中国科学院研究生院固体物理2012、2013年考研真题试题
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（4）请粗略画出该晶体的能带图，并在图中标出 Eg1 。
五、(30 分) 对于某一双原子链形成的一维复式晶格，其中两种原子的质量分别 为 m = 4 ×10−27 kg ， M = 16 ×10−27 kg ， 平 衡 时 相 邻 原 子 之 间 的 距 离 为 a = 2 ×10−10 m ，恢复力常数 β = 5 N m ； （1）求声学波和光学波的色散关系表达式； （2）请计算出声学波声子频率的最大值、光学波声子频率的最小值和最大值， 并分别说明这些频率所对应的原子振动情况； （3）计算声子能隙的大小； （4）求长声学波在该一维复式晶格中的波速。
度的关系。 5． 请画出晶体内能 U 随晶体体积 V 变化的示意图。
二、(20 分) 在一个具有立方结构的晶体上做 X 射线衍射实验， 1）请写出 X 射线波长与布喇格角之间需要满足的关系式； 2）假设布喇格角很小且 X 射线波长不变，请问当晶体的晶格常数变化率为 1% 时，布喇格角的变化率为多少？
科目名称：固体物理
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四、(30 分) 设有一晶体材料，其电子周期势场的势能函数为
V
(
x)
=
mω
2[b2
−(x 2
−
na)2
]
,
na − b ≤ x < na + b
0, (n −1)a + b ≤ x < na − b
其中 a = 4b ， m 和ω 为常数，
（1）试画出此势能曲线，并求出势能的平均值；
（4） 请分别写出布洛赫函数和布洛赫定理。 （5） 请问什么是费米面？并说出碱金属费米面的形状。
二、(20 分) 已知锗单晶的密度 ρ = 5.32 ×103kg / m3 ，锗的原子量为 72.60，求锗 单晶的点阵常数、最近邻原子间的距离和次近邻原子间的距离。（阿伏伽德罗常 数为 6.02 ×1023 / mol ）
矢（用 a1, a2, a3 表达）。请问体心立方格子的倒格子是什么？ 2． NaCl 晶体中存在光学格波吗？NaCl 晶体是否能产生强烈的红外吸收？
为什么？ 3． 准晶态的发现获得了 2011 年诺贝尔化学奖，请简述准晶态结构的特点。 4． 请简述声子的概念，并指出在高温时频率为 的格波的平均声子数与温
科目名称：固体物理
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中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：固体物理
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 3．可以使用无字典存储和编程功能的电子计算器。
科目名称：固体物理
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五、（30 分）对于一维体系，设原子位于 x na, (n 0, 1, 2,) , 其中 a 是原子
间距，且存在有效势能
(
x
)
2V1
cos(
2 a
x) ，V1
0,
2 且令 1。
2m
1）请求出第一布里渊区边界处的 k 值；
2）在近自由电子近似下，推导出在布里渊区边界附近的色散关系 E(k) ；
科目名称：固体物理
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（2）请问满足什么条件时才可用近自由电子近似模型？
（3）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个禁带宽度 Eg1 。
∫ ∫ （可能用到的积分公式： eaxdx = eax + C ， xeaxdx = eax (ax −1) + C ，
a
a2
∫ ∫ x2eaxdx = x2eax − 2 xeaxdx ）
一、简答题 (共 50 分，每小题 10 分)
（1） 请分别写出简单立方晶格的（111）面与（110）面、（111）面与（100） 面交线的晶向指数。
（2） 请简述石墨晶体结构的特点，并指出石墨中碳原子之间主要有哪些形式 的相互作用。
（3） 假设对于某一晶体，其晶格振动是严格简谐的，请问该晶体是否具有热 膨胀效应？并简要说明原因。
三、(20 分) 3He 原子是自旋为 1/2 的费米子。在绝对零度附近，液体 3He 密度 为 0.081g/cm3 。已知 3He 原子的质量为 m = 5×10−24 g ，请计算出 3He 费米子系统 的费米波矢、费米能量和费米温度（保留 2 位有效数字即可）。（普朗克常数 = 1.055 ×10−34 J ⋅ s ，玻耳兹曼常数 kB = 1.381×10−23 J K ）
三、(20 分) 假设某一维单原子链的晶格常数为 a ，每个原子质量为 m ，只考虑 最近邻原子之间的相互作用， 1）写出简谐近似下该原子链的晶格振动色散关系； 2）假设该原子链的晶格常数 a 为 1Å，在长波极限下的声速为 2 103 m s1 ，请估 算该原子链格波的截止频率值。
四、(30 分) 假设某三维金属材料的电子浓度为 n ， 1）请推导出在绝对零度时该金属自由电子费米能量 F 的表达式（用 n 表示）； 2）请分别写出该金属费米温度TF 、费米波矢 kF 和费米速度 vF 的表达式（用 n 表 示）； 3）假设在趋于绝对零度时该金属的电阻率为 ，请推导出此时该金属的电子平 均自由程 l 的表达式（用 n 和 表示）。
3）对于半无限一维体系，波矢可以是复数。设 k ( / a) iq ，其中 q 0 为实数，
iq 为纯虚数。
a) 若色散关系 E(k) 形式不变，从 E(k) 推导 E(q) 关系式;
b) 求出使得 E(q) 为实数的最大值 qmax ; c) 求当 q qmax 时能量 E(q) 位于周期体系能隙中需要满足的条件; d) 画出实数 E(q) 的示意图。
中国科学院研究生院 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：固体物理
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、简答题 (共 50 分，每小题 10 分)
1． 已知布拉菲格子的三个基矢分别为 a1, a2, a3 ，请写出其对应的倒格子的基
（4）请粗略画出该晶体的能带图，并在图中标出 Eg1 。
五、(30 分) 对于某一双原子链形成的一维复式晶格，其中两种原子的质量分别 为 m = 4 ×10−27 kg ， M = 16 ×10−27 kg ， 平 衡 时 相 邻 原 子 之 间 的 距 离 为 a = 2 ×10−10 m ，恢复力常数 β = 5 N m ； （1）求声学波和光学波的色散关系表达式； （2）请计算出声学波声子频率的最大值、光学波声子频率的最小值和最大值， 并分别说明这些频率所对应的原子振动情况； （3）计算声子能隙的大小； （4）求长声学波在该一维复式晶格中的波速。
度的关系。 5． 请画出晶体内能 U 随晶体体积 V 变化的示意图。
二、(20 分) 在一个具有立方结构的晶体上做 X 射线衍射实验， 1）请写出 X 射线波长与布喇格角之间需要满足的关系式； 2）假设布喇格角很小且 X 射线波长不变，请问当晶体的晶格常数变化率为 1% 时，布喇格角的变化率为多少？
科目名称：固体物理
第1页 共2页
四、(30 分) 设有一晶体材料，其电子周期势场的势能函数为
V
(
x)
=
mω
2[b2
−(x 2
−
na)2
]
,
na − b ≤ x < na + b
0, (n −1)a + b ≤ x < na − b
其中 a = 4b ， m 和ω 为常数，
（1）试画出此势能曲线，并求出势能的平均值；
（4） 请分别写出布洛赫函数和布洛赫定理。 （5） 请问什么是费米面？并说出碱金属费米面的形状。
二、(20 分) 已知锗单晶的密度 ρ = 5.32 ×103kg / m3 ，锗的原子量为 72.60，求锗 单晶的点阵常数、最近邻原子间的距离和次近邻原子间的距离。（阿伏伽德罗常 数为 6.02 ×1023 / mol ）
矢（用 a1, a2, a3 表达）。请问体心立方格子的倒格子是什么？ 2． NaCl 晶体中存在光学格波吗？NaCl 晶体是否能产生强烈的红外吸收？
为什么？ 3． 准晶态的发现获得了 2011 年诺贝尔化学奖，请简述准晶态结构的特点。 4． 请简述声子的概念，并指出在高温时频率为 的格波的平均声子数与温
科目名称：固体物理
第 2 页，共 2 页
中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：固体物理
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 3．可以使用无字典存储和编程功能的电子计算器。
科目名称：固体物理
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五、（30 分）对于一维体系，设原子位于 x na, (n 0, 1, 2,) , 其中 a 是原子
间距，且存在有效势能
(
x
)
2V1
cos(
2 a
x) ，V1
0,
2 且令 1。
2m
1）请求出第一布里渊区边界处的 k 值；
2）在近自由电子近似下，推导出在布里渊区边界附近的色散关系 E(k) ；
科目名称：固体物理
第2页 共2页
（2）请问满足什么条件时才可用近自由电子近似模型？
（3）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个禁带宽度 Eg1 。
∫ ∫ （可能用到的积分公式： eaxdx = eax + C ， xeaxdx = eax (ax −1) + C ，
a
a2
∫ ∫ x2eaxdx = x2eax − 2 xeaxdx ）
一、简答题 (共 50 分，每小题 10 分)
（1） 请分别写出简单立方晶格的（111）面与（110）面、（111）面与（100） 面交线的晶向指数。
（2） 请简述石墨晶体结构的特点，并指出石墨中碳原子之间主要有哪些形式 的相互作用。
（3） 假设对于某一晶体，其晶格振动是严格简谐的，请问该晶体是否具有热 膨胀效应？并简要说明原因。
三、(20 分) 3He 原子是自旋为 1/2 的费米子。在绝对零度附近，液体 3He 密度 为 0.081g/cm3 。已知 3He 原子的质量为 m = 5×10−24 g ，请计算出 3He 费米子系统 的费米波矢、费米能量和费米温度（保留 2 位有效数字即可）。（普朗克常数 = 1.055 ×10−34 J ⋅ s ，玻耳兹曼常数 kB = 1.381×10−23 J K ）
三、(20 分) 假设某一维单原子链的晶格常数为 a ，每个原子质量为 m ，只考虑 最近邻原子之间的相互作用， 1）写出简谐近似下该原子链的晶格振动色散关系； 2）假设该原子链的晶格常数 a 为 1Å，在长波极限下的声速为 2 103 m s1 ，请估 算该原子链格波的截止频率值。
四、(30 分) 假设某三维金属材料的电子浓度为 n ， 1）请推导出在绝对零度时该金属自由电子费米能量 F 的表达式（用 n 表示）； 2）请分别写出该金属费米温度TF 、费米波矢 kF 和费米速度 vF 的表达式（用 n 表 示）； 3）假设在趋于绝对零度时该金属的电阻率为 ，请推导出此时该金属的电子平 均自由程 l 的表达式（用 n 和 表示）。
3）对于半无限一维体系，波矢可以是复数。设 k ( / a) iq ，其中 q 0 为实数，
iq 为纯虚数。
a) 若色散关系 E(k) 形式不变，从 E(k) 推导 E(q) 关系式;
b) 求出使得 E(q) 为实数的最大值 qmax ; c) 求当 q qmax 时能量 E(q) 位于周期体系能隙中需要满足的条件; d) 画出实数 E(q) 的示意图。
中国科学院研究生院 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：固体物理
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、简答题 (共 50 分，每小题 10 分)
1． 已知布拉菲格子的三个基矢分别为 a1, a2, a3 ，请写出其对应的倒格子的基