圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
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∵ |AF'|= [1 ?（? 4）]2 ? 1 ? 26 ∴ |MF|+|MA| 的最大值为 10 ? 26
问题：本题解题到此结束了吗？
最小值为 10 ? 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线 y2 ? 4x 上的点，那
么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦
点的距离之和的最小值为 _ __，此时P点坐
例1：
在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0 的距离最短。
略解： 圆心到直线L的距离d1=
16
16 13
32 ? 22 ? 13
r 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d 1-
? 16 13 ? 2 13
问题：直线 L的方程改为 3x-2y-6=0 ， 其结果又如何？
思考： 例1是否还有其他解题方法？
1)当 b ?
3时 , 代入 (1) 得 d min ?
6; 2
2) 当 b ? ?
3时 , 代入
(1) 得 d max
?
3 6. 2
变式训练：
动点P在抛物线 y2 ? x 上，则点P
到直线 y ? x ? 4 的距离最小时，P点的坐
标为_________.
类型三：圆锥曲线上点到 x轴（Y轴）上某
定点的距离的最值
例3 求点 P ( 0，3 )到椭圆 2
x2 ? y2 ? 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
分析：
本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的 点的坐标，然后根据两点间的距离公式借 助于二次函数求出此最大值，并求出点的 坐标。
例3
求点 P ( 0 ，3 )到椭圆
2
x2 ? y2 ? 1 4
关键：用好圆锥曲线的定义
例1、已知点 F是双曲线
x2 ?
y2
? 1 的左焦点，定点
4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF ? PA
的最小值为
.
yA
思维导图：
P
根据双曲线的定义，建立点 A、
P与两焦点之间的关系
F
x
两点之间线段最短
例1、已知点 F是双曲线
x2 ?
y2
? 1 的左焦点，定点
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
解：
x2 设点 Q(x,y)为椭圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
? y 2 ? 1 上的任意一点，
4
则 PQ 2 ?（x ? 0）2 ? (y ? 3 )2
2
又因为x2 = 4- 4y2
所以 PQ
2
?
4 ? 4y2
圆锥曲线的最值问题 常见类型及解法
Pingdujiuzhong zhangdongmei
高考地位 :
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线 的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会 在选择题或填空题中进行考察，在综合题 中也往往将其设计为试题考查的核心。
类型一:两条线段最值问题
利用圆锥曲线的定义求解 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=0 代入圆x2+y2=4整理得：13x2+6mx+m 2-16=0 ∵直线与圆相切 ∴△=36 m2-52(m2-16)=0
∴m2=52， m=±2 13
∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离
16 ? 2 13 16 13
d min ?
?
?2
13
13
例2、求椭圆 x2 ? y2 ? 1 上的点到直线 y ? x ? 2 3 的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标 .
思维导图：
y
求与 y ? x ? 2 3平行的椭圆
的切线
o
x
切线与直线 y ? x ? 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点 .
例2、求椭圆 x2 ? y2 ? 1 上的点到直线 y ? x ? 2 3 的距 2
标为
_.
y
x Q
2、已知抛物线 y=x圆2,锥动曲弦线AB的的最长值为问2，题求AB中点纵坐标的 最小值 .
解法： 设A(x1, y1), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN
?
AD
?
BC
, MN
?
p 2
?
y0
?
1 4
?
y0 ,
y
B M
AD
?
BC
? 2( 1 ? 4
y0 )
AF
o
x
D
NC
AD ? AF , BC ? BF
AF
? BF
?
2(1 4
?
y0)
? ABF中, AF ? BF ? AB ? 2
? (| AF | ? | BF |)min ? 2
即y0 min
?
3 4
类型二： 圆锥曲线上点到某条直线的距离
的最值
切线法
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条 直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上取的最值时的点。
又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF| 是否有最值，
若有，求出最值并指出点M的坐标
分析：
如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个 定点之间的距离为定值
|MF|+|MF'|=10
|MF|+|MA|=10- |MF'|+|MA|=10+ (|MA| -|MF'|)≤10+ |AF'|
因此，当|AF'| 最大时， |MA|+|MF| 是最大值。 具体解题过程如下：
解： 设椭圆的左焦点为F' 则F' 的坐标为(－4,0) 由椭圆的定义得： |MF|+|MF'|=10
|MF|+|MA|=10- |MF'|+|MA| 要使|MF|+|MA| 最大，即要使|MA|-|MF'| 最大， 连AF' ，延长交椭圆于M' 则| |MA|-|MF'| | ≤ |AF'| 当且仅当M,A,F' 三点共线时，等号成立。 ∴ |MA|-|MF'| 的最大值为 |AF'| ，这时M与M' 重合
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标 .
解：设椭圆与 y ? x ? 2 3平行的切线方程为 y ? x ? b
?y? x? b
?
? ? x2 ?? 2
?
y2
?1
? 3x2 ? 4bx ? 2b2 ? 2 ? 0 (1) ? ? (4b)2 ? 4 ? 3? (2b2 ? 2) ? 0
? b? ? 3
4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF ? PA
的最小值为
.
yA
解析：设双曲线右焦点为 F/
P
PF ? PA
? PF ? PF? ? PA ? PF ? F
x
? 2a ? PA ? PF ?
? 4 ? AF? ? 9
例2： 已知椭圆
x2
?
y2
?
1的右焦点F，且有定点A（1，1），
25 9
问题：本题解题到此结束了吗？
最小值为 10 ? 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线 y2 ? 4x 上的点，那
么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦
点的距离之和的最小值为 _ __，此时P点坐
例1：
在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0 的距离最短。
略解： 圆心到直线L的距离d1=
16
16 13
32 ? 22 ? 13
r 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d 1-
? 16 13 ? 2 13
问题：直线 L的方程改为 3x-2y-6=0 ， 其结果又如何？
思考： 例1是否还有其他解题方法？
1)当 b ?
3时 , 代入 (1) 得 d min ?
6; 2
2) 当 b ? ?
3时 , 代入
(1) 得 d max
?
3 6. 2
变式训练：
动点P在抛物线 y2 ? x 上，则点P
到直线 y ? x ? 4 的距离最小时，P点的坐
标为_________.
类型三：圆锥曲线上点到 x轴（Y轴）上某
定点的距离的最值
例3 求点 P ( 0，3 )到椭圆 2
x2 ? y2 ? 1 4
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
分析：
本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的 点的坐标，然后根据两点间的距离公式借 助于二次函数求出此最大值，并求出点的 坐标。
例3
求点 P ( 0 ，3 )到椭圆
2
x2 ? y2 ? 1 4
关键：用好圆锥曲线的定义
例1、已知点 F是双曲线
x2 ?
y2
? 1 的左焦点，定点
4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF ? PA
的最小值为
.
yA
思维导图：
P
根据双曲线的定义，建立点 A、
P与两焦点之间的关系
F
x
两点之间线段最短
例1、已知点 F是双曲线
x2 ?
y2
? 1 的左焦点，定点
上点的最大距离，
并求出此时椭圆上的点的坐标。
解：
x2 设点 Q(x,y)为椭圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
? y 2 ? 1 上的任意一点，
4
则 PQ 2 ?（x ? 0）2 ? (y ? 3 )2
2
又因为x2 = 4- 4y2
所以 PQ
2
?
4 ? 4y2
圆锥曲线的最值问题 常见类型及解法
Pingdujiuzhong zhangdongmei
高考地位 :
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线 的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会 在选择题或填空题中进行考察，在综合题 中也往往将其设计为试题考查的核心。
类型一:两条线段最值问题
利用圆锥曲线的定义求解 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=0 代入圆x2+y2=4整理得：13x2+6mx+m 2-16=0 ∵直线与圆相切 ∴△=36 m2-52(m2-16)=0
∴m2=52， m=±2 13
∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离
16 ? 2 13 16 13
d min ?
?
?2
13
13
例2、求椭圆 x2 ? y2 ? 1 上的点到直线 y ? x ? 2 3 的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标 .
思维导图：
y
求与 y ? x ? 2 3平行的椭圆
的切线
o
x
切线与直线 y ? x ? 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点 .
例2、求椭圆 x2 ? y2 ? 1 上的点到直线 y ? x ? 2 3 的距 2
标为
_.
y
x Q
2、已知抛物线 y=x圆2,锥动曲弦线AB的的最长值为问2，题求AB中点纵坐标的 最小值 .
解法： 设A(x1, y1), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN
?
AD
?
BC
, MN
?
p 2
?
y0
?
1 4
?
y0 ,
y
B M
AD
?
BC
? 2( 1 ? 4
y0 )
AF
o
x
D
NC
AD ? AF , BC ? BF
AF
? BF
?
2(1 4
?
y0)
? ABF中, AF ? BF ? AB ? 2
? (| AF | ? | BF |)min ? 2
即y0 min
?
3 4
类型二： 圆锥曲线上点到某条直线的距离
的最值
切线法
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条 直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上取的最值时的点。
又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF| 是否有最值，
若有，求出最值并指出点M的坐标
分析：
如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个 定点之间的距离为定值
|MF|+|MF'|=10
|MF|+|MA|=10- |MF'|+|MA|=10+ (|MA| -|MF'|)≤10+ |AF'|
因此，当|AF'| 最大时， |MA|+|MF| 是最大值。 具体解题过程如下：
解： 设椭圆的左焦点为F' 则F' 的坐标为(－4,0) 由椭圆的定义得： |MF|+|MF'|=10
|MF|+|MA|=10- |MF'|+|MA| 要使|MF|+|MA| 最大，即要使|MA|-|MF'| 最大， 连AF' ，延长交椭圆于M' 则| |MA|-|MF'| | ≤ |AF'| 当且仅当M,A,F' 三点共线时，等号成立。 ∴ |MA|-|MF'| 的最大值为 |AF'| ，这时M与M' 重合
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标 .
解：设椭圆与 y ? x ? 2 3平行的切线方程为 y ? x ? b
?y? x? b
?
? ? x2 ?? 2
?
y2
?1
? 3x2 ? 4bx ? 2b2 ? 2 ? 0 (1) ? ? (4b)2 ? 4 ? 3? (2b2 ? 2) ? 0
? b? ? 3
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A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF ? PA
的最小值为
.
yA
解析：设双曲线右焦点为 F/
P
PF ? PA
? PF ? PF? ? PA ? PF ? F
x
? 2a ? PA ? PF ?
? 4 ? AF? ? 9
例2： 已知椭圆
x2
?
y2
?
1的右焦点F，且有定点A（1，1），
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