵ O′C⊥OA 于 C，OA=OB=24cm，
∴ sin∠ CAO′=
，
∴ ∠ CAO′=30°；
（2）过点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D，∵ sin∠ BOD= ，∴ BD=OBsin∠ BOD，
（2）连接 OP，则 OA＝OB＝OP＝ 1 AB 5 ，
2
2
∵ AP BP ，
∴ OP⊥AB，∠ OPG＝∠ PDC， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ ACB＝90°， ∵ AC＝2BC，
∴ tan∠ CAB＝tan∠ DCB＝ BC ， AC
点
C
、
D
不重合），
AB
20
，
cos
AOC
4 5
．设
OP
x
，
CPF
的面积为
y
．
（1）求证： AP OQ ；
（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当 OPE 是直角三角形时，求ຫໍສະໝຸດ Baidu段 OP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） y 3x2 60x 300 (50 x 10) ；（3） OP 8
成三种情况讨论，充分利用已知条件 cos AOC 4 、以及（1）（2）中已证的结论，注 5
意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】
（1）联结 OD ，∵ OC OD ， ∴ OCD ODC ， ∵ CD / / AB ， ∴ OCD COA， ∴ POA QDO ．
在 AOP 和 ODQ 中，
于另一点 D，垂足为 E．设 P 是 AC 上异于 A，C 的一个动点，射线 AP 交 l 于点 F，连接
PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G． （1）求证：△ PAC∽ △ PDF；
（2）若 AB＝5， AP BP ，求 PD 的长．
【答案】(1)证明见解析；（2） 3 10 ． 2
【解析】
在 Rt△ ABE 中，由 ∠ AEB = 45°，得 tanAEB tan45 AB 1． EB
∴ EB = AB = x．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．
在 Rt△ AHD 中，由 ∠ AHD = 90°，得 tanADH AH ． HD
即得 tan32 x 3 ． x 15
∠ AMD=∠ CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△ AMD≌ △ CMD；
（3）易证 MD=2AB，由（1）可知：△
MED∽
△
BCA，所以
S1 S ACB
MD
2
AB
1 4
，所以
1
S△ MCB=
2
S△ ACB=2S1，从而可求出 S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= 2 5
S1，由于
S
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
2．已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥ BC，且
MD=CM，DE⊥AB 于点 E，连结 AD、CD．
（1）求证：△ MED∽ △ BCA；
（2）求证：△ AMD≌ △ CMD；
（3）设△
MDE
的面积为
S1，四边形
【分析】
（1）根据 AB⊥CD，AB 是⊙O 的直径，得到 AD AC ，∠ ACD＝∠ B，由∠ FPC＝∠ B，得
到∠ ACD＝∠ FPC，可得结论；
（2）连接 OP，由 AP BP ，得到 OP⊥AB，∠ OPG＝∠ PDC，根据 AB 是⊙O 的直径，得 到∠ ACB＝90°，由于 AC＝2BC，于是得到 tan∠ CAB＝tan∠ DCB＝ BC ，得到
【答案】（1）∠ CAO′=30°；（2）（36﹣12 ）cm；（3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针 方向旋转 30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D，通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠ BOD=24× =12 ，由 C、O′、B′三点共线可得结果；
∴ S△ MCB= 1 S△ ACB=2S1， 2
∴ S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= 2 S1， 5
∵
S1 S EBD
ME ， EB
∴
S1
2 5
S1
ME EB
，
∴ ME 5 ， EB 2
设 ME=5x，EB=2x，
∴ MB=7x，
∴ AB=2MB=14x，
∵ MD ME 1 ， AB BC 2
∴ y ( CP )2 (10 x )2 ，
SAOP OP
x
∴ y 3x2 60x 300 ，当 F 与点 D 重合时， x
∵ CD 2OC cos OCD 210 4 16 ， 5
∴ x 10 ，解得 x 50 ，
10 x 16
13
∴ y 3x2 60x 300 (50 x 10) ；