2020年高考文科数学易错题《立体几何》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《立体几何》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 立体几何证明

例1 如图五面体中,四边形ABCD 是矩形,AD ⊥面ABEF ,

//AB EF ,1AD =,1

222

AB EF =

=, 2AF BE ==,P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点.

（1）求证：//PQ 面BCE ； （2）求证：AM ⊥面ADF . 【答案】 见解析 【解析】（1）连结AC .

因为四边形ABCD 是矩形,且Q 为BD 的中点,所以Q 为AC 的中点. 又因为P 为AE 的中点,所以//PQ EC , 又因为PQ ⊄面BCE ,EC ⊆面BCE ,所以//PQ 面BCE . （2）取EF 的中点M ,连结AM .

因为//AB EM ,且22QB EM ==, 所以四边形ABEM 为平行四边形, 所以//AM BE ,且2AM BE ==. 在AMF ∆中,2AM AF ==,22MF =. 所以2

2

2

AM AF MF +=,故AM AF ⊥. 由AD ⊥面ABEF ,得AD AM ⊥, 因为AD AF A =I ,所以AM ⊥面ADF . 【易错点】定理证明所用知识点不清楚

【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.

如该题中的（1）问需要利用五面体中的面ABCD 是矩形,根据对角线的性质确定线段BD 与AC 的中点. （2）问中利用勾股定理验证线线垂直关系,这些都是证明空间平行与垂直关系的基础.

2

例2 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．

求证：(1)AB ∥平面11A B C ；

(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．

【答案】 见解析

【解析】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．

因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．

(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此1AB ⊥1A B ． 又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ，所以1AB ⊥BC ．

又因为1A B I BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． 因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 【易错点】定理证明所用知识点不清楚

【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.

D 1

1

B 1

A 1

D

C

B

A

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

题型二 立体几何体积求解

例 1 如图所示，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC BC ⊥，

且AC BC ==O ，M 分别为AB ，VA 的中点. （1）求证：//VB 平面MOC . （2）求证：平面MOC ⊥平面 VAB . （3）求三棱锥V ABC -的体积.

【答案】 见解析

【解析】（1）依题意，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，则OM 是VAB △的中位线， 所以//OM VB ，OM ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ，故//VB 平面MOC . （2）因为在ABC △中，AC BC =，且O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥， 又平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB I 平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB ，又OC ⊂平面MOC ，故平面MOC ⊥平面VAB . （3）由（2）知，OC ⊥平面VAB ，

所以2112133V ABC C VAB VAB V V S OC --==

⋅=⨯=△ 【易错点】定理证明所用知识点不清楚

【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.

例2 如图所示，在三棱锥–P ABC 中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （1）求证：PA BD ⊥；

（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

（3）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥–E BCD 的体积． 【答案】 见解析

【解析】（1）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥ ，AB BC B =I ，所以PA ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.

（2）因为AB BC ⊥，AB BC =，D 为线段AC 的中点，所以在等腰Rt ABC △中，BD AC ⊥.又

由（1）可知，PA BD PA AC A ⊥=I ，，所以BD ⊥平面PAC .由E 为线段PC 上一点，则DE ⊂平面PAC ，

O

M

C B

A

V

P

A

B

C

D

E

4

所以.BD ED ⊥又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC .

（3）当//PA 平面BDE 时，PA ⊂平面PAC ,且平面PAC I 平面BDE DE =,可得//PA DE .由D 是AC 边的中点知，E 为PC 边的中点.故而

1

12

ED PA ==，ED PA ∥

，因为PA ⊥平面ABC ，所以ED ⊥平面BDC .

由2AB BC ==，AB BC ⊥，D 为AC 边中点知，.2=

=CD BD 又AC BD ⊥，有BD DC ⊥，即

.90︒=∠BDC 因此，1111

2213323

E BCD BCD V S ED -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△.

【易错点】注意体积几何证明题条件的严谨性

【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.掌握线面平行的性质定理的应用及其体积的求解方法. 题型三 几何体的外接球问题

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A ．π16

B ．π20

C ．π24

D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 【答案】C ；

【解析】（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；

（2）933342=++=R ，ππ942

==R S 【易错点】 外接球球心位置不好找

【思维点拨】 应用补形法找外接球球心的位置 题型四 立体几何的计算

例1 如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )

【答案】 B

9π