直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

直线与平面、平面与平面平行的判定

[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.

知识点一 直线与平面平行的判定定理

语言叙述

符号表示

图形表示

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ⎭

⎪⎬⎪

⎫

a ⊄α

b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α

思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二 平面与平面平行的判定定理

语言叙述

符号表示

图形表示

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

⎭

⎪⎬⎪

⎫

a ⊂α，

b ⊂αa ∩b ＝A a ∥β，b ∥β⇒α∥β

思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.

题型一 直线与平面平行的判定定理的应用

例1 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.

求证：(1)EH ∥平面BCD ； (2)BD ∥平面EFGH .

证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD .

∵EH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，

∴EH∥平面BCD.

(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，

EH⊂平面EFGH，

∴BD∥平面EFGH.

跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.

证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两

点，连接PQ.

因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，

所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.

所以MN∥PQ.

又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，

所以MN∥平面ADC.

题型二面面平行判定定理的应用

例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.

证明由棱柱性质知，

B1C1∥BC，B1C1＝BC，

又D，E分别为BC，B1C1的中点，

所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，

因此EB∥C1D，

又C1D⊂平面ADC1，

EB⊄平面ADC1，

所以EB∥平面ADC1.

连接DE，同理，EB1綊BD，

所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.

因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，

所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，

所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1， 所以A 1E ∥平面ADC 1.

由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1， A 1E ⊂平面A 1EB ，EB ⊂平面A 1EB ，

且A 1E ∩EB ＝E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1.

跟踪训练2 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，点G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点. 求证：(1)E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)平面A 1GH ∥平面BED 1F .

证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. 又∵BG ∥A 1E ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1G ∥BE .

连接FG .∵C 1F ＝B 1G ，C 1F ∥B 1G ， ∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG ＝C 1B 1＝D 1A 1，FG ∥C 1B 1∥D 1A 1， ∴四边形A 1GFD 1是平行四边形， ∴A 1G ∥D 1F ，∴D 1F ∥EB . 故E ，B ，F ，D 1四点共面. (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝3

2.

又∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝2

3

.

又FC BC ＝2

3，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，

∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .

又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .

题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用

例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO ？请说明理由.

解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .理由如下： 连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ， ∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥P A . 又∵O 为DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又∵PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .

跟踪训练3 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，EC ＝2FB .M 是线段AC 上的动点，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF ？请说明理由.

解 当M 为AC 中点时，BM ∥平面AEF .理由如下： 方法一 如图1，取AE 的中点O ，连接OF ，OM . ∵O ，M 分别是AE ，AC 的中点， ∴OM ∥EC ，OM ＝1

2

EC .

又∵BF ∥CE ，EC ＝2FB ，∴OM ∥BF ，OM ＝BF ， ∴四边形OMBF 为平行四边形，∴BM ∥OF . 又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ， ∴BM ∥平面AEF .

方法二 如图2，取EC 的中点P ，连接PM ，PB . ∵PM 是△ACE 的中位线， ∴PM ∥AE .