二次函数动点问题典型例题
二次函数的动点问题(含答案)
72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO 二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．A5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx y练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.（辽宁省十二市第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．图10练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．B CPO D QA BPCO DQ A y321 O1 2 x例2.已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，图2 OC A Bxy DPE F 图1 FE PD y xBA C OxN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10图12yxP QBCNMOA若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．yC()A(40)D ，(12)B ，O x图1yC()A(0)D e ，()B c d ，O x图2yC()A a b ， ()D e b ，()B c d ，Ox图3yC()A a b ，()D e f ，()B c d ，Ox图472x =B(0,4)A(6,0)EFxyO答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．5-4- 3- 2- 1- 12 3 4 554321 A EBC '1- O 2l1lxy5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二次函数动点问题典型例题
二次函数动点问题典型例题等腰三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1,且经过点A (2, 1), 点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m (0<m<2),过点P作PB±x轴，垂足为B, PB 交OA于点C,点O关于直线PB的对称点为D,连接CD, AD,过点A作AE±x轴，垂足为E.(1)求抛物线的解析式；(2)填空：①用含m的式子表示点C, D的坐标：C (, ),D (, )；②当m=一时，^ACD的周长最小；(3)若4ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.面积最大1.如图，抛物线丫=-3x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点口，已知A (- 1, 0), C (0, 2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.2 .已知：如图，直线y=3x+3与x 轴交于C 点，与y 轴交于A 点，B 点在x 轴上，△OAB 是 等腰直角三角形.（1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）若直线CDMB 交抛物线于D 点，求D 点的坐标;（3）若P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么0PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标和^PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.3 . （2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置， 将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A'B'OC'.抛物线y= - x 2+2x+3经过点A 、C 、A'三点.求平行四边形ABOC 和平行四边形A‘B‘OC'重叠部分400口的面积;(1) 求A 、A’、C 三点的坐标;(2) (3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，^AMA’的面积最大？最大最短路径1.(2014绵阳)3口图，抛物线y=ax2+bx+c (a/0)的图象过点M (-2, \月)，顶点坐标为N (-1, W),且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在直线AC上是否存在一点Q,使4QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.2.(2014•泸州)如图，已知一次函数y1=1x+b的图象l与二次函数y2=-x2+mx+b的图象C' 都经过点B (0, 1)和点C,且图象C’过点A (2-.：亏0).(1)求二次函数的最大值；(2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程(1+■上)篁上邑=0的根，求a的值；_(3)若点F、G在图象C'上，长度为巧的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y 面积是多少？并写出此时M的坐标.轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P,使PD+PE最小，求出点P的坐标.平行四边形1.(2015•贵州省贵阳，第24题9分)如图，经过点C (0, -4)的抛物线y=ax2+bx+c (aN0) 与x轴相交于A (-2, 0), B两点.(1) a > 0, b2-4ac > 0 (填“>”或“<”)；(2)若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC, E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A, C, E, F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，2.(14分)(2015•葫芦岛)(第26题)如图，直线y=-^ x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+^x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当^BEC面积最大时，请求出点E的坐标和4BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.管用图3.(2015•辽宁抚顺)(第26题，14分))已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为(-6, 0), B点坐标为(4, 0),点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，将4BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；(3)如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.图①图②4.(2015•梧州，第26题12分)如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B (4, 0)、C (- 2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE±x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。
二次函数动点问题
5.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线L向 正方形移动，直到AB与CD重合。设xs时，三角形与正 方形重叠部分的面积为ym² 。 （1）写出y与x的函数关系式； （2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时， 三角形移动了多长时间？
动面问题
6.如图（1）等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿矩形 DEFG的GF边向右移动，直到BC与GF重合。已知 BC=GF=12m,EF=6m,设xs时，三角形与矩形重叠部分的 面积为ym² (1)参考图②，图③写出y与x之间的关系式； （2）当x1=2.5，x2=5时，y分别是多少？ 7 （3)当重叠部分的面积为矩形面积的 时，三角形 18 移动了多长时间？
图（1）
图（2）
图（3）
P
B
Q
C
3.在梯形ABCD，AD∥BC,AB=BC=10cm,CD=6cm ∠c=90°，点P从A点出发沿线段AB以每秒Icm/s的速 度向终B点运动；动点Q同时从B点出发沿线段BC以每 秒2cm/s的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒 (0<t<5)． （1）求AD的长． （2）t为何值时,△PBQ为直角三角形． （3）设△PBQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式 （4）是否存在某一时刻t，使△PБайду номын сангаасQ面积等于梯形形 ABCD面积的2/5？若存在， 求出此时的t值；若不存在， 说明理由；
A
P BP=12-2t，BQ=4t △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t B 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36
Q
C
2.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s）， （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t 的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积 是△ABC面积的三分之二？若存在求出t的值，若 不存在说明理由 A
二次函数动点专项练习30题(有答案)
二次函数动点专项练习30题（有答案）1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D 分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A 在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ 的长为l，点P的横坐标为x．（1）求二次函数的解析式；（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y=﹣x 2+3x的图象与BC交于D、E两点．（1）求DE的长_________；（2）M是BC上的动点，若OM⊥AM，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2）点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．9．如图，抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）的图象经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）直接写出点C的坐标；（2）试求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；（3）连接AC，点E为线段AC上的动点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F．当△OEF 的面积取得最小值时，请求出点E的坐标．10．抛物线y=a（x+6）2﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？12．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）、（0，3）（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；（3）若过点A（﹣1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．14．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．15．如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．①当t为何值时，线段MN最长；②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．16．如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是，求P点的坐标；（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．18．（2011?宝安区三模）如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，4），AB的垂直平分线交AB于C，交x 轴于D，（1）求点C、D的坐标；（2）求过点B、C、D的抛物线的解析式；（3）点P为CD间的抛物线上一点，求当点P在何处时，以P，C，D，B为顶点的四边形的面积最大？19．（2010?菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为A（3，﹣3），与x轴的一个交点为B（1，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C 为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax2﹣2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC﹣PD|的值最大时点P的坐标；（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．29．阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数动点30题参考答案：1．解：（1）当y=0时，有，解得：x1=4，x2=﹣1，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．（2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点，∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m）∵E点在二次函数的图象上，∴，解得或（不合题意，舍去）．（3）存在．①如图1，当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△CFG，∴CG=AO=4，∵CO=2，∴m=OG=2+4=6；反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，易得y C﹣y F′=CG=4，∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．②如图2，当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP=AO=4，∴m=FP=4；反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，易得y A﹣y F′=FP=4，∴m=0﹣4=﹣4．③如图3，当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA，∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF，∴CD=AE，DF=EF，∴四边形OEFD为正方形，∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，∴4=2+2?CD，∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A，∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，∴△HF′C≌△GF′A，∴HF′=GF′，CH=AG，∴四边形OHF′G为正方形，∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，∴OH=1，∴m=﹣1．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴y的最大值为．∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜．∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3 2．（1）∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴根据题意，得，解得，所以抛物线的解析式为：；（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得∴，解得：m=3或m=﹣2，∵C（m，m﹣1）位于第一象限，∴，∴m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C坐标为（3，2），过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5∵，∠AHC=∠BHC=90°∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH，∵∠CBH+∠BCH=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴?DECF是矩形；②存在；连接CD∵四边形DECF是矩形，∴EF=CD，当CD⊥AB时，CD的值最小，∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2；3. （1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）4.解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，y BC=﹣x+2．由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n∴n=﹣，y AD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；∴D（5，﹣3）．∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°5．解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），∴x=0，y=2满足y=a（x﹣2）2，于是求得a=，二次函数的解析式为y=（x﹣2）2；（2）∵PQ⊥x轴且横坐标为x，∴l=（x+2）﹣（x﹣2）2=﹣x2+3x，由得点B的坐标为B（6，8），∵点p在线段AB上运动，∴0＜x＜6．∵，∴当x=3时，．∴0＜l＜；（3）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，则四边形PQMD为平行四边形．∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．∴．∴x2﹣6x+8=0，∴x1=2，x2=4．∵2＜x＜6，∴x=4．∴P（4，6），Q（4，2）．即P点的坐标为：（4，6）6．：（1）∵点B（5，m）在直线y=﹣2x+7上，∴m=﹣5×2+7=﹣3，∴B（5，﹣3），∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为（4，0）设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），将点B（5，﹣3）代入上式，得﹣3=a（5﹣0）（5﹣4），∴a=﹣，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+x．（2）∵点A（4，0），B（5，﹣3），C（2，0），∴AC=4﹣2=2，BC==3，当点D在直线x=2的右侧时，当△DCB∽△ECB，∴=，即=，解得：CD=9，∴点D的坐标为：（11，0），当点D在直线x=2的左侧时，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，且∠ACB＜∠DCB，∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，即此时不存在点使三角形相似；综上所述，存在点D的坐标是（11，0），使三角形相似；（3）存在符合条件的点P使PB=PC，∵C（2，0），B（5，﹣3），∴∠ACB=45°，BC垂直平分线的解析式为：y=x﹣5，∴，∴解得：，，∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．7．解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：﹣x2+3x=2，解得：x1=1、x2=2∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．（2）如右图；矩形OABC中，∠OMA=90°，∴∠CMO=∠MAB=90°﹣∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，∴△OCM∽△MBA，有：=设点M（m，2），则：CM=m，BM=5﹣m∴=，解得m1=1，m2=4∴点M的坐标为（1，2）或（4，2）．（3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）；①当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意；②当DM为平行四边形的边时，OM∥OQ，且OM=OQ；∵D（1，2）、M（4，2）∴OQ=DM=3，即Q（﹣3，0）或（3，0）；经验证，点（﹣3，0）不在抛物线图象上；点（3，0）在抛物线图象上；综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）8. 解：（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x﹣1），代入C（0，﹣2），得：﹣2=a（0+4）（0﹣1），解得：a=故抛物线的解析式：y=（x+4）（x﹣1）=x2+x﹣2．（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；∵GH∥AC，∴==；易知：BA=OB+OA=5，则BH=AB=，∴OH=BH﹣OB=﹣1=，即H（﹣，0）．（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（﹣4，0）、C（0，﹣2），得：，解得故直线AC：y=﹣x﹣2；设M（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x﹣2），则：MN=（﹣x﹣2）﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+2）2+2因此当M运动到OA的中垂线上，即M（﹣2，﹣3）时，线段MN的长最大．9．（1）令x=0，可得y=3，故点C的坐标为（0，3）；（2）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：，解得：，故函数解析式为y=x2﹣x+3；（3）如图，∵点A（3，0），点B（4，1），∴直线AB的解析式为：y=x﹣3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA=3，OC=3，∴tan∠OAC===1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∵∠OEF=∠OAF=45°，∠OFE=∠OAE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴S△OEF=×OE×OF=OE2，当OE最小时，S△FEO最小，根据等腰直角三角形的性质，当OE⊥AC时，OE最小，此时点E为AC的中点，故点E的坐标为（，）．10.解：（1）易知抛物线的顶点D（﹣6，﹣3），则DE=3，OE=6；∵AE2=3DE=9，∴AE=3，即A（﹣3，0）；将A点坐标代入抛物线的解析式中，得：a（﹣3+6）2﹣3=0，即a=，即抛物线的解析式为：y=（x+6）2﹣3=x2+4x+9．（2）设点P（﹣6，t），易知C（0，9）；则PC的中点Q（﹣3，）；易知：PC=；若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：||=，解得t=1，故点P（﹣6，1），当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（﹣3，0），B（﹣9，0）．所以P（﹣6，0），故点P的坐标为（﹣6，1）或（﹣6，0），（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：①当NE=2DE时，NE=6，即N（﹣6，6），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；由于MN⊥DM，则k1?k2==﹣1，整理得：a2+b2+12a﹣3b+18=0…（△），由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，整理得：a2+12a﹣3b+27=0…（□）；（△）﹣（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），将b=3代入（□）得：a=﹣6+3，a=﹣6﹣3，故点M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）；②当2NE=DE时，NE=，即N（﹣6，），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；由题意得：k1?k2==﹣1，整理得：a2+b2+b+12a+=0，而a2+12a﹣3b+27=0；两式相减，得：2b2+9b+9=0，解得b=﹣2，b=﹣，（均不符合题意，舍去）；综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）．11．（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解得，∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+；（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C，可得=，即=，解得m1=，m2=﹣，∴P（，）或（，﹣）；（3）①由B（6，1），C（0，﹣2），得直线BC的解析式为y=x﹣2，∴D（4，0），当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，此时S=×4×2+×4×=，∵S△BOC=×2×6=6，∴当6≤S＜时，满足条件的点E有两个．②当4＜S＜6时，﹣x2+x﹣2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，故此时满足条件的点E只有一个．12. 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的解析式是y=a（x﹣1）2+k，∴解得：，∴y=﹣（x﹣1）2+4即y=﹣x2+2x+3（2）∵y=﹣x2+2x+3，当y=0时，∴x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）∴AB=4．设P（a，﹣a2+2a+3）∴S△ABP==﹣2（a﹣1）2+8，∴△ABP面积的最大值为8（3）设D的坐标为（1，b），∴=6，∴b=±6，∴D（1，6）或（1，﹣6），设AD的解析式为y=kx+b，得或解得：或∴直线AD的解析式为：y=3x+3或y=﹣3x﹣313. 解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3；（2）①令﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0），当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为y=x﹣3，∴设直线AP的解析式为y=x+n，∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=﹣1．∴直线AP的解析式为y=x﹣1解方程组，得，∴点P1（2，1）当点P在x轴下方时，如图1：设直线AP1交y轴于点E（0，﹣1），把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，得直线P2P3的解析式为y=x﹣5，解方程组，得，∴P2（，），P3（，），综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（，），②∵B（3，0），C（0，﹣3）∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为y=kx﹣3如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°﹣α，∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°﹣α，∴∠OQC=∠OBC﹣∠PCB=45°﹣（45°﹣α）=α，∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴，∴，∴OQ=9，∴Q（9，0）∵直线CP过点Q（9，0），∴9k﹣3=0∴∴直线CP的解析式为．其它方法略．114．解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得，解得，∴y=x+3，令x=0，∴E（0，3）；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，∴y=x2﹣x（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，联立，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，解得m=﹣，x=3，y=，即N（3，）；此时△BON面积=×6×6﹣（+6）×3﹣××3=；（4）过点A作AS⊥GQ于S，∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3，），∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，OG=3，NG=，NS=，AS=5，在Rt△SAN和Rt△NOG中，∴tan∠SAN=tan∠NOG=，∴∠SAN=∠NOG，∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，∴∠OAN=∠NOB，∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，∵A（﹣2，2），N（3，），∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，∴BO：OA=OP：AN=BP：ON又∵A（﹣2，2），N（3，），B（6，6），∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，∴OP=，BP=，设P点坐标为（4x，x），∴16x2+x2=（）2，解得x=，4x=15，∵P、P′关于直线y=x轴对称，∴P点坐标为（15，）或（，15）．15.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），C（5，0）∴解得．∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+．（2）①延长NM 交AC 于E ，∵B 为抛物线y=﹣x 2+x+的顶点，∴B （1，8）．（5分）∴BD=8，OD=1．∵C （5，0），∴CD=4．∵PM ⊥BD ，BD ⊥AC ，∴PM ∥AC ．∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD ．∴△BPM ∽△BDC ．∴=．根据题意可得BP=t ，∴=．∴PM=t ．∵MN ∥BD ，PM ∥AC ，∠BDC=90°，∴四边形PMED 为矩形．∴DE=PM=t ．∴OE=OD+DE=1+t ．∴E （1+t ，0）．∵点N 在抛物线上，横坐标为1+t ，∴点N 的纵坐标为﹣（1+t ）2+（1+t ）+．∴NE=﹣（1+t ）2+（1+t ）+=﹣t 2+8．∵PB=t ，PD=ME ，∴EM=8﹣t ．∴MN=NE ﹣EM=﹣t 2+8﹣（8﹣t ）=﹣（t ﹣4）2+2．当t=4时，MN 最大=2．②存在符合条件的t 值．连接OP ，如图（2）．若四边形OPMC 是等腰梯形，只需OD=EC ．∵OD=1，DE=PM=t ，∴EC=5﹣（t+1）．∴5﹣（t+1）=1．解得t=6．∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形16．（1）由题意，得：，解得：，∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4．（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由﹣x2﹣x+4=0，得x1=2，x2=﹣4，∴点B的坐标为（2，0），∴AB=6，BQ=2﹣m，∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴，即，∴EG=（2﹣m），∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ?CO﹣BQ?EG=（2﹣m）[4﹣（2﹣m）]=﹣（m+1）2+3又∵﹣4≤m≤2，∴当m=﹣1时，S△CQE有最大值3，此时Q（﹣1，0）．（3）存在．在△ODF中．（ⅰ）若DO=DF，∵A（﹣4，0），D（﹣2，0）∴AD=OD=DF=2，又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°，∴∠DFA=∠OAC=45°，∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为（﹣2，2）（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M由等腰三角形的性质得：OM=MD=1，∴AM=3，∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，∴F（﹣1，3）；（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC=4，∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点F的坐标为：F（﹣2，2）或（﹣1，3）．17.解：（1）∵抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．∴，解得：，∴y=﹣x2++4；（2）令y=0，可得x1=﹣1，x2=3，∴B点坐标为：（3，0），设P点坐标为（x，y），依据题意得出：×4×|y|=，∴|y|=，∵y=﹣x2++4；=﹣（x﹣1）2+，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，），∴纵坐标最大值为：，∴y=﹣，∴﹣=﹣x2++4；解得：x1=﹣2，x2=4，∴P点的坐标为：（4，﹣），（﹣2，﹣）；（3）如图所示：在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，由勾股定理得BC=5，∵DE⊥BC，∴∠EDC=∠BOC=90°，∵∠DCE=∠OCB，∴△DCE∽△OCB，∴==，∵CD=t，∴==，∴CE=t，DE=t，∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4﹣t+3+t+5﹣t=12﹣t，t的取值范围是：0＜t＜．18．：（1）过C作CD⊥x轴于G，∵点C为线段AB的中点，∴CG是△OAB的中位线，∴点C的坐标是（1，2），┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）又∵OA=2，OB=4，∴AB=，AC=，显然△ABO∽△ADC，∴，即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）∴AD=5OD=AD﹣OA=3，∴点D的坐标是（﹣3，0）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）（2）解：设过B（0，4），C（1，2），D（﹣3，0）的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，∴，┅┅┅┅┅┅（4分）解得：，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）∴抛物线的关系式为；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）（3）解：设点P的坐标为（x，y）连BD，过点P作PH⊥x轴于H，交BD于E，S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD，∵S△BCD=S△ACD为定值，∴要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大，①当P在BD间的抛物线上时，即﹣3＜x＜0，S△PBD=S△PBE+S△PED=PE×DH+PE×OH=PE×OD=PE，∵PE=PH﹣EH=y P﹣y E，┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）直线BD的关系式为y=，∴PE=，=，当x=时，PE最大为，∴点P的坐标（，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）②当P在BC间的抛物线上时，即0＜x＜1，同理可求出四边形PBCD的面积，很显然，此时四边形PBCD的面积要小于点P在BD间的抛物线上时的四边形PBCD的面积，故P点的坐标是（，）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）19.解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=﹣1所以直线的解析式为y=﹣x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=﹣2x2+5x．（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（），此时tan∠PON=．（3）存在；把x=0代入直线y=﹣x+4得y=4，所以点A（0，4）把y=0代入抛物线y=﹣2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0）设动点P坐标为（x，y），其中y=﹣2x2+5x （0＜x＜）则得：S△OAP=|OA|?x=2xS△ONP=|ON|?y=?（﹣2x2+5x）=（﹣2x2+5x）由S△OAP=S△ONP，即2x=?（﹣2x2+5x）解得x=0或x=1，舍去x=0得x=1，由此得y=3所以得点P存在，其坐标为（1，3）20.解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2﹣3，依题意有：a（1﹣3）2﹣3=0，a=，∴该抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣x+．（2）设B点关于y轴的对称点为B′，则B′（﹣1，0）；设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴y=﹣x﹣；故P0（0，﹣）．（3）由（1）的抛物线知：y=x 2﹣x+=（x﹣1）（x﹣5），故C（5，0）；∵S四边形AP0BC=S△AB′C﹣S△BB′P0=×6×3﹣×2×=；∴S△BCM=S四边形AP0BC=；易知BC=4，则|y M|=；当M的纵坐标为时，x2﹣x+=，解得x=3+，x=3﹣；当M的纵坐标为﹣时，x2﹣x+=﹣，解得x=3+，x=3﹣；故符合条件的M点有四个，它们的坐标分别是：M1（3+，），M2（3﹣，），M3（3+，﹣），M4（3﹣，﹣）．21．：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，﹣1），则有：，解得；∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣1．（2）∵A（2，0），C（0，﹣1），∴直线AC：y=x﹣1；设D（x，0），则E（x，x﹣1），故DE=0﹣（x﹣1）=1﹣x；∴△DCE的面积：S=DE×|x D|=×（1﹣x）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，因此当x=1，即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（﹣1，0），可求得直线BC的解析式为：y=﹣x﹣1；设P（x，﹣x﹣1），因为A（2，0），C（0，﹣1），则有：AP2=（x﹣2）2+（﹣x﹣1）2=2x2﹣2x+5，AC2=5，CP2=x2+（﹣x﹣1+1）2=2x2；①当AP=CP时，AP2=CP2，有：2x2﹣2x+5=2x2，解得x=2.5，∴P1（2.5，﹣3.5）；②当AP=AC时，AP2=AC2，有：2x2﹣2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，∴P2（1，﹣2）；③当CP=AC时，CP2=AC2，有：2x2=5，解得x=±，∴P3（，﹣﹣1），P4（﹣，﹣1）；综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，﹣3.5）、P2（1，﹣2）、P3（，﹣﹣1）、P4（﹣，﹣1）．22．解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，∴AO平分∠D2AP2；又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．将A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得；∴y=﹣x+3；设D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，即x2﹣5x+6=0；解得x1=2，x2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣，1），F2（2+，1）．23．解：（1）由已知A（0，6），B（6，6）在抛物线上，得方程组，（1分）解得．（3分）（2）①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，S=EB?BF=（6﹣t）t=﹣t2+3t，（4分）以为S=﹣t2+3t=﹣（t﹣3）2+，所以当t=3时，S有最大值．（5分）②当S取得最大值时，∵由①知t=3，∴BF=3，CF=3，EB=6﹣3=3，若存在某点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形，则FR1=EB且FR1∥EB，。
二次函数--动点问题--压轴题(包参考答案)
1、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．提示：第（2）问发现特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊图形四边形BNPM 为菱形； 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。
2、（2009眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。
提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，③E 为直角顶点时，作法同②；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。
(二次函数的应用)30道中考动点压轴题和函数压轴题
（二次函数）二次函数30道中考动点压轴题和函数压轴题1如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是，请说明理由；（2）如图2，已知D（12-，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A ﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？2如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及sin ACP∠的值（2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.3．已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当k ＝－34时，设以C 为顶点的抛物线y ＝(x ＋m)2＋n 与直线AB 的另一交点为D （如图2）．① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？4．已知二次函数的图象经过A （2，0）、C （0，12）两点，与x 轴的另一交点为点B ，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点D ．（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，在直线y ＝2x 上是否存在点E ，使四边形ODBE 为等腰梯形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是线段OD 上的一个动点（不与O 、D 重合），以每秒 2 个单位长度的速度由点D 向点O 运动，过点P 作直线PQ ∥x 轴，交BD 于点Q ，将△DPQ 沿直线PQ 对折，得到△D 1PQ ．在点P 运动的过程中，设△D 1PQ 与梯形OPQB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．5．A 、C 上，抛物线y ＝－2 3）． （1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 由点A 出发，沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发，沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S ＝PQ2（cm 2）．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行图1图2图2 图1四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．6．在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以O 点为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图1），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y ＝ax2＋bx －2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值；（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．①当t 为何值时，线段DF 平分△ABC 的面积？②是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．③设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）如图2，点P 在二次函数图象上运动，点Q 在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC 能否成为以PQ 为底的等腰梯形？如果能，直接写出P 、Q 两点的坐标；如果不能，请说明理由．8．如图，直线y＝－43x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－1，0）、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒32个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）．①在E、F两点运动过程中，是否存在EF∥OC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．9．已知抛物线y＝4，0）点B作BC∥x轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）记△EF A的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EF A的形状；（3）是否存在这样的t值，使△EF A、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t 与△APQ 面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．11．如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线经过点A （－3，0）和点C （0，3），与x 轴的另一交点为B ．点P 、Q 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）． （1）求抛物线的解析式；（2）连接PQ ，将△BPQ 沿PQ 翻折，所得的△B ′PQ 与△ABC 重叠部分的面积记为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若点D 的坐标为（－4，3），当点B ′ 恰好落在抛物线上时，在抛物线的对称轴时是否存在点M ，使四边形MADB ′的周长最小，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋152（a ≠0）经过A （－3，0）、C （5，0）两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求此抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s ，过点P 作PM ⊥BD 交BC 于点M ，过点M 作MN ∥BD ，交抛物线于点N ． ①当t 为何值时，线段MN 最长；②在点P 运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O 、P 、形？若存在，求出此刻的t 值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y ＝－x2－2x ＋3与x 轴相交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求线段AC 所在直线的解析式；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一点，且S △MAC＝12S △MAB，求点M 的坐标； （3）点P 以每秒1个单位长度的速度，沿线段BA 由B 向A 运动，同时，点Q 以每秒2个单位长度的速度，从A 开始沿射线AC 运动，当P 到达A 时，整个运动随即结束．设运动的时间为t 秒．①求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式，并求当t 为何值时，△APQ 的面积最大，最大面积是多少？②在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线BC 相切？若能，请直接写出相应的t 值；若不能，请说明理由；③直接写出线段PQ 的中点在整个运动过程中所经过路径的长．14．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）15．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．16．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由17．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC 与直线x =4交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．(第2题)(图1) (图2)18．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。
九年级数学二次函数动点问题
九年级数学二次函数动点问题
1、已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c$经过点$(1,2)$，若$a = 1$，抛物线的对称轴为直线$x = - 1$，求抛物线的解析式．
2、已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象经过点$( - 1,0)$，$(3,0)$，且与$y$轴交于点$(0, - 3)$．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若该二次函数的图象与$x$轴的另一个交点为B，且满足$\angle AOB = 90^{\circ}$，求点B的坐标．
3、已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象经过原点及点$( - 2, - 2)$，且图象与$x$轴的另一个交点到原点的距离为$4$，那么该二次函数的解析
式为____．
4、已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c$经过点$(1, - 1)$和$( - 1,3)$．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线与坐标轴的交点为A、B、C，求$\bigtriangleup ABC$的面积．5、已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c$经过点$(1,0)$和$(3,0)$，且与直线$y = 3x - 3$相切，求二次函数的解析式．。
二次函数动点问题类型
二次函数动点问题类型一、求解动点坐标问题：1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。
解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。
2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。
解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。
对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。
3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。
解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。
进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。
二、研究动点运动规律问题：1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。
例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。
2.如何通过已知条件研究点的运动规律？已知的条件可以包括点的初始位置、速度、加速度等信息，将这些信息转化成数学问题，从而得到二次函数的各项系数，进而通过研究二次函数的图像研究点的运动规律。
二次函数动点问题专题
二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。
二次函数与动点问题
二次函数的动点问题1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又1010101AB =÷=，．图①图②P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=． 35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时4763311051555GP t OG t ===-=，， 点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，．设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤，∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （4）2．2.如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．602个单位/秒． （01(22)(10)2t t =+-2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当92t =时，S 有最大值为1214，此时112P ⎛ ⎝⎭． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度，作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ， 由OPH OPM △∽△得：11.53OM ==，所以OQ OM >，从而90OPQ >∠． 所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得1217.83OQ =+=． 而构成直角时交y 轴于03⎛ ⎝⎭，，20.217.83=>，所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．（第29题图①）x t （第29题图②）第29题图①3.如图12，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S =.解：（1）令0=x ，则4=y ；令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，，∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩，．解之，得34-=a ，38=b ． ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y（2）∵438342++-=x x y=()3161342+--x ∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点M 作MF x ⊥轴于F ∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯∴四边形AOCM （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE OC ∥，∴t t 2351212=-∴38=t ∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒）现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，2134322S t t t =⨯=；ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ， ∴()544542--=t y ，∴516362t y -=∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=ⅲ）当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33x y ，，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y∴AOE AOD S S S =-△△512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t③802430=S4.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线2bx a=-． 解：（1）据题意得：240k -=，2k ∴=±．当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<．又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=．∴抛物线的解析式为：22y x =-+．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴 的三个交点的位置及图象大致形状正确 即可）（2）解：令220x -+=，得x =不0x <<112A D x =，2112A B x =-+，211112()244l A B A D x x ∴=+=-++．当x >222A D x =，2222(2)2A B x x =--+=-． 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-． l ∴关于x 的函数关系是：当0x <<2244l x x =-++；当x >2244l x x =+-．（3）解法一：当0x <<1111A B A D =，得2220x x +-=．解得1x =-1x =-．将1x =-代入2244l x x =-++， 得8l =．当x >2222A B A D =，得2220x x --=．解得1x =1x =1x =2244l x x =+-，得8l =． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．解法二：当0x <<1x =-．∴正方形的周长11488l A D x ===．当x >1x =∴正方形的周长22488l A D x ===．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+，． 令AB AD =，则222x x -+=．∴222x x -+=，①或222x x-+=-②由①解得1x =-1x =-；由②解得1x =1x =又8l x =，∴当1x =-8l =；当1x =+8l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E 作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得第26题图⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EFAC ＝BEAB即EF 10＝8－m8∴EF ＝40－5m4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）∴△BCE 为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数动点专项练习30题(有问题详解)ok
实用文档二次函数动点专项练习30题（有答案）1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y 轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D 分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A 在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ 的长为l，点P的横坐标为x．（1）求二次函数的解析式；（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y=﹣x2+3x的图象与BC交于D、E两点．（1）求DE的长_________；（2）M是BC上的动点，若OM⊥AM，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2）点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．9．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）直接写出点C的坐标；（2）试求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；（3）连接AC，点E为线段AC上的动点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F．当△OEF 的面积取得最小值时，请求出点E的坐标．10．抛物线y=a（x+6）2﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC 的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？12．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）、（0，3）（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；（3）若过点A（﹣1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．13．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．14．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．15．如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求此抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．①当t为何值时，线段MN最长；②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．16．如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是，求P点的坐标；（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．18．（2011•宝安区三模）如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，4），AB的垂直平分线交AB于C，交x 轴于D，（1）求点C、D的坐标；（2）求过点B、C、D的抛物线的解析式；（3）点P为CD间的抛物线上一点，求当点P在何处时，以P，C，D，B为顶点的四边形的面积最大？19．（2010•菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（3，﹣3），与x轴的一个交点为B（1，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C 为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax2﹣2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC﹣PD|的值最大时点P的坐标；（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．29．阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数动点30题参考答案：1．解：（1）当y=0时，有，解得：x1=4，x2=﹣1，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．（2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点，∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m）∵E点在二次函数的图象上，∴，解得或（不合题意，舍去）．（3）存在．①如图1，当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△CFG，∴m=OG=2+4=6；反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，易得y C﹣y F′=CG=4，∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．②如图2，当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP=AO=4，∴m=FP=4；反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，易得y A﹣y F′=FP=4，∴m=0﹣4=﹣4．③如图3，当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA，∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF，∴CD=AE，DF=EF，∴四边形OEFD为正方形，∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A，∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，∴△HF′C≌△GF′A，∴HF′=GF′，CH=AG，∴四边形OHF′G为正方形，∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，∴OH=1，∴m=﹣1．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴y的最大值为．∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜．∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3 2．（1）∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴根据题意，得，解得，所以抛物线的解析式为：；（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得∴，解得：m=3或m=﹣2，∵C（m，m﹣1）位于第一象限，∴，∴m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C坐标为（3，2），过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH，∵∠CBH+∠BCH=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴▱DECF是矩形；②存在；连接CD∵四边形DECF是矩形，∴EF=CD，当CD⊥AB时，CD的值最小，∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2；3. （1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）4.解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，y BC=﹣x+2．由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n∴n=﹣，y AD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；∴D（5，﹣3）．∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°5．解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），∴x=0，y=2满足y=a（x﹣2）2，于是求得a=，二次函数的解析式为y=（x﹣2）2；（2）∵PQ⊥x轴且横坐标为x，∴l=（x+2）﹣（x﹣2）2=﹣x2+3x，由得点B的坐标为B（6，8），∵点p在线段AB上运动，∴0＜x＜6．∵，∴当x=3时，．∴0＜l＜；（3）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，则四边形PQMD为平行四边形．∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．∴．∴x2﹣6x+8=0，∴x1=2，x2=4．∵2＜x＜6，∴x=4．∴P（4，6），Q（4，2）．即P点的坐标为：（4，6）6．：（1）∵点B（5，m）在直线y=﹣2x+7上，∴m=﹣5×2+7=﹣3，∴B（5，﹣3），∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为（4，0）设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），将点B（5，﹣3）代入上式，得﹣3=a（5﹣0）（5﹣4），∴a=﹣，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+x．（2）∵点A（4，0），B（5，﹣3），C（2，0），∴AC=4﹣2=2，BC==3，当点D在直线x=2的右侧时，当△DCB∽△ECB，∴=，即=，解得：CD=9，∴点D的坐标为：（11，0），当点D在直线x=2的左侧时，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，且∠ACB＜∠DCB，∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，即此时不存在点使三角形相似；综上所述，存在点D的坐标是（11，0），使三角形相似；（3）存在符合条件的点P使PB=PC，∵C（2，0），B（5，﹣3），∴∠ACB=45°，BC垂直平分线的解析式为：y=x﹣5，∴，∴解得：，，∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．7．解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：﹣x2+3x=2，解得：x1=1、x2=2∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．（2）如右图；矩形OABC中，∠OMA=90°，∴∠CMO=∠MAB=90°﹣∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，∴△OCM∽△MBA，有：=设点M（m，2），则：CM=m，BM=5﹣m∴=，解得m1=1，m2=4∴点M的坐标为（1，2）或（4，2）．（3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）；①当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意；②当DM为平行四边形的边时，OM∥OQ，且OM=OQ；∵D（1，2）、M（4，2）∴OQ=DM=3，即Q（﹣3，0）或（3，0）；经验证，点（﹣3，0）不在抛物线图象上；点（3，0）在抛物线图象上；综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）8. 解：（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x﹣1），代入C（0，﹣2），得：﹣2=a（0+4）（0﹣1），解得：a=故抛物线的解析式：y=（x+4）（x﹣1）=x2+x﹣2．（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；∵GH∥AC，∴==；易知：BA=OB+OA=5，则BH=AB=，∴OH=BH﹣OB=﹣1=，即H（﹣，0）．（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（﹣4，0）、C（0，﹣2），得：，解得故直线AC：y=﹣x﹣2；设M（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x﹣2），则：MN=（﹣x﹣2）﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+2）2+2因此当M运动到OA的中垂线上，即M（﹣2，﹣3）时，线段MN的长最大．9．（1）令x=0，可得y=3，故点C的坐标为（0，3）；（2）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：，解得：，故函数解析式为y=x2﹣x+3；（3）如图，∵点A（3，0），点B（4，1），∴直线AB的解析式为：y=x﹣3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA=3，OC=3，∴tan∠OAC===1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∵∠OEF=∠OAF=45°，∠OFE=∠OAE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴S△OEF=×OE×OF=OE2，当OE最小时，S△FEO最小，根据等腰直角三角形的性质，当OE⊥AC时，OE最小，此时点E为AC的中点，故点E的坐标为（，）．10.解：（1）易知抛物线的顶点D（﹣6，﹣3），则DE=3，OE=6；∵AE2=3DE=9，∴AE=3，即A（﹣3，0）；将A点坐标代入抛物线的解析式中，得：a（﹣3+6）2﹣3=0，即a=，即抛物线的解析式为：y=（x+6）2﹣3=x2+4x+9．（2）设点P（﹣6，t），易知C（0，9）；则PC的中点Q（﹣3，）；易知：PC=；若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：||=，解得t=1，故点P（﹣6，1），当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（﹣3，0），B（﹣9，0）．所以P（﹣6，0），故点P的坐标为（﹣6，1）或（﹣6，0），（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：①当NE=2DE时，NE=6，即N（﹣6，6），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；由于MN⊥DM，则k1•k2==﹣1，整理得：a2+b2+12a﹣3b+18=0…（△），由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，整理得：a2+12a﹣3b+27=0…（□）；（△）﹣（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），将b=3代入（□）得：a=﹣6+3，a=﹣6﹣3，故点M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）；②当2NE=DE时，NE=，即N（﹣6，），已知D（﹣6，﹣3），则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；由题意得：k1•k2==﹣1，整理得：a2+b2+b+12a+=0，而a2+12a﹣3b+27=0；两式相减，得：2b2+9b+9=0，解得b=﹣2，b=﹣，（均不符合题意，舍去）；综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）．11．（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解得，∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+；（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C，可得=，即=，解得m1=，m2=﹣，∴P（，）或（，﹣）；（3）①由B（6，1），C（0，﹣2），得直线BC的解析式为y=x﹣2，∴D（4，0），当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，此时S=×4×2+×4×=，∵S△BOC=×2×6=6，∴当6≤S＜时，满足条件的点E有两个．②当4＜S＜6时，﹣x2+x﹣2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，故此时满足条件的点E只有一个．12. 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的解析式是y=a（x﹣1）2+k，∴解得：，∴y=﹣（x﹣1）2+4即y=﹣x2+2x+3（2）∵y=﹣x2+2x+3，当y=0时，∴x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）∴AB=4．设P（a，﹣a2+2a+3）∴S△ABP==﹣2（a﹣1）2+8，∴△ABP面积的最大值为8（3）设D的坐标为（1，b），∴=6，∴b=±6，∴D（1，6）或（1，﹣6），设AD的解析式为y=kx+b，得或解得：或∴直线AD的解析式为：y=3x+3或y=﹣3x﹣313. 解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3；（2）①令﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0），当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为y=x﹣3，∴设直线AP的解析式为y=x+n，∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=﹣1．∴直线AP的解析式为y=x﹣1解方程组，得，∴点P1（2，1）当点P在x轴下方时，如图1：设直线AP1交y轴于点E（0，﹣1），把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，得直线P2P3的解析式为y=x﹣5，解方程组，得，∴P2（，），P3（，），综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（，），②∵B（3，0），C（0，﹣3）∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为y=kx﹣3如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°﹣α，∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°﹣α，∴∠OQC=∠OBC﹣∠PCB=45°﹣（45°﹣α）=α，∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴，∴，∴OQ=9，∴Q（9，0）∵直线CP过点Q（9，0），∴9k﹣3=0∴∴直线CP的解析式为．其它方法略．114．解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得，解得，∴y=x+3，令x=0，∴E（0，3）；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，∴y=x2﹣x（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，联立，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，解得m=﹣，x=3，y=，即N（3，）；此时△BON面积=×6×6﹣（+6）×3﹣××3=；（4）过点A作AS⊥GQ于S，∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3，），∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，OG=3，NG=，NS=，AS=5，在Rt△SAN和Rt△NOG中，∴tan∠SAN=tan∠NOG=，∴∠SAN=∠NOG，∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，∴∠OAN=∠NOB，∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，∵A（﹣2，2），N（3，），∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，∴BO：OA=OP：AN=BP：ON又∵A（﹣2，2），N（3，），B（6，6），∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，∴OP=，BP=，设P点坐标为（4x，x），∴16x2+x2=（）2，解得x=，4x=15，∵P、P′关于直线y=x轴对称，∴P点坐标为（15，）或（，15）．15.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），C（5，0）∴解得．（2）①延长NM交AC于E，∵B为抛物线y=﹣x2+x+的顶点，∴B（1，8）．（5分）∴BD=8，OD=1．∵C（5，0），∴CD=4．∵PM⊥BD，BD⊥AC，∴PM∥AC．∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD．∴△BPM∽△BDC．∴=．根据题意可得BP=t，∴=．∴PM=t．∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°，∴四边形PMED为矩形．∴DE=PM=t．∴OE=OD+DE=1+t．∴E（1+t，0）．∵点N在抛物线上，横坐标为1+t，∴点N的纵坐标为﹣（1+t）2+（1+t）+．∴NE=﹣（1+t）2+（1+t）+=﹣t2+8．∵PB=t，PD=ME，∴EM=8﹣t．∴MN=NE﹣EM=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣（t﹣4）2+2．当t=4时，MN最大=2．②存在符合条件的t值．连接OP，如图（2）．若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC．∵OD=1，DE=PM=t，∴5﹣（t+1）=1．解得t=6．∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形16．（1）由题意，得：，解得：，∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4．（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由﹣x2﹣x+4=0，得x1=2，x2=﹣4，∴点B的坐标为（2，0），∴AB=6，BQ=2﹣m，∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴，即，∴EG=（2﹣m），∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ•CO﹣BQ•EG=（2﹣m）[4﹣（2﹣m）]=﹣（m+1）2+3又∵﹣4≤m≤2，∴当m=﹣1时，S△CQE有最大值3，此时Q（﹣1，0）．（3）存在．在△ODF中．（ⅰ）若DO=DF，∵A（﹣4，0），D（﹣2，0）∴AD=OD=DF=2，又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°，∴∠DFA=∠OAC=45°，∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为（﹣2，2）（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M由等腰三角形的性质得：OM=MD=1，∴AM=3，∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，∴F（﹣1，3）；（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC=4，∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点F的坐标为：F（﹣2，2）或（﹣1，3）．17.解：（1）∵抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．∴，解得：，∴y=﹣x2++4；（2）令y=0，可得x1=﹣1，x2=3，∴B点坐标为：（3，0），设P点坐标为（x，y），依据题意得出：×4×|y|=，∴|y|=，∵y=﹣x2++4；=﹣（x﹣1）2+，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，），∴纵坐标最大值为：，∴y=﹣，∴﹣=﹣x2++4；解得：x1=﹣2，x2=4，∴P点的坐标为：（4，﹣），（﹣2，﹣）；（3）如图所示：在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，由勾股定理得BC=5，∵DE⊥BC，∴∠EDC=∠BOC=90°，∵∠DCE=∠OCB，∴△DCE∽△OCB，∴==，∵CD=t，∴==，∴CE=t，DE=t，∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4﹣t+3+t+5﹣t=12﹣t，t的取值范围是：0＜t＜．18．：（1）过C作CD⊥x轴于G，∵点C为线段AB的中点，∴CG是△OAB的中位线，∴点C的坐标是（1，2），┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）又∵OA=2，OB=4，∴AB=，AC=，显然△ABO∽△ADC，∴，即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）∴AD=5OD=AD﹣OA=3，∴点D的坐标是（﹣3，0）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）（2）解：设过B（0，4），C（1，2），D（﹣3，0）的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，∴，┅┅┅┅┅┅（4分）解得：，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）∴抛物线的关系式为；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）（3）解：设点P的坐标为（x，y）连BD，过点P作PH⊥x轴于H，交BD于E，S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD，∵S△BCD=S△ACD为定值，∴要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大，①当P在BD间的抛物线上时，即﹣3＜x＜0，S△PBD=S△PBE+S△PED=PE×DH+PE×OH=PE×OD=PE，∵PE=PH﹣EH=y P﹣y E，┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）直线BD的关系式为y=，∴PE=，=，当x=时，PE最大为，∴点P的坐标（，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）②当P在BC间的抛物线上时，即0＜x＜1，同理可求出四边形PBCD的面积，很显然，此时四边形PBCD的面积要小于点P在BD间的抛物线上时的四边形PBCD的面积，故P点的坐标是（，）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）19.解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=﹣1所以直线的解析式为y=﹣x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为y=﹣2x2+5x．（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（），此时tan∠PON=．（3）存在；把x=0代入直线y=﹣x+4得y=4，所以点A（0，4）把y=0代入抛物线y=﹣2x2+5x得x=0或x=，所以点N（，0）设动点P坐标为（x，y），其中y=﹣2x2+5x （0＜x＜）则得：S△OAP=|OA|•x=2xS△ONP=|ON|•y=•（﹣2x2+5x）=（﹣2x2+5x）由S△OAP=S△ONP，即2x=•（﹣2x2+5x）解得x=0或x=1，舍去x=0得x=1，由此得y=3所以得点P存在，其坐标为（1，3）20.解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2﹣3，依题意有：a（1﹣3）2﹣3=0，a=，∴该抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣x+．（2）设B点关于y轴的对称点为B′，则B′（﹣1，0）；设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴y=﹣x﹣；故P0（0，﹣）．（3）由（1）的抛物线知：y=x2﹣x+=（x﹣1）（x﹣5），故C（5，0）；∵S四边形AP0BC=S△AB′C﹣S△BB′P0=×6×3﹣×2×=；∴S△BCM=S四边形AP0BC=；易知BC=4，则|y M|=；当M的纵坐标为时，x2﹣x+=，解得x=3+，x=3﹣；当M的纵坐标为﹣时，x2﹣x+=﹣，解得x=3+，x=3﹣；故符合条件的M点有四个，它们的坐标分别是：M1（3+，），M2（3﹣，），M3（3+，﹣），M4（3﹣，﹣）．21．：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，﹣1），则有：，解得；∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣1．（2）∵A（2，0），C（0，﹣1），∴直线AC：y=x﹣1；设D（x，0），则E（x，x﹣1），故DE=0﹣（x﹣1）=1﹣x；∴△DCE的面积：S=DE×|x D|=×（1﹣x）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，因此当x=1，即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（﹣1，0），可求得直线BC的解析式为：y=﹣x﹣1；设P（x，﹣x﹣1），因为A（2，0），C（0，﹣1），则有：AP2=（x﹣2）2+（﹣x﹣1）2=2x2﹣2x+5，AC2=5，CP2=x2+（﹣x﹣1+1）2=2x2；①当AP=CP时，AP2=CP2，有：2x2﹣2x+5=2x2，解得x=2.5，∴P1（2.5，﹣3.5）；②当AP=AC时，AP2=AC2，有：2x2﹣2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，∴P2（1，﹣2）；③当CP=AC时，CP2=AC2，有：2x2=5，解得x=±，∴P3（，﹣﹣1），P4（﹣，﹣1）；综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，﹣3.5）、P2（1，﹣2）、P3（，﹣﹣1）、P4（﹣，﹣1）．22．解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，∴AO平分∠D2AP2；又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．将A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得；∴y=﹣x+3；设D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，即x2﹣5x+6=0；解得x1=2，x2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣，1），F2（2+，1）．23．解：（1）由已知A（0，6），B（6，6）在抛物线上，得方程组，（1分）解得．（3分）（2）①运动开始t秒时，EB=6﹣t，BF=t，S=EB•BF=（6﹣t）t=﹣t2+3t，（4分）以为S=﹣t2+3t=﹣（t﹣3）2+，所以当t=3时，S有最大值．（5分）②当S取得最大值时，∵由①知t=3，∴BF=3，CF=3，EB=6﹣3=3，若存在某点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形，则FR1=EB且FR1∥EB，。
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题（动点）正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一象限。
点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。
当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
1) 求正方形ABCD的边长。
解：作BF⊥y轴于F。
则FB=8，FA=6，AB=10.2) 当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分。
求P，Q两点的运动速度。
解：由图可知，点P从点A运动到点B用了10秒。
又AB=10，故P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位。
3) 求(2)中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。
解：方法一：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF。
由相似三角形可得：GA/AP=FA/AB，即6/10=t/AP，故GA=3/5t。
又OG=10-3/5t，OQ=4+t。
则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得：S'=(-6/5)t+19/5，令其为0，解得t=19/3.此时S有最大值。
此时GP=76/15，OG=31/5，P的坐标为(76/15,31/5)。
方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9，S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2)，则a=-3/10，b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3，P的坐标为(76/15,31/5)。
4) 若点P，Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。
中考压轴：二次函数的动点问题
中考压轴题型：二次函数的动点问题（学生篇）一 、动点成平行四边形问题 分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC //例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.练习1：如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．例2.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．练习2．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．72x =B(0,4)A(6,0)EFxyOA练习3：如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．练习4.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二、图形折叠、运动中的二次函数问题例1. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． .练习：如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM在，说明理由．三、动点成直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况（1）当A ∠为直角时，AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时，BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时，CB CA ⊥例题：如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．.练习：如图直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．四、 动点成等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当A ∠为顶角时，AB AC = （2）当B ∠为顶角时，BA BC = （3）当C ∠为顶角时，CB CA =例题：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；A B C O P QDyx （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．练习：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点B (12，0)和C (0，－6)，对称轴为x ＝2． (1)求该抛物线的解析式．(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．五、动点成相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角例3：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ⊥AC ，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A 在y 轴上。
二次函数动点问题(提高篇)(最新整理)
数学压轴题 二次函数动点问题1.如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C (0，)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC 、3BC ．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==+-c b a c b a c c b a 244163039 解得a ＝－，b ＝－，c ＝．333323（2）由（1）知y ＝－x 2－x ＋，令y ＝0，得－x 2－x ＋＝0．333323333323解得x 1＝－3，x 2＝1．∵A (－3，0)，∴B (1，0)．又∵C (0，)，∴OA ＝3，OB ＝1，OC ＝，33∴AB ＝4，BC ＝2．∴tan ∠ACO ＝＝，∴∠ACO ＝60°，∴∠CAO ＝30°．OCOA3同理，可求得∠CBO ＝60°，∠BCO ＝30°，∴∠ACB ＝90°．∴△ABC 是直角三角形．又∵BM ＝BN ＝t ，∴△BMN 是等边三角形．∴∠BNM ＝60°，∴∠PNM ＝60°，∴∠PNC ＝60°．∴Rt △PNC ∽Rt △ABC ，∴＝．NC PN BCAB由题意知PN ＝BN ＝t ，NC ＝BC －BN ＝2－t ，∴＝．t t 224∴t ＝．∴OM ＝BM －OB ＝－1＝．343431如图1，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，则PH ＝PM ·sin60°＝×＝．3423332MH ＝PM ·cos60°＝×＝．∴OH ＝OM ＋MH ＝＋＝1．3421323132∴点P 的坐标为(－1，)．332（3）存在．由（2）知△ABC 是直角三角形，若△BNQ 与△ABC 相似，则△BNQ 也是直角三角形．∵二次函数y ＝－x 2－x ＋的图象的对称轴为x ＝－1．∴点P 在对称轴上．333323∵PN ∥x 轴，∴PN ⊥对称轴．又∵QN ≥PN ，PN ＝BN ，∴QN ≥BN ．∴△BNQ 不存在以点Q 为直角顶点的情形．①如图2，过点N 作QN ⊥对称轴于Q ，连结BQ ，则△BNQ 是以点N 为直角顶点的直角三角形，且QN ＞PN ，∠MNQ ＝30°．∴∠PNQ ＝30°，∴QN ＝＝＝．o 30cos PN 2334938∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．BN QN 34938332BC AC 3BN QN BC AC ∴当△BNQ 以点N 为直角顶点时，△BNQ 与△ABC 不相似．②如图3，延长NM 交对称轴于点Q ，连结BQ ，则∠BMQ ＝120°．∵∠AMP ＝60°，∠AMQ ＝∠BMN ＝60°，∴∠PMQ ＝120°．∴∠BMQ ＝∠PMQ ，又∵PM ＝BM ，QM ＝QM ．∴△BMQ ≌△PMQ ，∴∠BQM ＝∠PQM ＝30°．∵∠BNM ＝60°，∴∠QBN ＝90°．∵∠CAO ＝30°，∠ACB ＝90°．∴△BNQ ∽△ABC ．∴当△BNQ 以点B 为直角顶点时，△BNQ ∽△ABC ．设对称轴与x 轴的交点为D ．∵∠DMQ ＝∠DMP ＝60°，DM ＝DM ，∴Rt △DMQ ≌Rt △DMP ．∴DQ ＝PD ，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的坐标为(－1，－)．332综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q (－1，－)，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角332形与△ABC 相似．2.如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．解：（1）由题意得解得⎩⎨⎧033903＝＋＝＋＋－b a b a ⎩⎨⎧21－－＝＝b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；（2）存在符合条件的点P ，其坐标为P (－1，)或P (－1，)1010－或P (－1，6)或P (－1，)；35（3）解法一：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E (m ，－m 2－2m ＋3)（－3＜ a ＜0）则EF ＝－m 2－2m ＋3，BF ＝m ＋3，OF ＝－m ．∴S 四边形BOCE ＝S △BEF ＋S 梯形FOCE ＝BF ·EF ＋(EF ＋OC )·OF 2121＝(m ＋3)(－m 2－2m ＋3)＋(－m 2－2m ＋6)(－m )．2121＝－m 2－m ＋＝－(m ＋)2＋2329292323863∴当m ＝－时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为．23863此时y ＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E 点的坐标为(－，)．232341523415解法二：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E (x ，y )（－3＜ x ＜0）则S 四边形BOCE ＝S △BEF ＋S 梯形FOCE ＝BF ·EF ＋(EF ＋OC )·OF 2121＝(3＋x )· y ＋(3＋y )(－x )＝(y －x )＝(－x 2－3x ＋3)21212323＝－(x ＋)2＋2323863∴当x ＝－时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为．23863此时y ＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E 点的坐标为(－，)．2323415234153.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA ＜OC ）是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA 、OC 的长是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，OA ＜OC ．∴OA ＝1，OC ＝4．∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴∴A （－1，0），C （0，－4）．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1∴由对称性可得B 点坐标为（3，0）．∴A 、B 、C 三点的坐标分别是：A （－1，0），B （3，0），C （0，－4）．（2）∵点C （0，－4）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4．4分将A （－1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2＋bx －4得 解得⎩⎨⎧043904＝＋＝－－－b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧3834－＝＝b a ∴此抛物线的解析式为y ＝x 2－x －4．3438（3）∵BD ＝m ，∴AD ＝4－m ．在Rt △BOC 中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝3 2＋4 2＝25，∴BC ＝5．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∴＝，即＝．∴DE ＝．BC DE AB AD 5DE 44m－4520m －过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝＝．BC OC 54∴＝，∴EF ＝DE ＝×＝4－m ．DE EF 5454544520m －∴S ＝S △CDE ＝S △ADC －S △ADE ＝(4－m )×4－(4－m )(4－m )＝－m 2＋2m 212121＝－(m －2)2＋2（0＜m ＜4）．21∵－＜0 ∴当m ＝2时，S 有最大值2．21此时OD ＝OB －BD ＝3－2＝1．∴此时D 点坐标为（1，0）．4.如图，抛物线y ＝a (x ＋3)(x －1)与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为(－2，6)．（1）求a 的值及直线AC 的函数关系式；（2）P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N ．①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意得6＝a (－2＋3)(－2－1)，∴a ＝－2∴抛物线的解析式为y ＝－2(x ＋3)(x －1)，即y ＝－2x 2－4x ＋6令－2(x ＋3)(x －1)＝0，得x 1＝－3，x 2＝1∵点A 在点B 右侧，∴A (1，0)，B (－3，0)设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把A (1，0)、C (－2，6)代入，得 解得⎩⎨⎧620＝＋＝＋－b k b k ⎩⎨⎧22＝＝－b k ∴直线AC 的函数关系式为y ＝－2x ＋2（2）①设P 点的横坐标为m (－2≤ m ≤1)，则P (m ，－2m ＋2)，M (m ，－2m 2－4m ＋6)∴PM ＝－2m 2－4m ＋6－(－2m ＋2)＝－2m 2－2m ＋4＝－2(m ＋)2＋2129∴当m ＝－时，线段PM 长度的最大值为2129②存在. M 1(0，6), M 2(－，)41855ⅰ)如图1，当M 为直角顶点时，连结CM ，则CM ⊥PM ，△CMP ∽△ANP ∵点C (－2，6)，∴点M 的纵坐标为6，代入y ＝－2x 2－4x ＋6得－2x 2－4x ＋6＝6，∴x ＝－2（舍去）或x ＝0∴M 1(0，6)（此时点M 在y 轴上，即抛物线与y 轴的交点，此时直线MN 与y 轴重合，点N 与原点O 重合）ⅱ)如图2，当C 为直角顶点时，设M (m ，－2m 2－4m ＋6)(－2≤ m ≤1)过C 作CH ⊥MN 于H ，连结CM ，设直线AC 与y 轴相交于点D 则△CMP ∽△NAP又∵△HMC ∽△CMP ，△NAP ∽△OAD ，∴△HMC ∽△OAD ∴＝OD CH OAMH∵C (－2，6)，∴CH ＝m ＋2，MH ＝－2m 2－4m ＋6－6＝－2m 2－4m 在y ＝－2x ＋2中，令x ＝0，得y ＝2∴D (0，2)，∴OD ＝2 ∴＝22+m 1422m m --整理得4m 2＋9m ＋2＝0，解得m ＝－2（舍去）或m ＝－41当m ＝－时，－2m 2－4m ＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝ ∴M 2(－，)41414185541855。
九年级数学 二次函数动点问题 专题练习
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为 y 1 x(x 4) ，即 y 1 x 2 x .
4
4
（2）①直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5).
过点 B 作 BG∥ x 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G，则点 G 坐标为(2,3)
二次函数的动点问题
1 如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴 交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E.
（1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合 条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由
BG⊥直线 x=2，BG=4.在 Rt△ BGC 中，BC= CG 2 BG 2 32 42 5 . ∵ CE=5，∴ CB=CE=5.
②过点 E 作 EH∥ x 轴，交 y 轴于 H，则点 H 的坐标为 H(0,-5).
又点 FD=DH=4，BF=EH=2，∠ BFD=∠ EHD=90°.
∴ △ DFB≌ △ DHE （SAS），∴ BD=DE. 即 D 是 BE 的中点.
(3)由于 PB=PE，∴ 点 P 必在线段 BE 的中垂线 CD 上， 又点 P 在抛物线 y 1 x 2 x 上,
4 ∴ 符合条件的点 P 应是直线 CD 与该抛物线的交点.
设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b.
其中 C 点的横坐标为 2． （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； （2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是
动点问题解析(二次函数与动点1)
动点问题解析(二次函数与动点)1.如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.&2.如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1，0)． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．3如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．题图264.抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A （m －4,0）和B(m ,0)，与直线y =－x +p 相交于点A 和点C(2m －4,m －6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12，求点P,Q 的坐标；#（3）在（2）条件下，若点M 是x 轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM 的面积最大时，请求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标。
【经典】二次函数的动点问题(各类题型含答案解析)
【精编版】二次函数的动态问题1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，． 解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA ODOM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t =，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
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二次函数动点问题典型例题等腰三角形问题1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB 交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．面积最大1. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．3. （2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．最短路径1.（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2. （2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．平行四边形1. （2015•贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．2. （14分）（2015•葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3.（2015•辽宁抚顺）（第26题，14分））已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2015•梧州,第26题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N 两点的横坐标．5. （2015•甘南州第28题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C （x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．角度问题1. （2015•宁德第24题14分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．函数应用1. （2015•广东茂名23，8分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天）1 3 6 10 …日销售量（m件）198 194 188 180 …②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜50 50≤x≤90销售价格（元/件）x+60 100（1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．相似三角形1. （2015•辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．解析式的应用1. （2015•天津,第25题10分）（2015•天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．综合练习1. （2015•辽宁阜新）（第18题，12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．2. （2015•黑龙江省大庆,第28题9分）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．3. （2015•北海,第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。