2019复旦附中高一期末

复旦附中高一期末数学试卷

2019.01

一.填空题

1.3()x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是

2.函数ln(7)y x =-的定义域是

3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律

是：1222x x y -=⋅+(0)x ≥.经过

分钟，该物质温度为5摄氏度4.函数(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨

≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是

5.函数122()(4174)f x x x -=-+的单调递增区间是

6.函数0.52|log |1x y x =-的零点个数为

个7.若函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是

8.已知函数22,0()log ,01

x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2f -=9.当|lg ||lg |a b =()a b <时，则2a b +的取值范围是

10.函数1()42x f x =-的图像关于点成中心对称

11.设2{|}M y y x -==，1{|(

1)(1)(||1)(2),12}1

N y y x m x x m ==+-+--≤≤-，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是12.已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x ∈R ，(())0f f x ≥恒成立，实数a 的取值

范围是

二.选择题

13.下列四组函数中，不是互为反函数的是（

）A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和32y x =(0)

x ≥C.2x y =(0)x >和2log y x =(1)x > D.lg(1)y x =-(1)x >和101

x y =+14.“1a >”是“函数()(1)x f x a a =-⋅是单调递增”的（）条件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要15.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（

）A.lg y x x

=+ B.lg y x x =-+C.lg y x x =- D.lg y x x

=--

16.已知n m <，函数122|1|log (1),1()2

3,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩的值域是[1,1]-有下列结论：①当0n =时，(0,2]m ∈；②当12n =时，1(,2]2m ∈；③当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈；④当1[0,)2

n ∈时，(,2]m n ∈.其中，正确的命题为（

）A.①② B.①③ C.②③ D.③④

三.解答题

17.已知幂函数223()m m f x x -++=()m ∈Z 是奇函数，且(1)(2)f f <.

（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求12

221

log ()log [2()],[2y f x f x x =+∈的值域.18.已知函数2()log ()f x x a =+，a 为常数，()g x 是定义在[1,1]-上的奇函数.

（1）当2a =时，满足|()|1f x >的x 取值范围；

（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数1()g x -.

出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）

123k L →→

L 一对对轧辊的减薄率=

输入该对的钢带厚度-输出该对的钢带厚度

输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？

（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为

k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L .

20.已知函数2()a f x x x

=+（其中a 为常数）.（1）判断函数(2)x y f =的奇偶性；

（2）若不等式1(2)242x x x

f <+

+在[0,1]x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设1()1x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对区间1[0,]2上的任意三个实数m 、n 、p ，都存在以[()]f g m 、[()]f g n 、[()]f g p 为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由

()y f x =0x ≠()1f x >x y 有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=.

（1）证明：(0)1f =；

（2）比较1()2f -、1

(2

f 、(1)f 的大小，并说明理由；

（3）对任意的,x y +∈Q ，x y <，判断()f x 、()f y 的大小关系，并说明理由.

参考答案

一.填空题

1.(3,1)

2.(,6]-∞

3.1

4.(1,3)

5.1(,4-∞

6.2

7.53a >或1a ≤-

8.1-

9.(3,)+∞10.(2,0)11.(1,0){1}

- 12.[3,)+∞二.选择题

13.B

14.A 15.C 16.C 三.解答题

17.（1）0m =，3()f x x =；（2）5

[,11]4

-.18.（1）3(2,)(0,)2--+∞ ；（2）121[0,1]

()12[1,0)x x x g x x --⎧-∈=⎨-∈-⎩.

19.（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.

20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；

（2）(3,3)-；（3）55(,)3

15153

-- .21.（1）略；（2）11(1)(()22f f f >=-；（3）()()f x f y <.