中学数学中的分形几何
分形几何
分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
分形几何学在数学中的应用
分形几何学在数学中的应用分形几何学是一门描述非整体几何形态的学科，旨在研究自然中那些看似复杂但具有某种重复结构的“异形体”，如云朵、树枝、海岸线等。
分形几何学涉及的多为斐波那契数列、曼德博集、朱利亚集等著名的分形图像，它们虽然看似艺术品，但同时也为科学家研究探索提供了许多思路和启示。
在数学领域中，分形几何学有着广泛的应用，本文将会介绍其中的一些。
一、分形理论在图像压缩中的应用分形图像压缩技术是一种全新的图像压缩模式，它对自相似性的图像进行了探索，并且寻找到了自相似性的一般规律，最终形成了基于分形特征的高比例压缩模式。
这种压缩模式的具体应用包括电子图象、遥感图象、数字信号、地图等领域。
二、分形理论在金融市场预测中的应用分形几何学在金融市场的应用主要是通过其分形特征来预测市场走势。
经过多年的研究，科学家们发现，在金融市场中，股票、期货等商品的价格走势常常表现出来分形的特征，因此可以利用分形理论来剖析市场，预测市场走势和涨跌趋势。
许多金融大佬利用分形理论，制定交易策略，从而取得了良好的投资回报。
三、分形理论在土地利用规划中的应用利用分形特征对地形进行分段，可以得到一系列体块空间，这种方法被应用于城市风貌的分析和规划以及土地利用的方案制定中。
利用分形特征进行空间自动分割，在统计分析地表质心变化的同时，改进了城市土地利用的管理和规划模式。
四、分形理论在生命科学中的应用生命科学中的DNA序列、蛋白质序列等都具有自相似的特点，生物界的许多分形现象都存在着是否是一种更为高级的自组织模式仍然存在争议，但是利用分形特征，科学家们已经开始了一系列的探索和实验，涉及癌症诊断和治疗策略的制定、人体运动过程的测量以及脑功能的计算等等。
五、分形理论在计算机科学中的应用计算机科学中的随机生成、优化问题、自适应控制、图像处理等领域都有分形特征，利用分形理论所构建的智能化算法，可以在较小的规模区间内进行高效的检索和组合，进一步提高了计算机科学的研究和应用水平。
分形几何学
2分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。
2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。
欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。
它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。
一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。
这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。
显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。
这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。
分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。
这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。
分形几何的特征及其维数
分形几何的特征及其维数
分形几何，这一诞生于二十世纪的数学领域瑰宝，以其独特的美学与科学魅力在2024年的今天依然引人入胜。
它的核心特征可以概括为以下几点：
1. 自相似性：这是分形最直观也最具代表性的特点，即不论是在整体还是局部，乃至无限次放大的微小部分，都能发现与整体形态相似或等比例缩小的结构。
比如著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形。
2. 不规则性和复杂性：传统几何形状如圆形、方形等具有明显的边界和规则性，而分形则呈现出无规律、不规则的复杂结构，难以用传统的欧几里得几何来描述。
3. 维数的非整数性：分形维数是衡量分形结构复杂程度的一个重要概念，它突破了经典欧氏空间中一维、二维、三维等整数维的界限。
例如，科赫曲线虽然看似占据了一维空间，但实际上其分形维数大于1但小于2，这体现了它在有限空间内展现出了超越常理解的空间复杂度。
分形维数的计算通常采用盒计数法，通过将分形划分为多个大小相等的小区域（盒子），统计不同尺度下被分形所覆盖的盒子数量随尺度改变的关系，从而得到描述分形复杂度的维数值。
总之，在我们所处的2024年，分形几何已经广泛应用于艺术、自然科学、社会科学等多个领域，并以其深邃的内涵和无穷的变化，持续启发着人们对自然界及宇宙奥秘的认识探索。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。
分形几何中的分形维数和分形拓扑
分形几何是一门研究自相似性和自恶化性质的数学分支。
分形几何的基本思想是运用递归和迭代方法来构造并研究具有特殊性质的几何对象，这些几何对象被称为分形。
在分形几何中，分形维数和分形拓扑是两个重要的概念。
分形维数描述了分形对象的尺度特征和空间填充性质。
对于一般的几何图形，维数可以用整数来描述，比如点的维数是0，线的维数是1，平面的维数是2。
然而，对于分形对象来说，用整数维度来描述是不合适的，因为分形对象通常具有非整数维的特点。
分形维数是一种介于整数维和分数维之间的维数概念，它可以帮助我们理解和揭示分形对象的尺度特性。
常见的分形维数包括Hausdorff维数、盒维数等。
Hausdorff维数描述了分形对象的自相似性，而盒维数则描述了分形对象的空间填充性。
分形拓扑研究的是分形对象如何在拓扑空间中进行组合和分解。
传统的拓扑学主要研究整体性质和连续性，无法很好地描述分形对象的自相似性和分布特点。
分形拓扑通过引入分形维度和分形结构等概念，对分形对象进行了全面而深入的研究。
在分形拓扑中，分形对象可以通过分形维度和分形结构来分解成多个部分，并且这些部分之间仍然表现出自相似性。
通过分形拓扑的方法，人们可以更好地理解分形对象的组合特性、变换特性以及拓扑空间中的分形结构。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在纯数学领域中具有重要意义，而且在物理学、生物学、地理学、经济学等多个学科中也有广泛的应用。
在物理学中，分形维数被用来描述复杂系统的几何特征，如分形海岸线、分形粉末的填充性等；在生物学中，分形维数被用来研究生物体的形态特征和生存策略；在地理学中，分形维数被用来描述地形形状的复杂性和多样性；在经济学中，分形拓扑可以用于模拟金融市场的波动性和奇异性。
总之，分形维数和分形拓扑是分形几何中的两个重要概念，它们描述了分形对象的尺度特性和空间组织特性。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在其他学科中也发挥着重要作用。
通过对分形维数和分形拓扑的深入研究，我们可以更好地理解和揭示自然界和人类社会中的复杂系统的结构和行为规律。
(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
分形几何进入中学数学课程
▪ 1.分形几何进入中学数学课程的必要性 ▪ 1）分形几何的创立是数学发展历史上的又一次进
步 ▪ 2）分形理论是描述现实世界的有力工具 ▪ 3）分形几何是培养创新思维的极好材料 ▪ 4）有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维，
提高审美情趣的思想方法。 ▪ 5）课程现代化的需要
数学文化：一般到特殊，特殊到一般， 归纳总结找规律的猜想， 证明规律的猜想得结论
▪ 雪花曲线的特点——自相似性。任何一个局 部放大后都与整体非常相似。（欧几里得中 的圆就没有这个性质）
邮票上的雪花曲线（保加利亚）有什 么奥秘？
雪花边 界线的 长度？ 面积？
隆冬雪花
你细瞧海岸 线，就有类 似的形状
B.B.Mandelbrot（蒙德尔布罗）在《科学》 杂志上发表文章 “英国的海岸线有多长？” 。 他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用 来测量的尺子长短不一。
这看似极其简单，但Mandelbrot发现：
当测量单位变小时， 所得的长度是无限增大的。
但是，在欧几里得几何中， 当尺的长度趋于零的时候， 测量出的长度趋于圆周长！
“首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远 处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样— —它是自相似的。
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
“自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。”
蝴蝶效应
1963年，美国气象学家洛伦茨发现的“蝴蝶效应”便是其中 典型一例。洛伦茨在一个由三维一阶微分方程组描述的气象 预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳 定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。 近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差 异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度 或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被大量发现， 引起众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和华人学者 李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”。对混沌 现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌 现象本质的认识。
第八章 分形几何
Peano-Hilbert曲线的出现，曾令数学界大吃一惊： （1）它是一条曲线，但又是一个平面； （2）Peano-Hilbert曲线的方程只有一个参数，但它却 能确定了一个平面；而在欧几里德几何学中，确定一条 曲线需要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
“病态”原因：一维曲线却能充满二维平面。 分形维数：D=ln4/ln2=2.0。
对于典型的分形曲线，例如Koch曲线，构成方法 如下：取一段直线，将其三等分，保留两端的两段， 将中间一段拉起构造等边三角形的两条边。N=4，S=3， 分维D=ln4/ln3=1.26186。可以看出Koch曲线点点连 续，但点点不可导，属于病态曲线；Koch曲线局部与 整体相似，具有自相似性。因此可以使用Koch曲线来 模拟海岸线。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的 分维为D=1.25。
L0 ( P1 .x P0 .x) 2 ( P1 . y P0 . y ) 2
设递归n次后的最小线元长度为d，则
d L0 /(2(1 + cos ))
n
（8-4）
Koch 雪花
void CTestView::Koch(int n)//Koch函数 { if(0==n) { P1.x=P0.x+d*cos(Alpha); P1.y=P0.y+d*sin(Alpha); pDC->MoveTo(ROUND(P0.x),ROUND(P0.y)); pDC->LineTo(ROUND(P1.x),ROUND(P1.y)); P0=P1; return; } Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); Alpha-=2*Theta; Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); }
分形几何概述1
n
ln 4 1.26186 ln 3
英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集： 垫片： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲 线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一 个什么东西的无数次的自我复制。
定义1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则 称该集合为分形集，简称分形。
由Mandelbrot在1982年提出，四年后， 他又提出了一个更是实用的定义： 定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形 体叫分形。
分形的概念
分形看作具有如下所列性质的集合F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计 意义下的。 F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
分形几何概述
海岸线长度问题
二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量 所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折 会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米 以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加， 由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止， 海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形几何的典型范例
分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。
3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。
通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。
5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。
这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。
这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。
分形几何课件
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分形几何
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分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表 示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为 复数（即一切形如 a + b i 的数）。
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分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分， 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
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❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
❖ 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
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分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的 结果，它基本上可以看作 是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
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分形几何
❖ 我们再来看一个无法构 成连通区域的 Julia 集的 例子。取 c = - 1 - 0.9 i ， 让我们来看看逆推的过 程。还是先画出半径为 2 的圆盘。
分形几何学
分形几何学简介分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。
相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。
分形几何学的研究对象为非负实数维数，如0.63、1.58、2.72、log2/log3（参见康托尔集）。
因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。
一个数学意义上分形的分解成就是基于一个不断运算的方程式，即为一种基于递回的反馈系统。
分形存有几种类型，可以分别依据整体表现出来的准确自相似性、半自相似性和统计数据自相似性去定义。
虽然分形就是一个数学结构，它们同样可以在自然界中被找出，这使它们被划归艺术作品的范畴。
分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都存有应用领域。
由来客观自然界中许多事物，具备自相近的“层次”结构，在理想情况下，甚分形几何学分形几何学至具有无穷层次。
适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。
不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物都存有它自己的特征尺度，必须用恰当的尺度回去测量。
用尺子去测量万里长城，疑太短，而用以测量大肠杆菌，又疑太长。
除了的事物没特征尺度，就必须同时考量从小到大的许许多多尺度（或者叫做标度），这就是“并无标度性”的问题。
湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。
流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态。
要描述湍流现象就需要借助流体的的“无标度性”，而湍流中高漩涡区域，就需要用到分形几何学。
简介分形几何
简介分形几何作者：屈艳霞来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第02期在中学阶段，我们学习的几何是欧几里得几何，它是用一些简单而规则的基本元素(诸如点、线、平面、空间、三角形、正多边形、圆等等)来描述我们这个生存的世界，例如我们可以用欧几里得几何来描述晶体和蜂房等类似这样规则的对象. 但是自然界的随机性常常产生出许多无法用欧几里得几何来描述的不规则对象，比如山岭不是锥体、海岸线不是圆周、闪电也不是沿直线传播的等等. 在这种场合，欧几里得几何就无能为力了，分形成了其最好的描述工具.什么是分形呢?以下我们来通过分析分形几何的一个典型例子——科赫雪花曲线来对其做一个简单介绍. 雪花曲线因其形状类似雪花而得名，这个美丽的几何分形是由瑞典数学家科赫(H.von Koch)在1904年创造的. 他是这样创造：第一步先给出图1那样一个正三角形，然后把三角形的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，像图2那样并把居中的线段去掉，这一操作称作迭代规则，于是生成了一个6个角12条边的对象图第二步，在图的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象图以后无限重复此操作，如此一直进行下去——最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”E.1 分形的定义什么是分形呢?目前它还没有其确切定义. 粗略地说，就是一些杂乱无章、极不规则的形状，如云彩、山川、海岸等曲线，都可以看成一种分形. 从以上雪花曲线的生成来看，我们也可以这样定义分形：在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷. 这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述. 分形的两个主要特征：1.分数维，即维数是分数. 2.自相似性，我们把图形的每一部分都和它本身的形状相同，大小不一定相同，这一相似特性叫做自相似性.2 Koch雪花曲线E的特性从Koch雪花曲线E的生成来看，它有如下特性：(1) 曲线E具有局部与整体的对称，即把对象的任意一块细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样，这说明曲线E的复杂性不随尺度的减小而消失，即曲线E满足自相似性.(2)曲线E难以用经典的方法刻画，从整体上看，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，亦不能作为任意简单方程的解的集合；从局部上看，它不能通过切线来描述(事实上，曲线E上每点均无切线).(3)曲线E的“长度”为无穷大，而“面积”有限，雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际上其面积等于原三角形的85倍，因此我们不能用通常的测度(测量长度的单位)来量度它的“大小”.(4)尽管E具有复杂的细结构，但它的定义非常直接. 特别地，E可以由简单的递归方式生成，而且，它的逐阶迭代给出E的越来越好的近似.(5)曲线E的维数既不是一维的，也不是二维的，而是1.26维. 即它的维数是个分数.3 分形几何与欧氏几何的几点区别由Koch雪花曲线E的特性，我们可看出分形几何与欧氏几何图形的几点区别：(1)欧氏图形是规则的，而分形是不规则的，即欧氏图形一般是逐段光滑的，而分形往往在任何区间内都不具有光滑性.(2)欧氏图形层次是有限的，而分形从数学角度上讲，层次是无限的.(3)欧氏图形一般不会从局部得到整体的信息，而分形往往可以从局部“看到”整体.(4)欧氏图形越复杂，其背后的规则越复杂，而分形图形，看上去十分复杂，但背后的规则却相当简单.(5)在欧氏几何中，点是零维的，直线是一维的，平面是二维的，立体是三维的，以及抽象到n维欧氏空间中，维数总是整数. 但在分形几何里维数是个分数.4 分形几何的创立1967年，曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)在美国《科学》杂志上发表的“英国的海岸线有多长”的论文，并解释了这一问题：如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来. 由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性，曼德尔布罗特认为这种现象造成了海岸线的“无限曲折”，并用积分的思想来说明长度不是海岸线所具有的特征. 这篇划时代论文标志着分形思想的萌芽. 1975年，曼德尔布罗特引入英文的“分形(Fractal)”一词，两年后，曼德尔布罗特出版了分形学的奠基性著作《分形：形状、偶然性和维数》，人们把这本重要著作的出版看成是分形几何学诞生的标志. 1982年，曼德尔布罗特又出版了著名的专著《自然界的分形几何》，分形这个概念便在全世界不胫而走，并迅速深入到自然科学、工程技术及社会科学的各个领域.有了分形，我们的几何学就能描述不断变化的宇宙. 无论是起伏跌宕的地貌、弯弯曲曲的海岸线、浮动的云朵、飞扬的雪花，还是杂乱无章的粉尘、无规则运动的分子、原子的轨迹、万物生长和演化……都具有分形的特点. 英国物理学家约翰.惠勒(J.A.Wheeler)说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人. ”参考文献[1] [英]肯尼思·法尔科内. 分形几何[M]. 沈阳：东北大学出版社，1991.[2] 张维忠. 文化视野中的数学与数学教育[M]. 北京：人民教育出版社，2005.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
•
自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
分形几何学(课堂PPT)
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分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
斯（K.Weierstrass）1872年构造的以他的名字
命名的函数是这类集合的第一例. 它的图象处处连
续但处处无切线（如图）, 引起当时数学界的震惊.
孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三
地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和
传统的几何对象大相径庭.被人们称为“反直觉
的”，“病态”的“数学怪物”. 令人惊奇的是，
1973年，曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲 课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词， 是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名 字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相 似的结构（见图1）。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
分形几何
度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。 此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个 节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成 的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线 的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普 遍存在的，因此分形几何又称 为描述大自然的几何学。分形 几何建立以后，很快就引起了 许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上 都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有 刻度)来测量海岸线的长度时，对 海岸线上两点间的小于尺子尺寸的 曲线，只能用直线来近似。因此， 测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i
｛U i｝
―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集 ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小 的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用 传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是 近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许 是递归的。
Mandelbrot集(4)
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中学数学中的分形几何
广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502）
桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004）
内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。
关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线
Koch岛 Sierpinski-Menger海绵
1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。
分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。
其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。
中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。
笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。
一、规则图形的容量维
为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。
维数是描述客体的重要几何参量。
也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。
已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。
这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。
维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。
一立方体，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。
由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N
个原来的对象，这三者的关系为d L N
=,两边取自然对数，得维数
ln
ln
N
d
L
=。
在
本例的正方体中，如果是L=2,则必有N=8,于是就有
ln ln8
3
ln ln2
N
d
L
===，即立方
体是三维的。
将上式的定义加以推广，就得到d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"D" 表示。
对于规则的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。
而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L 倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增
大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为：
ln()
(0)
1
ln
N
D
ε
ε
ε
=→。
上式定义的分维称为
容量维D，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。
可以证明，拓扑维d和分维D满足如下关系：d≤D式中取等号是对普通规则几何对象而言的。
容量维为非整数的典型的例子是康托集合。
如图示，考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段
再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。
它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维D。
当ε＝1/3，N=2；当ε＝1/9，N=4；...亦即当
1
()
3
n
ε=时，N=2n。
于是可得康托
集合的容量维为
ln()ln2ln2
0.631
11ln3
ln ln()
1
3
n
n
N
D
ε
ε
====由此可见康托集合满足关系
d≤D。
奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。
二、中学数学分形问题与分形几何学问题的例子
例1、将一个三角形的三边中点连结，挖去所得的小三角形；再将剩下的图形的各边的中点连结，各得一个三角形，挖去所得三角形；如此继续下去，第七次总共可得多少个三角形（例如第二次挖去后，总共有13个三角形）？
第一次（4个）第二次（13个）第三次（40个）这个问题就是分形几何学中所说的Sierpinski三角毯，在我们竞赛中是一个
数列问题，而在分形几何中，它是一个规则的分形。
其中白色的三角形共有3n（n 为第n次挖取）。
当然在分形几何中，所研究的不是三角形的个数，而是利用下述公式从测度的角度把规则图形的维度D确定为
ln()
(0)
1
ln
N
D
ε
ε
ε
=→。
这里的ε是测量单元的尺寸，()
Nε是测度得到的规则图形的测量单元数。
本例中()
Nε=3n，ε=
1
()
2
n于是得到此分形图的容量维为
ln3ln3
1.585
1ln2
ln
1
()
2
n
n
D===例2、如图，挖去线段中间的
1
3
后，加上等边三角形的二边，形成四段等长
线段组成的折线，如此无限地进行下去，形成处处连续、但处处不可微的Koch 曲线。
在数学竞赛中，本问题是要求折线的条数。
第
n次变换后有4n条。
但在分形几何中，用上述的公
式
ln()
(0)
1
ln
N
D
ε
ε
ε
=→可以计算此分形图的容量维
为
ln4ln4
1.262
1ln3
ln
1
()
3
n
n
D===
例3、如图，这是著名的n级三分Koch岛，在我们的问题中，一是可能问及的问题是，每次三分后，边长如何变化；二是当其
进行无限次等分后，其面积是多少。
前者是数列通
项问题，后者是数列与极限问题。
在分形几何中，
其容量维仍为
ln4ln4
1.262
1ln3
ln
1
()
3
n
n
D===。
例4、正方体27等分（沿三条棱三等分）成27个小正方体，挖去中心和6个面中心位置上总共6个小正方体，留下20个小正方体，如此无限进行，试求当进行到第n次时，有多少个小正方体。
其容量维为多大？
此为分形几何中著名的Sierpinski-Menger海绵，其中正方体有20n个，其容
量维为
ln20ln20
2.777
1ln3
ln
1
()
3
n
n
D===
上述几个例子说明了分形几何已经成为中学数学的一个问题源。
这只是分形几何中与中学学习中最能让我们理解的几个问题，还有许多问题需要我们许多同行去研究挖掘。
不难看出，这些问题还只是处于其最常见的变形为数列或几何问题，其基本数学思想还没有进入中学。
某些地区已经将分形几何作为中学生学习内容，可以预见，分形几何不仅在内容上走进中学，其根本的思想也将在不久的未来进入中学课堂。
学生经常问数列的一些问题是如何来的，一些立体几何问题为什么那么看起来无聊而又一再考试，这些都是应当看到和说明的。
教师应当了解一点分形几何，从而拓宽自己的数学问题源，让自己的知识更加丰富，通过这些有趣的知识调动学生的学习积极性、激发学生的求知欲，这无疑是一个很好的选择。
教师为学习分形几何可以参考的书有许多，笔者所阅读的书列于本文之后的参考资料。
参考资料：Thomas L.Pirnot 著Mathematics All Around 机械工业出版社，20XX年1月第1版
孙霞等编著分形原理及其应用中国科技大学出版社，20XX年10月第1版
[加拿大]B.H.Kaye 著徐新阳等译分形漫步东北大学出版社，1994年12月第1版。