二次函数与三角形面积专题学习
专题三。(一)。二次函数三角形之面积问题(铅垂法)
专题三。
(一)。
二次函数三角形之面积问题(铅垂法)专题三（一）：二次函数三角形之面积问题（铅垂法）在处理坐标系中的面积问题时，我们应该充分利用横平竖直线段的长度和几何特征以及函数特征的互转。
处理面积问题的思路有公式法（对于规则图形）、割补法（通过分割求和和补形作差）和转化法（例如，同底等高）。
当三角形的三边都斜放在坐标系中时，我们通常使用铅垂法来表达其面积。
铅垂法的具体做法是，如果三角形是固定的，则可以从任意一点作铅垂；如果三角形是变化的，则可以从动点向另外两个点所在的定直线作铅垂。
利用铅垂法来表达三角形的面积，我们可以从动点向另外两个点所在的固定直线作铅垂。
将变化的竖直线段作为三角形的底，高即为两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式来表达面积。
例如，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B和C（其中B在C的左侧）。
已知A点坐标为（0，3），点P是抛物线上的一个动点，且位于A和C两点之间。
当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积。
例如2，一次函数y=1/x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线y=-x^2+bx+c过A、B两点。
Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值。
通过以上例题，我们可以看出铅垂法求面积的应用范围和具体做法。
在考试中，我们可以根据题目要求灵活运用铅垂法来解决问题。
上一动点在第三象限，记为S。
若存在点M使得S△ACM=1/2S△ABC，则求此时点M的坐标。
改写：假设动点S位于第三象限，现在需要找到一个点M，使得S与三角形ACM的面积是S与三角形ABC面积的一半。
求点M的坐标。
已知直线y=1/2x+3与点B(6,3)，直线x=22/3与y轴交于点C。
直线Mx+x-2与x轴交于点A。
求点M的坐标。
改写：已知直线y=1/2x+3与点B(6,3)，直线x=22/3与y轴交于点C。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
二次函数与三角形的面积问题
二次函数与三角形的面积问题二次函数与三角形的面积问题教学目标：1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。
2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。
教学重点和难点：1.运用公式S=水平宽×铅垂高/2；2.运用二次函数解析式；3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。
教学过程：类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求：1）抛物线解析式；2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路：求出函数解析式y=ax²+bx+c；写出下列点的坐标：A(x1.0)；B(x2.0)；C(0.c)；求出下列线段的长：AO=BO=|c|；AB=|x1-x2|；OC=|c|。
求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。
变式训练1.如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于两点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，与y轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、B两点间的距离为4，且△ABC的面积为6.1）求点A和B的坐标；2）求此抛物线的解析式；3）求四边形ACPB的面积。
类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。
（歪歪三角形拦腰来一刀）关于S=水平宽×铅垂高/2的知识点：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。
二次函数与三角形面积专题
图像特征
二次函数的图像呈现开口向上或开口向下的 抛物线形状，具有顶点、对称轴等特征。
计算三角形面积的公式
通过底和高计算三角形面积
三角形面积 = 0.5 * 底 * 高
通过两边和夹角计算三角形面积
三角形面积 = 0.5 * 边1 * 边2 * sin(夹角)
二次函数与三角形面积的关系
1 如何利用二次函数计算三角形的面积
2
1. 将二次函数进行因式分解或平方完 成，找到抛物线的开口方向和顶点坐
标。
1. 根据题目给出的三角形面积公式和 已知条件，构建相应的方程。
2. 根据题目中给出的具体条件（如底 和高），计算三角形的面积。
2. 解方程，得到相关的二次函数的特
征参数。
3. 根据特征参数，画出相应的二次函 数图像。
总结
通过将二次函数转化为抛物线图像，确定顶点坐标，然后使用底和高计算三角形的面积。
2 通过实例理解二次函数与三角形面积的关系
通过具体的数学问题，我们将展示如何运用二次函数的知识来解决与三角形面积相关的有二次函数的三角形面
积问题的步骤
解析给定三角形面积求解相关 二次函数问题的步骤
二次函数与三角形面积专 题
在本专题中，我们将深入探讨二次函数与三角形面积的关系，了解二次函数 的定义和图像特征，以及计算三角形面积的公式。通过实例和例题解析，我 们将展示如何利用二次函数来计算三角形的面积。
二次函数的基本概念
定义
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数， 其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
重点内容回顾
二次函数的基本概念和图像特征，计算三角形面积的公式，以及二次函数与三角形面积的关 系。
二次函数图象与三角形面积求解
定义和图象
定义二次函数和讨论它的图象
顶点
详细讨论函数图象的顶点
对称轴
如何从函数图象中读取对称轴信 息
开口方向
如何从函数表达式中判断函数图 象的开口方向
三角形面积的计算公式和基本知识
在这一部分，我们将介绍三角形的基本知识，包括它的面积公式。我们将解释如何从三角形的边长和高度计算 面积，并通过实例加深理解。
1
原理和方法
详细讨论如何利用二次函数求解三角形
示例一：已知三角形顶点坐标
2
的面积
提供一个实例，介绍如何从三ห้องสมุดไป่ตู้形的坐
标和二次函数求解三角形面积
3
示例二：已知二次函数表达式
提供一个实例，介绍如何从二次函数表 达式和面积公式求解三角形的坐标
应用二次函数和三角形面积求解实际问题
现在我们将介绍如何将前面的知识应用到实际问题中。我们将提供多个实例和思考题，并讨论如何将这些概念 应用到更复杂的问题中。
在这个部分，我们将回顾这个演示文稿的要点，并提供更多拓展的应用和思考题。我们希望这个演示文稿可以 帮助您加深对二次函数和三角形面积的理解，并将这些概念应用到更广泛的领域和问题中。
1 回顾重点
回顾本文所讲述的重点内 容
2 拓展应用
提供更多应用实例和思考 题
3 总结
总结本文的主要内容和贡 献，并展望未来的发展
二次函数图象与三角形面 积求解
在这个演示文稿中，我们将讨论二次函数的定义、图像特征和三角形面积的 计算公式和基本知识，以及如何利用二次函数求解三角形的面积。我们还将 提供多个实例以及思考题，以巩固和拓展这些概念。
二次函数定义和图象特点
我们将开始介绍二次函数的定义和它的图象特点。我们将讨论它的顶点、对称轴和开口方向，以及如何从函 数图象中读取这些信息。我们将提供多个实例以及思考题，以加深理解。
二次函数与三角形最大面积的3种求法.
二次函数中三角形最大面积的3种求法《二次函数中三角形最大面积的3种求法》二次函数里求三角形最大面积，那可真是个有趣又有点小挑战的事儿呢。
先来说第一种求法，那就是利用坐标法。
咱知道二次函数图像上有好多点的坐标可以求出来。
对于三角形来说，假如它的三个顶点都在二次函数图像上或者和二次函数图像相关。
我们可以把三角形的三个顶点坐标求出来，然后根据三角形面积公式。
比如说有个三角形，顶点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，那它的面积S就可以用行列式的形式来表示，不过行列式对于一些小伙伴可能有点难理解，简单来说就是用坐标的差值经过一定的计算得到面积。
这就像是在坐标的世界里搭积木，把三角形的面积给拼凑出来。
在二次函数里，那些坐标往往和二次函数的表达式有关系，通过函数关系找到合适的坐标，再算出面积。
再说说第二种求法，割补法。
这就像是把一块不规则的布料剪成几块规则的再缝补起来一样有趣。
在二次函数图像中的三角形，我们可以把它通过作辅助线的方式，分割成几个我们熟悉的图形，像直角三角形啊，矩形啊这些。
比如说一个三角形在二次函数图像里，我们过某个顶点作平行于坐标轴的直线，把三角形分成几个部分。
或者把这个三角形补成一个大的图形，像大的矩形或者梯形，然后用大图形的面积减去周围多余的小图形的面积，就得到三角形的面积了。
这样在求最大面积的时候，就通过分析这些分割或者补全后的图形与二次函数的关系来找到最大值。
还有第三种求法，铅垂高法。
这个名字听起来是不是有点酷？在二次函数图像里，对于三角形，我们找到一条水平的边，然后从相对的顶点向这条边作垂线，这条垂线的长度就是铅垂高。
而水平边的长度是可以通过坐标计算出来的。
三角形的面积就等于水平边长乘以铅垂高再除以2。
在二次函数里，铅垂高和水平边的长度往往是随着函数的自变量变化而变化的，我们通过二次函数的性质，去分析什么时候这个面积能达到最大。
我觉得这三种求法都很妙呢。
坐标法从最基本的点坐标出发，严谨地算出面积；割补法充满了灵活性，像在玩拼图游戏；铅垂高法又有着独特的视角，从特殊的垂线段和底边的关系入手。
二次函数中的三角形面积问题教案
二次函数中的三角形面积问题教案《二次函数中的三角形面积问题教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容二次函数中的三角形面积问题教案球溪高级中学郭燕教学目标知识与技能1.复习巩固二次函数的性质;2.通过观察分析，能够概括总结出二次函数中三角形面积问题的基本类型;3.能够用直接法和割补法求二次函数中的三角形面积;过程与方法在求面积的过程中，体会数形结合和转化思想在二次函数三角形面积问题中的应用。
情感态度与价值观5.进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心6.在转化，建模的过程中，体验解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探索精神。
二、教学重难点重点：直接法和割补法(铅垂法)求二次函数中的三角形面积问题;难点：二次函数中三角形面积的最值问题。
三、教学过程【复习旧知】1.已知二次函数，请用五点法在方格纸上画出草图，并结合图像尽可能多地写出你认为正确的结论。
师生活动：学生作图，思考，发言;教师总结二次函数的性质可从开口方向，顶点，与坐标轴的交点，对称轴，最值，增减性，对称性等方面研究。
设计意图：复习巩固五点法作二次函数草图，同时简单回顾二次函数的性质。
【问题探究】若二次函数与x轴交于A，B两点(B在A的左边)，与y轴交于点C，顶点为点D。
【问题1】：任意连接ABCDO五点中的三个点，能组成哪些三角形?师生活动：学生思考后举手口答。
设计意图：引入今天的复习课内容——二次函数中的三角形面积问题。
【追问1】：在这四个三角形中，哪些三角形的面积比较好求，请写下来。
【追问2】：这些三角形面积为什么相对容易求解?——有一边在坐标轴上。
师生活动：学生思考求解，并积极发言，同时观察分析，总结规律。
设计意图：会利用公式直接计算至少有一边在坐标轴上的三角形面积。
【追问3】：若二次函数与y轴的交点关于对称轴的对称点为点E，你能求出和的面积吗?【追问4】：这两个三角形面积为什么也相对容易求解?——有一边平行于坐标轴。
专题复习教案 二次函数中的面积问题
教学目标1.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长,利用割补法求图形的面积,会将非轴边图形转化为轴边图形.2.通过解决二次函数背景下的三角形面积问题,体会数形结合思想和转化思想的应用.3.通过解决已知三角形的面积关系得出相关线段的长,从而求出点的坐标的问题,体会分类讨论思想和数形结合思想的应用.教学重点解决二次函数背景下的三角形面积问题，体会分类讨论思想、转化思想的运用.教学难点由已知面积问题,转化为点线距问题,通过作平行线,得出等面积,体会平行条件下的等积变形.问题情境师生活动设计意图活动一活动一.已知抛物线223y x x=+-与x轴交于A、B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P.(1)写出下列点的坐标:A____,B___,C____,P____.(2)求出下列线段的长:AO=____,CO=___,AB=___.(3)写出下列三角形的面积S△AOC=____,S△PAB=____,S△COP=____.师:本节课我们进行一个专题学习：二次函数中的面积问题－－－－－三角形面积.教师板书课题.学生独立完成第(1)(2)(3)小题,并口答.教师板书知识框图.师生得出第(3)小题中的三角形的共同特征, 总结求轴边三角形面积的方法.第（4）小题学生独立进行求解，教师巡视，了解学生采用的不同方法，然后让学生讲解思路.师生共同总结:利用割补法,将非轴边图形转化为轴通过活动一的学习,学生掌握已知二次函数的解析式,求出相关点的坐标,得出线段的长,研究三角形的面积的问题,总结利用割补法将非轴边图形转化为轴边图形求解.课题二次函数中的面积问题－－－－三角形面积(4)求出△APC的面积.（请尝试用不同的方法求解）边图形求面积.并观察特征，发现它是直角三角形，可直接求解.体会通法与特法.活动二活动二.已知抛物线的顶点P的坐标为（1，4），交y轴于点C（0,3）．(1)求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标（Ａ点在Ｂ点的左侧）.(2)抛物线上是否存在一点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积,如果存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)抛物线上是否存在一点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积，如果存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.学生独立完成第(1)小题,并回答.学生独立思考第(2)小题,然后由学生来讲解解题思路.教师关注由线段的长转化为点的坐标时,是否进行了分类讨论.利用平行线间的距离处处相等,体会平行条件下的等积变形,得出“过已知点作已知线段的平行线”的方法，并根据位置进行分类讨论，得出另一条平行线,突破本题的难点.学生先独立思考第（3）小题,教师了解情况,及时进行引导,仍然运用“平行线间距离处处相等”的性质，得出过已知点作已知线段的平行线的方法，然后根据图形位置，进行分类讨论.活动二已知三角形的面积关系，得出线段的长,利用平行线间的距离处处相等，得出作平行线的方法,体会平行条件下的等面积问题.运用分类讨论思想，求出符合条件的所有点的坐标.活动三小结:由学生总结本节课的收获.学生结合框图和例题进行总结,教师强调:由线段的长到点的坐标需进行分类讨论,体会数形结合思想、转总结本节课的内容化思想、分类讨论思想的应用.板书设计：二次函数中的面积问题－－－－－三角形的面积例2．（2）解： （3）点的坐 标 分类 讨论非轴边图形线段的长 图形 面积轴边图形转 化割 补 二次函数解析式 （及其它函数点线距点 点距绝对值。
二次函数与三角形面积最大值专题(4)(可编辑修改word版)
YAXByA O xCM B 二次函数与三角形最大面积1、在坐标系中求三角形的面积有3 种方法：（1）割法：（和、差）的相互转化三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，然后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。
1公式法：⨯铅垂高*水平宽2（2）补法：用大图形的面积–其他图形的面积（大三角形的面积–小三角形的积）1、直线AB 经过x 轴上的一点A（2,0），且与抛物线y=ax2 相交于B，C 两点，已知点B 坐标为（1，1）（1）求直线和抛物线的解析式；（2）如果D 为抛物线上的一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求点D 坐标．2、如图：如图，直线y =-1x 与抛物线y =-1x 2+ 6 交于A、B 两点，2 4（1）求A、B 两点的坐标。
（2）点Q 在X 轴上方的抛物线上，当Q 点的坐标为多少时，△ABQ 的面积最大？最大面积有为多少？3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0)、B(0，-4)、C(2,0)三点，（1）求抛物线的解析式，（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m, △AMB 的面积为S,求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值。
（3）若点P 为抛物线上的动点，点Q 是直线y= - x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标54、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x 相交于点A，B（点B 在点A 的侧），平行于y 轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x 交于点N，交x 轴于点P，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由5、已知：抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C．其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA、OC 的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A、B 不重合），过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，连接CD，设BD 的长为m，△CDE 的面积为S，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．36．（2011•济宁）如图，第一象限内半径为 2 的⊙C 与 y 轴相切于点 A ，作直径 AD ，过点 D 作⊙C 的切线 l 交 x 轴于点 B ，P 为直线 l 上一动点，已知直线 PA 的解析式为：y=kx+3．（1） 设点 P 的纵坐标为 p ，写出 p 随 k 变化的函数关系式．（2） 设⊙C 与 PA 交于点 M ，与 AB 交于点 N ，则不论动点 P 处于直线 l 上（除点 B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ．请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；32（3） 是否存在使△AMN 的面积等于 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在，请说明理由．25练习巩固：3．（2011•南充）抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点为 A （m-4，0）和 B （m ，0），与直线 y= -x+p 相交于点 A 和点 C （2m-4，m-6）．（1） 求抛物线的解析式；（2） 若点 P 在抛物线上，且以点 P 和 A ，C 以及另一点 Q 为顶点的平行四边形面积为 12，求点 P ，Q 的坐标；（3） 在（2）条件下，若点 M 是 x 轴下方抛物线上的动点，当△PQM 的面积最大时，请求出△PQM 的最大面积及点 M 的坐标．2.如图,在平面直角坐标系中，直线 AB 与 X 轴交于点 A(-2,0)，与反比例函数在第一象限内的图像交于点 B(2，n)，连接 BO,若 S △A O B =2 ，(1)求改反比例函数和直线 A B 的解析式。
二次函数中有关三角形面积的求解课件
D
实例二：直角三角形面积的求解
总结词
利用直角三角形性质，结合二次函数图像，求出三角形面 积。
详细描述
直角三角形的一边为x轴，另一边与二次函数图像交点构 成高，通过求出交点坐标和底边的长度，可以计算出三角 形的面积。
公式
$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$
总结词
通过已知条件确定底和高
详细描述
在二次函数和三角形中，底和高通常是通过已知条件确定的。例如，如果知道三角形的两个顶点坐标 ，可以通过两点间的距离公式计算底和高的长度。
问题二：如何确定三角形的底和高？
总结词
通过作图确定底和高
详细描述
在二次函数的图像上，可以通过作图的方式确定三角形的底 和高。例如，可以作一条与$x$轴平行的线段，与二次函数的 图像交于两点，这两点间的距离即为三角形的底，线段的高 度即为三角形的高。
问题三：如何利用二次函数求三角形的面积？
总结词
利用公式计算面积
详细描述
三角形的面积可以通过公式 $frac{1}{2} times text{底} times text{高}$计算得出。 如果已知三角形的底和高， 可以直接代入公式计算面积
。
总结词
通过图像观察面积
详细描述
在二次函数的图像上，可以 通过观察的方式确定三角形 的面积。例如，可以观察抛 物线与$x$轴围成的图形，其
详细描述
二次函数的顶点可以通过公式$-frac{b}{2a}$计算得出，其中$a$、 $b$、$c$分别为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的系数。
总结词
通过图像确定顶点
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线，顶点是抛物线的最低点或最高点。通 过观察图像，可以确定顶点的位置。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究引言：初中的数学课程中，二次函数和三角形两个部分是比较重要的内容，它们分别代表了代数和几何两个不同的数学概念。
本文将探讨如何结合二次函数和三角形，来解决关于三角形面积的问题。
通过研究二次函数和三角形面积的关系，可以帮助学生更好地理解这两个数学概念，并且能够更加灵活地运用它们来解决实际问题。
一、二次函数的基本概念我们来简要回顾一下二次函数的基本概念。
二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数且a≠0。
二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线，而抛物线的开口方向取决于 a 的正负性。
在平面直角坐标系中，二次函数的图象是一个平面图形，它的形状和特征受到 a、b、c 的值的影响。
接下来，我们将通过具体的例子来说明如何运用二次函数的概念来解决三角形面积的问题。
二、三角形的面积公式三角形的面积计算有一个基本的公式，即 S=1/2bh，其中 S 代表三角形的面积，b代表底边的长度，h 代表高的长度。
这是初中阶段比较基础的几何知识，学生在学习三角形的时候就已经掌握了这个公式。
我们将通过二次函数来探讨三角形面积的问题，为了更好地理解二者之间的关系。
接下来，我们将介绍一个具体的应用例子，来说明如何结合二次函数和三角形面积的问题。
三、具体例子分析假设有一个三角形 ABC，其中 AB=3，BC=4，AC=5。
现在要求这个三角形的面积。
我们可以使用海伦公式来计算这个三角形的面积，海伦公式是一个关于三角形三边长的公式，可以通过三角形的三条边长来计算三角形的面积。
在这个具体的例子中，我们可以利用二次函数的概念来求解。
我们可以将三角形的一条边作为二次函数的自变量 x，另一条边作为二次函数的函数值 y。
我们可以将 AB=3 作为 x，而 BC=4 作为 y。
然后，我们可以确定二次函数的表达式，因为三角形的形状是已知的，所以我们可以通过已知的三个点坐标来确定二次函数的表达式。
初中二次函数三角形面积问题研究
初中二次函数三角形面积问题研究引言在初中数学学习中，我们学习过二次函数和三角形的面积计算。
我们是否想过将这两个知识点结合起来，在实际问题中进行研究和应用呢？本文将结合二次函数和三角形面积问题进行深入探讨，通过具体的数学计算和实际案例，探索二次函数在三角形面积问题中的应用和意义，希望能够给初中生带来启发和帮助。
一、二次函数的基本概念我们先来回顾一下二次函数的基本概念。
二次函数是指一个关于自变量的二次方程，一般的二次函数可以写成 f(x) = ax^2 + bx + c的形式，在数学中，一般认为a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，当a>0时，抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负向抛物线。
二次函数的图像对应了三种经典的情况，即抛物线与x轴相交成两个实根；抛物线与x轴相切成一个实根；抛物线与x轴无交点，没有实根。
二、三角形面积计算方法三角形是初中数学教学的重要内容之一，面积计算是三角形的基本技能。
三角形的面积计算有多种方法，最常用的是利用底和高的乘积再除以2，即S=1/2 * 底 * 高。
也可以通过三边长求解半周长再利用海伦公式进行计算。
对于直角三角形，我们还可以利用勾股定理进行计算。
这些方法都是计算三角形面积的有效手段，灵活运用可以更好地解决实际问题。
三、二次函数在三角形面积问题中的应用在实际问题中，我们可以通过二次函数来解决三角形面积问题。
给定一个顶点坐标为（0,0），三角形的另外两个顶点分别为（a, 0）和（b, f(b)），其中f(x)是一个已知的二次函数。
我们需要求解这个三角形的面积。
根据三角形面积计算方法，我们知道需要求解这个三角形的底和高，即底为|b-a|，高为f(b)。
三角形的面积可以表示为S=1/2 *|b-a| * f(b)。
接下来，我们以一个具体的案例来说明二次函数在三角形面积问题中的应用。
假设已知二次函数f(x)=2x^2+3x-2，在直角坐标系中，三角形的顶点A（0,0），B（1,0），C （3,f(3)）。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
二次函数之三角形面积最大值专题
432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 21ah S ABC 21=∆专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值一、知识点睛1.点P 是抛物线 上一动点。
若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为：2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。
则线段BC= ，AB=故：“竖直方向”上的线段长 = —“水平方向”上的线段长 = —3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时，二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式：S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 21=∆ 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆三、典例讲解例1.已知二次函数62343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。
点P 是第一象限抛物线上一动点。
连结BC ，BP 和CP 。
当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。
四、小试牛刀例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1（1）求此抛物线的解析式（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。
五、能力提升1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线34383y 2--=x x 与x 轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，与直线323y -=x 交于点C(0,-3)，直线323y -=x 与x 轴交于点D ，点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD 。
当△PCD 面积最大时，求点P 坐标.2. 如图，已知抛物线c bx ++-=2x y 过(1,4)与(4,-5)两点，且与一直线1x y +=相交于A,C 两点，(1)求该抛物线解析式.(2)求A,C 两点的坐标.(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.B C A O M N xy3.如图，抛物线经过A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B 、C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接MB 、MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N,使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标:若不存在，请说明理由.。
二次函数背景下三角形面积的求法
S△ PBC=____3___
(1,4)
可知直线BC的函数解析式为y=-x+3,
4
P
当x=1时，y=-1+3=2 则点M的坐标为（1，2），PM=4-2=2
(0,3) C 3
S S S △PBC= △PCM+ △PBM
h1
y=－x2+2x+3
1 2
PM
•
h1
1 2
PM
•
h2
1 2
PM
• h1
h2
(-1,0)
y D
C
2
M
1
A O
B
2
A(1,0) 0
M
B
x
P
什么是三角形的铅垂高。
铅垂高（歪歪三角形拦腰来一刀）
水平宽 铅垂高 A
s
h
2
BDB来自水平宽a图1
铅垂高 C
C
例题2：已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,PB为两抛点物，线的顶点.求ΔPＢＣ的面积。
（提示：做三角形的铅锤高，计算铅锤高的长度。）y
教学目标
二次函数背景下三角形面积的求法
课前热身
如图，抛物线 y=-x2 +2x+3 与x轴交
于点A和点B ，与ｙ轴交于点Ｃ,顶点 4 P
坐标是P.
则点A坐标为 (-1,0)
C3
点B坐标为 (3,0)
点Ｃ坐标为 (0,3)
2
顶点P坐标为 (1,4)
1
对称轴为＿＿直＿线＿x=＿1 ＿＿
A
直线BC的函数解析式为 y=-x+3 O
轴交于C点。
y
（1）求 Δ A B C的面积。 （2） 求Δ C B E的面积。 （3）求Δ O C B的面积。
九年级数学上册28.3二次函数中的三角形面积问题说课稿
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：以实际问题为背景，引发学生对二次函数与三角形面积问题的思考；
2.分组讨论：组织学生进行合作交流，让学生在讨论中相互启发，共同解决问题；
3.激励评价：对
3.合理安排课堂时间，关注学生的学习进度，对学习困难的学生给予个别辅导。
课后评估教学效果：
1.课后收集学生的作业和数学日记，分析他们的学习效果和困惑；
2.与学生进行交流，了解他们对课堂知识的掌握程度；
3.反思自己的教学过程，针对学生的反馈，调整教学策略。
具体反思和改进措施：
1.针对学生对知识点的掌握情况，调整教学内容和难度，确保学生能扎实掌握基础知识；
2.提高题：布置一些富有挑战性的题目，培养学生的解题能力和创新思维。
3.实践题：布置与实际生活相关的二次函数与三角形面积问题，让学生将所学知识应用于生活实践。
作业的目的在于：巩固所学知识，提高学生的应用能力；培养学生的独立思考和解决问题的能力；增强学生对数学学科的兴趣和信心。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
2.问题驱动的教学：以实际问题为载体，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用和问题解决能力。
3.合作学习：组织学生进行分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时通过互相启发，提高学生的思维品质。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：三角板、直尺、计算器等，用于直观演示和操作，帮助学生理解二次函数图像与三角形面积的关系。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划采取以下措施：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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《专题学习二次函数与三角形面积》教学设计
一、教学内容分析
1. 内容
二次函数与三角形面积的专题学习
2. 内容解析
二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升. 抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题, 往往是二次函数的综合性问题. 这类问题知识面覆盖广, 难度较大，也常出现在中考压轴题中. 解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换. 本节课引入“三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，以此来解决抛物线上一动点与两定点所构成三角形面积的最值问题.
二、教学对象分析
在九年级上学期学生已经学习了二次函数的相关知识，并能利用建模思想解决面积最值等问题，都为本节课的学习打下了基础.
学生对于求解平面直角坐标系中的三角形面积问题并不陌生，可以采用割补法解决. 在二次函数背景下的求解问题，也可以通过点的坐标来确定线段长进而
求解，对知识进行了迁移. 但对于抛物线上一动点求解三角形面积最大值的问题，
存在一定的难度，考察内容较多。
因此，在教学过程中要把握好梯度，循序渐进，加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题，发展学生的创新思维。
三、教学目标及教学重难点
1. 教学目标
【知识与技能】
根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积.
【过程与方法】
通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并
掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次
函数中的应用.
【情感态度与价值观】
由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动. 加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生
不断反思的习惯.
2. 教学重点
选择合适方法求图形面积.
3. 教学难点
如何割补、转化图形求面积及利用“铅垂高法”解决面积最值问题.
四、教学环境
多媒体教室结合使用电子白板.
五、教学方法、过程及整合点
步骤目标与内容教学方法整合点与软件
类型一三角形的某一边提问法幻灯片在坐标轴上.
教师引导学生回电子白板问题1：已知：抛物线的
忆求二次函数解析式
顶点为D（1，-4 ），并经过
和与坐标轴交点坐标
点E（4，5），的方法. 由学生独立
完成，对二次函数的
相关知识进行复习.
活动一
求: （1）抛物线解析式;
（2）抛物线与x 轴的交点
A、B ( A 在B 左侧) , 与y 轴
交点C 的坐标;
引导发现法利用幻灯（3）求下列图形的面积
教师以第一个三片中的动画功△ABD、△ABC、△ABE、△
角形为例，引导学生能作出辅助OCD、△OCE;
找到底边，并把坐标
线，更加直观.
追问1：在求解△ABD 的
转化为相应的线段的
面积时，我们可以把哪条边作长，进而求出三角形
为三角形的底，这条边上的高
面积.
是哪条？
追问2：如何把点的坐标
转化为线段的长度.
活动一学生独立完成其余四个
三角形面积的求解过程.
提问法
追问3:
让学生根据经
思考：这几个图形求面积验，思考问题，锻炼
有何共同点？学生发现规律，归纳
总结的能力.
追问4：如果现在AB 边
演示法利用几何不在x轴上，将它进行平移，
利用几何画板演画板的拖拽功平行于x 轴，此时△ABD 的面能，将AB 边
示平移过程，学生观
积怎么求？察得到解决问题的方平移让学生观
法.
察此时求解三
角形面积的方追问5：根据上面的问题，法.
小组合作交流
我们可以归纳出这类三角形归纳出此类三角
求解面积的方法吗？
形面积的求解方法.
类型二三角形的三边都提问法利用幻灯不在坐标轴上学生独立完成此片动画直观显活动二题，强化上面一题的示补形辅助问题2：(4) △ADE 的面积如
何求呢？经验，同时锻炼了学
线.
生知识的迁移能力.
小组交流解题经
验.
学生归纳总结出
追问1:
解决此类问题的方
思考：三边都不在坐标
法，可做坐标轴的平
轴上的三角形，利用补形方法
行线进行补形.
求面积时，如何添加辅助线？
学生回答可以沿放映微课追问2: 除了补形，我们
x 轴进行切割，将
第一部分，学活动二还可以利用切割的方法来解
△ADE的面积转化为
生自主学习决，如何切割呢？
两个小三角形的面积“铅垂高”法
来求解.
求三角形面
积，并进行证
自主学习法
明.
追问3: 大家想一想，还
学生观看微课视微课第二能怎么切割这个三角形呢？
频，完成学习任务单部分利用幻灯
中相应的问题.
片动画功能展
拓宽学生思维，
示解题方法.
提升学生解决问题的
能力.
问题3：（5）在直线AE
下方的抛物线上有一点F，使
得△AEF 面积最大, 求点F 的
自主学习法微课第三
学生观看微课视部分利用电子
频，完成学习任务单白板展示由静坐标. 中相应的问题.
到动的过程，活动三
对所学知识进行体会中间的变
迁移，提升学生综合量和不变量，。